关于分段函数的常见题型

关于分段函数的常见题型关于分段函数的常见题型《数理化解题研究)zoo7年第JD期 ===========::======2==2==========::=:—?====:::==:===='====: ? 数学篇 =:?=='=====:: [至三] 江苏省金湖县教师进修学校(211600)徐加生? 函数是中学数学的核心内容,作为函数的一一种表现形式的分段函数,近年来,受到了高考和其他选拨性考试的重视.由于分段函数的表达式繁琐复杂,所涉及到的知识点较多,是学生比较畏惧的题.为帮助同学们克服学习中的困难,下而选取部...

关于分段函数的常见题型《数理化解题研究)zoo7年第JD期 ===========::======2==2==========::=:—?====:::==:===='====: ? 数学篇 =:?=='=====:: [至三] 江苏省金湖县教师进修学校(211600)徐加生? 函数是中学数学的核心内容,作为函数的一一种表现形式的分段函数,近年来,受到了高考和其他选拨性考试的重视.由于分段函数的表达式繁琐复杂,所涉及到的知识点较多,是学生比较畏惧的题.为帮助同学们克服学习中的困难,下而选取部分高考题, 分类解析分段函数常见的题型,供参考. 一 ,求分段函数的函数值 r{一1l一2(?1),. 例1谢(.. 1)'~ljfIf(1)ii L1+', = () (1(B)- (c)一(D425f 解析因0<1.<1 , - ~lf(.):一.,则 ,[')]=,(一主一)三妻?放选(B)? 二,求分段函数的解析式例2已知函数,()在R上是奇函数,且当砖; 0时():一2x,求,()在R上的解析式. 解析只要求出<0时I厂()的解析式.当<0 时,有一>0,由已知~!jtf(一)=(一)一2(一)= +. ' . ' f()是R上的奇函数,则厂(一)=一f(), . ' . f()=-f(一)=一一2. 故,()在R上的解析式是,()=【x 一 - 2 一 x(x ( ~0 < ) . , ). 三,求分段函数的值域例3对定义域分别是,的函数Y(),Y= ()'g(),当enc, g(), 规定函数JIl():{f(),当eH证, Lg(x),当证且c. (1)若函'()=,g()=,写出函数 ^()的解析式; (2)求问题1巾函数h(x)的值域; (3)若g(x)(+),其巾是常数,且E(0, 仃),请1—个定义域为R的函数Y(),及一个的值,使得h(x)=cos4x,并予以证明. 解析(1)易知JIl():j,e()u(,+?),【 l~x----1. 21 (2)当?1时,h()=一=一1+一—+2. 若>1时,则h()?4,其flll=2时等号成立.若 <1时,则^()?0,其r[Fix=0时等号成立.函数 h(x)的仇域为(一?,01u{1}u【4,+?).(3)略. 四,画分段函数的图象例4函数Y=e"…一Ix一1I的图象大致是() 解析本题关键魁太掉绝对值符号.容易得到 y:f-+?x-1'<<.. 又y:+一一->.,故本yi?(()<<1).又y+一一>,故本题应选(D). 五,求分段函数的最值 r2x+3,?0, 例5函数Y=?+3,0<?1,的最大值是【一+5.>1 解析设Y=:.厂(),则当?()jz,J,Y=,(0)= 3;当0<?1时,,,.=厂(1)=4;当>1时,Y:一 2数学篇《数理化解题研究~2oo7年第如期 =====:=::=:=:==========:=================== +5<一l+5=4.综上所述,知Y的最大值为4,即应填上4. 六,求分段函数的反函数例6求函二:,的反函数. 解析设Y=,(),当0??1时,一1?,,?O. 由Y=戈一1(o??1)得=T..?.f()= ~/(一1??O).当一1??O时.0<Y?1.由 Y=(一1?<o),得=一.贝9f一()=一?(o <?1).综上得厂():f?一??o),【一 ?(0<?1). 七,判断分段函数的奇偶性 f一2x+3(>O), 例7已知函数,()={o(:o),试判【一一 2x-3(<o). 断函数Y=,()的奇偶性. 分析利用函数奇偶性定义来判断,当<0时, 有一>O,贝9,(一)=(一)一2(一)+3=+2 +3=-f();当=O时()=厂(一)=O;当> O时,有一<0,贝4,(一)=一(一)一2(一)一3 =一+2一3=一).因此对于任意eR都有 ,(一)=一f(),所以厂()为奇函数. 八,解分段函数不等式例8设函加{麓 f()?1的自变量的取值范倒为() (A)(一?,一2]ulO,1O'1 (B)(一?,一2]uf0,lJ (C)(一?,一2IUI.1,10J (D)[一2,0]U[1,10j 分析当<1时,由(+1).?l,得?O或? 一 2,.?.?(一?,一2JU[0,1);当?1时,由4— _i_?l得8??10'...?[1,10].综上,E (一?,一2]U[0,10].故选(A). 九,解分段函数方程例9函数厂()={sin一(",rrx?').,. 一 <<.' 若 f(1)+厂(a)=2,则a的所有可能值为() A)1(B)一弩((c)1,一焦2(D)1,譬分析由于厂(1)=c.=1,又厂(1)+厂(口)=2, 得,(口)=1.-3—1<a<0时,f(a)=sin(zra)=1, 此时口=一;当口?《】时(口)=ea-I=1,此时口= 1.综合知应选(C). 十,解决分段函数的连续性函2),在点 l口(?2) = 2处连续,则a的值等:j:() (^)一1(B1(c)一丢(D)一1 分析当>2?=》一= 二x)-(2)一,.?.1 2222=4一.根据函数连(一 )(+)一+'一:+一'1叫姒垃续的定义知?==41 ,即选(B).. 毒蠢叠意谴.tjll|l 辽宁塔大连市开发区第一中学(116600)于会武? 本文给出函数,,=+一及其变形的性质,并举例说明该函数在高考题中的应}】,L||--~..t-Is"?;.,1l起师生对该函数的关注. 函数y=+(k>O)的图象如图1所示,它是

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