多元函数极值
课时教学计划表 (基础部:邓敏英) 授课日期: 教 案 编 号:第七章 06
课程名称 班级 专业、层次 高等数学 2010级机电2班 大专
理论 课型:
讲授 教学方式:
多媒体 教学资源
7.7多元函数的极值(第七章第七节) 授课题目(章、节)
教材:《高等数学》 参考书:《高等数学》(高教出版社，同济大学教材和主要参考书
数学系及盛祥耀等编著)
教学目的与要求:了解多元函数极值的概念，理解函数极值的必要条件，会用充分条件判定
二元函数的极值，掌握求极值的一般
方法
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;
教学重点和难点:
重点:多元函数极值的概念，求极值的一般方法。
难点:二元函数的极值的判定。
教学内容与时间安排:(1课时)
一、引入课题 (3分钟)
关于一元函数的极值,最大值和最小值等知识。
二、多元函数极值的概念 (35分钟)
定义， 定理1， 定理2(求极值的一般方法)，例题1，
三、 练习 (4分钟)
四、小结、布置作业 (3分钟)
思考题与作业:(选做题)习题7,7 第 1(1，2)题。
(选做题)习题7,7 第 1(3) 题。
课后体会:
7.7 多元函数的极值 一，引入课题
我们在前面学过一元函数的极值,最大值和最小值等知识。这对学习多元函数的极值有
很大的帮助。
二，新课:多元函数极值的概念
1. 极值的概念
Pxy,定义 设函数z=f(x,y)在点的某一邻域内有定义.如果对该邻域内任一异，，000
fxyfxy,,,,Pxy,于的点P(x,y),都有 则称函数z=f(x,y)在点处有极大P，，，，，，000000
fxyfxy,,,,Pxy,值;如果都有则称函数z=f(x,y)在点处有极小fxy(,)，，，，，，0000000
Pxy,值.函数的极大值和极小值统称为极值,使得函数取极值的点称为极值fxy(,)，，00000
点(
强调:定义中的极大值、极小值、极值、极值点等概念(
221,,xy例z=f(x,y)=在点(0,0)处取得极大值l(见书上图7-37)(
22z=f(x,y)=在点(0,0)处取得极小值0(见书上图7-38)( 24xy，
Z=f(x,y)=xy 在(0,0)处不取极值。
指出:在一般情况下,函数的极值并不容易看出,因此,与一元函数一样,我们需要研究二
元函数极值存在的必要条件和充分条件(
Pxy,定理l(极值存在的必要条件) 设函数z=f(x,y)在点处有极值,且在点，，000Pxy,fxy,fxy,处的两个偏导数,都存在,则必有 ，，，，，，000x00y00
fxy,fxy,=0, =0. ，，，，x00y00( 证明见书)
Pxy,强调指出:(1)函数z=f(x,y)在点处有极值, ，，000
Pxy,fxy,fxy,(2)点处的两个偏导数,都存在,则必有，，，，，，000x00y00fxy,fxy,=0, =0. 类似于一元函数,满足方程组 ，，，，x00y00
,fxy,0,,，，x,xy, 的点,称为函数z=f(x,y)的驻点. ，，,00fxy,0,，，,y,
(3)极值点一定是驻点.但驻点不一定是极值点.
22例如，函数z=在点(0,0)处的两个偏导数 xy,
fxfy0,020,0,020,,,,,，，，，xxyx,,00yy,,00
22所以点(0,0)是函数的驻点.但由(书上图7-39)看出(0,0)点不是函数的zxy,,
极值点(
注意:如何判断驻点是不是极值点呢?在一元函数极值中,有一种方法是用函数在驻点处
的二阶导数的符号去判断的,对于二元函数也有类似的方法可以证明，有下面的定理。
Pxy,定理2(极值存在的充分条件) 设函数z=f(x,y)在点的某一邻域内有二阶连，，000
Pxy,fxyfxy,0,,0,,续偏导数,且是函数的驻点，即.记 ，，，，，，000xy0000
2,,,,BAC0fxyAfxyBfxyC,,,,,,,,, 则 ，，，，，，xxxyyy000000
Pxy,(1)时,z=f(x,y)在点处有极值,且当A<0时,有极大值;当A>0时,有极,,0，，000
小值;
Pxy,时,函数z=f(x,y)在点处没有极值; (2) ,,0，，000
Pxy, (3) ,,0时,函数z=f(x,y)在点处可能有极值,也可能没有极值( ，，000
2，归纳出求极值的一般方法如下:
fxyfxyfxyfxyfxy,,,,,,,,, (1)求偏导:; ，，，，，，，，，，xyxxxyyy
,fxy,0,,，，x,(2)找驻点:联立方程组解之,得到所有的驻点; ,fxy,0.,，，,y,
2,,,BAC (3)判极值:将驻点代入二阶导数中,依次求出A,B,C,并计算出,判定驻点
是否为极值点,如果是极值点,则代入原函数中,求出极值(
3322例1 求函数f(x,y)=的极值( xyxyx,，，,339
解 (1)求偏导:对f(x,y)求偏导得
22fxyxxfxyyy,369,,36;,，,,,，，，，，xy
fxyxfxyfxyy,66,,0,,66.,，,,,，，，，，，，xxxyyy
(2)找驻点:联立方程组
2,fxyxx,3690,,，,,，，x, ,2fxyxy,360.,,，,，，,y,
解之,得
xxxx,,,,,,1,1,3,3,,,,, ,,,,yyyy,,,,0,2.0.2.,,,,
因此,函数有驻点(1,0)，(1,2)，(-3,0)及(-3,2)(
AfBfCf,,,,,,1,012,1,00,1,06 (3)判极值:在点(1,0)处,,于是 ，，，，，，xxxyyy
2 ,,,,,，,,,BAC0126720,
所以,函数在点(1,0)处有极值.又A0,所以函数在点(1,0)处有极小值,代入原函数,算得>
极小值为f(1,0)=-5
2ABC,,,,12,0,6同理，在点(1,2)处，，所以,函数在点(1,2),,,,,BAC720,处没有极值(
2ABC,,,,12,0,6在点(-3,0)处，，所以,函数在点(-3,0),,,,,BAC720,处没有极值(
2ABC,,,,,12,0,6在点(-3,2)处，，所以,函数在,,,,,BACA72<0,<0又点(-3,2)处有极大值为f(-3,2)=31.
指出:(1)对f(x,y)求偏导数， (2)找驻点，解联立方程组，(3)判极值:(关键一步) 三、练习 习题7,7 第 1(1，2) 题。
四、小结:本节主要讲了多元函数极值的概念，极值的必要条件，充分条件，求极值的 一般方法。通过学习要理解极值的概念、必要条件、充分条件，掌握求极值的一般方法。
布置作业 习题7,7 第1(3)题。
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