二次函数大题

二次函数大题 2009陕西省((本题满分10分) 如图，在平面直角坐标系中，OB?OA，且OB,2OA，点A的坐标是(,1，2)( (1)求点B的坐标; (2)求过点A、O、B的抛物线的 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 达式; (3)连接AB，在(2)中的抛物线上求出点P，使得S,S( ??ABPABO 24(解:(1)过点A作AF?x轴，垂足为点F，过点B作BE?x轴，垂足为点E， 则AF,2，OF,1( ?OA?OB， ??AOF+?BOE,90?( 又 ??BOE+?OBE,90?， ??AOF,?OBE( ?Rt?AFO?Rt?OEB( BEOEOB?( ,,,2OFAFOA ?BE,2，OE,4( ?B(4，2)(………………………………(2分) 2(2)设过点A(,1，2)，B(4，2)，O(0，0)的抛物线为y=ax+bx+c( 1,a,,,2a,b，c,2,,,3,,?16a，4b，c,2,解之，得 b,,,,,2,,c,0.,c,0.,,, 132?所求抛物线的表达式为(…………(5分) y,x,x22 (3)由题意，知AB?x轴( 设抛物线上符合条件的点P到AB的距离为d， 11则S,( AB,d,AB,AF?ABP22 ?d,2( ?点P的纵坐标只能是0或4(……………………(7分) 132令y,0，得，解之，得x,0，或x,3( x,x,022 ?符合条件的点P(0，0)，P(3，0)( 12 3,41132令y,4，得，解之，得( x,x,x,4222 3,413，41?符合条件的点P(，4)，P(，4)( 3422 ?综上，符合题意的点有四个: 3,413，41P(0，0)，P(3，0)，P(，4)，P(，4)(……(10分) 123422 (评卷时，无P(0，0)不扣分) 1 2009安徽省(已知某种水果的批发单价与批发量的函数关系如图(1)所示( (1)请说明图中?、?两段函数图象的实际意义( 金额w(元) 【解】 批发单价(元) ? 5 300 ? 4 200 100 20 60 O 批发量(kg) O 20 40 60 批发量m(kg) 第23题图(1) 日最高销量(kg) (2)写出批发该种水果的资金金额w(元)与批发量m(kg)之间的 函数关系式;在下图的坐标系中画出该函数图象;指出金额在什 80 (6，80) 么范围内，以同样的资金可以批发到较多数量的该种水果( 【解】 40 (7，40) (3)经调查，某经销商销售该种水果的日最高销量与零售价之间的函 数关系如图(2)所示，该经销商拟每日售出60kg以上该种水果， 且当日零售价不变，请你帮助该经销商设计进货和销售的方案， O 2 4 6 8 零售价(元) 使得当日获得的利润最大( 第23题图(2) 23((1)解:图?表示批发量不少于20kg且不多于60kg的该种水果， 金额w(元) 可按5元/kg批发;……3分 图?表示批发量高于60kg的该种水果，可按4元/kg批发( ………………………………………………………………3分 300 5mm 2060()??,240 (2)解:由题意得:，函数图象如图所示( w,,200 mm 604(,), 100 ………………………………………………………………7分 由图可知资金金额满足240,w?300时，以同样的资金可 20 40 60 O 批发量m(kg) 批发到较多数量的该种水果(……………………………8分 (3)解法一: wm,,32040设当日零售价为x元，由图可得日最高销量 当m,60时，x,6.5 由题意，销售利润为 2yxmx,,,,,,，(4)(32040)40[(6)4]………………………………12分 y,160当x,6时，，此时m,80 最大值 即经销商应批发80kg该种水果，日零售价定为6元/kg， 当日可获得最大利润160元(……………………………………………14分 解法二: 设日最高销售量为xkg(x,60) 320,xxp,,32040则由图?日零售价p满足:，于是 p,40 3201,x2销售利润………………………12分 yxx,,,,,，(4)(80)1604040 y,160当x,80时，，此时p,6 最大值 即经销商应批发80kg该种水果，日零售价定为6元/kg， 当日可获得最大利润160元(……………………………………………14分 2009安徽芜湖((本小题满分15分) A(10),，O(00)，B(03)，如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为，，， ,,O90??ABO将此三角板绕原点顺时针旋转，得到( ,ABB、、(1)如图，一抛物线经过点，求该抛物线解析式; ,PPBABP(2)设点是在第一象限内抛物线上一动点，求使四边形的面积达到最大时点的坐标及面积的最大值( y 3 2 B ,A 1 ,B A x ,12 1 O ,1 第24题图 AB(10)(30),，，′，(解:(1)?抛物线过 yaxxa,，,,(1)(3)(0)(设抛物线的解析式为 ?????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分 B(03)，又?抛物线过，将坐标代入上解析式得: 31(3)1,，,,,aa?，(？,,，,yxx(1)(3)( ?????????????????????????????????????????????????????????????? 