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多元函数的极限与连续

多元函数的极限与连续第七章多元函数微分学及其应用 §1 多元函数的极限与连续 I 基本概念与主要结果一平面点集与多元函数 1 平面点集（1）邻域坐标平面上满足某种条件P的点的集合，称为平面点集．并记作 ( )( ){ }Pyxyx 满足条件,,=ε ．特别地定义 1 平面点集 ( )( ) ( ){ }22020, δδ ，称 ( ) ( ) ( ){ }220200, δ∃δ ，使得，则称点 P为 E的内点； EPU ⊂)( 02 外点：若 0>∃δ ，使得 Φ=EPU ...

第七章多元函数微分学及其应用 §1 多元函数的极限与连续 I 基本概念与主要结果一平面点集与多元函数 1 平面点集（1）邻域坐标平面上满足某种条件P的点的集合，称为平面点集．并记作 ( )( ){ }Pyxyx 满足条件,,=ε ．特别地定义 1 平面点集 ( )( ) ( ){ }22020, δ<−+− yyxxyx 和 ( ){ }δδ <−<− 00 ,, yyxxyx 分别称为以为中心的( 00 , yxA ) δ 圆邻域与δ 方邻域，通常均记为 ( )δ,AU ，这里 0>δ ，称 ( ) ( ) ( ){ }220200, δ<−+−< yyxxyx 与 ( ) ( ) ( ){ }0000 ,,,,, yxyxyyxxyx ≠<−<− δδ 分别为点 A的去心圆邻域与去心方邻域，记为 ( )δ,0 AU ．注 1 理解圆邻域与方邻域的关系，并注意在解题中的灵活应用；注 2 去心邻域的表示法，尤其是 A的δ 去心邻域．（2）几类特殊点设点集 2RE ⊂ ，点 2RP∈ ． 01 内点：若 0>∃δ ，使得，则称点 P为 E的内点； EPU ⊂)( 02 外点：若 0>∃δ ，使得 Φ=EPU ∩)( ，则称 P为 E的外点； 03 界点：若 0>∀δ ，有，则称点 P为 E的界点； Φ≠Φ≠ cEPUEPU ∩∩ )(,)( 04 聚点：若 0>∀δ ，有，则称点 P为 E的聚点． Φ≠EPU ∩),(0 δ 2RP∈ ， 2RE ⊂ 为一子集，则P与E之间必有下列三种关系之一： A是E的；或 ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ; , , 外点界点内点 A是E的 ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ . , , 外点孤立点聚点注聚点的等价定义： i）若点 P的任一邻域均含有 E中无穷多个点，则称点 P为 E的聚点； ii）若 E存在中一彼此互异的点列{ }np ，使得 )( ∞→→ nPPn ，则称点 P为 E的聚点．（3）几类特殊点集开集：若E中任一点都是 E内点，则称 E为开集，即 EE int= ．闭集：若 E的所有聚点都属于 E，则称 E为闭集，或等价地：若 cE 是开集，则称 E 为闭集．注 1 有限点集一定是闭集，无聚点的点集一定是闭集；注 2 开集一定是无限集．思考题 1 是否存在既开又闭的集合？在实数空间中有几个这样的集合？思考题 2 证明闭集的两个等价定义．连通性：若E中任意两点都可用完全含于 E中 E的有限条折线连接起来，则称 E具有连通性．开（区）域：具有连通性的非空开集．闭（区）域：开域连同其边界所成的点集．区域：开域、闭域或开域连同其一部分界点所成的点集，统称为区域．有界集：若 ( )rOU ,∃ ，使 ( )rOUE ,⊂ ，则称 E为有界集；否则称为无界集．其中O 表示坐标原点．性质称 ( ) ( )21 , ,sup 21 PPDd DPP ρ ∈ = 为的直径，则有界D D ⇔ ( ) +∞

∀ε ， 0>∃N ，，有 Nn >∀ ( )ε,0PUPn ∈ ，则称点列{ 收敛于点，记作 }nP 0P 0lim PPnn =∞→ 或（0PPn → ∞→n ）（1）注点列收敛的坐标表示：设，，则（1）式等价于： ( )nnn yxP , ( 000 , yxP ) 0PPn → （）∞→n ⇔ 00 , yyxx nn →→ （ ∞→n ）．定理 1（柯西准则）点列{ 收敛的充要条件是：}nP 0>∀ε ， 0>∃N ， Nn >∀ ，，有 +∈∀ Zp ( ) ερ <+ pnn PP , ．