半线性Baouendi_Grushin方程的积分恒等式及其解的不存在性

半线性Baouendi_Grushin方程的积分恒等式及其解的不存在性 () 文章编号 :025322328 20050320201206 半线性 Ba ouen di2Grushin 方程的 积分恒等式及其解的不存在性 1 2 2陈艳霞, 钮鹏程, 张慧清 ()1 . 丰台实验学校 ,北京 100071 ; 2 . 西北工业大学 应用数学系 ,陕西 西安 710072 摘 要 : 建立了 Baouendi2Grushin 算子满足 Hörmander 条件的向量场{ Z, , Z, Z, , Z} 的 Rellich2Pohozaev1 n n + 1 n + m 型恒等式 ,并证明了半线性 Bao uendi2r ushin 方程解的不存在性. 关键词 :广义 Bao uendi2Gr ushin 算子 ; Rellich2Po hozaev 型恒等式 ;解的不存在性 ) () (分类号 : 中图O175 . 25 2000 M R35 H20 文献标志码 : A n m R×R中的函数. 记广义梯度Bao ue ndi2Gr u shi n 算子定义为 2αΔ Δ )( ) ( Pα = + z , 1 Aα = Z = Z, , Z, Z, , Z,1 n n + 1 n + m z t n m ( ) ( ) ( ) Δdivα u, , u, u, , u=Δ式中 z = z, , z?R; t = t, , t?R;和1 n n+1 n+ m 1 n 1 m z tn m α分别为 R和 R上的经典 Laplace 算子;为正偶数. 5 u5 u1 5 uα n+1 5 un+ m n α + + z .+ + + z5 z 1 5 z 5 t5 t1n m 该算子由 Baouendi 和 Grushin 分别提出 , 在流体力学、 Pα, p 具有伸缩族易知 空气动力学等领域中有很强的实际背景. 记向量场 α+1 n+ m δ( ) (λλλ ( )) ( ) λ z , t= z ,t, > 0 , z , t?R, 3 5 5 Z= , , Z= ,1 n 因此 5 z5 z 1 n p (δ( ) ) λδ( ) Pαu λ z , t= λ Pαu,, p , p 5 5 α α ,Z= z , , Z= z n+1 n+ m [ 6 - 7 ] 5 t1 5 tm 这表明 ( ) δ Pα, p关于λ z , t是齐次偏微分算子. 则 Z1 , , Zn , Zn + 1 , , Zn + m 满足 Hör ma nder 条件. δ{λ}λ> 0 的生成子为单参数族 n m( ) 关于 算 子 1 近 年 来 已 有 了 一 些 重 要 的 结55 [ 1 - 2 ] (α ) Zα = z j + + 1ti , ( ) 66 论, 本文研究与算子 1相联系的半线性问题5 z 5 t jij = 1 i = 1 ( ) Ω Pαu = - f z , t , u, u ?0 , 在中 ,( (α) δ) 关于λ z , t的齐次维数为 Q = n + m + 1. 定义 ( )2 1 2 (α+1) 2 2 α() 2 +1(α ) ( ) d z , t= [ z + + 1t ] , Ωu = 0 , 在 5上 α αp pn m ψψψδ= z / d Ω αλ α 解的不存在性 , 其中< R×R为一有界域. Zαd = d. 令p α,显然 ,由于p , .=p , ,从 ψ 而 Zαα = 0 .p ,文献[ 3 - 4 ]研究了 Hei se nber g 群上次 L ap lace 定理 1 记方程的边值问题. 文献 [ 5 ] 研究了 Ca r no t 群上次 Cαp ,, QL ap lace方程的边值问题. 易知 Pα 具有齐次结构 , 但 Γ( )αz , t , 1 < p < Q , p ,, Q = Q- pp - 1 d 无平移不变性. 一般地 , 由于 Pα 是退化椭圆算子 , 式中 Cp ,α, Q 满足ΩΩ 区域的边界5具有特征点. - 1 α (α ) ( ) Cα= - [ Q + p+ + 1p - 2] ×p ,, Q 1 向量场的性质及基本解 α (α)) ( p - 1p+1p - 2 Q - p z d d z d t ,Q+ pα+ p α(+1) p - 1 R?