解析几何题目

解析几何题目 . 22xy1. 如图，椭圆C:，,1的右顶点是A，上、下两个顶点 164 分别为B、D，四边形OAMB是矩形(O为坐标原点)，点E、P 分别是线段OA、AM的中点( (1) 求证:直线DE与直线BP的交点在椭圆C上; (2) 过点B的直线l、l与椭圆C分别交于点R、S(不同于B)，且 12 1 它们的斜率k满足kk,,，求证:直线RS过定点，并 、k12124 求出此定点的坐标( 1 (1) 证明:由题意，得A(4,0)，B(0,2)，D(0，,2)，E(2,0)，P(4,1)( 1所以直线DE的方程为y,x,2，直线BP的方程为y,,x，2.(2分) 4 16y,x,2，x,，,,5,解方程组得 ,1,6x，2，y,, , ,4y,，,5 166,,，所以直线DE与直线BP的交点坐标为.(4分) ,55, 16622,,,,22,5,,5,166xy,,，因为在椭圆，,1，所以点，,1上( ,55,164164即直线DE与直线BP的交点在椭圆C上((6分) (2) 直线BR的方程为y,kx，2. 1 16k1x,,，2y,kx，2，,1,1，4k,,x,0，1,,22,解方程组或,得 xy2, 2,8ky,2，,，,1，,1 ,,164 y,，2,,1，4k1 22,8k16k11,,,，所以点R的坐标为.(9分) ,,221，4k1，4k,,11 11因为kk,,，所以直线BS的斜率k,,. 12244k1 1直线BS的方程为y,,x，2. 4k1 16k11x,，2y,,x，2，,,1，4k,4k,x,0，11,,解方程组或得 222,, x8k,2yy,2，,,1 ，,1， y,.2,,164,1，4k1 精华资料 . 2,28k16k11,,，所以点S的坐标为.(12分) ,,2211，4k，4k,,112,28k16k11,,，(若写成“同理可得点S的坐标为”，不扣分) ,,221，4k1，4k,,11所以R、S关于坐标原点O对称， 故R、O、S三点共线，即直线RS过定点O.(14分) 22xy2. 在平面直角坐标系xOy中，如图，已知椭圆E:，,1 22ab (a,b,0)的左、右顶点分别为A、A，上、下顶点分别为 12 1 B、B.设直线AB的倾斜角的正弦值为，圆C与以线段 12113 OA为直径的圆关于直线AB对称( 211 (1) 求椭圆E的离心率; (2) 判断直线AB与圆C的位置关系，并说明理由; 11 (3) 若圆C的面积为π，求圆C的方程( 2 . 解:(1) 设椭圆E的焦距为2c(c>0)， 1b1因为直线AB的倾斜角的正弦值为，所以,， 112233a，b22222于是a,8b，即a,8(a,c)，所以椭圆E的离心率 2c714e,,,.(4分) 2a84 14(2) 由e,，可设a,4k(k,0)，c,14k，则b,2k， 4 于是AB的方程为x,22y，4k,0， 11 |2k，4k|故OA的中点(2k,0)到AB的距离d,,2k.(6分) 2113又以OA为直径的圆的半径r,2k，即有d,r， 2 所以直线AB与圆C相切((8分) 11 1(3) 由圆C的面积为π知圆半径为1，从而k,.(10分) 2设OA的中点(1,0)关于直线AB:x,22y，2,0的对称点为(m，n)， 211 n2?,,1，,4,m,1则(12分) ,m，1n ,22?，2,0.,,22 142解得m,，n,. 33 精华资料 . 142,,22,,x,所以圆C的方程为，,1.(14分) y,,3,3,, 3. 如图，已知位于y轴左侧的圆C与y轴相切于点(0,1)，且被 ，过点H(0，t)的直线l与 x轴分成的两段弧长之比为2?1 圆C相交于M、N两点，且以MN为直径的圆恰好经过坐标 原点O. (1) 求圆C的方程; (2) 当t,1时，求出直线l的方程; (3) 求直线OM的斜率k的取值范围( 3. 解:(1) 因为位于y轴左侧的圆C与y轴相切于点(0,1)， 所以圆心C在直线y,1上( 设圆C与x轴的交点分别为A、B， 2π由圆C被x轴分成的两段弧长之比为2?1，得?ACB,， 3 CB,2，圆心C的坐标为(,2,1)， 所以CA,22所以圆C的方程为(x，2)，(y,1),4.(4分) (2) 当t,1时，由题意知直线l的斜率存在，设直线l方程为y,mx，1， ,4x,，,2,m，1,,y,mx，1，x,0,,,,由或得 ,222 ，x，2，y,1m,4m，1，，y,1，,4，,,,, y,.2,,m，1 2,4,4m，1m,,，不妨令M，N(0,1)， ,,22m，1m，1,, 因为以MN为直径的圆恰好经过O(0,0)， 22,4,4m，1mm,4m，1??,,，所以OM?ON,?