b5应用“垂面、三垂线定理”求“二面角”人教版[整理版]
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应用“垂面、三垂线定理”求“二面角”
王志强
三垂线定理及其逆定理是立体几何中最重要的知识点。三垂线定理及其逆定理,概括起来,可叙述为:在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线或此斜线的射影,若垂直其中之一,则必垂直于另一。欲运用上述定理解
题
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,关键注意以下几点: ?要善于观察平面不是水平位置的情况,即选好“平面”。 ?要注意四条线:平面内的一条直线、斜线、垂线、射影,找出(作出)垂线是至关重要的;
?三垂线定理及其逆定理的本质是线线垂直和线面垂直的转化。 若利用三垂线定理作二面角的平面角(这里以二面角为锐角加以说明,以下若不作说明,都是以锐角为例,当然若遇到钝角可以转化为求锐角的大小)。我们知道关键是由一个半平面内一点,作另一个半平面的垂线,此垂线恰是三垂线定理所需的、至关重要的垂线,而这条垂线往往由两个平面垂直的性质定理来提供~因为两个平面垂直的性质定理的结论正是线面垂直。即:如果两个平面垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线,就垂直于另一个平面(简记为:面面垂直找交线,垂直交线垂直面。)。这样在解题过程中,三垂线定理及两面垂直的性质定理两者有机地结合起来,达到严密推理,快速解题之目的。
综上所述,我们在作二面角的平面角时,可先找与二面角两个半平面其中之一垂直的第三个平面(怎样尽快找到第三个平面呢,可从结论出发,使用逆向思维)。若存在(已知图形中不存在,可以作)第三个平面,就在此平面内作交线的垂线,就等于作出了那个半平面的垂线,这时要注意在第三个平面内,过哪一点向交线作垂线呢,回答是这个点必在另一个半平面内(此点常常选在三角形的不落在棱上的一个顶点,有时看结论所求二面角的形式,就知道这一“点”。),这样才可利用三垂线定理作出二面角的平面角,此平面角含在封闭的直角三角形中,到此完成了由二面角向平面角转化的过程。 例1 直三棱柱的底面是等腰直角三角形,,AC=1,。连结、,求二面角的大小。 分析 从结论“求二面角的大小”出发,一方面考虑从点A向平面引垂线,关键是看这条垂线是否落在垂直于平面的某一“垂面”内,换句话说在图中有没有垂直于平面的某个平面,如图1找一下,没有。这时从另一方面就该调换个角度考虑从点C向平面引垂线,同样找一找在图中有没有垂直于平面的某个平面,显然存在,就是底面ABC。那么在底面ABC内,过点C引CD于D,D为AB的中点,由两个平面垂直的性质定理可知:CD平面,下面的道路比较平坦了,在侧面内利用三垂线定理作出二面角的平面角:过D向棱引垂线,即DE于E,连结CE,有
,故是二面角的平面角。
利用平几知识,在中易求
从上面的例子不难看出,“垂面ABC”在证题中的重要作用。所以我们在做这类题时,关键是找垂直于二面角的两个半平面之一的“垂面”。为了尽快找到,一般可以从结论出发,逆向思维是比较快的。如果把垂直的两平面的“交线”定义为“基线”,那么整个过程可以概括为:“垂基垂棱连”。
把整个求作二面角的平面角的过程归纳为以下思维程序: 探求结论二面角的形式,如形式,在图中是否存在(或作出)过点A且垂直于平面CDB的垂面,否则探求过点B且垂直于平面ACD的垂面,两者选在图中存在“垂面”的?寻找二面角的一个面与它的垂面这两个面的交线?在垂面内作交线的垂线(即得二面角的一个面的垂线段且夹在二面角之间)?利用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角。按照以上思维程序进行探索,往往思维畅通无阻。
例2 在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,沿对角线BD把?ABD折起来,使A在平面BCD上的射影E落在BC上,则二面角的正弦值为_________。 分析 先探求过点D向平面ABC作垂线的问题,由已知AE平面BCD,所以平面ABC平面BCD?平面ABC平面BCD=交线BC?在平面BCD内由,所以DC平面ABC(垂线段DC夹在两面ABC、ABD之间)?利用三垂线定理的逆定理,即由斜线DA棱AB,得射影CA棱AB,故是二面角的平面角。在中不难得出
例3 如图3,在?ABC中,,平面ABC,若SA=SB=BC,求二面角的大小。
分析 方法1 考虑由点B向平面SAC引垂线,因为底面BAC侧面SAC,底面BAC是垂面,再求“垂基垂棱连”,按这样的思路如图4,可得EFB是二面角BSCA的平面角。设SA=AB=BC=a,最后求得。
方法2 考虑由点A向平面SBC引垂线,读者易证BC平面SAB,所以平面SAB平面SBC,这时平面SAB是垂面,SB是基线,垂基垂棱连,按这样的思路如图5,可得是二面角BSCA的平面角。设SA=AB=BC=a,由条件易求得
,
所以
。即