( 1 + d 给定 向 量 场 { Z1 , , Zn , Zn + 1 , , Zn + m } , 记α()(α) 2 +1 2 +1 n+ m ) p - 2 Γ则α为 Pα在原点处的基本解. p ,, Q , p p2次椭圆算子 Pα, p u = divα Aαu Aαu , 式中 u 为 收稿日期 :2004 210 220 ( ) 证明 令式中 K z , t?0 . 由于 1 < p < Q , 从而 p - Q 1 (α) (α) - Q 2 +12 2 2 +1p - 1 α1 () 2 +1(α ) ε) Pαdεεδ( ) ( , p = K z , t. dε = z + + 1t +, ε n + m ? ) (R, 有进一步对任意 u ?C 则易知0 αα p - Q p - Qz z p - 1 p - 1 z ( ) Pαd , u = li mPαdεud z d t =, p , p Aαdε = ,n+ mα2+1 ε?0R?(α ) d + 1t ε α( )(α) ( )p - 2+1p - 2 zp - 2 d( ) )( K z , td z d t. u 0 , 0n+ mAα dε = . ( α) ( ) 2+1p - 2R ?dε n + m( ) Γδ所以在 D′R 内 Pα, pp ,α, Q =. 证毕. 记 类似可得 p > Q 时 Pα在原点处的基本解. 事 , p I 0n ,Aα =实上 , 取 α 0 z I m ( ) α (α ) ( ) Kz , t= [ Q + p+ + 1p - 2] ×1 n m 式中 I n 和 I m 分别为 R和 R上的恒等矩阵 , 则 p - 1 α )(α) ( p+1p - 2Q - p z d p - 2 , α() ( Q+ pα+ p+1) ααα ααP, p 可表示为 P, p u = div AAu Au, 式中 div(α ) 2 +1 p - 1 ( )1 + dα() 2 +1 n + m 为 R中的通常散度. 直接计算可得p - Q p - 1 ( ) 则 Pα, p 的基本解的形式为 C p , Qd , 其中 (α) ( )+1p - 2 ψ αεdp ,,p - 2 - 1( )Aα Aαdε Aαdε = Zα , 4 (α+1) ( p - 2) +1d ε ( ) ( )Kz , td z d t .C p , Q 1 = n+ m R?α α pp ψ 式中p ,α,ε = z / dε .令 p = 2 即得文献[ 1 ]中的结果. 当 p = Q 时 , Pα在, Q α)(2 + 1d ( ) ( ) αε 原点处的基本解为 C, Q lo g 1/ d. 事实上 , 设 f d另一方面 , 由 Zα z = z 和 Zαdε = 可得2α+ 1 dε ( ) ( ) = lo g 1/ dε, 则 f ′dε= - 1/ dε , 从而 αpαppα pα ( ε Zα z ) ( ) d - zZα d εQ- 2 ψZααε ==p ,, ( ( ) ( ) ) ( () )= divα Aαf dεAαf dε= Pαf dε α , Q 2 pε d α() ()1 2+Q- (α) d 1 α() - Q2 +12+1 εψ { ( )1 - Q d +ε αε- dQ, , α()α()) (+1Q- 22+1αψ( )pαε, 5 p ,, αd d ()ε ε 2 +1 dε (α)2 +1 (α ) ( ) (α) ( )[ Q + + 1Q - 2] dε ++1p - 2(α)) ( +1p - 2 dd (α ) ( ) Zα = + 1p - 2- ) α α ( ( ) (α+1) ( p - 2) +12 +12 +1 (α) ( ) +1p - 2+1αεα) () ( Q- [ + 1Q - 2+ 1] d} =d ε dε α() () +1Q- 2Q2 (α+1)αα) ( p +1 εd z d α() () .- 2+ 1Q - 1(α ) ( ) ( )( ) α[ + 1p - 2+ 1 ]. 