考研数学2真题高数部分

考研数学2真 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 高数部分 2002年全国硕士研究生入学统一考试 数学(二)试题 一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分) tanx1e,,x,0,xarcsin2f(x),,1(设函数在处连续，则( )( x,0a,2xx,0,ae, ,x2(位于曲线()下方，轴上方的无界图形的面积为( )( 0,x,，,y,xex 21,,,,3(满足初始条件的特解是y(0),1,y(0),yy，y,02( )( 12,,,n，，，，，，lim[1cos1cos1cos]4(=n,,nnnn ( )( 二、单项选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分() 2,(函数可导，当自变量在x,,1处取得增量时，相应的函,x,,0.1y,f(x)f(u)x ,数增量的线性主部为,(,，则, ,yf(1) (,),,; (,),(,; (,),; (,),(,( ,(函数连续，则下列函数中，必为偶函数的是 f(x) xx22f(t)dtf(t)dt (A); (B) ; ,,00 xxt[f(t),f(,t)]dtt[f(t)，f(,t)]dt (C) ; (D) ( ,,00 3x,,,,y,f(x)y(0),y(0),0,(设是二阶常系数微分方程满足初始条件y，py，qy,e的 2，ln(1x)lim 特解，则极限 0x,y(x) (A)不存在; (,)等于,; (C)等于,; (D) 等于,( ，R,(设函数在上有界且可导，则 f(x) ,limf(x),0limf(x),0(A)当时，必有; x,，,x,，, 1 ,,limf(x)limf(x),0 (,)当存在时，必有; x,，,x,，, ,limf(x),0limf(x),0 (C) 当时，必有; x,0，x,0， ,,limf(x)limf(x),0 (D) 当存在时，必有( x,0，x,0， ,三、(本题满分6分)已知曲线的极坐标方程为，求该曲线对应于处的r,1,cos,,,6 切线与法线的直角坐标方程( 23,2x，x,1,x,0,2y,f(x),x,四、(本题满分,分)设函数， xe0,x,1x2,(e，1), xF(x),f(t)dt的表达式( 求函数,,1 ，Rf(x),0limf(x),1五、(本题满分,分)已知函数在上可导，，，且满足 f(x)x,，, 11f(x，hx)hxlim(),e，求( f(x)h,0f(x) xdy，(x,2y)dx,0y,y(x)的一个解，使得由曲线六、(本题满分,分)求微分方程 y,y(x)x,1,x,2与直线以及轴所围成的平面图形绕轴旋转一周的旋转体的体积最xx小( 七、(本题满分7分)某闸门的形状与大小如图所示，其中直线l 为对称轴，闸门的上部为矩形,,,,，下部由二次曲线与线段 ,,所围成(当水面与闸门的上断相平时，欲使闸门矩形部分与 承受的水压与闸门下部承受的水压之比为,:,，闸门矩形部分 h的高应为多少, 八、(本题满分,分) x,x(3,x)设，(,,，,，,，…)( 0,x,3nn，1nnn ,的极限存在，并求此极限( 证明:数列,xn 2alnblna1,,,九、(本题满分,分)设b,a,0，证明不等式( 22ba,a，bab十、(本题满分8分)设函数在,,的某邻域具有二阶连续导数，且 xf(x) ,,,f(0)f(0)f(0),0h,0(证明:存在惟一的一组实数，使得当时， a,b,c 2( af(h)，bf(2h)，cf(3h),f(0),o(h) 2 2003年考研数学(二)真题 一、填空题(本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 填在题中横线上) 124(1,ax),1(1) 若时， 与是等价无穷小，则a= . x,0xsinx 4(2) 设函数y=f(x)由方程所确定，则曲线y=f(x)在点(1,1)处的切线方xy，2lnx,y 程是 . a,(4) 设曲线的极坐标方程为 ，则该曲线上相应于从0变到的,2,,,e(a,0) 一段弧与极轴所围成的图形的面积为__________. 二、选择题(本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内) lima,0limb,1limc,,(1)设均为非负数列，且,,,则必有 {a},{b},{c}nnnnnnn,,n,,n,, (A) 对任意n成立. (B) 对任意n成立. a,bb,cnnnn limaclimbc(C) 极限不存在. (D) 极限不存在. [ ] nnnnn,,n,, n3nn,1n，1limnaa,x1，xdx(2)设, 则极限等于 nn,0n,,2 33,122(1，e)，1(1，e),1 (A) . (B) . 