关于二元函数的极限[1]

关 于 二 元 函 数 的 极 限 王润桃� (株洲职业技术学院,湖南 株洲 � 412000) 摘 � 要:讨论了二次极限与二重极限之间的区别与联系,二重极限不存在的判定 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 以及齐次有理分式 函数的极限存在的判别法。 关键词:二元函数; 极限;判别法 中图分类号: O211. 4 � � 文献标识码: A � � 文章编号: 1008- 2611( 2001) 05- 0033- 03 On the Limit of the Binary Function WANG Run�tao ( Zhuzhou Vocational and Technical Institute, Zhuzhou 412000, China) Abstract: In this article, stress is laid not only on the differences and connection between the quadric and the double limit, but also on the decision method of the inexistance of the double limit and the existence of the homogeneous rational fraction function. Key words: binary function; limit; decision method � � 二元函数的极限是反映函数在某一领域内的重要属性的 一个基本概念,它刻划了当自变量趋向于某一个定值时 , 函数 值的变化趋势。是高等数学中一个极其重要的问题。但是, 一 般来说,二元函数的极限比起一元函数的极限, 无论从计算还 是证明都具有更大的难度。本文就二元函数极限的问题作如 下探讨。 1 � 二次极限与二重极限 为讨论问题方便,先给出二次极限和二重极限定义。 定义 1� 设 z = f ( x , y )定义在区域 D 上, 对于二元函数 z = f ( x , y ) ,先将 y 固定, 视 f ( x , y )为 x 的函数, 再求 x x 0 的 极限, 得极限函数 F( y ) , 然后令 y y 0 ,若有极限 A , 则这个极 限就称为二次极限,记为 lim y y 0 lim x x 0 f ( x , y ) = A ; 类似地,可定义二次极限 lim x x 0 lim y y 0 f ( x , y ) = B。 定义 2� 设函数 z = f ( x , y )在点 p 0 ( x 0, y0 )的某一个领域 内有定义(点 p 0 可以除外) , 如果对于每一个任意给定的正数 �, 总存在一个正数 �, 使得对于适合不等式 0< | PP0 | = ( x - x 0) 2+ ( y - y 0 ) 2< �的一切点P ( x , y ) , 都有| f ( x , y ) - A | < � 成立,则称 A 为函数z = f ( x , y )当 x x 0, y y 0时的极限,记为 lim x x 0 y y0 f ( x , y ) = A , 称为二重极限,简称极限。 值得注意的是二次极限的次序是不能随便交换的。如函 数 f ( x , y )= x- y+ x 2+ y2 x + y , lim x 0limy 0 x- y+ x 2+ y2 x+ y = lim x 0 x+ x 2 x = 1, 而 lim y 0limx 0 x - y+ x 2+ y 2 x+ y = lim y 0 - y+ y 2 x = - 1。 又如函数 g( x , y ) = y sin 1 x , lim x 0limy 0 y sin 1 x = lim x 00= 0, 而 lim y 0limx 0y sin 1 x 却不存在。 二次极限与二重极限之间的关系如何? 仍以 g( x , y ) = y sin 1 x 为例 显然| y sin 1 x | ! | y | ! | x | + | y | , 当 x 0, y 0时, 必有 f ( x , y )趋于零。 所以 lim x 0 y 0 y sin 1 x = 0。 再看一例 lim x 0limy 0 xy x 2+ y 2 = lim x 00= 0; 第 15卷第 5 期 � � � � � � � � � � � � 株 � 洲 � 工 � 学 � 院 � 学 � 报 Vol. 15 No. 5 2001年 9 月 � � � � � � � � � � � Journal of Zhuzhou Institute of Technology Sep. 2001 � 收稿日期: 2001- 05- 31 作者简介:王润桃( 1955- ) ,女,湖南常德市人,株洲职业技术学院高级讲师。 