62 +1Q) (α)(α) ( +1p - 2+12 +1 dε εd dε 记 ( ) ( ) 由 4—6式可得 (α)) ( α+1Q- 2 Q z d ( ) 2 (α ) ( ) , = - 2+ 1 Q - 1α() 2 +1Q d εp - 2 K z , t ) ( Pαdε = div Aα Aαdε Aαdε=, p (α)) ( +1p - 2 ψ αεdp ,, - 1 (α ) () + 1 Q +p - 2+ (α( ) ) +1p - 2+1 { ε d Cα( ) , Q Kz , td z d t , = 2 n+ mR?(α)2 (α+1)2 +1 αε(α) ( ) p[ + 1p - 2+ 1 ] d( ( ( δ) ) ( ) ) 则在点 z , t= 0 , 0处 , PαCαlo g 1/ d=., Q , Q ( )- . 7 (α)2 (α+1)2 +1d d ε ε p - Qp - 1 ( ) 现令 f dε= dε, 则 2 积分恒等式 1 - Q1 n m p - Q p - 1 Ω 引理 1 设为一 C域 , S 为 R×R中的任( ) f ′dε= dε.p - 1 一光滑实向量场 , 则α α+ 1 z d ( ) 因此 , 由 7式及 Aα dε = 可得α2+ 1 p - 2 p Σ ?nd= dZ u Z S u Zu Σ Zu S ?nd- p ? ε Ω 5j j p - 2 5Ω ? ( ( ) ) ( ) Pα, p f dε= div Aα Aαf Aαf = p p- 2 p - 1 div S Zu dzdt - pdiv ZS u Zu Zudzdt +j j ?Q - pΩ Ωp - 2 ?α - div AAαdε Aαdε = 1 - Q p - 1εd p - 2 u Pαu d z d t ,p[ S , Z] u ZuZu d z d t - p, p j j α α ) ( ) (- [ Q + p+ + 1p - 2] × S Ω Ω ??n+ m p - 1 α(α) (α) ( ) αp2 +1+1p - 2Q+ p+ p 1 Q - p εz d 2 2 .(α) +1 Ω 式中 n 为 5的外单位法向量; Zu =Zj u ; 6p - 1 d ε j = 1 记 Σ d为曲面微元. ( ) α (α ) ( ) 证明 由于K z , t= - [ Q + p+ + 1p - 2] × n+ m p - 1 α (α) ( )p+1p - 2 p Q - p z d 2 p p - 2 2, αα) ( ) (S Zu Zu ,Zu Q+ p+ p +1S Zu = S j = p Zuj j 6p - 1 (α) 2 +1 α()2 +1j = 1 ( ) 1 + d 由散度定理可得Z αd Ad( 在5 B r ) α 由于 n = 上, 所以 Z?n = = AdAdp p ) Σ ( d z d t = Zu?nd= div S ZuS Ω Ω 5d ??记. Ad p ( ) d z d t + div SZu Ω I 0n ? ,Bα =α2p - 2 0 z I m Zu d z d t +p[ S , Zj ] u Zuj Ω ? 1 ψ则易知 Zu Zd = Bα Ad ? A u = αZαu . 因此2 , p - 2 d Σ S u Zu Zu Z?nd-pj j Ω5? p - 2 s Σ d Zαu ZuZj u Zj ?nd= p - 2 5 B ?r Zu d z d t -( ) j pdiv ZSu Zuj Ω ?s- 2p - 2 2 ψΣα αα d 2 ,Zu Zu Z?nd,5 B ?ru Pαu d z d t.pS , p Ω ?( )11 证毕. s- 1 p - 2 d Zu Zαu Zu Zd d z d t =j j B ? r当 p = 2 时 , 引理 1 就是文献[ 2 ]中的命题 2 . 2 . [ 2 ] p - 2 2 s - 2引理 2对于 1 ?j ?n + m 有[ Z, Zα ] = Z.j j ψ( ) α Zud Zαud z d t. 122B ? r 在引理 1 中取 S = Zα , 并利用引理 2 立即可得( ) ( ) ( ) ( ) 将 11—12式代入 10式即得 9式. 以下结论.