(0,1),m,0，解得m,2?3， ,,222m，1m，1m，1,, 故所求直线l方程为y,(2，3)x，1或y,(2,3)x，1.(10分) (3) 设直线OM的方程为y,kx， |,2k,1|3由题意知，?2，解之得k?， 241，k 精华资料 . 134同理得,?，解之得k?,或k,0. k43 由(2)知，k,0也满足题意( 43,，，，0，,?，,所以k的取值范围是?.(14分) ,3，，4， 4. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C由 圆弧C和圆弧C相接而成，两相接点M、N均在 12 直线x,5上(圆弧C的圆心是坐标原点O，半径 1 为13;圆弧C过点A(29,0)( 2 (1) 求圆弧C的方程; 2 (2) 曲线C上是否存在点P，满足PA,30PO, 若存在，指出有几个这样的点;若不存在，请说明理由; (3) 已知直线l:x,my,14,0与曲线C交于E、F两 点，当EF,33时，求坐标原点O到直线l的距离( 223. 解:(1) 圆弧C所在圆的方程为x，y,169，令x,5，解得M(5,12)， 1 N(5，,12)((2分) 则线段AM中垂线的方程为y,6,2(x,17)，令y,0，得圆弧C所在圆的 2 圆心为O(14,0)( 2 又圆弧C所在圆的半径为r,29,14,15， 2222 所以圆弧C的方程为(x,14)，y,225(x?5)((5分) 222 (2) 假设存在这样的点P(x，y)，则由PA,30PO，得x，y，2x,29,0.(8分) 22,x，y，2x,29,0，,, 由解得x,,70(舍去);(9分) 22 x，y,169，,13?x?5，，,, 精华资料 . 22,x，y，2x,29,0，,, 由解得x,0(舍去)， 22 ，x,14，，y,225，5?x?29，，,, 综上知，这样的点P不存在((10分) (3) 因为EF,r，EF,r，所以E、F两点分别在两个圆弧上(设点O到直线 21 l的距离为d， 2222因为直线l恒过圆弧C所在圆的圆心(14,0)，所以EF,15，13,d，14,d， 2 (13分) 1 6151 61522222即13,d，14,d,18，解得d,，所以点O到直线l的距离为. 164 (16分) 22xy 5. 在平面直角坐标系xOy中，椭圆C:，,1(a,b,0)的右焦点为 22ab F(4m,0)(m,0，m为常数)，离心率等于0.8，过焦点F、倾斜角为θ 的直线l交椭圆C于M、N两点( (1) 求椭圆C的 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 方程; 1152 (2) 若θ,90?时，，,，求实数m; MFNF9 11 (3) 试问，的值是否与θ的大小无关，并证明你的结论( MFNF c45. 解:(1) ? c,4m，椭圆离心率e,,， a5? a,5m.? b,3m. 22xy? 椭圆C的标准方程为，,1.(4分) 2225m9m22xy9m(2) 在椭圆方程，,1中，令x,4m，解得y,?. 2225m9m5 精华资料 . 9m? 当θ,90?时，直线MN?x轴，此时FM,FN,.(6分) 5 1110? ，,. MFNF9m 15210521? ，,，? ,，解得m,2.(8分) MFNF99m9 11(3) ，的值与θ的大小无关((9分) MFNF 证明如下:(法1) 设点M、N到右准线的距离分别为d、d. 12 MF4NF411511? ,，,，? ，,(，)((11分) 5d5MFNF4ddd12122a9m又由图可知，MFcosθ，d,,c,， 1c4 49m144? d(cosθ，1),，即,(cosθ，1)((13分) 154d9m51 14444同理，,[cos(π,θ)，1],(,cosθ，1)( d9m59m52 1144448? ，,(cosθ，1)，(,cosθ，1),. dd9m59m59m12 158101? ，,?,. MFNF49m9m 显然该值与θ的大小无关((16分) (法2) 11当直线MN的斜率不存在时，由(2)知，，的值与θ的大小无关( MFNF当直线MN的斜率存在时， 22xy设直线MN的方程为y,k(x,4m)，代入椭圆方程，,1，得 2225m9m2223242(25kx,200mkx，25m(16k,9),0. ，9)m 设点M(x，y)、N(x，y)， 1122 ? Δ,0恒成立， 222，16k,9，25m200mk? x，x,?x,，x.