高等数学作业集第三章答案
第三章 微分中值
定理
三点共线定理勾股定理的证明证明勾股定理共线定理面面垂直的性质定理
与导数的应用答案
?3.1 微分中值定理
1( 填空
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
,4,(,)函数在上使拉格朗日中值定理结论成立的ξ是( f(x),arctanx[0, 1],
,(,)设,则有 3 个实根,分别位f(x),(x,1)(x,2)(x,3)(x,5)f(x),0
于区间中( (1,2),(2,3),(3,5)
2( 选择题
(,)罗尔定理中的三个条件:在上连续,在内可导,且,是f(x)[a,b](a,b)f(a),f(b)f(x)
,在内至少存在一点,使成立的( B )( (a,b),f(,),0
A( 必要条件 B(充分条件 C( 充要条件 D( 既非充分也非必要条件
(,)下列函数在[,1, 1]上满足罗尔定理条件的是( C )(
1,,xsin, x,0x2f(x),ef(x),1,xA. B. C. D. f(x), f(x),|x|,x
,0, x,0,
x、x(,)若f(x)在(a,b)内可导,且是(a,b)内任意两点,则至少存在一点,,使下式成12
立( B )(
,f(x),f(x),(x,x)f(,),,(a,b)A( 2112
,xx,f(x),f(x),(x,x)f(,),B( 在之间 121212
,f(x),f(x),(x,x)f(,)x,,,xC( 122112
,f(x),f(x),(x,x)f(,)x,,,xD( 212112
,3(证明恒等式:arctanx,arccotx,(,,,x,,)( 2
11,f(x),arctanx,arccotxf(x)证明: 令,则f(x),,,0,所以为一常数( 221,x1,x
,f(x),cf(1),设,又因为, 2
,故 arctanx,arccotx,(,,,x,,)( 2
f(x),f(x),f(x)axx,,f(x)(a,b)4(若函数在内具有二阶导数,且,其中 12312
,,,,xb(x,x),f(,),0,证明:在内至少有一点,使得( 133
[x,x](x,x)f(x),f(x)f(x)证明:由于在上连续,在可导,且,根据罗尔定理知,存在121212
,,,,,(x,x),,(x,x)f(,),0f(,),0[,,,]f(x), 使( 同理存在,使( 又在上 2231121212
,,,,(x,x)f(,),0符合罗尔定理的条件,故有,使得( 13
1
23xx1,x,,,05( 证明方程有且仅有一个实根( 26
23xx1()1证明:设fx,,x,,, 则,根据零点存在定理至f(0),1,0,f(,2),,,0263
少存在一个, 使得(另一方面,假设有x,x,(,,,,,),且x,x,使,,(,2,0)f(,),01212
12,f(x),f(x),0,根据罗尔定理,存在,,(x,x)使,即,这与f(,),01,,,,,012122
23xx121,x,,,0矛盾(故方程只有一个实根( 1,,,,,0262
,c6( 设函数的导函数在上连续,且,其中是介f(x)f(x)[a,b]f(a),0,f(c),0,f(b),0
,之间的一个实数( 证明: 存在, 使成立. 于a,b,,(a,b)f(,),0
证明: 由于在内可导,从而在闭区间内连续,在开区间内可导(又f(x)[a,b]f(x)[a,b](,)ab
,,(,)acf(,),0因为,根据零点存在定理,必存在点,使得( 同理,存在fafc()0,()0,,11,,(,)cb,,,使得f(,),0(因此在,,,上满足罗尔定理的条件,故存在, 使点fx(),,(a,b)2212
,成立( f(,),0
7. 设函数在[0,1]上连续, 在(0,1)内可导. 试证:至少存在一点,,(0,1), 使 f(x)
,fff()2[(1)(0)].,,,,
2g(x),x 证明: 只需令,利用柯西中值定理即可证明.