若在引理 4 中取 s = 0 , p = 2 , 则由 Zαd = d 可得 Ω引理 3 设为分片域 , 则以下变分 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 . p - 2 p n + m 2 Σ Σ pZαu ZuZj u Zj ?nd- ZuZα ?nd=)(R 推论 1 若 u , Z j u , Pα , αZ u ?L , 则对任 Ω Ω 55??意的 r > 0 均有 p ( )( )p - QZud z d t + pZαu Pα, p u d z d t. 8Ω Ω ??1Q - 22 2 Σ d= Zu d z d t + Zu ?n + m 5 B B A dr ? rr ( ) ( ) 引 理 4 设 B r = { z , t ?Rd z , t< r} , n + m 2 2 1( ) ( ) 5 B r = { z , t?Rd z , t= r} , 则Z u Au ?Ad 5B B rr??rrAd α α α αu Pαu d z d t. ZΣd- p s Σ α Zu d Z?nd- α 注 1 以上引理及推论对?1 也成立. 5 B ?rn + m 1 2 (Ω) Ω定理 2 设< R是一个 C区域 , u ?C?是 2 sZαu p - 2 Σ ψ pd2 ,αZα ?nd=Zu ( ) ( ) Ω Pαu = - f z , t , u在 中的一个解 , 其中 f z , t , s:5 B?d r Ω) ×R关于 s 是局部 L ip schitz 的 , 且s p 1 ( ) Q + s - pd Zu d z d t -( ( ) ) (Ω) ) ( Γ在 z , t处可测 , f z , t , 0= 0 , f z , t , ???, B ? r 1 2 (Ω) ) ( ) Zf z , t , s?L ×[ 0 , ?, 则 Zαu d p - 2 ψα Zud z d t - ps2 , B?r ( ) [ 2 Q F z , t , u- Ω ? s d Z u P u d z d t.9p, p B?( )) ( ) ( z , t , uz , t , sQ - 2 ufds ] d z d t = ? ( )α α u r + 2 Zαf 0s 证明 在引理 1 中令 S = dZα , 可得 n+ m 2p s Σ Σ 2 Zαu Zu Z?nd-Zu Zα ?n d+ j j Σ Zu d Zα ?n d-6ΩΩ5 5 ? ?j = 15 B ?r s p - 2 ( ) Σ Σ 2F z , t , uZα ?nd+Zu Z?nd=j j d Zαu Zu pΩ 5?5 B?r n+ m s p ( ) Σ( ) Q - 2u Zu Z?n d, 13j j ( )Q + s - pd Zu d z d t -6 Ω5?j = 1 B ? r u ( ) 式中 F z , t , u= ps ( ) s- 1 p - 2 f z , t , sds.BZαu Zu Zd d z d t -?d Zu j j 0 ?r 证明 因为s ( )d Zαu Pαu d z d t , 10, p p B?r ?s s- 1 其中用到了[ S , Z] = - dZ- sd Zd Zα ,j j j s ( ) div S = Q + sd, div Z= 0 .j ( ) 由 13式和散度定理可得 Z u P u d z d t = Q( ) F z , t , ud z d t - α α Ω Ω?? n m Q/ p (Ω) > 0 , r > 0 ,C = C R×R, V L ( ) Σ F z , t , uZα ?nd+5Ω ? ( ) Ω使得对每个 B? z , t, 2 r < 有 u ( ) ( ) Z f z , t , sds d z d t. 14δ δΩ u d z d t. 0 u d z d t ?C???α ( ( ) )( ( ) )B z , t, r ? B z , t , 2 r 由于 0 1 , p (Ω) 证明 由弱解的假设可知对任一 < ?S 有 n+ m 1 12 2 2 n+ m ( ) αα[ 2 Zu+ 2 uZu ] -Pu- u Pu = j j 6 p- 2 p- 1 2 2 j = 1 ( ) ( )ZZu Zu 0 ,?u Zu = Zu , j 6 j = 1? (Ω) α( ( ) ) α C0 , 0 ??1 , 并且在 B z , t, r内?1 , 在并且 ( ( ) ) α ( ) αB z , t, 2 r外?0 , Z?C/ r. 