数论2整除的性质特征
整 除 的 性 质 特 征
【一、整除的定义】设a、b是两个整数(a?0)。如果存在一个整数d，使得
b= ad，那么就说a整除b(或者说b被a整除)。
用符号a|b来
表
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示a整除b。这时a叫做b的一个因数，而b叫做a的一个倍数。如果a不整除b，那么就记作a b。
【二、常用的数的整除特征】
(—)1 能整除任何数
能被 2整除的末位数必须是偶数。
能被5整除的末位数必须是0或 5。
能被 3整除的特征是各个数位上数字之和能被 3整除。9和 3的判断方法相同。
能被4或25整除的特征是末 2位能被 4或25整除。
能被8或125整除的特征是末3位能被8或125整除。
能被7整除的特征是末3位与末 3位以前的数字所组成的数作差，差能被7整除，那么这个数就能被7整除。和7相同判断方法的有:11，13。
特别的:11 有个很特殊的判断方法:一个数，奇数位上数字之和与偶数位上数字之和作差，如果差能被11整除，那么这个数就能被11整除。
(二)对于 n进制数
若一个整数的各位数字和能被n-1整除，则这个整数能被n-1 以及它的约数整除 (如 10进制中的3和9)。
若一个数能同时被a、b整除，且a、b互素，则这个数能被ab整除。
nn整除，则这个数能被整除(n =1，2，3，„„)。 若一个整数的末 n位能被 22
若一个整数的各位数字和能被 3整除，则这个整数能被 3整除。
若一个整数的末位是 0或5，则这个数能被 5整除。
三、整除的性质
a | b, b | c => a | c (a, b? 0)
a | b, a | c => a | (b + c) (a? 0)
a | b, c? Z => a | b c (a? 0)
a | c, b | c, (a, b) =1 => ab | c (a, b?0)
【例 1】(难度星级???)n是一个各位数字互不相等的自然数，它能被它的每一个数字整除。n的最大值是多少,
1111m【铺垫】(难度星级???)试说明:写成一个最简分数 时，m不会1，，，，，n23440
是5的倍数。
【例 2】(难度星级???)对于两个不同的整数，如果它们的积能被和整除，就称为一对“好数”，例如70与30。那么在 1，2，„„，16，这16个整数中，有好数多少对,
【例 3】 (难度星级???)在865后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能分别被3，4，5整除，且使这个数值尽可能的小。
【例 4】(难度星级???)将自然数N接写在任意一个自然数的右面，如果得到的新整数能被N整除，那么N称为“魔术数”。问小于1996 的自然数中有多少个魔术数,
【例 5】 (难度星级???)试将 1，2，3，4，5，6，7分别填入下面的方框中，每个数字只使用一次;使得这三个数中任意两个都互质，其中一个三位数已经填好，它是714。
口口口 (这是一个三位数) ( 714) 口口口 (这是一个三位数) ( )
口 (这是一个一位数) ( )
【例 6】(难度星级???)在小于5000的自然数中，能被11整除并且数字和为 13 的数，共有多少个,
合数的整除与整除的应用
判断一个数能否被某个合数整除，一般的方法是先把这个合数分解成几个容易判断整除的数的乘积的形式，并且这些数两两互质，再分别判断。
【铺垫】(难度星级???)六位数能被99整除，求A和B。
【例 7】(难度星级????)求最小的自然数，它的各位数字之和等于 56，它的末两位数是 56，它本身还能被56所整除。
【例 8】(难度星级???)一个101位数能被7整除，问口里应该填几,
【例 9】 (难度星级??)2006年6月 2 日是小红的 11 岁生日。爸爸在2004 的前边和后边各添了一个数字，组成了一个六位数。这个六位数正好能同时被她的年龄数、出生月份数和日期数整除。求这个六位数。
【例 10】 (难度星级???)(“华罗庚金杯”少年数学邀请赛总决赛MATCH_
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_1715986685231_0组)
表示一个十进制的三位数，若等于由a、b、c 三个数码所组成的全体两位数的和，写abcabc
出所有满足上述条件的三位数。
【例 11】(难度星级???)(“华罗庚金杯”少年数学邀请赛团体总决赛口试)在4×4的方格表中填有 1 ~16这16个数，将其中任意3个格子中的数同时加 1或减 1称为一次操作。问能否经过若干次的这样的操作使得16个方格中的数都是零,若能，请举例解释你的操作，若不能，请说明理由。
【例 12】(难度星级???)一根红色的长线，将它对折，再对折，„„，经过m 次对折后，将所得到的线束从中间剪断，得到一些红色的短线;一根白色的长线，经过n次对折后，将所得到的线束从中间剪断，得到一些白色的短线(m>n)。若红色短线的数量与白色短线的数量之和是100的倍数，求出红色短线至少有多少条,
【例 13】(难度星级???)(迎春杯决赛)参加迎春杯比赛的人数共有2000多人。其中光明区占1211，中心区占，朝阳区占，其余的全是远郊区县的学生。比赛结果光明区有的学生获37524
111奖，中心区有的学生获奖，朝阳区有的学生获奖，全部获奖学生的是远郊区县的学生。16187
那么参赛学生有多少人,获奖学生有多少名,
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