4分 2即满足条件的抛物线解析式为yxx,,，,，(31)3( ?????????????????????????????????????????????????????? 5分 y P(2)(解法一):如图1，?为第一象限内抛物线上一动点， 3 Pxy()，，xy,,00，(设则 2 P 2B Pyxx,,，,，(31)3(点坐标满足 ,A 1 PBPOPB，，′(连接 ,B A ？,，，SSSS 2 ,1 1 O ???′BAOPBOPOB四边形′PBABx ,1 3333 ,，，,，，xyxy(1)第24题答案图1 2222 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 8分 2，，,,333743，2，，,,xxxx,，,，，,,,，(31)31= ????????????????????????????????? 12分 ,,，，,,2224,,,,，， 3S当时，最大( x,四边形′PBAB2 ,,3323，323，P，此时，(即当动点的坐标为时， ????????????????????????????????????? 14分 y,,,,,244,, 1273，S最大，最大面积为 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 15分 四边形′PBAB8y PBB′，(解法二):如图2，连接为第一象限内抛物线上一动点， 3 E F ?′ABB？,，SSS，且的面积为定值， ?′?′ABBPBB四边形′PBAB2 P B G ？SS最大时必须最大( ?′PBB四边形′PBAB1 l ,A ,B A PBB′BB′S?长度为定值，?最大时点到的距离最大( ?′PBB,12 1 O x BB′,1 即将直线向上平移到与抛物线有唯一交点时， PBB′到的距离最大( ?????????????????????????????????????????????????????????????????????? 6分 第24题答案图2 BB′lyxm,,，，设与直线平行的直线的解析式为 yxm,,，,,联立 ,2yxx,,，,，(31)3,, 2xxm,，,,330(得 2,,,,,(3)4(3)0m(令 33l解得此时直线的解析式为: ???????????????????????????????????????????????? 9分 m,，3(yx,,，，3(44 ,33,x,,yx,,，，3,,2解得 4,,323，2,,yxx,,，,，(31)3y,,,,4 ,,3323，P，l?直线与抛物线唯一交点坐标为 ??????????????????????????????????????????????????????????? 10分 ,,,,24,, 33ylE，设与轴交于则 BE,，,,33(44 332BBFl,F，Rt?BEF过作于在中， ，,？,,FEBBF45sin45?(?(48 32PPBB′PGBB,′G，过作于则到的距离?????????????????????????????????????????????? 13分 dBF,,(8 PBAB′此时四边形的面积最大( 111132S?的最大值= ABOBBBd??,，,,，，，，，(31)36四边形′PBAB22228 1273， ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 15分 ,(8 2009福州市((满分14分) 已知直线l:y=,x+m(m?0)交x轴、y轴于A、B两点，点C、M分别在线段OA、AB上，且OC=2CA，AM=2MB，连接MC，将?ACM绕点M旋转180?，得到?FEM，则点E在y轴上, 点F在直线l上;取线段EO中点N,将ACM沿MN所在直线翻折，得到? CPMG，其中P与A为对称点.记:过点F的双曲线为，过点M且以B为顶点的抛物线为1 CC，过点P且以M为顶点的抛物线为. 23 CC(1) 如图10，当m=6时:?直接写出点M、F的坐标; ?求、的函数解析式; 21 C(2)当m发生变化时: ?在的每一支上，y随x的增大如何变化,请说明理由。?1 CC若、中的y都随着x的增大而减小,写出x的取值范围。 23 22(解:(,)?点,的坐标为(,，,)，点,的坐标为(,,，,)(…………………… 2分 kk,0)C? 设的函数解析式为(( y,1x C ?过点,(,,，,) 1 16C ?的函数解析式为( y,,1x C?的顶点,的坐标是(,，,) 2 2Cyaxa,，,6(0)?设的函数解析式为( 2 C?过点M(2，4) 2 4a，6,4? 1a,,( 2 12C?的函数解析式为(……………………6分 y,,x，622 (2)依题意得，A(m，,)，B(,，m)， 1214?点,坐标为()，点,坐标为(，)( m,m,mm3333 kk,0)C?设的函数解析式为(( y,1x 14C?过点,(，) ,mm133 42k,,m?( 9 m,0? k,0? C?在的每一支上，y随着x的增大而增大( 1 1?答:当,,时，满足题意的x的取值范围为 0,x,; mm3 1当,,时，满足题意的x的取值范围为,x,,(……………14分 mm3 y EF B MN OCAx l 122009龙岩市((14分)如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于Cy,x，mx，n2 点，四边形OBHC为矩形，CH的延长线交抛物线于点D(5，2)，连结BC、AD. (1)求C点的坐标及抛物线的解析式; (2)将?BCH绕点B按顺时针旋转90?