lim y 0limx 0 xy x 2+ y2 = lim y 00= 0。 但容易证明 lim x 0 y 0 = xy x 2 + y 2不存在。事实上, 当点 P 沿直线 y = mx 趋于点 (0, 0) 时, f ( x , y ) = xmx x 2+ ( mx ) 2 = mx 2 (1+ m) 2x 2 m 1+ m2 这就证明了沿直线 y= mx 趋于原点 (0, 0)时, f ( x , y )趋 于一个与 m 有关的常数。所以 lim x 0 y 0 f ( x , y )不存在。 这两个例子说明了, 一般来说, 二次极限与二重极限之间 不存在某种必然关系, 也就是说, 二元函数极限是复杂的。是 否它们之间毫无关系? 仍从具体例子看。 设 f ( x , y )= x 2y x 2+ y 2 , 因为 x 2y x 2+ y 2 = x 2y x 2+ y 2 | y | ! | y | ! | x | + | y | , 所以当 x 和 y 趋于零时, 必有 f ( x , y ) 趋于零。所以 lim x 0 y 0 f ( x , y )= 0容易求得 lim x 0limy 0 x 2y x 2+ y 2 = 0, lim y 0limx 0 x 2y x 2+ y 2 = 0, 这就告诉我们, 二重极 限与二次极限还是有联系的。以下定理揭示了它们之间的关 系。 定理:若 f ( x , y )的二重极限存在, 设 lim x x 0 y y 0 ( x , y ) = A 且对任 一 y , 存在关于 x 的单重极限F ( y ) = lim x 0f ( x , y ) , 则二次极限 lim y y 0 F( y ) = lim y y 0 lim x x 0 f ( x , y )存在且等于二重极限, 即 lim x x 0 y y 0 f ( x , y ) = lim y y 0 lim x x 0 f ( x , y ) = A。 下面给出定理的证明: 由二重极限定义可知, 对于任意给定的 �> 0, 必存在 �> 0,使当| x- x 0| < �, | y- y 0| < �, ( x , y ) ∀ ( x 0, y0 )时 | f ( x , y )- A | < � 2 。 在 0< | y- y 0| < �中,任意固定 y ,在上面不等式中令 x x 0求极限。 即得 | F( y )- A | ! � 2 < �。 而这就是 lim y y 0 F (y ) = A 即 lim y y 0 lim x x 0 f ( x , y ) = A。 � 证毕。 若将条件改为:对任一 x ,存在关于 y 的单重极限 ( x ) = lim y y 0 f ( x , y ) ,则有 lim x x0 y y 0 f ( x , y )= lim x x0 lim y y0 f ( x , y )= A 定理的结论表明, 只要二重极限存在, 并且能够求出相应 的二次极限,则二重极限就等于这个二次极限。 2 � 二元函数极限不存在的判定方法 对于二元函数的极限,下面给出两种判断极限不存在的方 法。 首先设 z= f ( x , y )在区域 D 内有定义, 且( 0, 0)点是 D 内 的一个聚点。 方法一:设 y= y 1( x ) , y = y 2( x )是 D 中两条不同的连续曲 线, 满足 lim x 0� ( y 0�) y i( x ) = 0, ( i = 1, 2) ,如果 lim x 0� ( y 0�) f [ x , y i( x ) ] = A i, (A 1∀ A 2)。 或者对某个 i( 1! i ! 2) lim x 0� ( y 0�) [ ( x , yi ( x ) ) ]不存在, 则 lim x 0� ( y 0�) ( x , y )不存在。 这是一种判定二元函数极限不存在的基本方法。它表明 了若采用不同的曲线函数极限不同, 则二重极限不存在。 例如讨论 f ( x , y ) = x x+ x 2+ y 2 当( x , y ) (0, 0)的极限。 这个函数的定义域是去掉包含原点的 x 负半轴的 xOy 平 面, 当点( x , y )沿直线 y= kx ( k ∀ 0)趋于点( 0, 0)时 lim x 0 y= kx 0 x 2 x 2+ x 4+ y 4 = lim x 0 x 2 x 2+ x 4+ ( kx ) 4 = lim x 0 x 2 x 2+ x 2 1+ k 4 = lim x 0 1 1+ x 2+ 1+ k 4 = 1 1+ 1+ k 4 结果说明 lim x 0 y= kx 0 x 2 x 2+ x 4+ y 4 不存在。 