定理 2（闭域套定理）设{ 是}nD 2R 中的闭域列，它满足：（1），； 1+⊃ nn DD ",2,1=n （2）， ( ) 0lim = ∞→ nn Dd 则存在唯一的点 nDP ∈0 ，． ",3,2,1=n 定理 3（聚点定理）设 2RE ⊂ 为有界无限点集，则 E在 2R 中至少有一个聚点．推论（致密性定理）有界无限点列{ }nP 必存在收敛子列定理 4（有限覆盖定理）设 2RD ⊂ 为一有界闭域，{ }αΔ 为一开域族，它覆盖了，则在中必存在有限个域 D { αΔ } nΔΔΔ ,,, 21 " ，它们同样覆盖了． D 3 多元函数定义 3 设 nRD ⊂ ，．若按某种对应法则，使得中每一点都有唯一确定的实数与之对应，则称为定义在上的n元函数，记作： Φ≠D f D P z f D , ,: zP RDf 6 → 或 ( ) DPPfz ∈= , ，称为的定义域，为值域，通常记为D f ( )Df ( )Pfz = （有时称之为点函数）．若记，则元函数可记为( )nxxxPP ,,, 21 "= n ( )nxxxfz ,,, 21 "= ．特别地，当时，常记为， 2=n ( )yxfz ,= ( ) Dyx ∈, ，称之为二元函数．要求：会求多元函数的定义域，会画定义域草图和某些简单二元函数的图象．二多元函数的极限（以二元函数为例）及其性质 1 定义定义 4 设为定义在f 2RD ⊂ 上的二元函数，为的一个聚点，0P D A是一个确定的数，若 0>∀ε ， 0>∃δ ，使得当 ( ) DPUP ∩δ,00∈ 时，都有 ( ) ε<− APf ，则称在上当时，以f D 0PP→ A为极限，记作 ( ) APf DP PP = ∈ → 0 lim ．当 DP∈ 不致产生误会时，简记为 ( ) APf PP = → 0 lim ．当，分别采用坐标 ( )，0P P 00 , yx ( )yx, 表示时，则有 ( ) ( ) ( ) Ayxfyxyx =→ ,lim 00 ,, ，或 ( ) Ayxf yy xx = → → ,lim 0 0 ．注函数极限是否存在与定义域有很大关系．定义 5 设为二元函数的定义域，为的聚点．若D f 0P D 0>∀M ， 0>∃δ ，使得当 DPUP ∩),( 0 δ∈ 时，有，则称在上当时存在非正常极限，记作： ( ) MPf > f D 0PP→ ∞+ ( ) +∞= ∈ → Pf DP PP 0 lim ．类似可定义，( ) −∞=→ PfPP 0lim ∞．定义 6（累次极限）设，，，分别是与的聚点，二元函数在集合 = 上有定义．若 xE REy ⊂ 0x 0y xE yE f D xE × yE yEy∈∀ ， 0yy ≠ ，极限 ( )yxf xEx xx ,lim 0∈ → 存在，记作 ( )yϕ ，即 ( ) ( )yyxf xEx xx ϕ= ∈ → ,lim0 且 ( ) Ly yEy yy = ∈ → ϕ0lim ，则称 L为二元函数先对f x（）后对（）的累次极限．记作 0xx→ y 0yy→ ( ) Lyxf xy Ex xx Ey yy = ∈ → ∈ → ,limlim 00 ．类似可定义先后y x的累次极限．定义 5所定义的极限称为重极限． 2 性质定理 5 ( ) DEAPf DP PP ⊂∀⇔= ∈ → 0 lim ，只要是0P E的聚点，就有． ( ) APf EP PP = ∈ → 0 lim 推论 1 设，是的聚点，若DE ⊂1 0P 1E ( ) APf EP PP = ∈ → 1 0 lim 不存在，则不存在． ( )Pf DP PP ∈ → 0 lim 推论 2 设，，是它们的聚点．若极限 DE ⊂1 DE ⊂2 0P ( ) 1 1 0 lim APf EP PP = ∈ → ， ( ) 2 2 0 lim APf EP PP = ∈ → ，且，则不存在． 21 AA ≠ ( )Pf DP PP ∈ → 0 lim 推论 3 ( )Pf DP PP ∈ → 0 lim 存在 { } DPn ⊂∀⇔ ， 0PPn ≠ ，（），都收敛． 0PPn → ∞→n ( ){ }nPf 定理 6 若在存在重极限( yxf , ) )( 00 , yx ( ) ( ) ( )yxfyxyx ,lim 00 ,, → 与累次极限 ( yxf yyxx ,limlim 00 →→ ) ) ，则它们必相等．推论 1 若两个累次极限与重极限都存在，则三者必相等．推论 2 若两个累次极限存在，但不相等，则重极限必不存在．