将 < 代入 16 式 n+ m 1 2 1 2 2 Z ?Ωj = 1 u d z d t =j n+ m 可得 6 Ωp - 1p - p +1 ? j = 1 α( ε) V u u +d z d t =Ω ?( ) ZuZud z d t ,j j p - 2p - 1 - p +1 α(ε) αp Zuu + 〈Zu , Z〉d z d t +n+ mn+ m Ω?( ) Σ ZuZud z d t , u Z u Z?nd= j j j j 66Ω Ω 5??p j= 1j = 1- p p ?所以 Ω Zu d z d t , α ( ) ( ε)n+ m - p + 1u + 所以 2 Σ u Zu Z?nd+j j p - p p 5Ω ?j = 1 ) α( ε) ( p - 1 u +Zu d z d t ?Ω ? ( )( ) u f z , t , ud z d t. 15p - 1 - p +1 p - 1 Ω ?α( ε) α p u +Zu Zd z d t + Ω ? ( ) ( ) ( ) ( ) 将 14—15式代入 8式 取 p = 2可得 p n+ m α( )V d z d t. 172 Ω ?Σ Σ Zαu Zu Z?nd-Zu Zα ?nd= j j Ω5 2 ? 6Ω 5?j = 1 ( ε) 设 v = lo g u +, 则 n+ m - 1 ε) ( Zu , Zv = u +Σ u Zu Z ?nd+j j ( ) 2 - Q 6p - 1 - p +1 p - 1 Ω 5?j = 1ε) ( ( )Zv = u +Zu , 18 p- pp ε) ( = u + Zu . Zv ( ) ( ) ) (f z , t , udzdt + 2QF z , t , udzdt - 2 - Qu ΩΩ ?? ( ) ( ) 将 18式代入 17式得 u p ( ) Σ( ) 2Fz , t , uZα ?nd+ 2Zαf z , t ,sds dzdt ,p d z d t ? Ω Ω 0 5 ( ) α???p - 1Zv Ω ? ( ) 整理后即得 13式. d z d t +Vd z d t. p( ) 注 2 13式即为所谓的 Rellic h2Po hozaev 型Ω ?Ω?p - 1 p - 1 p α ααZv Z恒等式. 由 Höl de r 不等式及 Yo ung 不等式可得 3 二重不等式 p p αZv d z d t ? Ω ?α 设 = 2 ,4 , , 则 Zj , j = 1 , , n + m 满 足 1p - p p p ζ αZv d z d t +Ω p - 1 p ?1 , p p p (Ω) Hörmander 条件. 设 S为满足 u + Zu <1 p α d z d t ?Ω +Zp - 1 ?Ω ζp 0 1 , p ? 1 , p Q- p (Ω) (Ω) (Ω) ?的函数的全体 , S为 C按 S中模的 0 Q1 1 , p 1 , p B z , t , 2 r V L(Ω) (Ω) 完备化 , S 为 S的局部化. ?p - 1 Q/ p ( ( ) )loc B z , t, 2 r ( ( ( ) ) ) d z d t = n m 1 , p 1p(Ω) pp Ω定理 3 设< R×R是一个开集 , u ?Sloc α d z d t + ζ αZ Zv d z d t + p - 1Ω Ω ( )ζ ?p - 1? ( ) 1 < p < Q是方程 Q- p 1 n+ m Q/ p Q ( ( ) )V ( ( ( ) B z , t, 2 r) ) p - 2 L B z , t, 2 r p - 1 , ΩZZu Zu = - V u , 在内j j 1 p - 6j = 1 ζ式中 0 << 1 , 移项可得 Qp Ω 的一个非负弱解 , 其中 V ?L , 则存在 p p ( ζ)α1 - Zv d z d t ? n m / p Qδ δ = R×R, V (Ω) > 0 , ΩL ? p α= 0 , 其中为正整数. C 1 H N - 1 ( ( ) ) B z , t, 2 r+ 6 p - 1Ω, Z ( )ζrp - 1 Ω< G 是一光滑的连通有界域 ,且关于4 设 定理 Q- p 1 Q Q/ p ( ( ) )V ( ( ( ) ) ) B z , t, 2 r?L B z , t, 2 rα 0 ,( )() ( ) ΩΓΩ? 