(11分) 22121225k25k，9，9 MF4NF444? ,，,，? MF,5m,x，NF,5m,x.(13分) 1225m525m555,x,x1244 4，x，10m,，x212590k，90111110? ，,，,,,. 2MFNF44169m81mk，81m25m,x5m,xxx,4m，x，x，，25m1212125525显然该值与θ的大小无关((16分) 精华资料 . 6. 在直角坐标系xOy中，中心在原点O，焦点在x轴上的 椭圆C上的点(22，1)到两焦点的距离之和为43. (1) 求椭圆C的方程; (2) 过椭圆C的右焦点F作直线l与椭圆C分别交于A、B ??两点，其中点A在x轴下方，且AF,3FB.求过O、A、B 三点的圆的方程( 精华资料 . 22xy6. (1) 解:由题意，设椭圆C:，,1(a,b,0)，则2a,43， 22ab a,23.(2分) 22xy81(22，1)在椭圆，,1上，所以，,1，解得b,3， 因为点222ab12b22xy故所求椭圆方程为，,1.(5分) 123 (2) 证明:设A(x，y)，B(x，y)(y,0，y,0)(点F的坐标为F(3,0)( 112212 ,,3,x,3，x,3，，x,,3x，12，1212,,??,,由AF,3FB，得即 ?(7分) ,y,3y，y,,3y，,,,,1212 又A、B在椭圆C上， 2210，,3x，12，，，,3y22x,，2，,1，,,3123所以解得 ,,22xy222 ，,1，y,.2,,1233 102所以B(，)，代入?得A点坐标为(2，,2)((12分) 33 ??因为OA?AB,0，所以OA?AB. 所以过O、A、B三点的圆就是以OB为直径的圆， 10222其方程为x，y,x,y,0.(16分) 33 22xy ?. 如图，已知椭圆C:，,1的左、右顶点分别为A、B， 1612 右焦点为F，直线l为椭圆的右准线，N为l上一动点， 且在x轴上方，直线AN与椭圆交于点M. (1)若AM,MN，求?AMB的余弦值; (2)设过A、F、N三点的圆与y轴交于P、Q两点，当线段PQ 的中点坐标为(0,9)时，求这个圆的方程( 精华资料 . 22xy37. 如图，椭圆，,1(a,b,0)过点P(1，)，其左、右焦点 22ab2 精华资料 . 1分别为F、F，离心率e,，M、N是椭圆右准线上的两个动点， 122 ??且FM?FN,0. 12 (1) 求椭圆的方程; (2) 求MN的最小值; (3) 以MN为直径的圆C是否过定点,请证明你的结论( c137. 解:(1) ? e,,，且过点P(1，)， a22 19，,1，22,a4b22,a,2，,xy? ? 椭圆方程为解得,，,1.(4分) ,a,2c，43 b,3，, 222,,a,b，c， ??(2) 设点M(4，y)，则FM,(5，y)，FN,(3，y)， )，N(4，y121122 ??FM?FN,15，yy,0， 1212 1515,,,,y? yy,,15.又MN,|y,y|,|?215， ,，|y112211,y,|y|11? MN的最小值为215.(10分) y，y,y||y1221(3) 圆心C的坐标为(4，. )，半径r,222，y,y，y，y122122圆C的方程为(x,4)，(y,,)， 2422整理得:x，y,8x,(y，y)y，16，yy,0.(16分) 121222? yy,,15，? x，y,8x,(y，y)y，1,0. 12122令y,0，得x,8x，1,0，? x,4?15. ? 圆C过定点(4?15，0)((16分) 精华资料 . 22xy 8. 如图，椭圆，,1的左焦点为F，上顶点为A，过点A 43 C两点( 作直线AF的垂线分别交椭圆、x轴于B、 ?? (1) 若AB,λBC，求实数λ的值; (2) 设点P为?ACF的外接圆上的任意一点，当?PAB的 面积最大时，求点P的坐标( 8 . 解:(1) 由条件，得F(,1,0)，A(0，3)，直线AF的斜率k,3. 1 3 ? AB?AF，? 直线AB的斜率为,. 3 3 则直线AB的方程为y,,x，3.(2分) 3 令y,0，得x,3.? 点C的坐标为(3,0)((3分) 3y,,x，3，,3242 由,24x,0.解得x,0(舍)，x,. 得13x12,2213xy ，,1，,43 2453 ? 点B的坐标为(，)((5分) 1313 AB?? ? AB,λBC，? λ,0，且λ,. BC 24 138 ? λ,,.(7分) 2453,13 (2) ? ?ACF是直角三角形，? ?ACF外接圆的圆心为D(1,0)，半径为2. 