离散化方法介绍及其区别

有限差分法、有限元法、有限体积法等离散方法介绍 www.Efluid.com.cn & www.Cfluid.com yjs808 一、有限差分方法（Finite Difference Method, FDM） 有限差分方法是计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广泛运用。该方 法将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域。有限差分法 以Taylor级数展开等方法，把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代 替进行离散，从而 建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。该方法是一 种直接将微分问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 变为代数问题的近似数值解法，数学概念直观， 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 达简单，是 发展较早且比较成熟的数值方法，较多用于求解双曲型和抛物型问题。用它求解 边界条件复杂，尤其是椭圆型问题不如有限元法或有限体积法方便。 对于有限差分 格式 pdf格式笔记格式下载页码格式下载公文格式下载简报格式下载 ，从格式的精度来划分，有一阶格式、二阶格式和高阶格 式。从差分的空间形式来考虑，可分为中心格式和迎风格式。考虑时间因子的影 响，差分格式还可以分为显格式、隐格式、显隐交替格式等。目前常见的差分格 式，主要是上述几种形式的组合，不同的组合构成不同的差分格式。差分方法主 要适用于有结构网格，网格的步长一般根据实际地形的情况和柯朗稳定条件来决 定。 构造差分的方法有多种形式，目前主要采用的是泰勒级数展开方法。其基本 的差分表达式主要有三种形式：一阶向前差分、一阶向后差分、一阶中心差分和 二阶中心差分等，其中前两种格式为一阶计算精度，后两种格式为二阶计算精度。 通过对时间和空间这几种不同差分格式的组合，可以组合成不同的差分计算格 式。 二、有限元方法（Finite Element Method, FEM） 有限元方法的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是：把计算域 划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函 数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的 插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求 解。采用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。 有限元方法最早应用于结构力学，后来随着计算机的发展慢慢用于流体力学 的数值模拟。在有限元方法中，把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接 的单元，在每个单元内选择基函数，用单元基函数的线形组合来逼近单元中的真 解，整个计算域上总体的基函数可以看为由每个单元基函数组成的，则整个计算 域内的解可以看作是由所有单元上的近似解构成。 在数值模拟中，常见的有限元计算方法是由变分法和加权余量法发展而来的里 兹法和伽辽金法、最小二乘法等。根据所采用的权函数和插值函数的不同，有限 元方法也分为多种计算格式。从权函数的选择来说，有配置法、矩量法、最小二 乘法和伽辽金法，从计算单元网格的形状来划分，有三角形网格、四边形网格和 多边形网格，从插值函数的精度来划分，又分为线性插值函数和高次插值函数等。 不同的组 合同 劳动合同范本免费下载装修合同范本免费下载租赁合同免费下载房屋买卖合同下载劳务合同范本下载 样构成不同的有限元计算格式。对于权函数，伽辽金(Galerkin)法是 将权函数取为逼近函数中的基函数；最小二乘法是令权函数等于余量本身，而内 - 1 - 积的极小值则为对代求系数的平方误差最小；在配置法中，先在计算域 内选取 N个配置点。令近似解在选定的N个配置点上严格满足微分方程，即在配置点上 令方程余量为 0。插值函数一般由不同次幂的多项式组成，但也有采用三角函数 或指数函数组成的乘 积表示，但最常用的多项式插值函数。