方法二:设 g( x , y )与 h( x , y )分别在 D 1, D 2 上有定义, 而 D= D1 #D2 ∀ !, 且(0, 0)是 D 的一个聚点。 又设 lim g x 0 y 0 ( x , y )不存在,而 lim x 0 y 0 h( x , y ) = B (定数) , 如果 f ( x , y )满足下列三个条件之一。 � f ( x , y )= g( x , y ) ∃ h( x , y ) ; % f ( x , y )= g( x , y ) h( x , y ) ,且 B∀ 0; & f ( x , y )= g (x , y ) h( x , y ) , 且 B ∀ 0。 则 lim f x 0 y 0 ( x , y )不存在。 下面给出% 的证明 [证]若不然, 设 lim x 0 y 0 f ( x , y ) = A (定数) ,由于 lim x 0 y 0 h( x , y ) = B ∀ 0, 不妨设 B > 0,对于给定的 �= B 2 > 0, 存在 �> 0, 使得当点 ( x , y ) ∋ G= { ( x , y ) | 0< x 2+ y 2< �且( x , y ) ∋ D}就有 | h ( x , y )- B | < B 2 , 从而 h(x , y ) > B 2 > 0, ( x , y ) ∋ G, 于是当( x , y ) ∋ G 时, 有 g( x , y )= f ( x , y ) h( x , y ) 进而 lim x 0 y 0 ( x , y )= lim x 0 y 0 f ( x , y ) h( x , y ) = lim x 0 y 0 f ( x , y ) lim x 0 y 0 h(x , y ) = A B 这与已知矛盾。故 lim x 0 y 0 f ( x , y )不存在。 例 判定 lim x 0 y 0 exy�1 y+ sinx 不存在 取 g( x , y )= xy y + sinx , h( x , y ) = exy- 1 xy , 则 exy- 1 y+ sinx = g( x , y )( h( x , y )。 可以证明: lim x 0 y 0 xy y+ sinx 不存在。事实上, 选取路径 y = - sinx+ bx 2( b> 0)即可。而 lim x 0 y 0 h ( x , y ) = 1, 故 lim x 0 y 0 exy�1 y+ sinx 不存 在。 34� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 株 � 洲 � 工 � 学 � 院 � 学 � 报 � � � � � � � � � � � � � � � � � � 2001 年 3 � 齐次有理分式函数 f ( x , y )的极限存 在判别法 齐次有理分式函数形如 f ( x , y ) = g( x , y ) h( x , y ) , g( x , y ) = a0x m+ a1x m- 1y+ a2x m- 2+ )+ amym , h( x , y ) = b0x n+ b1x n- 1y+ b2x n- 2y 2+ )+ bny n, 其中 m 和n 均为正整数。 判别法 1 对上述 f ( x , y ) , 当 m > n 时 � 若关于 x 的方程h( x , 1) = 0和关于 y 的方程 h(1, y ) = 0 都无实根,则 lim x 0 y 0 ( x , y )= 0 % 若方程 h(x , 1) = 0 或 h(1, y ) = 0有实根, 则 lim x 0 y 0 ( x , y )不 存在。 判别法 2 对上述 f ( x , y ) , 当 m < n 时, lim x 0 y 0 f ( x , y )不存在。 判别法 3 对上述 f ( x , y ) , 当 m = n 时, lim x 0 y 0 f ( x , y )存在的充要条件是 f ( x , y )= C(常数) 下面证明判别法 3 [证] (必要性) 不妨设 lim x 0 y 0 f ( x , y ) = C (定数) , 则对于任意非零常数 k , 都 有 f ( x , kx ) = x n( �n i= 0 aik i) x n ( �n i= 0 bik i) = �n i= 0 aik i �n i= 0 bik i 。 