33,122(1，e)，1(1，e),1 (C) . (D) . [ ] xyxx,,()y,，,()y,(3)已知是微分方程的解，则的表达式为 yxylnx 22yy,.. (A) (B) 22xx 22xx (C) (D) [ ] ,..22yy (,,,，,)(4)设函数f(x)在内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)有 (A) 一个极小值点和两个极大值点. (B) 两个极小值点和一个极大值点. (C) 两个极小值点和两个极大值点. (D) 三个极小值点和一个极大值点. [ ] y 3 O x ,,xxtan44(5)设,, 则 I,dxI,dx12,,00tanxx (A) (B) I,I,1.1,I,I.1212 (C) (D) [ ] I,I,1.1,I,I.2121 三 、(本题满分10分) ,3,ln(1，ax),,x,0,x,arcsinx,设函数 f(x),6,x,0,,ax2,e，x,ax,1x,0,,,x,xsin4, 问a为何值时，f(x)在x=0处连续;a为何值时，x=0是f(x)的可去间断点, 四 、(本题满分9分) 2,x,1，2t,2dy,u1，2lnt.所确定，求 设函数y=y(x)由参数方程(t,1)e,2x,9y,dudx,,1u, 五 、(本题满分9分) xarctanxedx.计算不定积分 3,22，(1x) 六 、(本题满分12分) ,(,,,，,)y,0,x,x(y) 设函数y=y(x)在内具有二阶导数，且是y=y(x)的反函数. 2dxdx3(1) 试将x=x(y)所满足的微分方程变换为y=y(x)满足的微，(y，sinx)(),02dydy 分方程; 3,y(0),0,y(0),(2) 求变换后的微分方程满足初始条件的解. 2 七 、(本题满分12分) 4y,4lnx，k讨论曲线与的交点个数. y,4x，lnx 八 、(本题满分12分) 21(,) 设位于第一象限的曲线y=f(x)过点，其上任一点P(x,y)处的法线与y轴的22 交点为Q，且线段PQ被x轴平分. 4 (1) 求曲线 y=f(x)的方程; (2) 已知曲线y=sinx在上的弧长为，试用表示曲线y=f(x)的弧长s. ll[0,,] 九 、(本题满分10分) x,,(y)(y,0)有一平底容器，其内侧壁是由曲线绕y轴旋转而成的旋转曲面(如图)， 33m/min容器的底面圆的半径为2 m.根据 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 要求，当以的速率向容器内注入液体时，液 2,m/min的速率均匀扩大(假设注入液体前，容器内无液体). 面的面积将以 (1) 根据t时刻液面的面积，写出t与之间的关系式; (y), x,,(y)的方程. (2) 求曲线 (注:m表示长度单位米，min表示时间单位分.) 十 、(本题满分10分) ,f(x),0.设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且 若极限fx,a(2)存在，证明: lim，x,ax,a (1) 在(a,b)内f(x)>0; 22,ba2,(2)在(a,b)内存在点，使; ,,bf(,)f(x)dx,a b,222,,f()(b,a),f(x)dx.(3) 在(a,b) 内存在与(2)中相异的点，使 ,,,a,,a 5 2004年考硕数学(二)真题 一. 填空题(本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上. ) (1)nx,(1)设, 则的间断点为 . fx()lim,fx()x,2n,,nx，1 3,xtt,，，31,yyx,()(2)设函数由参数方程 确定, 则曲线向上凸的取值yx()x,3ytt,,，31,, 范围为____.. ，,dx,(3)_____.. ,12,xx1 63(5)微分方程满足的特解为_______. ()20yxdxxdy，,,y,x,15 二. 选择题(本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求, 把所选项前的字母填在题后的括号内. ) 2xxx23，,,costdt(7)把时的无穷小量, , 排,,tantdt,,sintdtx,0,,,000列起来, 使排在后面的是前一个的高阶无穷小, 则正确的排列次序是 ,,,,,.,,,,,.(A) (B) ,,,,,.,,,,,.