有限元插值函数分 为两大类，一类只要求插值多项式本身在插值点取已知值，称为拉格朗日 (Lagrange)多项式插值；另一种不仅要求插值多项式本身，还要求它的导数值在插 值点取已知值，称为哈密特(Hermite)多项式插值 。单元坐标有笛卡尔直角坐标 系和无因次自然坐标，有对称和不对称等。常采用的无因 次坐标是一种局部坐 标系，它的定义取决于单元的几何形状，一维看作长度比，二维看作面积比，三 维看作体积比。在二维有限元中，三角形单元应用的最早，近来四边形等 参元 的应用也越来越广。对于二维三角形和四边形电源单元，常采用的插值函数为有 Lagrange插值直角坐标系中的线性插值函数及二阶或更高阶插值函数、面积坐标 系中的线性插值函数、二阶或更高阶插值函数等。 对于有限元方法，其基本思路和解题步骤可归纳为：(1) 建立积分方程，根 据变分原理或方程余量与权函数正交化原理，建立与微分方程初边值问题等价的 积分表达式，这是有限元法的出发点。(2) 区域单元剖分，根据求解区域的形状 及实际问题的物理特点，将区域剖分为若干 相互连接、不重叠的单元。区域单 元划分是采用有限元方法的前期准备工作，这部分工 作量比较大，除了给计算 单元和节点进行编号和确定相互之间的关系之外，还要表示节 点的位置坐标， 同时还需要列出自然边界和本质边界的节点序号和相应的边界值。 (3) 确定单 元基函数，根据单元中节点数目及对近似解精度的要求，选择满足一定插值条 件 的插值函数作为单元基函数。有限元方法中的基函数是在单元中选取的，由于各 单元 具有规则的几何形状，在选取基函数时可遵循一定的法则。(4) 单元分析： 将各个单元中的求解函数用单元基函数的线性组合表达式进行逼近；再将近似函 数代入积分方程，并对单元区域进行积分，可获得含有待定系数(即单元中各节 点 的参数值)的代数方程组，称为单元有限元方程。(5) 总体合成：在得出单元 有限元方程之后，将区域中所有单元有限元方程按一定法则进 行累加，形成总 体有限元方程。(6) 边界条件的处理：一般边界条件有三种形式，分为本质边界 条件(狄里克雷边界条件 )、自然边界条件(黎曼边界条件)、混合边界条件(柯西 边界条件)。对于自然边界条件，一般在积分表达式中可自动得到满足。对于本 质边界条件和混合边界条件，需按一定法 则对总体有限元方程进行修正满足。 (7) 解有限元方程：根据边界条件修正的总体有限元方程组，是含所有待定未知 量的封闭方程组，采用适当的数值计算方法求解，可求得各节点的函数值。 有限元法对椭圆型问题有很好的适应性。有限元法求解的速度比有限差分法和 有限体积法慢，在商用CFD软件中应用并不广泛。目前的商用CFD软件中，FIDAP 采用的是有限元法。 三、有限体积法（Finite Volume Method, FVM） 有限体积法又称为控制体积法。其基本思路是：(1)将计算区域划分为一系 列不重复的控制体积，并使每个网格点周围有一个控制体积；(2)将待解的微分 方程对每一个控制体积积分，便得出一组离散方程。其中的未知数是网格点上的 因变量的数值。为了求出控制体积的积分，必须假定值在网格点之间的变化规律， 即假设值的分段分布的分布剖面。 - 2 - 从积分区域的选取方法看来，有限体积法属于加权剩余法中的子区域法；从未 知解的近似方法看来，有限体积法属于采用局部近似的离散方法。简言之，子区 域法属于有限体积发的基本方法。有限体积法的基本思路易于理解，并能得出直 接的物理解释。离散方程的物理意义，就是因变量在有限大小的控制体积中的守 恒原理，如同微分方程表示因变量在无限小的控制体积中的守恒原理一样。有限 体积法得出的离散方程，要求因变量的积分守恒对任意一组控制体积都得到满 足，对整个计算区域，自然也得到满足。这是有限体积法吸引人的优点。有一些 离散方法，例如有限差分法，仅当网格极其细密时，离散方程才满足积分守恒； 而有限体积法即使在粗网格情况下，也显示出准确的积分守恒。就离散方法而言， 有限体积法可视作有限单元法和有限差分法的中间物。有限单元法必须假定值在 网格点之间的变化规律（既插值函数），并将其作为近似解。有限差分法只考虑 网格点上的数值而不考虑值在网格点之间如何变化。有限体积法只寻求网格点的 结点值，这与有限差分法相类似；但有限体积法在寻求控制体积的积分时，必须 假定值在网格点之间的分布，这又与有限单元法相类似。在有限体积法中，插值 函数只用于计算控制体积的积分，得出离散方程之后，便可忘掉插值函数；如果 需要的话，可以对微分方程中不同的项采取不同的插值函数。