推论 3 若存在，且( yxf yxyx ,lim ),(),( 00→ ( )yxf xx ,lim 0→ 存在，则存在且 ( yxf xxyy ,limlim 00 →→ ) ( )Pf PP 0 lim → = ( )yxf xxyy ,limlim 00 →→ ．几点说明：（1）重极限是否存在与函数定义域有很大关系，如函数 D ( ) ⎩⎨ ⎧ +∞<<∞−<<= ,,0 ,,0,1 , 2 其余部分 xxyyxf 当 { }+∞<<−∞<<= xxyyxD ,0).( 2 时， 1),(lim )0,0(),( = → yxf yx ，而在的余集上，却有 D cD 0),(lim )0,0(),( = → yxf yx ．（2）若，且在每个上极限存在且相等，则在上极限也成立，且相等．当为无限时结论不再成立． kEEED ∪"∪∪ 21= iE D k （3）的方式是任意的，即使沿任何射线趋于时，极限存在且相等，也不能保证重极限存在．如上例，当 0PP→ 0P P 沿 kxy = 趋于 ( )0,0 时极限均为 0，但当 P 沿（）趋于时，极限为 1，从而极限不存在． 2kxy = 10 << k )0,0( （4）两个累次极限存在，但不相等．如 ( ) yx yxyxf + −=, 在 ( )0,0 点．此时重极限一定不存在．（5）两个累次极限都存在且相等，但重极限不存在，如 ( ) 22, yx xyyxf += 在点． ( 0,0 ) （6）重极限存在，但两个累次极限都不存在．如 ( ) ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = ≠+= ,0,,0 ,0,1sin1sin, xy xy x y y xyxf 在点． ( 0,0 ) （7）重极限存在，某一个累次极限存在，另一个累次极限不存在．如 ( ) ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ∈≠= ,,0 ,,0,1sin , 其它 Rxy y xyxf 在点． ( 0,0 ) （8）重极限与累次极限都不存在，如 ( ) ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = ≠+= 0,0 0,1sin1sin, xy xy yxyxf 在点． ( 0,0 ) （9）多元函数极限与一元函数极限具有完全类似的性质，如局部有界性、保序性和四则运算、复合运算等三二元函数的连续性 1 定义定义 7 设为定义在点集f 2RD ⊂ 上的二元函数， DP ∈0 ．若 0>∀ε ， 0>∃δ ， ( ) DPUP ∩δ,0∈∀ ，有 ( ) ( ) ε<− 0PfPf ，则称关于集合在点连续． f D 0P 若在上任何点关于连续，则称为上连续函数． f D D f D 注 1 注意极限与连续定义的差别：在极限定义中，要求是聚点，连续则不要求；但连续要求，而极限不要求． 0P DP ∈0 注 2 孤立点一定是连续点，从而连续点未必存在极限，这是与一元函数不同之处．注 3 若是聚点，则在连续0P ( )Pf 0P ⇔ ( ) ( )0 0 lim PfPf DP PP = ∈ → ．注 4 若是的聚点，而0P D∈ D ( )PfPP 0lim→ 不存在，或 ( )PfPP 0lim→ 存在但不等于，称是的不连续点． ( )0Pf 0P )(Pf 定义 8 设 ( )000 , yxp ， ( )yxp , D∈ ， 0xxx −=Δ ， 0yyy −=Δ ，称 ( ) ( ) ( ) ( ) ( 00000000 ,,,,, yxfyyxxfyxfyxfyxfz )−Δ+Δ+=−=Δ=Δ 为函数在点的全增量；称 f 0P ( ) ( ) ( )000000 ,,, yxfyxxfyxfx −Δ+=Δ ， ( ) ( ) ( )000000 ,,, yxfyyxfyxfy −Δ+=Δ ，分别为关于f x与 y的偏增量．注 1 在连续( )Pf 0P ⇔ ( ) ( )( ) 0lim, 0,0, =Δ∈→ΔΔ zDyxyx ．注 2 全增量一般情形下不等于偏增量之和．注 3 在点连续，则一元函数( yxf , ) )( 00 , yx ( )0, yxf 和 ( )yxf ,0 分别在点与点都连续，但反之不真．