8(证明下列不等式
sinx(,)当时,( ,cosx0,x,,x
证明: 设f(t),sint,tcostf(t)[0,x],函数在区间上满足拉格朗日中值定理的条件,且
',fxffxx()(0)()(0), 0,,,,,,,f(t),tsint, 故, 即
sinx,xcosx,x,sin,,0 () 0,x,,
sinx因此, 当时,,cosx( 0,x,,x
a,baa,b,ln,(,)当 时,( a,b,0abb
f(x),lnx[,]ba证明:设,则函数在区间上满足拉格朗日中值定理得条件,有
'fafbfabba()()()(),,,,,,,,
a11111'ln(),,ab,,ba,,,因为,所以,又因为,所以,从而 fx(),bab,,x
a,baa,b,ln, ( abb
2
?3.1 洛毕达法则
1( 填空题
cos5x5(,) lim,,,3cos3xx,2
1ln(1),x(,) 0 lim,x,,,arctanx
111(,)= lim(,)2x,0xx3tanx
x(,)1 lim(sin)x,,,0x
,(选择题
(,)下列各式运用洛必达法则正确的是( B )
nln1limlimnn,,n,,nnA( e,1 limn,e,n,,
xsinx1cosx,,limlimB( ,,,x,0x,0xsinx1cosx,,
1112xsin2xsincos,xxxC( 不存在 limlim,x,0x,0sinxcosx
x1D( lim=lim,1 xxx,0x,0ee
(,) 在以下各式中,极限存在,但不能用洛必达法则计算的是( C )
2nxx,sinx1xtanxlimA( B( C( D( lim()limlimx,x,0,,,xx,,,x0sinxxxe
3( 求下列极限
mmx,alim(,)( nnx,ax,a
m,mm1mxmx,am,nlimlim,a解: =( n,nn1xax,a,nnxx,a
x,x2,2,2lim(,)( 20x,x
,x,xxxx2,x22(ln2)2(ln2)2ln22ln22,2,2,,2limlim(ln2)lim解: ===( 2,00xx,0x,2x2x
3
sinx,tanx(,) ( lim3x,0x
12x,(,x)sinx,tanxtanx(cosx,1)12解:,,( lim,lim,lim333x,0x,x,002xxxxesinx1,,(,) ( lim2,0x(arcsinx)
xxxxcossin1e,sinx,1e,xe,xesinx1,,limlim,lim,解:,,( lim22x0,,0,0xx,0x222xx(arcsinx)
xx,xlim(,)( ,1x1,x,lnx
xx,(x),x(1,lnx)解: ,
12xx,,,x(1lnx)xxxx,x1,x(1,lnx)xlim,, limlim,1xx,11,x111,x,lnx,1,,2xxx,22x,1( ,lim[x(1,lnx),x],2x,1
11,(,) ( lim()xx,0xe,1
12xx11ex11,,2解:lim()limlim,,,, xx2x,x,x,000x2e1x(e1)x,,
1tanx(,) ( lim(),,x0x
12xxlnsinx,xx,,limtanlnlimlimlim12,,,,xtanxxcot,xcscxxxx,,,,0000解:( lim(),e,e,e,e,1,x,0x
3xlimln(1,2)ln(1,)(,)( ,,,xxx2ln2xx3,3ln(12)xx,12解: limln(1,2)ln(1,)= ,,,limln(12)3lim3lim,,,,,,,,,,,,xxxxxxx1
x23ln2lim==( 3ln2xx,,,1,2
nlimn(,) ( ,,n
11xlimlnlimxnx,,x,,xxlimnlimx,e,e,1解: 因为,所以=1( x,,,,n
4
?3.3 泰勒
公式
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42f(x),x,3x,4,(按的幂展开多项式( x,1
3,,f(x),4x,6x,f(1),10解: ,
(4)(5),,,,,f(1),18,f(1),24,f(1),24f(x),0 同理得,且(
42234f(x),x,3x,48,10(x,1),9(x,1),4(x,1),(x,1)由泰勒公式得:=(
2xf(x),xen2( 求函数的带有佩亚诺型余项的阶麦克劳林公式(
2nxxxxne,1,,,?,,o(x), 解:因为1!2!n!