就离散方法而言， 有限体积法可视作有限元法和有限差分法的中间产物。 四、有限分析法 ( Finite Analysis Method, FAM ) 有限分析法是由陈景仁于 1981 年提出的一种数值方法，对求解对流扩散型方程 有较好的效果。该格式具有迎风性，并有希望与奇异摄动法配合求解高Re数问题。 基本思想是：方程在整个求解域内一般难以找到解析解，但在局部区域内，当区 域足够小，域内方程可由一常系数方程逼近时，可以近似地找到精确解，由此建 立该解的中心点值和周围节点值的关系，即离散化方程，对于每一个小区域都建 立这样的关系，就得到了一个大型方程组，求解后即可得到方程的数值解。 同有限差分法一样，用一系列网格线将区域离散，所不同的是每个节点与相邻 8 个邻点组成。在计算单元中把控制方程中的非线性项局部线性化，并对该单元上 未知函数的变化作出假设，把所选定表达式中的系数和常数项用单元边界节点上 未知的变量值来表示，这样该单元内的被求问题就转化为第一类边界条件下的一 个定解问题，可以找出分析解；然后利用这一分析解，得出该单元中心点及边界 上 8 个邻点上未知值间的代数方程，此即为单元中心点的离散方程。 五、边界元法 ( Boundary Element Method, BEM ) 上面四种方法都必须对整个区域作离散化处理，用分布在整个区域上的有限 个节点上函数的近似值来代替连续问题的解。在边界元方法中应用格林函数公 式，并通过选择适当的权函数把空间求解域的偏微分方程转换成为其边界上的积 分方程，它把求解区中任一点的求解变量(如温度)与边界条件联系了起来。通过 离散化处理，由积分方程导出边界节点上未知值的代数方程。解出边界上的未知 值后就可以利用边界积分方程来获得内部任一点的被求函数之值。边界元法的最 大优点是，可以使求解问题的空间维数降低一阶，从而使计算工作量及所需计算 机容量大大减小。边界元法推广应用的一个最大限制是，需要已知所求解偏微分 方程的格林函数基本解。虽然对不少偏微分方程这种基本解业已找出，但对 - 3 - 六、格子-玻尔兹幔方法 ( Lattice-Boltzmann Method, LBM ) 格子-玻尔兹幔方法是 20世纪 80年代中期出现并迅速发展起来的一种新的流体 数值模拟方法。因其算法简单、计算效率高、并行性好以及能够模拟复杂边界条 件等优点而受到广泛关注，并且已经在众多的领域取得了成功的运用，从简单的 层流到复杂的湍流、多相流、热流动。 格子-玻尔兹幔方法是基于分子运动论的一种模拟流体流动的数值方法。在 上述各种数值方法中，把本质上是离散的介质先假定是连续的，在此基础上建立 起了N-S方程，然后又再把它离散化。在LMB中不再基于连续介质的假设，而是 把流体看成是许多只有质量没有体积的微粒所组成，这些微粒可以向空间若干个 方向任意运动。通过其质量、动量守恒的原理，建立起表征质点在给定的时刻位 于空间某一个位置附近的概率密度函数。再通过统汁的方法来获得质点微粒的概 率密度分布函数与宏观运动参数间的关系。 与以宏观连续方程的离散化为基础的传统数值方法不同，LBM是以分子运动 论和统计力学为理论基础，从微观的粒子尺度出发，构造一个简化的运动论模型， 此简化模型能够反映微观或细观过程的物理本质，并使其宏观统计特性遵循所期 望的宏观守恒方程，如质量、动量和能量守恒方程。在宏观流体流动中应用这些 简化运动论方法的基本前提是，流体的宏观动力学特性是众多微观粒子行为的统 计平均的结果，并且宏观动力特性对微观物理特性的某些内在细节是不敏感的。 通过简化的运动论方程，既可以避免求解如完整Boltzmann方程等复杂的动力学方 程，又可避免对每个流体颗粒的分子动力学模化。 格子-玻尔兹幔方法在最近 10 年中发展得十分迅速。1991 年Frisch撰文指出， 格子-玻尔兹幔方法可以看成是Navier-Stokes方程差分法逼近的一种无限稳定的格 式．至今，不仅稳态单相强制对流等温流动的领域已有许多成功的算例，而且还 包括多相流，相界面及相变、多孔介质中的流动、自然对流换热等热交换现象、 有自由表面的流动、流动的分歧、低Knudsen数的流动、互溶液体扩散系数的预 测、非稳态流动，以及各向同性的湍流脉动等。另一方面这 10 年中格子-玻尔兹 幔方法在数值计算处理的方法与技巧上也有相应的进展，这包括:不规则几何形 状的处理、边界条件的处理、非均分格子及稳定性的分析等。 七、谱方法 ( Spectral Method, SM) 谱方法是一种高精度方法。