例如 0xx = 0yy = ( ) ⎩⎨ ⎧ = ≠= ,0,0 ,0,1 , xy xy yxf 在原点处显然不连续，但 ( ) ( ) 0,00, ≡= yfxf ，因此对f x与均连续． y 定理 7（复合函数的连续性）设函数 ( )yxu ,ϕ= ， ( )yxv ,ψ= 在 ( )δ,0PU 有定义，且在点连续，函数在平面上点0P ( )vuf , uv ( )00 ,vuQ 某邻域有定义，且在连续，其中0Q ( )00 Pu ϕ= ， ( 00 Pv )ψ= ，则复合函数 ( ) ( ) ( )[ ]yxyxfyxg ,,,, ψϕ= 在 ( )00 , yx 连续． 2 连续函数的性质定理 8（有界性与最大、最小值定理）若函数在有界闭域)(Pf 2RD ⊂ 上连续，则在 D上有界，且能取到最大值与最小值． )(Pf 定理 9（一致连续性）若函数在有界闭域)(Pf 2RD ⊂ 上连续，则在 D 上一致连续． )(Pf 定理 10（介值性）设函数在区域)(Pf 2RD ⊂ 上连续，若，且，则对任何满足不等式 DPP ∈21, )()( 21 PfPf < )()( 21 PfuPf << 的实数u，必存在，使得DP ∈0 uPf =)( 0 ．注在这些性质的证明中，有的完全类似于一元函数，有的化为一元函数来证明，特别要注意后一种方法的应用． II曲型例题选讲一多元函数的极限问题例 1（浙江大学 2001）设二元函数在点的附近有定义．试讨论重极限与累次极限之间的关系． ),( yxf ),( 000 yxP ),(lim 0 0 yxf yy xx → → ),(limlim 00 yxf yyxx →→ 解二重极限与累次极限之间没有必然的关系，这是因为（1）重极限存在，累次极限未必存在，如函数 ),(lim 0 0 yxf yy xx → → ),(limlim 00 yxf yyxx →→ ( ) ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = ≠+= ,0,,0 ,0,1sin1sin, xy xy x y y xyxf 在原点的重极限存在且等于 0，但累次极限不存在． )0,0( ),(limlim 00 yxf yyxx →→ （2）累次极限存在，重极限未必存在，如函数 ),(limlim 00 yxf yyxx →→ ),(lim 0 0 yxf yy xx → → ( ) 22, yx xyyxf += ，在原点累次极限存在，但重极限不存在． ( 0,0 ) 但若和都存在，则必相等． ),(lim 0 0 yxf yy xx → → ),(limlim 00 yxf yyxx →→ 事实上，若它们都存在，记 Ayxf yy xx = → → ),(lim 0 0 ， )(),(lim 0 xyxf yy ϕ= → ．由得： Ayxf yy xx = → → ),(lim 0 0 0,0 >∃>∀ δε ，当 ),(),(,, 0000 yxyxyyxx ≠<−<− δδ 时，有 ε<− Ayxf ),( ，在上式中，令得 0yy→ εϕ ≤− Ax)( ，由此可得 Ayxf yyxx = →→ ),(limlim 00 ．例 2 用极限定义证明： ( ) ( ) 0lim 22 2 0,0, =+→ yx yx yx ．证当时，有022 ≠+ yx 2 1 22 ≤+ yx xy ，于是 xx yx xy yx yx 2 10 2222 2 ≤+=−+ 从而 0>∀ε ， εδ =∃ ，使得当 ( ) ( )0,0, ≠yx ， δ∞ ==−=−=−= →→=→ ,1, ,1,0 2 lim1lim sin lim 02020 k k x kee kkx ee kx ee xx x kxx x kxx kxy x 从而极限不存在．例 6 计算下列极限：（1） 44 22 lim yx yx y x + + +∞→+∞→ ；（2） yx x y x x + →+∞→ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ + 2 11lim 0 ；（3） ( )xy y x yx 22 0 0 lim + →→ 解（1）当，时，0>x 0>y 011 2 1 2 1 2222 22 44 22 →⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +≤+≤+ + yxyx yx yx yx ．（2） ee xx yx x x yx x =→⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ + ++ 11111 2 （ +∞→x ，）． 