所以
22n,34nxxxxxx22n,2n2x[1()],,,,,x,,,?,,o(x)xoxf(x),xe==( 1!2!(2)!,1!2!(n,2)!n
x22,p(x),;(x)3( 求一个二次多项式p(x),使得( xxx2,,,f(x),2f(x),2ln2f(x),2(ln2)解:设,则,(
2,,,f(0),1,f(0),ln2,f(0),(ln2),
2ln2(ln2)x222,1,x,x,;(x)故 , 1!2!
2(ln2)2p(x),1,xln2,x则 为所求( 2
12xx4(利用泰勒公式求极限( lim[,ln(1,)]x,,x
1123()()1113xx,,,,,o解:因为 , ln(1)(())xxx23
1123()()111111223xxx,x,x,x,,,o所以 ln(1)=[(())]=,,o(), xxx2323xx111112lim[xxln(1)]lim[o()]故 ,,,,,,( x,,x,,x23xx2
f(x),,,f(x)(0,1),f(,),05( 设有三阶导数,且lim,0,f(1),0,证明在内存在一点,使( 2x,0x
fx(),,,f(0),0,f(0),0,f(0),0证明: 因为 lim,0,所以( 2x,0x
,,,,,,,,f(0)f()f(),,233,f(x)f(0)f(0)xxxxx,由麦克劳林公式得: (介于0与之,,,,,2!3!3!,,,()f,,,,(1)f(,),0f(1),0间),因此 ,由于,故( f,3!
5
?3.4函数的单调性与曲线的凹凸性 1( 填空题
1122y,4x,ln(x)(,) 函数的单调增加区间是,单调减少区间(,,0):(,,,)22
11( (,,,,):(0,)22
f(x),,F(x),(,)若函数二阶导数存在,且,则在上f(x)f(x),0,f(0),00,x,,,x是单调 增加 (
2y,ax,1a(,)函数在内单调增加,则( (0,,,),0
3932y,ax,bxa,(,)若点(1,3)为曲线的拐点,则,,曲线的凹区间为(,,,1),,b,22凸区间为(1,,)(
2( 单项选择题
(,)下列函数中,( A )在指定区间内是单调减少的函数.
,xxy,2y,e A. (,,,,,) B. (,,,0)
C. y,lnx (0,,,) D. y,sinx (0,,)
1,(,)设f(x),(x,1)(2x,1),则在区间内( B )( (,1)2
A. y,f(x)单调增加,曲线y,f(x)为凹的
B. y,f(x) 单调减少,曲线y,f(x)为凹的
y,f(x)y,f(x)C. 单调减少,曲线为凸的
,(y,f(x)y,f(x)单调增加,曲线为凸的
,x,xx,xf(x),f(x)(,)f(x)在(,,,,,)内可导, 且,当 时, ,则( D ) 121212
,,x,f(x),0x,f(,x),0A. 任意 B. 任意
C. f(,x),f(,x)单调增 D. 单调增
f(x)[0,1](,)设函数在上二阶导数大于0, 则下列关系式成立的是( B )
,,,,f(1),f(0),f(1),f(0)f(1),f(1),f(0),f(0)A. B.