当偏微分方程的解足够光滑时，谱方法给出的近似 解将以很高的精度逼近微分方程的准确解，且收敛速度快。另一个特点是该方法 所得到的近似解是对于整体计算域的近似，而不是局域的近似。这是区别于有限 元法的重要特征。快速Fourier变换(FFT)的出现，进一步促进了谱方法的发展。 谱方法有如下步骤：(1) 首先找到满足边界条件的函数族。这些函数之间应当是 线性无关的；互相是正交的，即不同函数间相乘后在求解空间内积分为零；而且 函数系应当是完备的，即任何域内逐段连续二次可积且满足边界条件的函数都可 - 4 - 以用函数族的线性组合无限一致逼近。(2) 任何函数可以用上述函数族中有限个 函数的线性组合来近似。这一组合称作完备函数空间内一个子空间上的投影。其 中线性组合的系数叫做在该“方向”上的“坐标”。(3) 将解的近似表达代入原 方程，用函数族内的函数作为权函数做加权余量运算，可以得到关于“坐标”的 微分方程。(4) 求解“坐标”微分方程后可得解的“坐标”，进而得到方程的解。 谱方法的优点是精度高，但当解不够光滑时，特别是当有激波时，混淆误差极 为严重。此外谱方法不宜用以计算带有复杂计算域和边界条件的问题。 另：多重网格方法（MultiGrid Method） 多重网格方法通过在疏密不同的网格层上进行迭代，以平滑不同频率的误差 分量。具有收敛速度快，精度高等优点。 多重网格法基本原理：微分方程的误差分量可以分为两大类，一类是频率变 化较缓慢的低频分量；另一类是频率高，摆动快的高频分量。一般的迭代方法可 以迅速地将摆动误差衰减，但对那些低频分量，迭代法的效果不是很显著。高频 分量和低频分量是相对的，与网格尺度有关，在细网格上被视为低频的分量，在 粗网格上可能为高频分量。 多重网格方法作为一种快速计算方法，迭代求解由偏微分方程组离散以后组 成的代数方程组，其基本原理在于一定的网格最容易消除波长与网格步长相对应 的误差分量。该方法采用不同尺度的网格，不同疏密的网格消除不同波长的误差 分量，首先在细网格上采用迭代法，当收敛速度变缓慢时暗示误差已经光滑，则 转移到较粗的网格上消除与该层网格上相对应的较易消除的那些误差分量，这样 逐层进行下去直到消除各种误差分量，再逐层返回到细网格上。 目前两层网格方法从理论上已证明是收敛的，并且其收敛速度与网格尺度无 关(哈克布思，1988)。多重网格法是迭代法与粗网格修正的组合，经过证明迭代 法可迅速地将那些高频分量去掉，粗网格修正则可以帮助消除那些光滑了的低频 分量，而对那些高频分量基本不起作用。 在多重网格计算中，需要一些媒介把细网格上的信息传递到粗网格上去，同 时还需要一些媒介把粗网格上的信息传递到细网格上去。限制算子是把细网格层 上的残余限制到粗网格层上的算子，最简单的算子是平凡单射，另外还有特殊加 权限制；插值算子是把粗网格层上的结果插值到细网格层上的算子，一般采用线 性插值或完全加权限制算子。 - 5 - 近似求解的误差估计方法 共有三大类：单元余量法,通量投射法及外推法。 1. 单元余量法广泛地用于以FEM离散的误差估计之中,它主要是估计精确算子的 余量，而不是整套控制方程的全局误差。这样就必须假定周围的单元误差并不相 互耦合，误差计算采用逐节点算法进行。单元余量法的各种不同做法主要来自对 单元误差方程的边界条件的不同处理办法。基于此，该方法能够有效处理局部的 残余量,并能成功地用于网格优化程序。 2. 通量投射法的基本原理来自一个很简单的事实：精确求解偏微分方程不可能有 不连续的微分，而近似求解却可以存在微分的不连续，这样产生的误差即来自微 分本身，即误差为系统的光滑求解与不光滑求解之差。该方法与单元余量法一样， 对节点误差采用能量范数，故也能成功地用于网格优化程序。 单元余量法及通量投射法都局限于局部的误差计算(采用能量范数)，误差方程的 全局特性没有考虑。另外计算的可行性(指误差估计方程的计算时间应小于近似 求解计算时间)不能在这两种方法中体现，因为获得的误差方程数量，阶数与流 场控制方程相同。 3. 外推法是指采用后向数值误差估计思想由精确解推出近似解的误差值。各类文 献中较多地采用Richardson外推方法来估计截断误差。无论是低阶还是高阶格式， 随着网格的加密数值计算结果都会趋近于准确解。但由于计算机内存与计算时间 的限制，实际上不能采用这种网格无限加密的办法。由Richardson所发展起来的 外推方法，可以利用在不同疏密网格上得出的结果估计相应的收敛解，可以估计 所用离散方法截断误差的阶数，可以估计所得数值计算的截断误差。该方法有很 大的局限性，不能简单地用于复杂湍流流动；并且在数值计算中数值解必须单调 地趋近于其收敛值。