后 再沿x轴对折得到 ?BEF(点C与点E对应)，判断点E是否落在抛物线上，并说明理由; (3)设过点E的直线交AB边于点P，交CD边于点Q. 问是否存在点P，使直线PQ 3两部分,若存在，求出P点坐标;若不存在，请说分梯形ABCD的面积为1? 明理由. 26((14分) 解:(1)?四边形OBHC为矩形，?CD?AB， 5，2)， 又D( ?C(0，2)，OC=2 . …………………………… 2分 n,25,,m,,,, ? 解得 2,1,2mn,5，5,，,2,,n,22,, 152 ?抛物线的解析式为: …… 4分 y,x,x，222 (2)点E落在抛物线上. 理由如下:……… 5分 152 由y = 0，得. x,x，2,022 解得x=1，x=4. ?A(4，0)，B(1，0). ……………………………… 612 分 ?OA=4，OB=1. 由矩形性质知:CH=OB=1，BH=OC=2，?BHC=90?， 由旋转、轴对称性质知:EF=1，BF=2，?EFB=90?， ?点E的坐标为(3，,1). ………………………………………………… 7 分 151522 把x=3代入，得， y,x,x，2y,,3,,3，2,,12222 ?点E在抛物线上. …………………………………………………………… 8 分 (3)法一:存在点P(a，0)，延长EF交CD于点G，易求OF=CG=3，PB=a ,1. S= 5，S= 3，记S= S，S= S， 梯形梯形梯形梯形BCGF ADGF BCQP 1ADQP 2 下面分两种情形: 1 ?当S?S=1?3时，， S,(5，3),2,512 14 此时点P在点F(3，0)的左侧，则PF = 3,a， PFEF1由?EPF??EQG，得，则QG=9,3a， ,,QGEG3 ?CQ=3,(9,3a) =3a ,6 19由S=2，得，解得;………………… 11分 a,(3a,6，a,1),2,2142 3 ?当S?S=3?1时， S,(5，3),6,51214 此时点P在点F(3，0)的右侧，则PF = a,3， 由?EPF??EQG，得QG = 3a,9，?CQ = 3 +(3 a,9)= 3 a,6， 113，解得. 由S= 6，得a,(3a,6，a,1),2,6142 139综上所述:所求点P的坐标为(，0)或(，0)……… 14分 44 法二:存在点P(a，0). 记S= S，S= S，易求S= 8. 梯形梯形梯形BCQP 1ADQP 2ABCD 当PQ经过点F(3，0)时，易求S=5，S= 3， 12 此时S?S不符合条件，故a?3. 12 1,k,,3k，b,,1,,a,3设直线PQ的解析式为y = kx+b(k?0)，则，解得， ,,ak，b,0a,,b,,,a,3, 1ay,x,?. 由y = 2得x = 3a,6，?Q(3a,6，2) ……… 10a,3a,3 分 1?CQ = 3a,6，BP = a,1，. S,(3a,6，a,1),2,4a,712 下面分两种情形: 11?当S?S= 1?3时，= 2; S,S,，812 1梯形ABCD44 9 ?4a,7 = 2，解得;……………………………………………… 12a,4 分 33?当S?S= 3?1时，; S,S,，8,612 1梯形ABCD44 13 ?4a,7 = 6，解得a,; 4 139综上所述:所求点P的坐标为(，0)或(，0)………… 14分 44913[说明:对于第(3)小题，只要考生能求出a,或a,两个答案，就给6分. ] 44 lE01，,2009莆田市((14分)已知，如图1，过点作平行于轴的直线，抛物线x，， 12ABFAB、y上的两点的横坐标分别为1和4，直线交轴于点，过点,yx,4 DAB、CCFDF、l分别作直线的垂线，垂足分别为点、，连接( ABF、、(1)求点的坐标; CFDF,(2)求证:; 12PPPQPO?(3)点是抛物线对称轴右侧图象上的一动点，过点作交轴yx,x4 PQ?OPQ?CDF于点，是否存在点使得与相似,若存在，请求出所有符合条件 P的点的坐标;若不存在，请说明理由( y y B F F A O x O x E D C l E D C (图1) 备用图 (第25题图) 1x,,125((1)解: 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 一，如图1，当时, y,4 y,4x,4当时, 1,,y ? ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 1分 A,1，,,4,,B B44， ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分 F ，，A O x ABykxb,，设直线的解析式为 ????????????????????????????????????????????????????? 3分 l E D C (图1) 13,,k,,，,kb,,则 解得 44,, ,,b,144kb，,,, 3AB?直线的解析式为 ???????????????????????????????????????????????????? 4分 yx,，14 y,1x,0当时, ？F01， ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 5分 ，， y AHBD,AB、FGBD,方法二:求两点坐标同方法一,如图2,作,,B HyGNFOMG垂足分别为、,交轴于点,则四边形和四边形 F G A NOMHFOx,均为矩形,设 ??????????????????????????????????????????????????????????? 