是问题2 的一个非负z, t?是星形的 , u ? p - 10 0 ? (Ω) ( ) Ω×R关于 s 是局部 解 ,其中 f z , t , s:×R ?R ?C ( ) ) ( B z , t, 2 r Q/ p 1 + VC ( ( ( ) ) ) .L B z , t, 2 r pr ( ) ( ) ( )Lip schitz 的 ,且在z , t处可测 , f z , t , 0= 0 , f z , t , ? 由 D . J eri so n 建立的 Poi nca re 不等式可得 1 1 (Ω) ( ( ) (Ω) ) Γ) ??,5f z , t , u?0 , Zf z , t , s?L×[0 , ?,u ? ? 1 p Ω (Ω) (Ω) 在5上 u = 0 , Zu ?L, Zαu ?L . 如果当v - vz , t , r d z d t ?B ( ( ) ) ( ( ) B z , t, r) ( ( ) ) B z , t, r ? u?0 时Q/ p C 1 + V ( ( ( ) ) ) .L B z , t, 2 r ( ) ) ( ( ) 2 Q F z , t , u- Q - 2uf z , t , u+ δ这表明 v 是有界平均振荡的 ,从而存在> 0 ,使得对每 u δ ( ) ( ) 2 Zαf z , t , sds ?0 , 19 ( ( ( )ε( () ) ) ) Ω一 B z , t, r,当 B?z , t,2 r<时u +?A ,即 2 0 ? δ u1 ( ε)u +d z d t × ( ) ( ) 式中 F z , t , u= f z , t , sds , 则 u ?0 .( ( ) )( ( ) ) B z , t, rB z , t, r?0 ?δ- ? 1 ( ε) u +d z d t (Ω) ?C. 证明 由引理 1 知 u ?C . 由于 6 是一个 ( ( ) )( ( ) ) B z , t, rB z , t, r? 紧集 , 由文献[ 10 ]中的定理 1 知 , 对 6 的每一个有界ε由 Fato u 定理知 , 上式在将 u +换为 u 时仍然成 ? ?(Ω) 开邻域 U 有 u ?C ?\ U . 结合引理 2 , 选取 C 的 立. 结合 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 讨论可知结论成立.ΩεΩΩ一族连通开集 ε , 它满足 ε ?,?0 , 并且 u ? ? 1 2 11 ΓΩΓΓΩΩΓΩε ε ε ε C ?ε , 5ε = ?,< 5\ 6 ,?5\ 6 ,4 解的不存在性 2Ω?0 . 在 ε 上应用定理 2 , 可得 ΓH N - 1 ε n m Ω一个光滑区域< R× R关于 Z 的特征集定 义为 Ω?ε( ) ( ) ( ) [ 2 Q F z , t , u- Q - 2uf z , t , u+ n+m ( ( ( ) ) Ω ) Ω ? = { z , t?5Zj z , t? T( z , t) 5, u6 6 1 ε0 Γ?j = 1 , 2 , , n + m } . j = 1 ΣZαuZuZ?nd-j j Ω, Z ( )2Zαf z , t ,sds]dzdt = 2 6? 2 类似于文献[ 5 ]中齐次群情形下星形域的定义 , 本文 Σ Σ ( ) Zu Zα ?nd+ 2F z , t , uZα ?nd+1 1 ΓΓ??ε ε 引入以下定义. n+ m n m ()Ω 定义 1 设< R× R是一个包含原点0 , 0 Σ( ) j j Q - 2u Z u Z?n d + 1 6 n m 1 Γ?εj = 1 ( ) ?R×R的 C类连通开集 , 如果对任意的 z , t? n+ m2 ( ) ΩΩ α M < 5都有 Z?n z , t?0 , 则称 关于原点在子Σ Σ 2 Zαu Zu Z?nd- Zu Zα ?nd+j j 226 ΓΓ??