2011年清华自主招生数学试题

2011年清华自主招生数学试题2011年清华自主招生数学试题 1.设 , .集合 , 都是的真子集, , .证明：集合或中,必有两个不同的数,它们的和为完全平方数. 2.设函数 ,且方程的两实数根是和 ,且 , ,又 .试比较与的大小. 3.求函数的最小值,并求出相应的的值. 4.已知是定义在上的不恒为的函数,且对于任意的 ,有 . (1)求的值； (2)判定函数的奇偶性,并证明你的结论； (3)若 , ,求数列的前项和 . 5.已知关于的方...

2011年清华自主招生数学试题 1.设 , .集合 , 都是的真子集, , .证明：集合或中,必有两个不同的数,它们的和为完全平方数. 2.设函数 ,且方程的两实数根是和 ,且 , ,又 .试比较与的大小. 3.求函数的最小值,并求出相应的的值. 4.已知是定义在上的不恒为的函数,且对于任意的 ,有 . (1)求的值； (2)判定函数的奇偶性,并证明你的结论； (3)若 , ,求数列的前项和 . 5.已知关于的方程 , .证明方程的正跟比小,负根比大. 6.设 , 是两个正数,且 .当时, 的最小值为 ,最大值为 ,求 , 值. 7.某生产队想筑一面积为的长方形围栏,围栏一边靠墙.现有铁丝网 ,筑成这样的围栏最少要多少铁丝网？已有的墙最多利用多长？最少利用多长？ 8.在正方形中,过顶点作对角线的平行线 ,若 ,且直线交边于点 .求证: . 9.设边长为的的重心为 ,外心为 ,外接圆半径为 , ,求证: . 10.设圆满足：①截轴所得弦长为；②被轴分成两段弧,其弧长比为 ,在满足上述条件的圆中,求圆心到直线的距离最小的圆的方程. 11.以为圆心,以为半径的圆外有一点 . 已知 ,设过且与圆外切于点的圆的圆心为 . (1)当取某个值时,说明点的轨迹是什么曲线？ (2)点是轨迹上的动点,点是圆上的动点,记的最小值为 .求的取值范围. 12.设数列的前项和为 ,点均在函数的图像上. (1)求数列的通项公式； (2)设 , 数列的前项和,求最小正整数 ,使得对所有都成立. 已知函数 , .若不等式恒成立,求实数的取值范围.

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