22? 圆D的方程为(x,1)，y,4.(9分) ? AB是定值，? 当?PAB的面积最大时，点P到直线AC的距离最大( 过D作直线AC的垂线m，则点P为直线m与圆D的交点((11分) ? 直线m的方程为y,3(x,1)((13分) 精华资料 . 22代入圆D的方程，得(x,1)，3(x,1),4.(14分) ? x,0或x,2(舍)( 则点P的坐标为(0，3)((16分) 2x2 9.已知椭圆,1的左顶点为A，过A作两条互相垂直的弦 ，y4 AM、AN交椭圆于M、N两点( (1) 当直线AM的斜率为1时，求点M的坐标; (2) 当直线AM的斜率变化时，直线MN是否过x轴上的一定点, 若过定点，请给出证明，并求出该定点;若不过定点，请说明理由( 9. 解:(1) 直线AM的斜率为1时，直线AM:y,x，2，(1分) 2代入椭圆方程并化简得:5x，16x，12,0，(2分) 664解之得x,,，? M(,，)((4分) ,,2，x12555 (2) 设直线AM的斜率为k，则AM:y,k(x，2)， y,k，x，2，，,,22222则)x，16kx，16k,4,0.(6分) ,化简得:(1，4kx2,1，，y ,,4 22,8k? 此方程有一根为,2，? x,，(7分) 2M1，4k2,82k同理可得x,.(8分) 2Nk，4 6由(1)知若存在定点，则此点必为P(,，0)((9分) 522,8k,,，2k,,21，4k,,y5kM? k,，(11分) ,,22MP62,8k4,4k6x，，M2551，4k 5k同理可计算得k,.(13分) 2PN4,4k 6? 直线MN过x轴上的一定点P(,，0)((16分) 5 精华资料 . 22xy210. 已知椭圆E:，,1(a,b,0)的离心率为，且过 22ab2点P(2，2)，设椭圆E的右准线l与x轴的交点为A， 椭圆的上顶点为B，直线AB被以原点为圆心的圆O 4所截得的弦长为5. 5 (1) 求椭圆E的方程及圆O的方程; (2) 若M是准线l上纵坐标为t的点，求证:存在一个异于 MNM的点Q，对于圆O上的任意一点N，有为定值; NQ 且当M在直线l上运动时，点Q在一个定圆上( 2c222210 (1) 解:? e,即,，? a,2c.? a,b，c，? b,c. 2a222xy42222? ，,1过点P(2，2)，? ，,1，解得a,8，b,c,4.(2分) 2222abab22xy1故椭圆方程为，,1.? A(4,0)，B(0,2)，? 直线AB的方程为y,,x，2， 842即x，2y,4,0， 4144,,,,22×则O到AB的距离为d,，? 圆O的半径r,，,2，(5分) 255,,,,522故圆O的方程为x，y,4.(6分) (2) 证明:椭圆E的右准线l的方程为x,4.(7分) 设l上取定的点M为(4，t)，圆O上的任意的一点N为(x，y)，定点Q为(x，y)， 00? NM与NQ的比是常数且Q不同于M， 22? NQ,λNM，λ是正的常数(λ?1)， 2222即(x,x)，(y,y),λ(x,4)，λ(y,t)，(8分) 00002222222x，y,2xx,2yy，x，y,λ(x，y，16，t,8x,2ty)， 0000000022222将x，y,4代入有,2xx,2yy，x，y，4,,8λx,2λty，(20，t)λ， 000000 精华资料 . x,4λ，?,,y,tλ，?? 有无数组(x，y)，从而,(10分) 00 222,,x，y，4,，20，t，λ，? 2222将??代入?得16λ，tλ，4,(20，t)λ， 2222即(16，t)λ,(20，t)λ，4,0，? (λ,1)[(16，t)λ,4],0. 4? λ?1，? λ,， 216，t NM即存在一个定点Q(不同于点M)，使得对于圆O上的任意一点N，均有为定值( NQ 4422222,,，4又16，t,，代入?得x，y，4,λ，即x，y,4λ， ,λ,λ 112222,,x,于是x，y,x，即，y,，(15分) ,2,4 11,,，0故点Q在圆心、半径为的定圆上( ,2,222xy 10.如图，已知椭圆，,1(a,b,0)的左、右焦点分别 22ab 为F、F，其右准线l与x轴的交点为T，过椭圆的 12 上顶点A作椭圆的右准线l的垂线，垂足为D，四边形 AFFD为平行四边形( 12 (1)求椭圆的离心率; (2)设线段FD与椭圆交于点M，是否存在实数λ， 2 ?? 使TA,λTM,若存在，求出实数λ的值;若不存在， 请说明理由; (3)若B是直线l上一动点，且?AFB外接圆面积的 2 最小值是4π，求椭圆方程( 精华资料