由 lim f x 0 y 0 ( x , y ) ∗ c,则应有 lim f x 0( x , kx ) ∗ c, 所以� n i= 0 aik i ∗ C( �n i= 0 bik i )即�n i= 0 ( ai- Cbi) k i= 0, 于是 ai= cbi( i = 0, 1, )n) , 从而 f ( x , y ) = ( �n i= 0 aix n- iyi ) ( �n i= 0 bix n- iyi ) = ( C �n i= 0 bix n- iy i �n i= 0 bix n- iki = C。 (充分性) : 若 f ( x , y ) ∗ C,显然有 lim x 0 y 0 f ( x , y ) = C � 证毕。 这一组法则对于讨论齐次有理分式函数的极限较为方便。 下面举几个例子作为法则的应用 1) f ( x , y )= x 5+ y5 x 4 + y 4 , 此时 m > n, 且 h ( x , 1) = x 4+ 1, h (1, y ) = 1+ y 4 , 显然 h ( x , 1)= 0 与 h(1, y ) = 0均无实根, 所以 lim x 0 y 0 f ( x , y ) = 0。 我们可以用其它方法求 lim x 0 y 0 x 5+ y 5 x 4+ y 4 。 因为 x 5+ y 5 x 4+ y 4 �0 ! x 5 x 4+ y 4 + y 5 x 4+ y 4 ! | x | | x 4+ y4 | | x 4+ y 4 | + | y | | x 4+ y4 | | x 4+ y 4| = | x | + | y | , 所以当 x 0且 y 0时, 必有x 5+ y 5 x 4+ y 4 0, 故 � lim x 0 y 0 f ( x , y ) = 0。 2) f ( x , y ) = x 4+ 2x 3y+ 2x 2y2+ 2xy 3+ y 4 x 3+ y 4 此时 m> n,但 h( 1, y ) = 1+ y 3= 0 中唯一实根- 1, 而- 1 又是 g(1, y )= 0的实根,这表明 g( x , y )与 h( x , y )有公因子 x + y ,可分解如下: x 4+ 2x 3y + 2x 2y 2+ 2xy 3+ y 4= ( x+ y ) ( x 3+ x 2y+ xy 2+ y3 ) , x 3+ y 3= ( x+ y ) ( x 2- xy+ y 2) , 所以 lim x 0 y 0 f ( x , y )= lim x 0 y 0 x 3+ x 2y+ xy 2+ y 3 x 2- xy+ y 2 此时 h1(1, y )= 1- y+ y 2= 0 和 h1( x , 1) = x 2- x+ 1= 0均 无实根, 所以 lim x 0 y 0 f ( x , y ) = 0 3) f ( x , y ) = xy x 3+ y3 此时 m= 2, n = 3, m< n, lim x 0 y 0 f ( x , y )不存在。 4) f ( x , y ) = xy x 2+ y2 此时 m= n,但 f ( x , y ) ∀ C, limx 0 y 0 f ( x , y )不存在。 二元函数的极限计算方法十分灵活, 作为本文的结尾, 再 给出两道极限计算题。 1) 求 � lim x 0 y 0 xy+ 1- 1 x+ y 此时选择 y= x n- x , ( n 为正整数) ; 则原式= lim x 0 y= x n - x 0 xy+ 1- 1 x + y = � lim x 0 x n+ 1�x 2+ 1- 1 xn = lim x 0 x n+ 1�x 2 xn ( xn+ 1�x 2+ 1+ 1)= � lim x 0 x- x 2- n xn�1�x 2+ 1+ 1= � 0, 当 n= 1。 1 2 ,当 n= 2 故函数当 x 0 且 y 0 时极限不存在。 + , 当 n,3。 2) 求 � lim x 0 y 0 xy x 2+ y 2 此时令 x= ∀cos#, y= ∀cos#, 则( x , y ) (0, 0)时, 必有 ∀ 0, 于是 lim x 0 y 0 xy x 2+ y2 = lim∀ 0 ∀cos#∀sin#∀ = lim∀ 0∀cos#sin#= 0 二重极限的计算方法是灵活的,它的灵活性主要 来自自变量在变化过程中可以沿直线, 可以沿曲线,可 以沿任意路径。但万变不离其宗,还是有些规律可循, 这些规律有些还需要我们不断探讨。 参考文献: [ 1] � 谢世瑜,陈光祥.齐次有理分式函数的极限存在判别法[ J] .数学通 报, 1984, ( 2) : 28- 29. [ 2] � 蔡森甫,刘浩荣.高等数学.下册[M ] .上海:同济大学出版社, 1980. 92- 93. 35第 5期 � � � � � � � � � � � � � � � � � � 王润桃 � � 关于二元函数的极限 � � � � � � � � � � � � � � � � � � �