仓库容量有限条件下的随机存贮管理

第 36 卷第 7 期 2006 年 7 月 数学的实践与认识 MATHEMATICS IN PRACTICE AND THEORY Vol136 　No17 　 July , 2006 　 仓库容量有限条件下的随机存贮管理 李 　力 , 　付亚楠 , 　魏军胜 (天津大学 材料 关于××同志的政审材料调查表环保先进个人材料国家普通话测试材料农民专业合作社注销四查四问剖析材料 科学与工程学院 , 天津　300072) 摘要 : 　讨论了仓库容量有限条件下的随机存贮管理优化问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 ,认为时间是连续分布的. 对于存贮一种商 品的问题 ,根据订货点和自己仓库容量的关系分两种情况讨论 ,得到平均损失费与订货点、到货时间之间的 关系式 ,利用实测数据拟合出到货时间的概率密度 ,建立了以平均损失费用的数学期望为目标函数的最优化 模型 ,并使用 MATLAB 数学软件进行求解 ,得到三种商品的最优订货点分别为 41 ,37 和 36. 经过 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 得知仓 库容量与销售速率的比例、单位商品的损失费均对确定订货点都有重要影响. 对于存贮多种商品的问题 ,根 据到货时间的取值范围与两个时间临界点(销售完租借仓库中某种商品的时间和销售完所有该种商品的时 间) 之间的位置关系 ,将每种商品分为六种情况 , m 种商品组合起来 ,就有 6 m 种不同情况 ,在此基础上 ,以 m 种商品的总体平均损失费用的数学期望作为目标函数 ,建立问题的最优化模型 . 针对题目中给出的三种商 品的情形进行求解 ,得到最优订货点 L 3 = 41807. 最后 ,对销售速率随机的情形建立模型并进行了讨论. 关键词 : 　有限仓库容量 ; 随机存贮管理 ; 最优订货点 ; 存贮策略 1 　问题重述 (略) 2 　模型假设 假设 1 　商品的销售速率不变 (问题 1 - 4) ; 假设 2 　时间是连续的 ,并随时检查仓库中的存贮量以确定订货点和计算损失费 ; 假设 3 　仓库随时向商场供货 ,且运输时间忽略为零 ; 假设 4 　货物到达后 ,仓库中的存货量立即补为 Q ,即卸货时间忽略不计. 3 　变量及符号说明 q2 ( t) :时刻 t 自己仓库存贮的商品量 ; q3 ( t) :时刻 t 租借仓库存贮的商品量 ; T1 :售完存贮在租借仓库中的商品的时间 ; T2 :售完所有存贮的商品的时间 ; T :销售周期 ,即本次到货时间与下次到货时间间隔 ; L i :订货时第 i 种商品的存贮体积 , i = 1 ,2 , ⋯, m ,L i < 0 时认为该商品已经缺货. 其它变量如题目中所述 ,个别引入符号在下文中会有具体说明. 4 　模型的建立、求解与分析 对于本文所研究的问题而言 ,为了使费用最小 ,必然要先销售租借的仓库中的商品. 4. 1 　只存贮单一商品的情形 11 模型的建立 存贮量 q 随时间 t 的变化曲线如图 1 所示 ,图中 　　T = Q - L r + X , T1 = Q - Q0 r , T2 = Q r 图 1 　存贮量 q 与时间 t 关系示意图 对于只存贮单一商品的情形 ,不可能是在已经缺货的情况下才开始订货 ,所以 0 ≤L ≤ Q ,图 1 中 L 和 X 的位置仅为示意. 为便于理解 ,我们根据 L 与 Q0 的关系分两种情况讨论 , 建立模型. 1) 0 ≤L ≤Q0 的情况 : 一个销售周期 T 内总损失费用 Y总 为L 和 X 的函数 ,即 　　Y总1 = c1 + c2∫ T 0 q2 ( t) d t + c3∫ T1 0 q3 ( t) d t ( X < L r ) c1 + c2∫ T2 0 q2 ( t) d t + c3∫ T1 0 q3 ( t) d t + c4∫ T T2 | q2 ( t) | d t ( X ≥ L r ) (1) 其中 : 　q2 ( t) = Q0 (0 ≤ t ≤ T1 ) - rt + Q ( T1 < t < T) , 　q3 ( t) = - rt + ( Q - Q0 ) 　(0 ≤ t < T1 ) 一个销售周期 T 内 ,平均每天的损失费用 Y ( L , X) = Y总T ,即 Y1 (L , X) = c1 T + c2 T∫ T 0 q2 ( t) d t + c3T∫ T1 0 q3 ( t) d t X < L r c1 T + c2 T∫ T2 0 q2 ( t) d t + c3T∫ T1 0 q3 ( t) d t + c4T∫ T T2 | q2 ( t) | d t X ≥ L r (2) 代入 T , T1 , T2 , q2 ( t) , q3 ( t) 得到 : Y1 (L ,X) = c1 r Q - L + rX + c3 2 (Q - Q0)2 Q - L + rX - c2 r 2 Q - L r + X + c2 Q 　+ c22 (Q - Q0)2 Q - L + rX ,　X < L r c1 r Q - L + rX + c3 2 (Q - Q0)2 Q - L + rX + c2 2 2QQ0 - Q20 Q - L + rX 　+ c42 r Q - L r + X - 2Q + Q 2 Q - L + rX ,　X ≥ L r (3) 3817 期 李 　力 ,等 :仓库容量有限条件下的随机存贮管理 设 f ( x) 是 X 的概率密度函数 ,则 　　EY1 ( L , X) =∫ + ∞ - ∞ Y1 (L , x) f ( x) d x (4) 若 pj = P ( X = xj ) , j = 1 ,2 , ⋯是 X 的分布率 ,则 　　EY1 ( L , X) = ∑j Y1 ( L , xj ) pj (5) 得到最优化模型 : min EY1 ( L , X) 　　s. t . 0 ≤L ≤Q0 ( 3 ) 本文把 X 看作连续变化的量 ,因此解题时用 (4) 计算 EY1 ( L , X) . 2) Q0 < L ≤Q 的情况 : 总损失费用为 : Y总2 = c1 + c3∫ T 0 q3 ( t)d t + c2∫ T 0 q2 ( t)d t X ≤L - Q0 r c1 + c3∫ T1 0 q3 ( t)d t + c2∫ T 0 q2 ( t)d t L - Q0 r < X ≤L r c1 + c3∫ T1 0 q3 ( t)d t + c2∫ T2 0 q2 ( t)d t + c4∫ T T2 | q2 ( t) | d t X > L r (6) 平均每天的损失费用为 Y2 (L ,X) = c1 T + c3 T∫ T 0 q3 ( t)d t + c2T∫ T 0 q2 ( t)d t X ≤L - Q0 r c1 T + c3 T∫ T1 0 q3 ( t)d t + c2T∫ T 0 q2 ( t)d t L - Q0 r < X ≤ L r c1 T + c3 T∫ T1 0 q3 ( t)d t + c2T∫ T2 0 q2 ( t)d t + c4T∫ T T2 | q2 ( t) | d t X > L r (7) 代入 T , T1 , T2 , q2 ( t) , q3 ( t) 得 : 　Y2 (L ,X) = c1 r Q - L + rX + c3 2 (Q + L - 2Q0 - rX) + c2 Q0 X ≤ L - Q0 r c1 r Q - L + rX + c3 2 (Q - Q0)2 Q - L + rX - c2 r 2 ( Q - L r + X) 　+ c2 Q + c2 2 (Q - Q0)2 Q - L + rX L - Q0 r < X ≤L r c1 r Q - L + rX + c3 2 (Q - Q0)2 Q - L + rX + c2 2 2QQ0 - Q20 Q - L + rX 　+ c42 (L 2 + r 2 X2 - 2rLX) X > L r (8) 得到最优化模型 : 　　min EY2 (L , X) 　　s. t . Q0 < L ≤Q ⋯⋯⋯⋯( 3 3 ) 对于某一种商品 ,分别比较 minEY1 (L , X) 和 minEY2 ( L , X) ,取二者中较小者对应的 L 3 为该商品的最优订货点. 2. 模型求解与分析 481 数 　学 　的 　实 　践 　与 　认 　识 36 卷 以下代入问题二所给的具体数据分别求解这三种商品的最优订货点. 商品一 : 将 r , c1 , c2 , c3 , c4 , Q0 , Q 代入 (3) 式 ,得 : Y1 (L ,X) = 140 - 01005L2 + 0112XL - 0172X2 60 - L + 12X X < L 12 140 + 01475L2 - 1114XL + 6814X2 60 - L + 12X X ≥ L 12 (9) 根据题中所述以及对所给数据的分析 ,我们认为 X 可以是 0 ———7 天中的某个随机天 数 ,而且每个数字应该表示一段时间 ,比如数字 7表示的是时间轴上的区间[7 ,8) . 所以在求 概率密度时进行了对 X 的频率从 0 到 8 的拟合. 用 Origin 对 X 的概率密度函数进行Lorentz 拟合 ,得 　　f ( x) = 01009702 + 2π 1151384 3 ( x - 219832) 2 + 1151382 (0 ≤ x < 8) 0 ( x < 0 或 x ≥8) (10) 根据所给模型 ,用 MATLAB 求解 ,得 min EY1 ( L , X) = 315887 ,此时 L 31 = 3919999. 