(C) (D) ,, fxxx()(1),,(8)设, 则 yfx,()(A)x,0是的极值点, 但不是曲线的拐点. fx()(0,0) yfx,()x,0(B)不是的极值点, 但是曲线的拐点. fx()(0,0) yfx,()x,0(C)是的极值点, 且是曲线的拐点. fx()(0,0) yfx,()x,0(D)不是的极值点, 也不是曲线的拐点. fx()(0,0),, 12n222n，，，limln(1)(1)(1)(9)等于 ,,nnnn 222lnxdx2lnxdx(A). (B). ,,11 2222ln(1)，xdxln(1)，xdx(C). (D) ,,,,11 6 ,f(0)0,(10)设函数连续, 且, 则存在, 使得 ,,0fx() A)在内单调增加. (fx()(0,), (,0),,(B)在内单调减小. fx() x,(0,),fxf()(0),(C)对任意的有. x,,(,0),fxf()(0),(D)对任意的有. ,, 2,,(11)微分方程的特解形式可设为 yyxx，,，，1sin 2(A). yaxbxcxAxBx,,，，，，(sincos) 2(B). yxaxbxcAxBx,,，，，，(sincos) 2(C). yaxbxcAx,,，，，sin 2(D) yaxbxcAx,,，，，cos,, 三. 解答题(本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) (15)(本题满分10分) x，，12cos，x,,lim1,求极限. ,,,,3x,0x3,,,,，， (16)(本题满分10分) 2设函数在(,,，,,)上有定义, 在区间上, , 若对任意fxxx()(4),,fx()[0,2] fxkfx()(2),，k的都满足, 其中为常数. x (?)写出在上的表达式; fx()[2,0], kx,0(?)问为何值时, 在处可导. fx() (17)(本题满分11分) ,x，2fxtdt()sin,设,(?)证明是以为周期的周期函数;(?)求的值域. ,fx()fx(),x (18)(本题满分12分) xx,ee，xxtt,,,0,(0)y,曲线与直线及围成一曲边梯形. 该曲边梯形绕xy,02 7 轴旋转一周得一旋转体, 其体积为, 侧面积为, 在处的底面积为. xt,Vt()Ft()St() St()(?)求的值; Vt() St()(?)计算极限. limt,，,Ft() 19)(本题满分12分) ( 4222eabe,,,设, 证明. lnln()baba,,,2e 20)(本题满分11分) ( 某种飞机在机场降落时,为了减小滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增 9000kg大阻力,使飞机迅速减速并停下来.现有一质量为的飞机,着陆时的水平速度为700/kmh.经测试,减速伞打开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为 6k,，6.010).问从着陆点算起,飞机滑行的最长距离是多少? 注 表示千克,kmh/表示千米/小时. kg (21)(本题满分10分) 2,,,zzz22xy,,设,其中具有连续二阶偏导数,求. zfxye,,(,)f,,,,xyxy 8 2005年考研数学二真题 一、填空题(本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上) x(1)设，则=______ . dy|y,(1，sinx)x,, 3 2x(1，)(2) 曲线y的斜渐近线方程为______ . , x 1xdx(3)______ . ,,022(2x)1x,, 1,xy，2y,xlnx(4) 微分方程满足y(1),,的解为______ . 9 2(5)当时，与是等价无穷小，则x,0,(x),1，xarcsinx,cosx,(x),kx k= ______ . 二、选择题(本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内) 3nn(,,,，,)f(x),lim1，x(7)设函数，则f(x)在内 ,,n (A) 处处可导. (B) 恰有一个不可导点. (C) 恰有两个不可导点. (D) 至少有三个不可导点. [ ] (8)设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，表示“M的充分必要条件是N”，则"M,N" 必有 (A) F(x)是偶函数f(x)是奇函数. , (B) F(x)是奇函数f(x)是偶函数. , (C) F(x)是周期函数f(x)是周期函数. , (D) F(x)是单调函数f(x)是单调函数. [ ] , 2,,，2,xtt(9)设函数y=y(x)由参数方程确定，则曲线y=y(x)在x=3处的法线与x轴交,y,ln(1，t), 点的横坐标是 11(A) . (B) . ln2，3,ln2，388 (C) ,8ln2，3. (D) 8ln2，3. [ ] 1f(x),,(12)设函数则 x x,1e,1 (A) x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点. (B) x=0,x=1都是f(x)的第二类间断点. (C) x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点. (D) x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点. [ ] 三 、解答题(本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) (15)(本题满分11分) 9 xx,tftdt()(),0f(0),0设函数f(x)连续，且，求极限 lim.x0x,xfx,tdt(),0 (16)(本题满分11分) 1xx如图，和分别是和的图象，过点(0,1)的曲线是一单调增y,(1，e)Cy,eCC3122 上任一点M(x,y)分别作垂直于x轴和y轴的直线和. 记与函数的图象. 过lllCC,Cyxx212所围图形的面积为;与l所围图形的面积为如果总有，C,CS(x)S(y).S(x),S(y)y231212 x,,(y).求曲线的方程 C3 (17)(本题满分11分) 如图，曲线C的方程为y=f(x)，点(3,2)是它的一个拐点，直线与分别是曲线C在ll12点(0,0)与(3,2)处的切线，其交点为(2,4). 设函数f(x)具有三阶连续导数，计算定积分32,,, (x，x)f(x)dx.,0 (18)(本题满分12分) 2,,,x,cost(0,t,,) 用变量代换化简微分方程，并求其满足(1,x)y,xy，y,0 ,的特解. y,1,y,2x,0x,0 (19)(本题满分12分) 已知函数f(x)在[0，1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0,f(1)=1. 证明: ,,(0,1),f(,),1,,(I)存在 使得; ,,,,,,(0,1)f(,)f(,),1.(II)存在两个不同的点，使得 (20)(本题满分10分) dz,2xdx,2ydy已知函数z=f(x,y) 的全微分，并且f(1,1,)=2. 求f(x,y)在椭圆域 2y2上的最大值和最小值. D,{(x,y)x，,1}4 10 2006年全国硕士研究生入学考试数学(二) 一、填空题 xx，4sin(1)曲线的水平渐近线方程为 . y,52cosxx, x1,2tdtx,sin,0,,3,0(2)设函数在处连续，则 . x,0fx,()a,x, ,ax,,0, ，,xdx,(3)广义积分 . 22,0(1)x， yx(1),,(4)微分方程的通解是 . y,x dyy(5)设函数由方程确定，则= . yxe,,1yyx,()A,0dx 二、选择题 ,,,fxfx()0,()0,,(7)设函数具有二阶导数，且，为自变量在处的,xxxyfx,()0增量，与分别为在点处对应的增量与微分，若，则 ,,x0x,ydyfx()0 (A) (B) 0.,,,dyy0.,,,ydy ,,,ydy0.dyy,,,0. (C) (D) 【 】 xftdt()(8)设是奇函数，除x,0外处处连续，x,0是其第一类间断点，则是 fx(),0 (A)连续的奇函数. (B)连续的偶函数 x,0x,0(C)在间断的奇函数 (D)在间断的偶函数. 【 】 1()，gx,,(9)设函数可微，，则等于 hxehg(),(1)1,(1)2,,,gx()g(1) ln31,,,ln31. (A). (B) ,,ln21.ln21., (C) (D) 【 】 xxx,2(10)函数yCeCexe,，，满足一个微分方程是 12 xx,,,,,, (A) (B) yyyxe,,,23.yyye,,,23. xx,,,,,, (C) (D) yyyxe，,,23.yyye，,,23. 三 解答题 3x2315(试确定A，B，C的常数值，使得，其中是当 eBxCxAxox(1)1()，，,，，ox() 3. xx,0时比的高阶无穷小 11 xarcsine16(. 求dxx,e 18( 设数列满足xxxxn0,sin(0,1,2,),,,,,,,nnn11， ; 证明: (1) limx存在,并求极限n，1x,, 1x2xn，1n. (2)lim()计算x,,xn 证明: 当0