,,,,f(1),f(0),f(1),f(0)f(1),f(0),f(1),f(0)C. D. 2( 求下列函数的单调区间
xy,e,x,1(,)(
x,,y,e,1y,0[0,,,)解:,当时,,所以函数在区间为单调增加; x,0
,y,0(,,,0] 当时,,所以函数在区间为单调减少( x,0
32(,)(yxx,,(25) 1,103,y,x(x,1)解:, 3
6
,当,或时,,所以函数在区间为单调增加; y,0(,,,0]:[1,,,)x,1x,0
,当时,,所以函数在区间为单调减少( y,0[0,1]01,,x
2(,) y,ln(x,1,x)
x1,211,x,解: ,故函数在单调增加( (,,,,,)y,,,022x,1,x1,x
( 证明下列不等式 3
|a,b||a||b|,,a(,)证明: 对任意实数和, 成立不等式( b1,|a,b|1,|a|1,|b|
x1,f(x),,0证明:令f(x),,则, 在内单调增加. f(x)[ 0 , ,, )21,x(1,x)
于是, 由 , 就有 , 即 |a,b| , |a|,|b|f( |a,b| ),f( |a|,|b| )
|a,b||a|,|b||a||b||a||b|,,,,, 1,|a,b|1,|a|,|b|1,|a|,|b|1,|a|,|b|1,|a|1,|b|
2(x,1)lnx,(,)当时, ( x,1x,1
1'证明:设f(x),(x,1)lnx,2(x,1), ,由于当时,f(x),lnx,,1x,1x
11,,,,,f(x)[1,,,)f(x),f(1),0f(x), 因此在单调递增, 当 时, , 故在fx()0,,,x,12xx
[1,,,)单调递增, 当 时, 有f(x),f(1),0.故当时,f(x),(x,1)lnx,2(x,1),0, x,1x,1
2(x,1)lnx,因此( x,1
3xx,x,sin(,)当 时,( x,06
32xx,,,()sinf(x),cosx,1,,0fx,x,x,证明:设, ,当,fxxx()sin0,,,, x,062
,,,f(x)[0,,,)f(x),f(0),0f(x)[0,,,)所以在单调递增, 当 时, , 故在单调递增, 从x,0
3xsinx,x,f(x),f(0),0而当 时, 有. 因此当 时,( x,0x,06
,,x,sinx,k4( 讨论方程(其中为常数)在(0,)内有几个实根( k22
,,,,()x解:设()sin,xxxk,,, 则在[0,]连续, 且(0),,k,(),,k, ,,,222
,2,, 由()1cos0xx,,,,得,为(0,)内的唯一驻点( xarccos,,22
7
22,在上单调减少,在上单调增加( ,()x[arccos,][0,arccos],2,
2,22,4,(arccos),arccos,,k 故为极小值,因此在的最大值是,最,(x)[0,],,k22,,
22,,4arccos,,k小值是( 2,
2,,24,k,,arccos (,) 当或时,方程在内无实根; k,0,(0,)22,
22,,4arccos,,k,0(,) 当时,有两个实根; 2,
2,,24k,,arccos (,) 当时,有唯一实根( 2,
32y,ax,bx,cx,d( 试确定曲线中的a、b、c、d,使得处曲线有水平切线,5(1,,10)x,,2
为拐点,且点(,2,44)在曲线上(
2,,,y,3ax,2bx,c解: ,y,6ax,2b,所以
2,3(2)2(2)0abc,,,,,
,620ab,,, ,abcd,,,,,10,32,abcd(2)(2)(2)44,,,,,,,,
解得: a,1,b,,3,c,,24,d,16(
6(求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间
xy,x,(,) 2x,1322x,6xx,1,,,解: , , y,y,1,2223(x,1)(x,1)
,,,,令y,0,得,当时y不存在( x,0x,,1
,,,,当或时, ,当或时, ( y,0y,0,1,x,0x,1x,,10,x,1
xy,x,故曲线在(,,,,1):(0,1)上是凸的, 在区间和(,1,0):(1,,,)上是凹的, 2x,1
(0,0)曲线的拐点为(