将 r , c1 , c2 , c3 , c4 , Q0 , Q 代入 (8) 式 ,则有 : Y2 (L ,X) = 132 + 014L - 418X + 0124LX - 0101L2 - 1144X2 60 - L + 12X 0 < X ≤ L - 40 12 140 - 01005L2 + 0112XL - 0172X2 60 - L + 12X L - 400 r < X ≤ L12 140 + 01475L2 - 1114XL + 6814X2 60 - L + 12X X > L 12 (11) 求得 min EY2 (L , X) = 315831 ,此时 L 32 = 4113918 商品二 : 利用 Y1 ( L , X) 求得 minEY1 (L , X) = 412252 ,L 31 = 3710612 利用 Y2 ( L , X) 求得 minEY2 (L , X) = 412636 ,L 32 = 4010000 商品三 : 利用 Y1 ( L , X) 求得 minEY1 (L , X) = 1116191 ,L 31 = 2010000 利用 Y2 ( L , X) 求得 minEY2 (L , X) = 916367 ,L 32 = 3614637 对以上数据进行比较 ,取最优值 minEY ( L , X) 较小者作为最终结果 ,得到三种商品对应 的最优订货点分别为 4113918 ,3710612 ,3614637 ,考虑到实际情况 ,分别取为 41 ,37 ,36. 结合这三种商品的数据及计算结果 ,可以看出 ,我们建立的模型比较合理 ,适用于解决 一些实际问题. 当单位商品的各种损失费用相同时 ,对于销售速率较小且仓库容量较大的 商品 ,订货点较小 ,因为这类商品的缺货风险较小 ,而损失主要是由存贮造成的 ;反之 ,订货 点较大 ,因为该类商品的缺货风险较大 ,损失主要由缺货造成. 此外 ,对于不同商品 ,单位商 品的各种损失费用存在差别 ,而该费用对商品订货点也有一定影响. 一般来说 ,单位商品的 存贮费用越高 ,订货点就应该越小 ;而单位商品的缺货费用越高 ,订货点应该越大. 4. 2 　存贮 m 种商品的情形 1. 模型的建立 为叙述方便 ,在下文中 ,以下标 i 表示第 i 中商品 , i = 1 ,2 , ⋯, m . 用 TL 表示从仓库满货 到开始订货的时间 ,根据题意可知 5817 期 李 　力 ,等 :仓库容量有限条件下的随机存贮管理 　　TL = Qi1 - L i1 vi1 ri1 = Qi2 - L i2 vi2 ri2 　( i1 ≠ i2 ) 并且 T、TL 和 X 三者之间的关系为 : T = TL + X . 在一个销售周期 T中 ,设到货时间 X 为分布于区间[ a , b ] 上的随机变量 ,其中 0 ≤a < b , b 为广义正实数 ;则根据区间[ a , b ] 与两个临界点Qi - Q0 i ri vi (销售完租借仓库中的第 i 种 商品的时间) 和 Qi ri vi (第 i 种商品全部销售完的时间) 之间的位置关系 ,可将此种商品在一个 销售周期内的平均损失费用 (除去订货费用) 分为六种情况 : ①当 0 ≤ TL + a < TL + b ≤ Qi - Q0 i ri vi 时 , Y1 i ( X ,L i , Qi , Q0 i ) = 12 Tc3 i ( TL + X) [ ( Q i - Q0 i ) + Qi - ( TL + X) ri vi - Q0 i ] + c2 i T Q0 i ( TL + X) (12) 式中 Y1 i 表示第 i 种商品的第 1 种情况 ,以下类推. ②当Qi - Q0 i ri vi < TL + a < TL + b ≤ Qi ri vi 时 , 　　Y2 i ( X ,L i , Qi , Q0 i ) = 1T c3 i 2 ( Q i - Q0 i ) Q i - Q0 i ri vi + c2 i T Q0 i Q i - Q0 i ri vi + c2 i 2 T TL + X - Q i - Q0 i ri vi [ Q0 i + Q - ( TL + X) ri vi ] (13) ③当 Qi ri vi < TL + a < TL + b 时 , 　　Y3 i ( X ,L i , Qi , Q0 i ) = c3 i2 T ( Q i - Q0 i ) Q i - Q0 i ri vi + c2 i 2 TQ0 i Q i - Q0 i ri vi + Q i ri vi + c4 i 2 T TL + X - Q i - Q0 i ri vi TL + X - Q i ri vi ri vi (14) ④当 TL + a < Qi - Q0 i ri vi < TL + b ≤ Qi ri vi 时 , Y4i (X ,Li ,Qi ,Q0i ) = 1 2Tc3i ( TL + X) [ (Q i - Q0i ) + Qi - ( TL + X) rivi - Q0i ] 　+ c2iQ0i ( TL + X) 　 TL + X ≤Q i - Q0i rivi 1 T c3i 2 (Q i - Q0i ) Q i - Q0i rivi + c2i T Q0i Q i - Q0i rivi + c2i 2T TL + X - Q i - Q0i rivi 　·[ Q0i + Q - ( TL + X) rivi ] 　 TL + X > Q i - Q0i rivi (15) ⑤当Qi - Q0 i ri vi ≤ TL + a < Qi ri vi < TL + b 时 , 681 数 　学 　的 　实 　践 　与 　认 　识 36 卷 Y5i (X ,Li ,Qi ,Q0i ) = 1 T c3i 2 (Q i - Q0i ) Q i - Q0i rivi + c2i T Q0i Q i - Q0i rivi 　+ c2i2T TL + X - Q i - Q0i rivi [Q0i + Q - (TL + X) rivi ] TL + X ≤Q i rivi c3i 2T (Q i - Q0i ) Q i - Q0i rivi + c2i 2TQ0i Q i - Q0i rivi + Q i rivi 　+ c4i2T TL + X - Q i - Q0i rivi TL + X - Q i rivi rivi TL + X > Q i rivi (16) ⑥当 TL + a < Qi - Q0 i ri vi 且 TL + b > Qi ri vi 时 , Y6i (X ,Li ,Qi ,Q0i ) = 1 2Tc3i ( TL + X) [ (Q i - Q0i) + Qi - ( TL + X) rivi - Q0i ] 　+ c2iQ0i ( TL + X) TL + X ≤Q i - Q0i rivi 1 T c3i 2 (Q i - Q0i) Q i - Q0i rivi + c2i T Q0i Q i - Q0i rivi 　+ c2i2T TL + X - Q i - Q0i rivi [Q0i + Q - ( TL + X) rivi ] Q i - Q0i rivi < TL + X ≤ Q i rivi c3i 2T (Q i - Q0i) Q i - Q0i rivi + c2i 2TQ0i Q i - Q0i rivi + Q i rivi 　+ c4i2T TL + X - Q i - Q0i rivi TL + X - Q i rivi rivi TL + X > Q i rivi (17) 每一种商品都存在以上六种可能的情况 ,因此 m 种商品组合起来 ,就有6 m 种不同情况. 用 Yi 表示第 i 种商品的某一种情况 ,则 m 种商品的总平均损失费用为 : 　　Yj ( X ,L1 , ⋯,L m , Q1 , ⋯, Qm , Q01 , ⋯, Q0 m ) = ∑ m i = 1 Yi + c1 T 其中 j = 1 ,2 , ⋯,6 m ,即上式对应于 m 种商品组合起来的 6m 种不同情况. 于是 　EYj ( X ,L1 , ⋯,Lm , Q1 , ⋯, Qm , Q01 , ⋯, Q0 m ) =∫ b a ∑ m i = 1 Yi + c1 T f ( x) d x 得到最优化模型 : min EYj ( X ,L1 , ⋯,Lm , Q1 , ⋯, Qm , Q01 , ⋯, Q0 m ) j = 1 ,2 , ⋯,6m 　　s. t . 　 ∑ m i = 1 Q0 i = Q0 , ∑ m i = 1 Qi = Q , TL = Qi1 - L i1 vi1 ri1 = Qi2 - L i2 vi2 ri2 ( i1 ≠ i2 ) , Q0 i ≥0 , Qi > 0 , Qi ≥Q0 i , Qi ≥L i , ( 3 3 3 ) 比较min EYj ( X ,L1 , ⋯,L m , Q1 , ⋯, Qm , Q01 , ⋯, Q0 m ) ,这6 m 种结果中优化值最小者对应 的 L 31 k , ⋯,L 3mk , Q 31 k , ⋯, Q 3mk , Q 301 k , ⋯, Q 30 mk 为问题的最优化条件. 即若 min EYk ( X ,L1 , ⋯,Lm , Q1 , ⋯, Qm , Q01 , ⋯, Q0 m ) < min EYs ( X ,L1 , ⋯,Lm , Q1 , ⋯, Qm , Q01 , ⋯, Q0 m ) ( k、s = 1 ,2 , ⋯,6 m ,且 k ≠ s) , 7817 期 李 　力 ,等 :仓库容量有限条件下的随机存贮管理 则 min EYk ( X ,L1 , ⋯,Lm , Q1 , ⋯, Qm , Q01 , ⋯, Q0 m ) 所对应的 L 31 k , ⋯,L 3mk , Q 31 k , ⋯, Q 3mk , Q 301 k , ⋯, Q 30 mk 为问题的最优化条件 ,此问题的最优订货点 L 3 = ∑ m i = 1 L 3ik ( L 3ik > 0) . 2. 模型求解与分析 对于问题四所给商品的情形 ,根据以上所建立的模型 ,用 MA TLAB 对这63 种可能的状态 组合分别求出目标函数的最优值及其所对应的最优化条件 ( L 31 ,L 32 ,L 33 , Q 31 , Q 32 , Q 33 , Q 301 , Q 302 , Q 303 ) . 