3分 H M O x ???BGFBHA l E D C (图2) BGFG ？,BHAH 44,x ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分 ？,154,4 x,1解得 ？F0，1 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 5分 ，， CEEF,,1,2Rt?CEF(2)证明:方法一:在中， 22222？,，,，,CFCEEF125 ？,CF5 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 6分 Rt?DEFDEEF,,42，在中， 22222？,，,，,DFDEEF4220 ？,DF25 CD,,,1141，，，由(1)得 ，，，， ？,CD5 22？,,CD525 222？，,CFDFCD ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 7分 ？，,CFD90? CFDF????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 8分 ？ 2355,,AFAC,，,,1，方法二:由 (1)知 ,,444,, ？,AFAC ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 6分 BFBD,同理: ？，,，ACFAFC ACEF? ？，,，ACFCFO ？，,，AFCCFO ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 7分 ，,，BFDOFD同理: ？，,，，，,CFDOFCOFD90? CFDF?即 ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 8分 (3)存在. MPMx?解:如图3，作轴，垂足为点 ????????????? 9分 PQOP?又 y P F O M Q x l E D C 图3 ？RtRt???OPMOQP PMOM ？,PQOP PQPM ??????????????????????????????????????????????????????????? 10分 ？,OPOM 11,,22设，则 Pxxx，,0PMxOMx,,，，，,,44,, RtRt???QPOCFD?当时， PQCF51????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 11分 ,,,OPDF225 12xPM14？,, OMx2 x,2解得 ？P21， ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 12分 ，，1 RtRt???OPQCFD?当时， PQDF25 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 13分 ,,,2OPCF5 12xPM4？,,2 OMx x,8解得 ？P816， ，，2 ?OPQ?CDFP21，P816，综上，存在点、使得与相似. ???????????????????????????????????????? 14分 ，，，，12 12yAB、26((满分14分)如图1，已知:抛物线与轴交于两点，与轴yxbxc,，，x2 1CBC、AC交于点，经过两点的直线是，连结( yx,,22 BBC、C(1)两点坐标分别为(_____，_____)、(_____，_____)，抛物线的函数关 系式为______________; ?ABC(2)判断的形状，并说明理由; ?ABCDEFCDEF、、、G?ABC(3)若内部能否截出面积最大的矩形(顶点在各 AB边上),若能，求出在边上的矩形顶点的坐标;若不能，请说明理由( 2,,bacb4,2yaxbxc,，，,,[抛物线的顶点坐标是] ,,24aa,, y y O A O A B x B x C C 图1 图2(备用) (第26题) BC02)(，,)(4，0)，( ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分 26((1 132( ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分 yxx,,,222 ?ABC(2)是直角三角形( ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 5分 132y,0证明:令，则( xx,,,2022 ？,,,xx14，( 12 ？,A(10)，(????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 6分 ？,,,ABACBC5525，，解法一:( ??????????????????????????????????????????????????????????????????????? 7分 222？，,，,,ACBCAB52025( ？?ABC是直角三角形( ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 8分 COAO1解法二: AOCOBO,,,？,,124，，，BOOC2 ，,，,AOCCOB90?