32 (,)拐点及凹或凸的区间 y,(2x,5)x
101x,1021x,,,,y,y,解:,( 3339xxx
1,,,,,y,yx,,y,0当时,不存在;当时,( x,02
1113(,,,,)(,,,,)(,,,32)故曲线在上是凸的, 在上是凹的,是曲线的拐点, 222
8
xx7(利用凹凸性证明: 当时, sin,0,x,,,2
1xxx1x1,,,, 则, f(x),,sin( 证明:令f(x),sin,f(x),cos,,,42222
xx,,当时, , 故函数的图形在上是凸的, 从而曲线f(x),0(0,,)f(x),sin,0,x,,,2
在线段(其中)的上方,又, 因此,y,f(x)A(0,f(0)),B(,,f(,)f(0),f(,),0f(x),0AB
xx即( sin,,2
?3.5 函数的极值与最大值最小值 1( 填空题
1xy,x2(,)函数取极小值的点是( x,,ln2
2112233f(x),x,(x,1)f(),(,) 函数在区间[0,2]上的最大值为,最小值为322
( f(0)1,,
2(选择题
,f(x),0(,) 设f(x)在(,,,,,)内有二阶导数,,问f(x)还要满足以下哪个条件,则0
f(x)必是f(x)的最大值,( C ) 0
x,xx,xA( 是f(x)的唯一驻点 B( 是f(x)的极大值点 00
,,,,C( f(x)在(,,,,,)内恒为负 D( f(x)不为零
2,x,,,xf(x),3x[f(x)],1,e(,) 已知f(x)对任意y,f(x)满足,若,fxx()0 (0),,,则( B ) 00
f(x)f(x)f(x)f(x)A. 为的极大值 B. 为的极小值 00
(x,f(x))(x,f(x))f(x)C. 为拐点 D. 不是极值点, 不是拐点 00000
fxfx(),()0xlim,,1xf(x)f(x)(,)若在至少二阶可导, 且,则函数在处( , ) 002x,x0xx(,)0
A( 取得极大值 B( 取得极小值 C( 无极值 D( 不一定有极值
3( 求下列函数的极值
32/3f,,x,x,x(,) ( 2
1,3,fxx()10,,,解:由,得( x,1
9
4,1''3,,fxxf(),(1)0,,,所以函数在点取得极小值( x,13
1xf(x),x(,)(
11lnx1xx,yeyxx,,,, (1ln)解:定义域为,, (0,,,)2x
,,,xe,令得驻点,当时,,当时,( y,0xe,(0,)y,0xe,,,(,)y,0
1
ey(e),e因此为极大值(
32y,2x,3x,12x,144( 求的在上的最大值与最小值( [,3,4]
解:( yy(3)23, (4)132,,,
2,yxx,,,,66120由,得, ( x,1x,,2
而y(1),7,y(,2),34, 所以最大值为132,最小值为7(
5( 在半径为的球内作一个内接圆锥体,问此圆锥体的高、底半径为何值时,其体积最大( RV
12r解:设圆锥体的高为, 底半径为,故圆锥体的体积为, V,, rhh3
12222(h,R),r,R由于,因此 (0,h,2R), V(h),, h(2Rh,h)3
2214R2,r,R由V(h),, (4Rh,3h),0,得h,,此时( 333
,由于内接锥体体积的最大值一定存在,且在(0,2R)的内部取得. 现在V(h),0在(0,2R)内只有一
224Rr,R个根,故当h,, 时, 内接锥体体积的最大( 33
6. 工厂与铁路线的垂直距离为, 点到火车站的距离为. 欲修一条ABCAC20km100km从工厂到铁路的公路, 已知铁路与公路每公里运费之比为,为了使火车站与工厂间的BCD3:5C运费最省, 问点应选在何处, D
解: 设~ 与间的运费为, 则 ByADx,C
2 (), y,5k400,x,3k(100,x)0,x,100
其中是某一正数( k
5x,y,k(,3),0 由 ~ 得, x,152400,x
1y|,5001,y|,380ky|,380ky|,400k 由于~ ~ ~ 其中以为最小~ 因x,x,15100x,15x,025
此当AD,km时~ 总运费为最省( x,15
a7( 宽为的运河垂直地流向宽为的运河. 设河岸是直的,问木料从一条运河流到另一条运河b
去,其长度最长为多少?