其中得到有效解 78组 ,按照最优值由小到大的顺序进行排序 ,表 1 列出了前 10 组的部分数据 ,由此可得问题的最优解为 314171 ,其对应的组合状态为 (555) ,最优化条件 为 (017997 ,110575 ,219498 ,117734 ,210312 ,611955 ,017207 　110474 ,412319) , 所 以 L 3 = 41807. 通过对以上实际问题及结果的分析 ,可以看出 ,我们所建立的模型可以较好的解决类似 的实际问题. 但是当商品数量 m 增大时 ,组合状态以及计算量急剧增长 ,此时可以通过两种 方法进行简化 : 1) 根据所给数据之间的关系 ,事先排除一些不可能得到最优解的组合状态 ,然后再结 合建立的模型进行求解 ; 2) 按照本文在问题一中的模型 ,根据 L 与两个临界点的关系 ,对每种商品分三种情况 讨论 ,然后再进行组合 ,这样可以建立相对简单的数学模型进行求解. 表 1 　三种商品可能出现最优解的状态组合及对应的函数最优值 序号 组合状态 最优解 L 3 L 31 L 32 L 33 1 555 314171 41807 017997 110575 219498 2 565 31417724 41813387 01799693 11056853 21956841 3 655 31417748 41813147 01799162 11055703 21958281 4 665 314192 41823 018016 110567 219647 5 355 314243 416167 016 110578 219589 6 365 31425 416214 016 110597 219617 7 635 31469 413443 018009 016 219434 8 335 31475 411455 016 016 219455 9 553 31478 318525 017977 110548 2 10 563 314792 318567 018003 110564 2 　　　　注 : 组合状态 ( ijk) 表示这三种商品所处的状态分别为 i , j , k . 由于表宽所限 , Q 31 , Q 32 , Q 33 , Q 301 , Q 302 , Q 303 的值在表 1 中没有列出. 4. 3 　商品的销售是随机的情形 设第 i 种商品的平均每天损失费用 (除去订货费用) Yi 与 X , ri ,L i , Qi , Q0 i 的关系式为 Yi = g ( X , ri ,L i , Qi , Q0 i ) ,随机变量 X与 r1 , r2 , ⋯, rm 的联合概率密度为f ( x , r1 , r2 , ⋯, rm ) ,则 平均每天 m 种商品的总损失费用为 881 数 　学 　的 　实 　践 　与 　认 　识 36 卷 　　Y ( X , r1 , ⋯, rm ,L1 , ⋯,Lm , Q1 , ⋯, Qm , Q01 , ⋯, Q0 m ) = ∑ m i = 1 Yi + c1 T , 则其期望为 EY ( X , r1 , ⋯, rm ,L1 , ⋯,Lm , Q1 , ⋯, Qm , Q01 , ⋯, Q0 m ) = E ∑ m i = 1 Yi + c1 T =∫ + ∞ - ∞ ⋯∫ + ∞ - ∞ ∑ m i = 1 Yi + c1 T f ( x , r1 , r2 , ⋯, rm ) d xd r1 d r2 ⋯d rm 由此可以建立最优化模型 : 　　min EY ( X , r1 , ⋯, rm ,L1 , ⋯,Lm , Q1 , ⋯, Qm , Q01 , ⋯, Q0 m ) 　　s. t . 　 ∑ m i = 1 Q0 i = Q0 , ∑ m i = 1 Qi = Q , TL = Qi1 - L i1 vi1 ri1 = Qi2 - L i2 vi2 ri2 ( i1 ≠ i2 ) , Q0 i ≥0 , Qi > 0 , Qi ≥Q0 i , Qi ≥L i ( 3 3 3 3 ) 为了降低损失费用 ,无论是 X 还是 ri ( i = 1 , ⋯, m) 的分布发生变化 ,都必然导致 f ( x , r1 , r2 , ⋯, rm ) 的变化 ,进而导致最优订货点 L 3 的改变 ,这一特性在模型中正好明显体现出 来. 例如 ,当 X 或 ri ( i = 1 , ⋯, m) 在较大值处的概率密度增加时 ,缺货风险增大 ,此时应提 高订货时的存贮量 ,即 L 3 的值会相应增大 ;反之 , L 3 减小. 参考文献 : [1 ] 　朱道元. 数学建模案例精选[M] . 北京 :科学出版社 ,2003. [2 ] 　刘承平. 数学建模方法[M] . 北京 :高等教育出版社 ,2002. [3 ] 　吴翊 ,吴孟达 ,成礼智. 数学建模的理论与实践[M] . 长沙 :国防科技大学出版社 ,1999. [4 ] 　欧俊豪 ,王家生 ,徐漪萍 ,等. 应用概率统计[M] . 天津 :天津大学出版社 ,1999. [5 ] 　宋兆基 ,徐刘美. Matlab615 在科学计算中的应用[M] . 