， ？???AOCCOB( ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 7分 ？，,，ACOCBO( ，，，,CBOBCO90?， ？，，，,ACOBCO90?，,ACB90?(即( ？?ABC是直角三角形( ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 8分 ABH?COGF(3)能(当矩形两个顶点在上时，如图1，交于( y GFAB?， ？???CGFCAB( GFCHE D ( ??????????????????????????????????????????????????????????????? 9分 ？,O A B x ABCO F H G C 图1 2GFx,DEx,解法一:设，则，， CHx,5 2( DGOHOCCHx,,,,,25 22,,2 ？,,,,，Sxxxx?22矩形DEFG,,55,, 2255,,=(????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 10分 ,,，x,,522,, 5S当时，最大( x,2 5( ？,,DEDG，12 ???ADGAOC， ADDG11( ？,？,？,,，，，ADODOE2AOOC22 1,,E(20)，，( ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 11分 ？,D，0,,2,, 105,xDGx,解法二:设，则( DEGF,,2 105555,x22( ???????????????????????????????????????????????? 10分 ?？,,,，,,,，Sxxxx5(1)矩形DEFG2222 x,1S当时，最大( ？ 5( ？,,DGDE1，2 ???ADGAOC， ADDG11( ？,？,？,,，，，ADODOE2AOOC22 1,,E(20)，，( ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 11分 ？,D，0,,2,, y ABF?C当矩形一个顶点在上时，与重合，如图2， D DGBC?， O A B x ？???AGDACB( G G C GDAG( ？,BCAF 图2 GDx,？,,ACBC5,25解法一:设，， x( ？,,,,GFACAG52 x1,,2 ?？Sxxx,,,,，55矩形DEFG,,22,, 215=( ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 12分 ,,，x5，，22 Sx,5当时，最大( 55322，( ？,OD？,,GDAG5，？,，,ADAGGD222 3,, ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 13分 ？D，0,,2,, DEx,AC,5BC,25解法二:设，，， ？,GCxAGx,,5？,,GDx252，(( 2 ？,,,,，Sxxxx?252225，，矩形DEFG 2,,55,,，2x= ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 12分 ,,,,22,, 5S当时，最大， ？x,2 55322(( ？,,GDAG5，？,OD.？,，,ADAGGD222 3,, ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 13分 ？D，0,,2,, 1,,AB综上所述:当矩形两个顶点在上时，坐标分别为，(2，0); ,，0,,2,, 3,,AB当矩形一个顶点在上时，坐标为 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 14分 ，0,,2,, 2009福建((本题满分14分) 12如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于A(1，0)、 yxbxc,,，，2B(5，0)两点( (1)求抛物线的解析式和顶点C的坐标;(4分) (2)设抛物线的对称轴与x轴交于点D，将?DCB绕点C按顺时针方向旋转，角的两边 090,,?CD和CB与x轴分别交于点P、Q，设旋转角为()( , ?当等于多少度时，?CPQ是等腰三角形,(5分) , BPtAQs,,，?设，求s与t之间的函数关系式((5分) 1,,，，,bc0,,,223(解:(1)根据题意，得 ???????????????????????????????????????????????????????????????????? 1分 ,25,,，，,50.bc,,2 b,3,,, 解得 ?????????????????????????????????????????????? 2分 ,5c,,.,,2 152? ????????????????????????????????????????????????????????? 3分 yxx,,，,322 12 = ,,，(3)2x2 ?顶点C的坐标为(3，2)( ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分 (2)??CD=DB=AD=2，CD?AB， ??DCB=?CBD=45?( ??????????????????????????????????????????????? 5分 1?)若CQ=CP，则?PCD=?PCQ=22.5?( 2 ?当=22.5?