0→y （ 11 →+⇒→ + yx x x yx ）（3） ( ) ，（( ) 10ln22 22 =→=+ + eeyx yxxyxy ( ) ( )0,0, →yx ）．例 7（华师大）函数 ( ) ( )263 44 , yx yxyxf += 在 ( )0,0 点的极限存在吗？若存在，则求其值．解沿取极限可知其极限不存在． 2kyx = 例 8（西北轻工业学院）求 11 lim 0 0 −++→→ yx xy y x （若极限不存在，说明理由）．解由于 )11( 11 +++⋅+=−++ yxyx xy yx xy ，而当沿趋于时，有 ),( yx xkxy −= 2 )0( ≠k )0,0( kkx xkx yx xy x xkxy x 1limlim 2 23 00 2 −=−=+ →−=→ ，即极限值与有关，所以极限k yx xy y x +→→00 lim 不存在．又 2)11(lim 0 0 =+++ →→ yx y x ，故极限 11 lim 0 0 −++→→ yx xy y x 不存在．思考题 1（东南大学）设 ( ) ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = ≠+= ,0,,0 ,0,1sin1sin, xy xy x y y xyxf 试讨论下列三种极限：（1）； ),(lim )0,0(),( yxf yx → （2）； ),(limlim 00 yxf yx →→ （3）． ),(limlim 00 yxf xy →→ 例 9（南京大学）设是在区域( yxf , ) 1: ≤xD ， 1≤y 上的有界次齐次函数（），问极限 k 1≥k ( ) ( ){ }y y x exyxf 1,lim 0 0 −+ →→ （1）是否存在？若存在，试求其值．分析：（1）式中后一极限存在为 1− ，从而只需判定 ( )yxf , 在 ( )0,0 的极限是否存在，由为 k次齐次函数知，，有 f Rt∈∀ ( ) ( )yxfttytxf k ,, = ，因此，．又( ) ( ) (θθθθ sin,cossin,cos frrrf k= )yxf , 有界，故 0>∃M ，使 Mf ≤ ，所以 ( ) ( ) Mrfrrrf kk ≤= θθθθ sin,cossin,cos →0（时关于0→r θ一致）从而整体极限为（亦可利用极限定义证明1− ( ) 0,lim 0 0 = →→ yxf y x ）．例 10（辽宁大学）设 2RD ⊂ 为开集， Dyx ∈),( 00 ，为上的函数，且满足： ),( yxf D （1）对每个的Dyx ∈),( x，有 )(),(lim 0 xgyxf yy = → ；（2）关于)(),(lim 0 yhyxf xx = → Dyx ∈),( 中的一致， y 证明：． ),(limlim),(limlim 0000 yxfyxf xxyyyyxx →→→→ = 证由 D为开集知：，使得0>∃r { } DryyrxxyxG ⊂<−<−= 00 ,),( ．在上，由条件（2）得： G r<<∃>∀ δε 0,0 ，当 δ<−< 00 xx 时， ),( 00 ryryy +−∈∀ ，都有 3 )(),( ε<− yhyxf ，从而当 δδ <−<<−< 0201 0,0 xxxx 时， ),( 00 ryryy +−∈∀ ，有 ε<− ),(),( 21 yxfyxf ，令得 0yy→ ε≤− )()( 21 xgxg ．由柯西收敛准则知存在，即存在，设．又，故 )(lim 0 xg xx→ ),(limlim 00 yxf yyxx →→ Ayxf yyxx = →→ ),(limlim 00 Axg xx = → )(lim 0 δδ <′<∃0 ，当 δ ′<−< 00 xx 时，有 3 )( ε<− Axg ．由条件（1）得：对，),( 00 δ ′∈′ xUx δδ ′<′′<∃0 ，当 δ ′′<−< 00 yy 时，有 3 )(),( ε<′−′ xgyxf ．从而当 δ ′′<−< 00 yy 时，有 ε<−′+′−′+′−≤− AxgxgyxfyxfxhAyh )()(),(),()()( ，即，故Ayh yy = → )(lim 0 ),(limlim),(limlim 0000 yxfyxf xxyyyyxx →→→→ = ．