10
解: 问题转化为求过点的线段的最大值. 设木料的长度为, ,木料与AC,x,CB,yABCl
河岸的夹角为,则,且 x,y,lt
abx,,y,, costsint
ab,l,, ( t,(0,)costsint2则
asintbcost,l,, , 22costsint
223b3323,tant,l,(a,b)由得, 此时, l,0a
223
332l,(a,b)故木料最长为(
?3.6 函数图形的描绘
3xy,,(求的渐近线. 2(x,1)
3x,,,limy,f(x)解:由 ,所以为曲线的铅直渐近线( x,12x,,1(x,1)
23yxxlim,lim,1,lim(y,x),lim,x,,2因为 22x,,x,,x,,x,,x(x,1)(x,1)
y,x,2y,f(x)所以为曲线的斜渐近线(
3x,22(作函数的图形。 y,22(x,1)
解: 函数的定义域为( ,,,,,,11,,,,,
2xxx,,,2132,,,,,,,,,yy,,, ( 34211xx,,,,,,
11
,,,令,得;令,得(列
表
关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf
讨论如下: y,0x,2, x,,1y,0x,2
x (,1),,,(1,1),(1,2)(2,),, ,12
, y, , , , 00
,, y, , , , , 0
3,,2,3 拐点,,y,fx 极大值 ,, , , , 8
由于
32xxfxx2112,,2,,,,,, , fxxlimlim,,,,lim,,lim,122,,x,,x,,x,,x,,x22,,,,2xx1x,2,1,,
3x21,所以,是曲线的斜渐近线(又因为,所以是曲线的铅垂渐近线( y,x,1lim,,,x,12x,12,,2x1,
3当时y,,1;当y,0时x,2( x,0
综合上述讨论,作出函数的图形如下
3
,2 -1 32 ,8
?3.7 曲率
1( 填空题:
122(x,1),(y,2),9y,kx,b(,) 曲线上任一点的曲率为,上任一点的曲率为__0__( 9
12y,4x,x(,) 曲线在其顶点处曲率为___2____,曲率半径为( 2
12
xx2y,sinx,e(,) 曲线的弧微分( 1,(cosx,e)dxds,
2xy,ax,bx,cy,e2( 求常数,使在处与曲线相切,且有相同的凹向与a、b、cx,0曲率(
2xy,ax,bx,cy,e解: 由题设可知 函数与在处由相同的函数值,一阶导数值,x,0二阶导数值,故
1c,1,b,1,a,( 2
( 曲线弧上哪一点处的曲率半径最小?求出该点的曲率半径( 3y,sinx(0,x,,)
,,,解: , 曲线在一点处的曲率为 y,cosx,y,,sinx
|sin|sinxx K,,332222(1cos)(2sin),,xx
2x2(1),x,fx(),令 , , fx(),352222(2),x(2),x
,当时,f(x),0,故f(x)在[0,1]上单调增加, 因此f(x)在[0,1]上的最大值是f(1),1, 0,x,1
,1即y,sinx(0,x,,)在点处的曲率半径最小, 其曲率半径为( (,1)R,,12K
x,acost,,,0,b4(求椭圆 在点处的曲率及曲率半径( ,y,bsint,
,,,,,,解:x,,asint,y,bcost;x,,acost,y,,bsint
,,,,,,xyxyabb|,|||k,,|,||因此曲率, (0,b)223/222223/2,,axyatbt(,)(sin,cos)
a曲率半径,,1/k,||( b
13
?3.7方程的近似解
51. 试证明方程在区间内有唯一的实根,并用切线法求这个根的近似值,(,1,0)x,5x,1,0
使误差不超过0.01.