时，?CPQ是等腰三角形(??????????????? 6分 , ?)若CQ=PQ，则?CPQ=?PCQ=45?， 此时点Q与D重合，点P与A重合( ?当=45?时， , ?CPQ是等腰三角形( ?????????????????????????????????????????????? 7分 ?)若PC=PQ， ?PCQ=?PQC=45?，此时点Q与B重合，点P与D重合( ?=0?，不合题意( ?????????????????????????????????????????????? 8分 , ?当=22.5?或45?时，?CPQ是等腰三角形( ??????????????????????????????????????????????????? 9分 , ?连接AC，?AD=CD=2，CD?AB， 22452222，,??ACD=?CAD=， AC= BC= ?????????????????????????????????????????????????? 10分 045,,??)当时， ??ACQ=?ACP+?PCQ=?ACP+45?( ?BPC=?ACP+?CAD=?ACP+45?( ??ACQ=?BPC( ?????????????????????????????????????????????????????????????? 11分 又??CAQ=?PBC=45?， ??ACQ??BPC( AQAC?( ,BCBP 2222?AQ?BP=AC?BC=×=8?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 12分 4590,,,?)当时，同理可得AQ?BP=AC?BC=8 ?????????????????????????????????????????????? 13分 8?( ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 14分 s,t 2009福建((本题满分12分) 为把产品打入国际市场，某企业决定从下面两个投资方案中选择一个进行投资生产(方案一:生产甲产品，每件产品成本为a万美元(a为常数，且3,a,8)，每件产品销售价为10万美元，每年最多可生产200件;方案二:生产乙产品，每件产品成本为8万美元，每件产品销售价为18万美元，每年最多可生产120件(另外，年销售x件乙产品时((( 20.05x需上交万美元的特别关税(在不考虑其它因素的情况下: yy(1)分别写出该企业两个投资方案的年利润、与相应生产件数x(x为正整数)之12 间的函数关系式，并指出自变量的取值范围;(4分) (2)分别求出这两个投资方案的最大年利润;(4分) (3)如果你是企业决策者，为了获得最大收益，你会选择哪个投资方案,(4分) yax,,(10)21(解:(1) (1?x?200，x为正整数) ???????????????????????????????????????? 2分 1 2yxx,,100.05 (1?x?120，x为正整数) ????????????????????????????????????????????????????? 4分 2 y(2)??3,a,8， ?10-a,0，即随x的增大而增大 ， ???????????????????????????????????? 5分 1 y?当x=200时，最大值=(10-a)×200=2000-200a(万美元) ????????????????????? 6分 1 2yx,,,，0.05(100)500 ? ?????????????????????????????????????????????????????????????????????? 7分 2 y?-0.05,0， ?x=100时， 最大值=500(万美元)????????????????????????????????????? 8分 2 (3)由2000-200a,500，得a,7.5， ?当3,a,7.5时，选择方案一; ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 9分 a,7.5由，得 ， 2000200500,,a ?当a=7.5时，选择方案一或方案二均可; ??????????????????????????????????????????????????????????? 10分 a,7.5由，得 ， 2000200500,,a ?当7.5,a,8时，选择方案二( ??????????????????????????????????????????????????????????????????????? 12分 2yxxk,,，22009甘肃(,12分+附加4分,如图14(1)，抛物线与x轴交于A、B两点， ,3与y轴交于点C(0，)(,图14(2)、图14(3)为解答备用图, k,(1) ，点A的坐标为 ，点B的坐标为 ; 2yxxk,,，2(2)设抛物线的顶点为M，求四边形ABMC的面积; (3)在x轴下方的抛物线上是否存在一点D，使四边形ABDC的面积最大,若存在，请 求出点D的坐标;若不存在，请说明理由; 2yxxk,,，2(4)在抛物线上求点Q，使?BCQ是以BC为直角边的直角三角形( 图14(1) 图14(2) 图14(3) 28(本小题满分16分(含附加4分) k,,3解:(1)， ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 1分 A(-1，0)， ????