思考题 2 设存在，且( yxf yxyx ,lim ),(),( 00→ ) ( )yxf xx ,lim 0→ 存在，则存在，且 ( yxf xxyy ,limlim 00 →→ ) ( )yxf yxyx ,lim ),(),( 00→ = ( )yxf xxyy ,limlim 00 →→ ．二多元函数的连续性问题例 11（大连理工）设分别在( ) ( )ygxf , [ ]ba, ， [ ]dc, 上连续，定义 ( ) ( ) ( )∫∫ ⋅= ycxa dttgdssfyxF , （ dycbxa ≤≤≤≤ , ）试用“ δε − ”方法证明在( )yxF , [ ] [ ]dcba ,, × 内连续．分析：，有 ( ) [ ] [ dcbayx ,,, 00 ×∈∀ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫∫∫ ⋅−⋅=− 0000 ,, ycxaycxa dttgdssfdttgdssfyxFyxF ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫∫∫ ∫∫∫∫ −+ −≤ 000 0 y c x a y c x a y c x a y c x a dttgdssfdttgdssf dttgdssfdttgdssf ( ) ( ) ( ) ( )∫∫∫∫ ⋅+⋅= yyxaxxyc dttgdssfdssfdttg 000 ，利用与f g的有界性立明．注若不限定使用“ δε − ”语言，利用连续函数的乘积仍为连续函数很容易证明．例 12 若函数分别对( yxf , ) x与连续，试证：当下列条件之一满足时，连续． y ( )yxf , （1）关于其中的一个变量是单调的（陕西师大，1984年）； ( yxf , ) （2）对( )yxf , x 关于 y 一致连续，即 0x∀ ， 0>∀ε ， ( ) 0,0 >=∃ δδδ x ，当 δ<− 0xx 时，对一切 y，恒有 ( ) ( ) ε<− 00 ,, yxfyxf ；（3）对( )yxf , y关于 x一致连续；（4）对其中一个变量满足 Lipschitz条件，即 0>∃L ，使得 21,, yyx∀ 有 ( ) ( ) 2121 ,, yyLyxfyxf −≤− ．（5）设所考虑的范围是某个有界闭区域，而在包含的某个区域上有意义，且在G 上对变量 D f D G x或 y 满足局部 Lipschitz 条件（如对 y 满足局部 Lipschitz 条件：即，，及，使得( ) Gyx ∈∀ 00 , ( ) GyxU ⊂∃ 00 , 0>L ( )1, yx∀ 、 ( ) Uyx ∈∀ 2, ，有 ( ) ( ) 2121 ,, yyLyxfyxf −<− ．证假设关于( yxf , ) x、y连续，关于 y单调， ( )000 , yxM 是任意一点，只需证在连续，即证：∀ ( )yxf , ( 00 , yx ) 0>ε ， ( )δ,0MU∃ ， ( ) ( )δ,, 0MUyx ∈∀ 时，有 ( ) ( ) ε<− 00 ,, yxfyxf ．由于关于连续，因而( yxf , ) y ( )yxf ,0 在 0yy = 连续．对上述 0>ε ， 01 >∃δ ，当 10 δ≤− yy 时 ( ) ( ) 2 ,, 000 ε<− yxfyxf （1）又因对f x连续，从而 ( )10, δ−yxf 、 ( )10, δ+yxf 均在 0xx = 处连续，故对上述 0>ε ， 02 >∃δ ，使得 20 δ≤− xx 时 ( ) ( ) 2 ,, 10010 εδδ <−−− yxfyxf ，（2） ( ) ( ) 2 ,, 10010 εδδ <+−+ yxfyxf ．由（1）和（2）可得，当 20 δ≤− xx ， 10 δ≤− yy 时，恒有 ( ) ( ) ε<− 00 ,, yxfyxf ．事实上，由于 ( )yxf , 关于 y是单调的，不妨设为单增，则有 ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) εεδδ +<++<+≤ 001100210 ,2,,, yxfyxfyxfyxf ， ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) εεδδ −>−−>−≥ 001100210 ,2,,, yxfyxfyxfyxf ，故有 ( ) ( ) ε<− 00 ,, yxfyxf ．