北京 : 清华大学出版社 , 2005. The Optimization of Random Storage Management on a Condition of Limited Storage Capacity LI Li , 　FU Ya2nan , 　WEI Jun2sheng (School of Material Science and Engineering , Tianjin University , Tianjin 300072 , China) Abstract : 　This paper discusses the optimization of random storage management on a condition of limited storage capacity , in which time is considered to be consecutive. The discussion , concerning the problem of one commodity storage , can be put into two catalogs according to the relationship between ordering point and storage capability. The relationship between average loss , ordering point and commodity’s arrival time is re2 vealed in this essay. The establishment of optimization model , which takes the expectation of average loss as 9817 期 李 　力 ,等 :仓库容量有限条件下的随机存贮管理 the objective function , is based on the probability density of arrival time fitted from the data recorded. Three optimum ordering points , 41 ,37 and 36 ,are achieved with the application of MATLAB to solve the model. The analysis demonstrates that the determination of ordering point is significantly influenced by the ratio be2 tween storage capability and sales’ rate and by the unit loss of commodity. For the problem of multi - com2 modity storage , there are 6 possibilities for every commodity according to the relation between the range of arrival time and two critical time points. The various possibilities will be as many as 6m when m kinds of commodities are stored together. A mathematical model on this issue can be set up with the expectation of the overall average loss of all these m commodities to be the objective function. The optimum ordering point for the problem of three commodities , L 3 = 41807 , is obtained with this model. Finally , another model for the situation of random sale rate is developed and further discussed. Keywords : 　limited storage capacity ; random storage management ; optimum ordering point ; storage strate2 gy 更　正 一、2006 年第五期 (Vol . 36 No. 5) P44 作者梁祺 ,单位改为江西省景德镇陶瓷学院 (湘湖校区) , 江西 景德　333403 二、2005 年第三期 (Vol . 35 No. 3) P59 投稿日期改为 2005203201 三、2005 年第六期 (Vol . 35 No. 6) P109 投稿日期改为 2005204212091 数 　学 　的 　实 　践 　与 　认 　识 36 卷