εε j = 1 Ω Ω集 M 上是星形的. 如果 关于原点在子集 M = 5 n+ m Ω 上是星形的 , 则称 关于原点是星形的. 如果存在 Σ)Σ() (2Fz ,t ,uZα ?nd+ Q - 2u Zu Z?nd. j j 2 2 6 ΓΓ??ε j = 1 ε β( ) βΩ 一个常数=Ω > 0 , 使得对任意的 z , t?M < 5 ( )20 ( ) βΩ 都有 Zα ?n z , t?> 0 , 则称 关于原点在子集 1 A u() Γ在上知 M 上是一致星形的.ε由 n = - A u 0n+ m ( ) ΩΩ类似可得关于点 z, t?为星形域或一致0 0 2 Σ Zu Zα ?nd. 1 Γ? j = 1 ε ε ΓΓ(ξ) (η) 因为在ε 上 u = 0 , 所以在ε 上 u - u α 0 ,< ? , Γsup = u ξηΩ,?1 1 α uξη)(d , ( Σ () ) Fz , t , u= f z , t , sds = 0 , u Zu Z?nd= 0 ,j j 1 1 (α) 2 +12 2 Γ0 ??ε 2 α(+1) ξη) (α ) ( d ,= [ z - z′+ + 1t - t′],( ) 从而 20式变为ξ ( ) η ( ) = z , t, = z, t′′, α0 ,? 0 ,α ΓΓ = { 0也成立. ( ) Σ( ) Q - 2 u Zj u Zj ?nd. 2126Γ ? j = 1ε2? ? Γ (Ω ) (Ω) 由 Zu ?L , Zαu ?L 和 H- 1 ?0 可εN 参考文献 : ( ) ( ) Ω 知 21式右端趋于 0 . 另一方面 , 由关于 z0 , t0 是[ 1 ] Ga rof alo N . U nique co ntinuatio n fo r a cla ss of ellip tic 星形的可得 Zα ?n ?0 , 从而根据单调收敛定理知operato r s w hich degenerate o n a ma nifold of ar bit ra r y 2 2 Σ Zu Zα ?nd.co dimensio n[J ] . J Diff Eqs ,1993 ,104 :117 . Ω 5? ε [ 2 ] Ga rof alo N , Shen Z. A bsence of po sitive eigenval ue s α 0 ,(Ω) Γ 由于 u ??, 所以fo r a cla ss of sub2ellip tic op erato r s [ J ] . Math Ann , ( ) ( ) ( ) [ 2 Q F z , t , u- Q - 2uf z , t , u+1996 ,304 :701 . Ω ? ε [ 3 ] Ga rof alo N , L a nco nelli E. Exi stence a nd no nexi st ence u ( ) α2Z f z , t , sds ] d z d t ?re sult s fo r semilinea r equatio ns o n t he Hei senber g 0 ?gro up [J ] . Indiana Un iv Math J ,1992 ,41 :1 . ( ) ( ) ( ) [ 2 Q F z , t , u- Q - 2uf z , t , u+[ 4 ] Niu Pengcheng. Nonexistence for semilinear equations and Ω ? usystems in t he Heisenberg group [ J ]. Journal of ( ) 2Z αf z , t , sds ] d z d t ,0 ?Mathematical Analysis and Appl ications ,1999 ,240 :47 . 因此[ 5 ] Garofalo N , Vassilev D. Regularit y near t he characteristic set in t he nonlinear Dirichlet p roblem and conformal ( ) ( ) ( ) [ 2 Q F z , t , u- Q - 2uf z , t , u+ Ω ?geomet ry of sub2Laplacians on Carnot group s [ J ]. Math u ( ) = 0. 