太阳方位角的计算[设计]
求太阳升起的方位角
广东省佛山市顺德区一中 刘华新
太阳从何方升起,这似乎是一个再简单不过的问题,一般人会不假思索地回答是从东方升起。从总体上来说,这也是对的,但是这种情况只能是说从全年的平均情况看是这样的。对于我们有了一定的地理知识,特别是有了地球运动、地平圈、方位角、天球概念有关知识的人来说就不能简单地这么认为了。
实际上在不同的季节、不同的纬度,太阳升起的方位角是不同的,不一定是从正东方升起。在夏季时,较高纬度地区太阳可以从东偏北50?到60?甚至更高角度升起,在西偏北同样的角度落下;冬季时可以从东偏南50?或者更多升起,在西偏南50?或以上落下。这时候我们还能说太阳是从东方升起吗,显然不能这么说。所以我们在夏天时可以说:“一轮红日从东北方升起,在西北方落下”。
那么怎样来准确计算太阳升起的方位角呢,这里我们来推导一个计算公式,把地理概念和
数学
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中的立体几何知识结合起来就不难解决这个问题了。
例:当太阳直射北纬20度时,求北纬30度地区太阳升起的方位角。
具体解决这个问题我想可以通过下面的8个步骤来解决和说明
(1) 我们可绘如下的图
图一
设观测者在北纬30度线上的某一点A点上,则D圈为A点所在的地平圈(注意地平圈一定与观测点A点到地心O的连线是垂直的,
另外由图中可看出地平圈与赤道平面的夹角即二面角为60度)。
地平圈和赤道(这里理解为天赤道)的交点E为正东方(东点)、交点W为正西方(西点)。另外,N为正北、S为正南、O为地心。
(2)还是见上面的图(图一),设地平圈与北纬20?的交点为B。
由于太阳直射在北纬20?线上,随着地球的自转,总有一刻
太阳会直射到B点,光线同时指向地心O,太阳和地平圈在同一
平面上,这时候A点的人太阳刚好可看到太阳升起。(为什么这
样说呢,这里我们要引入天球的概念,地平圈和赤道都无限延伸
与天球面相交,在天球尺度上,地球可以认为是一个点,位于天
球的中心。图中的观测点A可以认为就在地平圈的中心点,也
就是图中地心O点。本文中的图一、二、六都是天球尺度。)
显然太阳不是从正东点E升起的,而是偏北升起的。偏北多
少呢,我们只要求出地平圈上BE弧段所对应的弧度(即?BOE,
设为α)就行了,这是解题的关键,接下来就是一个纯数学的问
题了。
(3)如何求BE弧段所对应的弧度呢,我们又可画如下的图,图二,
图二 图三
画过B点的经线L与赤道交于F点,再象切西瓜一样取出
锥体O---BEF,又可画右面的图(图三)。 (4)现在专门研究锥体O---BEF(也可见图四)求出?BOE(即角α)。
不难理解平面BFO与平面EFO垂直(这是因为经线圈平面
与赤道平面是垂直的)。由于观测者在A点所处的纬度为30度,
他所在的地平面与赤道的二面角就是90?- 30?=60?[见前面的图
二就可以推导出了,步骤(1)已交代过],所以地平面BEO块
与赤道平面上的EFO块的二面角也是60?。由于B点的纬度是
20?,所以?BOF是20?(设为β,见图四)。设地球的半径为R,
则BO、EO、FO都为R,它们是相等的。 (5)计算:过B点作分别交于FO、EO的垂线BH、BK。我们又
可画如下左面的图(四),
图四,立体视图, 图五
再从左图中取出三角形BHK(见图五)
不难理解三角形BHK一定是直角三角形。
我们可知道BH = Rsin?BOF = Rsin20?(根据正弦公式)
?BKH = 60?(即平面BEO与EFO的二面角,因BH垂直于
平面EFO,BK垂直于EO,根据二面角有关定理可
推导出?BKH = 60?,即平面BEO与EFO的二面角)。
0Rsin20BH所以BK = = , 知道了BK的长度,在图四00SIN60sin60
的直角三角形BKO中可以求出?BOK,即是?BOE为α,也就是太阳升起的方位角了。
0sin20R000sin20sin20BKsin60 因为sinα = = = = 000RBOsin60sin(90,30)
0,,sin20所以利用反三角函数可知α = arcsin,,00,,sin90,30,,
所以A点(北纬30度)在太阳直射北纬20度时,太阳升起的
0,,sin20方位角是东偏北arcsin = arcsin0.3949 = 23.26?,,0sin60,,
,,,sin由此我们可以推导出公式:α= arcsin,,0,,sin90,,,,
,,,sin或可写成α= arcsin ,,cos,,,
α为太阳升起的方位角,
,为太阳直射点纬度,为当地的地理纬度。,
,(6) 由公式可知,当太阳直射点的纬度一定时,纬度越高时,,
α的值越大,即太阳偏离正东方升起的角度越大。
验证:例如当太阳直射在北纬20?时,北纬70?的太阳升起
0,,sin20的方位角是 α = arcsin= arcsin1=90?。这,,00,,sin90,70,,
说明了太阳是从正北点升起,又在正北点落下。或者理解为落下的一瞬间又升起,一天内太阳都在地平面上,说明了这里是极昼,符合客观事实。同理可证当太阳直射于赤道时,偏角α等于零,全球各地日出于正东方。
对于赤道这个特殊点来说,方位角就等于太阳直射点的纬度
,,,sin,,数,即α= arcsin= arcsin[sin]=,,00,,sin90,0,,
公式反映情况符合客观事实。
(7)应用:太阳直射在北半球时,δ取正值;太阳直射在南半
球时,δ取负值。不论观测者在南半球还是在北半球,偏角α为正时,方位角偏北;α为负时,方位角偏南。
适用范围:凡是没有极昼、极夜的地方都适用。
(8)意义:帮助我们理解不同纬度、不同季节太阳升起方位角的不同。
还可以帮助我们理解同一地点的地平圈上不同季节太阳的
周日运动的视图(即我们经常在资料上见到的如下的图六)。
对于理解高纬度地区昼夜长短变化大也有指导意义。
地平圈中心为观
测者~显然夏季
时太阳是从东偏
北的地方升起~
在西偏北的地方
落下~偏角为α
图六:北半球中纬度某地二分二至太阳在地平圈上的视运动图
用相同的几何方法,考虑非特殊的情况,进一步推导,我们还可得到球面三角公式。因为本文推导的公式可以说是球面公式的特殊情况,实际上不自觉地为全面的球面三角公式的推导打下了基础。所以说对本公式的进一步引伸和推导,我们还可以计算出不同时刻,不同地点的地平面上各天体的位置(地平方位和地平高度),对天文观测,对寻找天体都会有帮助。
刘华新