（2），( )00 , yx∀ 0>∀ε ， ( ) 0, 011 >=∃ xεδδ （与 y无关），当 10 δ<− xx 时，对一切，都有 y ( ) ( ) 2 ,, 0 ε<− yxfyxf ．又关于( yxf ,0 ) y连续，则在处连续，故对上述0yy = 0>ε ， 02 >∃δ ，使得 20 δ<− yy 时， ( ) ( ) 2 ,, 000 ε<− yxfyxf ．取 { 21,min }δδδ = ，则当 δ<− 0xx ， δ<− 0yy 时有 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ε<−+−≤− 000000 ,,,,,, yxfyxfyxfyxfyxfyxf ．由的任意性知命题为真． ( 00 , yx ) （3）类似于（2）．（4）由 Lipschitz条件可推出条件（2）．（5）利用有限覆盖定理可知此条件可推出条件（4）．例 13（北京大学）设二元函数在),( yxf { }1),( 22 <+= yxyxG 有定义．若在点处连续，且在 G上有界，则在点处连续． )0,(xf 0=x ),( yxf y ),( yxf )0,0( 分析： )0,0()0,()0,(),()0,0(),( fxfxfyxffyxf −+−≤− ．证由假设，存在，使得 0>M GyxMyxf y ∈∀≤ ),(,),( ．微分中值定理得： yMyxfxfyxf y ≤⋅=− ),()0,(),( ξ ，其中ξ介于 0与 y之间．于是， M2 ,0 1 εδε =∃>∀ ，当 10 δ<−y 时，有 2 )0,(),( ε<− xfyxf ．（1）又在点处连续，则)0,(xf 0=x 10 δδ <<∃ ，当 δ<− 0x 时，有 2 )0,0()0,( ε<− fxf ．（2）从而当 δδ <−<− 0,0 yx 时，（1）和（2）式都成立，所以有 ε<−+−≤− )0,0()0,()0,(),()0,0(),( fxfxfyxffyxf ，即在点处连续． ),( yxf )0,0( 例 14 证明：不存在由闭区间到圆周上的一对一连续对应．证（反证法）设 ( ){ πθθ 20, <≤= rK }是某个圆．[ ]ba, 是某个区间，若存在 [ ]到ba, K的一对一连续对应，则 [ 也就一对一连续地对应于区间]ba, [ )π2,0 ，即存在 [ 上的连续函数，使其值域为 [ ]ba, f )π2,0 ，这与闭区间上连续函数性质相矛盾，故命题为真． 2R三上的完备性定理及其应用例 15 设 2RE ⊂ ，则 cE 为开集 E⇔ 的任一聚点都属于E．证法一（反证法）设 cE 为开集，且存在 E的某一聚点 Ep ∉0 ，则，而cEp ∈0 cE 为开集，故 0>∃δ ，使，这样( ) cEpU ⊂δ,0 ( ) Φ=EpU ∩δ,0 ，这与为0p E的聚点矛盾，故． Ep ∈0 已知 E 的任一聚点都属于 E ，则，不是cEp ∈∀ 0 0p E 的聚点，故 0>∃δ ，使得 ( ) Φ=EpU ∩δ,0 ，即，此说明是( ) cEpU ⊂δ,0 0p cE 的内点，由的任意性知0p cE 为开集，故命题为真．证法二设 cE 为开集，则，cEp∈∀ 0>∃δ ，使 ( ) cEpU ⊂δ, ，那么 ( ) Φ=EpU ∩δ, ，此说明不是p E的聚点，即 cE 中点都不是 E的聚点，因此 E的聚点（如果有的话）只能在 E中．反证法．设 cE 不是开集，即，使得cEp ∈∃ 0 0>∀δ ，有 ( ) cEpU ⊄δ,0 ，则 ( ) Φ≠EpU ∩δ,0 ，而，故Ep ∉0 ( ) Φ≠EpU ∩δ,00 ，即是0p E 的聚点，由条件知，矛盾． Ep ∈0 例 16 设为有界闭集，且2, RBA ⊂ Φ=BA∩ ．证明：，这里表示两集合之间的距离． 0),( >BAd ),( BAd 证反证法．若，则由距离的定义知：0),( =BAd 1,, ≥∈∈∃ nBBAA nn ，使得 nBA nn 1< ．（1）若{ }和{ 均为无限集，则由有界性假设知1, ≥nAn }1, ≥nBn { }1, ≥nAn 与{ }均存在聚点，不妨记为，则 1, ≥nBn QP, BQAP ∈∈ , ．由聚点的定义及（1）式知，于是，这与题目中条件矛盾． QP = BAP ∩∈ 若与中只有一个为无限集，不妨设{ }1, ≥nAn { 1, ≥nBn } { }1, ≥nAn 为有限集，为无限集，则{ 中必有无限多项相同，不妨设为，由（1）得，由 B是闭集得，又，即 { 1, ≥nBn } }nA 1A 0),( 1 =BAd BA ∈1 AA ∈1 BAA ∩∈1 ，这与题目中条件矛盾．