2Z f z , t , sds]dzdt - ZuZ ?ndΩ 0 5??2 Ann ,2000 ,318 :453 . Σα α [ 6 ] Cui S. So me nece ssar y co nditio ns fo r local solvabilit y ( ) 而由 19式有 of linea r pa rtial diff erential operato r s [ J ] . J Diff Eqs , 2 Σ ( )Zα ?nd= 0 , 22 Zu Ω 51993 ,106 :1 . ? 由散度定理可得 [ 7 ] L uo Xuebo. Liouville’s t heorem for homogeneous differential operators [J ]. Comm P D E ,1997 ,22 :1 837. Σ Ω Zα ?nd= divα Zd z d t = Q . 5Ω Ω??[ 8 ] Wang Lihe. Hölder estimates fo r subelliptic operators [J ] . ( ) Ω因此存在5的某个子集 M , 满足 HM> 0 , 使得 N - 1 Journal of f unctional Analysis ,2003 ,199 :228. ΩΩ 在5上 Zα ?n > 0. 由 的光滑性知 , 存在一个开集[ 9 ] Derridj M. Sur un t ho réme de t races[J ] . èAnn Inst Fourier n m ΔΩαV < R×R,使得在= V ?5上 Zα ?n ?> 0. 因为 特Grenoble ,1922 ,22 :2 . Δ征集 6 是紧的 ,所以不失一般性可设?6 = D , 因 此[ 10 ] Xu Chaojia ng. The Dirichlet p ro blems fo r a cla ss of () ΔΩ由22式知水平梯度在上等于 0. 延拓 u , 使 u 在 semilinea r subellip tic equatio ns [ J ] . Nonl inear Anal , ( ) 外等于 0 ,从而可得问题 2在 V 上的一个弱解 , 它 1999 ,37 :1 039 . Some Integral Ident it ies and Non2Existence of Sol ut ions to the Semi2L inear Ba ouen di2Grushin 1 2 2C he n Y a n x i a, N i u Pe n gc he n g , Z h a n g H u i qi n g (1 . Camp us School of Fengtai Di st rict , Beijing 100071 ,China ; )2 . Dep art ment of Applied Mat hematic s , No rt hwe ster n Polytechnical U niver sit y , Xi’an 710072 ,Chi na Abstract :In t hi s p ap e r , we e st a bli sh so me Rellich2Po hozaev t yp e i de ntitie s o n t he vecto r fiel ds { Z, , Z, 1 n Z, , Z} w hich sati sf y H ör ma nder co nditio n to t he Bao ue ndi2Gr u shi n op e rato r , p ro ve t he no n2 n + 1 n + m e xi st e nce of sol utio n s to t he se mi2li nea r Bao ue ndi2Gr u shi n equatio n . Key words :Bao ue ndi2Gr u shi n op e rato r ; Rellic h2Po hozaev t yp e i de ntit y ; no n2e xi st e nce of sol utio n s ()责任编辑、校对 张 娣