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分 B(3，0)( ??????????????????????????????????????????????????????????????????????? 3分 (2)如图14(1)，抛物线的顶点为M(1，-4)，连结OM( ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分 33则 ?AOC的面积=，?MOC的面积=， 22 图14(,) ?MOB的面积=6， ???????????????????????????????????????????????????????????? 5分 ? 四边形 ABMC的面积 =?AOC的面积+?MOC的面积+?MOB的面积=9(??????????????????????????????????????????????? 6分 说明:也可过点M作抛物线的对称轴～将四边形ABMC的面 积转化为求1个梯形与2个直角三角形面积的和( 2m,2m,3(3)如图14(2)，设D(m，)，连结OD( 2m,2m,3则 0,m,3， ,0( 33且 ?AOC的面积=，?DOC的面积=， m22 图14(2) 32m,2m,3?DOB的面积=-()， ????????????????????????????????????????????????????????????????????? 8分 2 ? 四边形 ABDC的面积=?AOC的面积+?DOC的面积+?DOB的面积 392= ,m，m，622 33752()=( ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 9分 ,m,，228 75315? 存在点D，使四边形ABDC的面积最大为( ?????????????????????????????????? 10分 ()，,824 (4)有两种情况: 如图14(3)，过点B作BQ?BC，交抛物线于点Q、交y轴于点E，连接QC( 111 ? ?CBO=45?，??EBO=45?，BO=OE=3( ? 点E的坐标为(0，3)( yx,,，3? 直线BE的解析式为( ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 12分 ììyx,,，3，x=-2，x=3，,ïï12 ïï由 解得 íí,2ïïy=5;y=0.yxx,,,2312,ïïîî ? 点Q的坐标为(-2，5)( ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 13分 1 如图14(4)，过点C作CF?CB，交抛物线于点Q、交x轴于点F，连接BQ( 22 ? ?CBO=45?，??CFB=45?，OF=OC=3( ? 点F的坐标为(-3，0)( yx,,,3? 直线CF的解析式为( ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 14分 ììyx,,,3，x=0，x=1，,ïï12 ïï由 解得 íí,2ïïy=-3;y=-4(yxx,,,2312,ïïîî ?点Q的坐标为(1，-4)( ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 15分 2 综上，在抛物线上存在点Q(-2，5)、Q(1，-4)，使?BCQ、?BCQ是以BC为直1212 角边的直角三角形( ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 16分 说明:如图14,4,～点Q即抛物线顶点M～直接证明?BCM为直角三角形同样得22 分( 29((12分)如图18，在平面直角坐标系中，将一块腰长为5的等腰直角三角板ABC放在 ,1第二象限，且斜靠在两坐标轴上，直角顶点C的坐标为(，0)，点B在抛物线 2yaxax,，,2上( (1)点A的坐标为 ，点B的坐标为 ; (2)抛物线的关系式为 ; (3)设(2)中抛物线的顶点为D，求?DBC的面积; ,,,B?ABC(4)将三角板ABC绕顶点A逆时针方向旋转90?，到达的位置(请判断点、,C是否在(2)中的抛物线上，并说明理由( 29(本小题满分12分 ,3解: (1)A(0，2)， B(，1)( ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分 图18 112(2)( ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 3分 yxx,，,222 117(3)如图1，可求得抛物线的顶点D()( ??????????????????????????????????????????????????? 4分 ,,，28 115ykxb,，设直线BD的关系式为， 将点B、D的坐标代入，求得，， b,,k,,44 511? BD的关系式为( ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 5分 yx,,,44 611设直线BD和x 轴交点为E，则点E(，0)，CE=( ,55 161715? ?DBC的面积为(???????????????????????????????????????????????????????????????? 7分 ，，，,(1)2588 y A C′ B E C O x B′ D 图1 ,,,,BBMy?BNy?CPy?C(4)如图2，过点作轴于点M，过点B作轴于点N，过点作轴于点P(????