54,f(x),x,5x,1,f(x),5x,5,0证明: 令,函数在单调递增(在上f(x)(,1,0)f(x)[1,0],
5连续,且,故方程在区间内有唯一的实根(求近f(,1),,5,0,f(0),1,0(,1,0)x,5x,1,0
似值的过程略(
第三章 综合
练习题
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1(填空题
1,ln(1)1x(,) 0 ( x,,limsinlimxx,,,,0xxarctan
(,) 函数y,x,ln(x,1)在区间(,1,0)内单调减少,在区间(0,,,)内单调增加(
1xx,0和y,0(,) 曲线的渐近线是( y,,ln(1,e)xxcos(,)lim(tanx), 1 ( ,x,,02
2( 求下列极限
1,tanx,1,sinx(,) lim2x,0xln(1,x),x
tanx,sinx11,tanx,1,sinxlim,解:, lim2x,0x,0x[ln(1,x),x]xln(1,x),x1,tanx,1,sinx
xx11,cosx11,costanx1sin,limlimlim,lim,, x,0x,0x,0x,01xxx2ln(1,x),x,,2ln(1)2,1x1,
1sin1xlim(1),,,x,,( x,022x
1111(,sin,cos)cosxxxxlim(,) 1x,,,a1a2x(,)sineex
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11111111111(,sin,cos)cos(,sin,cos)cossincos,,xxxxxxxxxxx解:== limlimlim11,,x,,xx,,11,a2a211a222axxe()()sin(1)sin,,eeeexxxx
111111cos,cos,sin22311xxxxxx( =lim,,2a2ax,,3e3e,4x
123( 求证当时, ( x,x,ln(1,x)x,02
12f(x),ln(1,x),x,x证明: 令, 则 2
21x,fxx()1,,,, , 11,,xx
, 当时, fx()0,,故f(x)在[0,,,)单调增( 当时,有fxf()(0)0,,,即 x,0x,0
12( x,x,ln(1,x)22,x,(a,b)f(x),1,f(x)4( 设f(x)在[a,b]上可导且,证明:存在点使. b,a,4000
,f(x),,F(x),F(x),arctanf(x)|()|证明: 设, 则,且Fx,( 21,f(x)2
F(b),F(a),x,(a,b)由拉格朗日中值定理知, 存在,使, 即 ,F(x)00b,a
,,,,fx()FbFaFbFa(),()|()|,|()|,022,,,,,1( 2baba,,44fx1,()0
5( 设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内具有二阶导数且存在相等的最大值, 且
,,,,f(a),g(a)f(b),g(b),,(a,b)f(,),g(,), , 证明: 存在,使得(
fxgxM()(),,x,x,(a,b)f(x),g(x)证明: 设分别在取得最大值, 则, 且M1212
,,fxgx()()0,,F(x),f(x),g(x)( 令( 12
x,xF(a),F(b),F(x),0,,(a,x),,,(x,b)当时, , 由罗尔定理知, 存在, 使 1211121,,,,,,,,F(,),F(,),0,,(x,x)F(,),0f(,),g(,), 进一步由罗尔定理知, 存在,使,即 1212
x,xF(x),M,g(x),0F(x),f(x),M,0当时, ,,由零点存在定理可知,存在121122
,,[x,x]F(,),0F(a),F(b),0,,(a,b),使( 由于,由前面证明知, 存在,使1121
,,,,,,F(,),0f(,),g(,),即(
1kx,,16( 设,证明方程有且仅有一个正的实根( k,02x
11证明:设f(x),kx,,1( 当,显然,1只有一个正的实根(下考虑时的k,0k,022xx
情况(
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先证存在性: 因为在内连续,且,,由零点存在定f(x)(0,,,)limf(x),,,limf(x),,,x,0x,,,
1理知,至少存在一个,使,即至少有一个正的实根( ,,(0,,,)f(,),0kx,,12x
xx,0,再证唯一性:假设有,且x,x,使f(x),f(x),0,根据罗尔定理,存在121212
22,,,,,,(,)(0,)xxk,,0,使,即,从而k,,0,这与矛盾(故方f(,),0k,01233,,
1程只有一个正的实根( kx,,12x
( 对某工厂的上午班工人的工作效率的研究表明,一个中等水平的工人早上8时开始工作,7
32Q(t),,t,9t,12t在小时之后,生产出个产品(问:在早上几点钟这个工人工作效率最高, t
2,,,,,x(t),Q(t),,3t,18t,12解:因为,, 令,得( 又x(t),Q(t),,6t,18x(t),0t,3
,,时,(函数在上单调增加;当时,,函数在上当xt()[0,3]xt()0,xt()[3,),,xt()0,t,3t,3
单调减少(故当时,x(t)达到最大, 即上午11时这个工人的工作效率最高( t,3
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