若{ }与1, ≥nAn { }1, ≥nBn 均为有限集，由上证明易知 Φ≠BA∩ ．综上所述，． 0),( >BAd 例 17 设为有界闭集，且2, RBA ⊂ Φ=BA∩ ．证明：存在开集，使得 DC , Φ=⊂⊂ DCDBCA ∩,, ．证由上例知．记 0),( >= aBAd ⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧ <∈=⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧ <∈= 4 ),(,, 4 ),(, 22 aBPdRPPDaAPdRPPC ，则都是开集，，且DC , DBCA ⊂⊂ , 2 ),( aDCd = ，即 Φ=DC ∩ ．例 18 设在),,( zyxfu = ],[],[],[ bababaD ××= 上连续，证明： ),,(max),( zyxfyxg bza ≤≤ = ，在上连续． ],[],[ baba × 证 ],[],[),( 00 babayx ×∈∀ ，由 ),,( zyxfu = 在上连续知其在上一致连续，即D D 0,0 >∃>∀ δε ，当 δδ <−<−×∈ 00 ,],,[],[),( yyxxbabayx 时，有 ε<− ),,(),,( 00 zyxfzyxf ，即 εε +<<− ),,(),,(),,( 0000 zyxfzyxfzyxf ，从而有 εε +≤≤− ≤≤≤≤≤≤ ),,(max),,(max),,(max 0000 zyxfzyxfzyxf bzabzabza ，此即 εε +≤≤− ),(),(),( 0000 yxgyxgyxg ，所以，在点连续，由的任意性知在 D上连续． ),( yxg ),( 00 yx ),( 00 yx ),( yxg 思考题 3（辽宁师大）设为),,( zyxfu = ],[],[],[ bababaD ××= 上连续函数，记 { }),,(minmax)( zyxfx bzabya ≤≤≤≤ =ϕ ，证明： )(xϕ 在上连续． ],[ ba 例 19（武汉大学）设为连续函数，且当),( yxf )0,0(),( ≠yx 时，，及对任意，有 0),( >yxf 0>c ),(),( yxcfcycxf = ．（1）证明： 0, >∃ βα ，使得 2222 ),( yxyxfyx +≤≤+ βα ．（2）证由连续性假设及（1）式可得 0)0,0( =f ，显然（2）式成立．若，取)0,0(),( ≠yx 22 1 yx c + = ，由（1）式可得 ),(1),( 222222 yxf yxyx y yx xf + = ++ ，由此得 ),(),( 2222 22 yx y yx xfyxyxf ++ ⋅+= ．又 1,1 2222 ≤ + ≤ + yx y yx x ，由连续性假设知 ),( 2222 yx y yx xf ++ 在上必取到最大最小值，分别记为 ]1,1[− ]1,1[−× β 与α ，则由假设知它们均大于 0，于是得 2222 ),( yxyxfyx +≤≤+ βα ．例 20（华东师大 1999）设，为 S的内点，为 S的外点．证明：直线段必与 S的边界至少有一交点． 2RS ⊂ ),( 000 yxP ),( 111 yxP 10PP S∂ 证记C为线段的中点，若 C为 S的界点，则命题已成立；否则 C必为 S的外点或内点，这样点对与中有且仅有一对点满足：一个是外点，另一个是内点，记这样的点对为．记线段的中点为，重复上面的过程，要么在某一次过程中，其中点恰好是界点，否则得一列线段 10PP CP ,0 1,PC 11,BA 11BA 1C { }nnBA ，它显然满足区间套定理的条件，因而存在一点，使得 0Q 0limlim QBA nnnn == ∞→∞→ ，从而 0>∀δ ，，当时，有 0>∃N Nn > ),(),,( 00 δδ QUBQUA nn ∈∈ ，由的构造知是 S的界点． nn BA , 0Q 第七章多元函数微分学及其应用 §1 多元函数的极限与连续 I 基本概念与主要结果一平面点集与多元函数二多元函数的极限（以二元函数为例）及其性质三二元函数的连续性 II曲型例题选讲

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