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 8分 y A P C′ B N C O x M B′ 图2 在Rt?AB′M与Rt?BAN中， ? AB=AB′， ?AB′M=?BAN=90?-?B′AM， ? Rt?AB′M?Rt?BAN(??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 9分 ,1? B′M=AN=1，AM=BN=3， ? B′(1，)( ????????????????????????????????????????????????????????????? 10分 同理?AC′P??CAO，C′P=OA=2，AP=OC=1，可得点C′(2，1); ???????????????????????? 11分 112将点B′、C′的坐标代入，可知点B′、C′在抛物线上( ?????????????????? 12分 yxx,，,222 ,事实上～点P与点N重合, 2009肇庆市((本小题满分 10 分) 2xpxq，，，, 10已知一元二次方程的一根为 2( qp(1)求关于的关系式; 2 yxpxq,，，(2)求证:抛物线与轴有两个交点; x 2yxpxq,，，xx(3)设抛物线的顶点为 M，且与 x 轴相交于A(，0)、B(，0)两12 点，求使?AMB 面积最小时的抛物线的解析式( 24((本小题满分 10 分) 2qp,,，(25)2210，，，,pq(1)解:由题意，得，即( ?????????????????????????????????? (2 分) 22xpxq，，,0,,,pq4(2)证明:?一元二次方程的判别式， 222,,，，,，，,，，,ppppp4(25)820(4)40由(1)得， ??????????????????????????? (3 分) 2xpxq，，,0?一元二次方程有两个不相等的实根( ??????????????????????????????????????????????? (4 分) 2yxpxq,，，?抛物线与轴有两个交点( ?????????????????????????????????????????????????????????????? (5 分) x 2,,pqp4,(3)解:抛物线顶点的坐标为， ??????????????????????????????????????????????????? (6分) M,，,,24,, xxp，,,，,122xx，xpxq，，,0?是方程的两个根，? ,12xxq,.,12 22||||()44ABxxxxxxpq,,,，,,,?( ????????????????????????????????????????????????? (7分) 121212 2141qp,22?， ?????????????????????????????????????????????? (8分) SABpqpq,,,,||(4)4?AMB248 222Spq,4pqp,,，，4(4)4最小，只须使最小(而由(2)得， 要使?AMB p,,4,,13，qS所以当时，有最小值4，此时( ???????????????????????????????????????????? (9分) ?AMB 2yxx,,，43故抛物线的解析式为( ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????? (10分) MABCDNBCCD广东省((本题满分9分)正方形边长为4，、分别是、上的两个动 MAMBCMN点， 当点在上运动时，保持和垂直， RtRt???ABMMCN(1)证明:; MyyBMx,ABCN(2)设，梯形的面积为，求与之间的函数关系式;当点运x ABCN动到什么位置时，四边形面积最大，并求出最大面积; MRtRt???ABMAMN(3)当点运动到什么位置时，求此时的值( x A D N B M C 第22题图 ABCD22(解:(1)在正方形中， ABBCCDBC,,,，,，,490，?， AMMN?， ？，,AMN90?， ？，，，,CMNAMB90?， Rt?ABM，，，,MABAMB90?在中，， ？，,，CMNMAB， ？RtRt???ABMMCN， ???????????????????????????????????????????????? 2分 RtRt???ABMMCN(2)， ABBMx4， ？,？,，MCCNxCN4, 2,，xx4， ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分 ？,CN4 2,,1411,，xx22， ?？,,，,,，，,,,，ySxxx4428210，，,,梯形ABCN2422,, yx,2当时，取最大值，最大值为10( ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 10分 ，,，,BAMN90?(3)， AMAB???ABMAMN要使，必须有， ????????????????????????????????????????????????????????????? 7分 ？,MNBM AMAB由(1)知， ,MNMC ？,BMMC， MBC???ABMAMNx,2当点运动到的中点时，，此时( ??????????????????????????????? 9分 ？ (其它正确的解法，参照评分建议按步给分)