而文献提出的单网格后向误差估计思想，在采用有限元法、 有限体积法时均有应用，并且还用于网格优化程序，但该方法也不能用于复杂湍 流流动的数值分析。 - 6 - 各种离散化方法之间的关系 研究表明，离散化方法是将微分方程变成等效的、近似的代数方程，这些方 法原则上说都可以归结为加权余量法的一种。 设原待解的微分方程为 Lu f= 加权函数 jW 与其余量相乘积分为零，即 ( ) 0 ( 1,2, ,jW Lu f d j NΩ − Ω = =∫ " ) 这与原方程在近似的意义上是等价的，当 ，N →∞ jW 是完备的，则就与原方程 等价了。事实上，选用不同的 jW 函数空间就构成了不同的离散化方法。 （1）有限差分法 选 ( )j jW x xδ= − ，其中δ 为狄拉克（Dirac）函数，即 ( ) ( ) ( )j jx x f x dx f xδ+∞−∞ − =∫ 为了说明这种权函数的选用可以得到有限差分法，这里以下面的方程为例。 方程为 2 2 0 0 1 d u u x dx − = < < 它的等效问题为 2 2( )j d uW u dx dx +∞ −∞ 0− =∫ 由于 jW 为Dirac函数，故得 2 2( ) jx x d u u dx = 0− = 设 1 1( ,j j )x x− + 为一单元，在其上 1 1 1 e e e 1j j j j ju N u N u N u j− − += + + + 为简单起见，设 ，并选 1 1j j j jx x x x x+ −− = − = Δ = Δ 1 2 2 1 2 ( ) 2 ( )( ) ( ) 2 e j e j e j x xN x x xN x x xN x − + Δ − ⎫= − −Δ < < Δ ⎪Δ ⎪Δ − Δ + ⎪= − −Δ < < Δ⎬Δ ⎪Δ + ⎪= −Δ < < Δ ⎪Δ ⎭ 故 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 2e e ej j jd N d N d N dx dx dx − += = −Δ Δ 2 1= Δ 因此代入等效方程中可得 2 1 1 2 2 2 ( ) j j j j x x j u u ud u u u dx − + = 0 − +− = − =Δ 这实际就是中心差分格式。 - 7 - （2）有限解析法 这里的权函数也是Dirac函数，但插值函数作了改变。如求解方程 2 2 2 d u duA f dx dx − = 引入 0 2 fu u x A = − ，则代入得（注意 ,A f 均为常数） 2 0 0 2 2 0 d u duA dx dx − = 选形函数 1,e ej jN N± 如下 2 2 1 2 2 2 1 1 22 (2 ) / 2 (2 ) / 1 A e A j e A j A e A j eN x e D D D N ch A D xsh A D e D eN x e D D D Δ − Δ + ⎫Δ − Δ= − + + x x x ⎪⎪Δ ⎪= Δ Δ + Δ − ⎬⎪⎪Δ − Δ= − − + ⎪⎭ 其中 22 ( 1)AD e− Δ= Δ − 将它们代入 2 0 0 2( 2 ) jx x d u duA dx dx = 0− = 可得 0 0w w e e pC u C u u0+ = 其中 2 21 1 2 (2 ) 2 (2 ) A A w e e eC C sh A sh A Δ Δ− −= =Δ Δ 这就是有限解析法得到的离散化方程的形式。 （3）有限元法 由变分原理得到有限元法时权函数即为 uδ （函数的变分）。 （4）谱方法 选得完备函数空间{ }nϕ 后，其元素 nϕ 就是权函数。在配置法中（伪谱法）， 权函数为 ( j )x xδ − ，但测试函数为 nϕ 。 （5）边界元法 这里的全函数为方程 0( | )Lu P Pδ= 的基本解，而原方程为 0Lu f+ = 总而言之，各种离散化方法可以归结为加权余量法的一种，有些可以明显看 出，有些比较隐讳。 最后要指出，新的离散化方法的建立有赖于数学上或物理上的启示，成功与 否在于它的有效性，特别要能解决某一方面的问题，这就有生命力。有些方法一 - 8 - 开始时并不要求数学上得到严格的证明，而往往通过使用时的有效性来验证，很 多非线性问题的数值方法就是这样，至今尚未得到证明。 参考文献：苏德铭，黄素逸，计算流体力学基础，清华大学出版社，1997 年。 - 9 -