[生活]向量的运算法则

[生活]向量的运算法则 (1)实数与向量的运算法则:设,、为实数，则有:, 1)结合律:。 ,(,a),(,,)a 2)分配律:，。 (,，,),,a，,a,(a，b),,a，,b(2)向量的数量积运算法则: a,b,b,a1)。 2)。 (,a),b,,(a,b),,a,b,a(,b) )。 3(a，b),c,a,c，b,c (3)平面向量的基本定理。 是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任何一向量，有且仅有一ae,e12 对实数，满足。 ,,,a,,e，,e121122 ba,b(4)与的数量积的计算 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 及几何意义:，数量积等于的a,b,|a||b|cos,aa b长度与在的方向上的投影的乘积。 |a||b|cos,a (5)平面向量的运算法则。 bb1)设,，,，则+,。 aa(,)xy(,)xy(,)xxyy，，11221212 bb2)设,，,，则-,。 aa(,)xy(,)xy(,)xxyy,,11221212 ,,,,,,,,,,,,3)设点A，B，则。 (,)xy(,)xyABOBOAxxyy,,,,,(,)11222121 ,a4)设,，则,。 (,),xy,,R(,),,xya bb5)设,，,，则,。 ,aa(,)xy(,)xy()xxyy，11221212(6)两向量的夹角公式: xxyy，1212b(,，,)。 a(,)xy(,)xycos,,11222222xyxy，,，1122 (7)平面两点间的距离公式: ,,,,,,,,,,,,22d,(A，B)。,,，,()()xxyy(,)xy(,)xy||ABABAB,,AB,11222121 bb(8)向量的平行与垂直:设a,，,，且0，则有:(,)xy(,)xy,1122 bb,1)a||,a。 ,,,xyxy0,1221 bbaaa2) (0) ?,0,，,xxyy0。 ,,,1212(9)线段的定比分公式: ,,,,,,,,,Pxy(,)设Pxy(,)Pxy(,)PP，，是线段的分点，是实数，且，则PPPP,,1112221212 ，,xx,12,,,,,,,,,,x,,,,,,,,,,,,,,,,,,，,OPOP,1，1,12()。,OPOPtOPtOP,，,(1),,,t,12，yy，1,,，1,12,,y,，1,, (10)三角形的重心公式: ?ABC三个顶点的坐标分别为、、，则?ABC的重心的坐Axy(,)Bxy(,)Cxy(,)112233 xxxyyy，，，，123123标为。 G(,)33 (11)平移公式: '',,,,,,,,,,,,,,,xxhxxh,，,,,,'' 。 ,,，OPOPPP,,,''yykyyk,，,,,,,, (12)关于向量平移的结论。 '1)点按向量,平移后得到点。 Pxy(,)(,)hkPxhyk(,)，，a 'CC2)函数的图像按向量,平移后得到图像:。yfx,()(,)hkyfxhk,,，()a ''CCC3)图像按向量,平移后得到图像:，则为。(,)hkyfx,()yfxhk,，,()a 'CC4)曲线:按向量,平移后得到图像:。fxy(,)0,(,)hkfxhyk(,)0,,,a 设a=(x，y)，b=(x'，y')。 1、向量的加法 向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。 向量的加法 OB+OA=OC。 a+b=(x+x'，y+y')。 a+0=0+a=a。 向量加法的运算律: 交换律:a+b=b+a; [1]结合律:(a+b)+c=a+(b+c)。 2、向量的减法 如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0 AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被 向量的减法 减” a=(x,y)b=(x',y') 则a-b=(x-x',y-y'). 如图:c=a-b 以b的结束为起点，a的结束为终点。 3、向量的数乘 实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且?λa?=?λ???a?。 当λ>0时，λa与a同方向 当λ<0时，λa与a反方向; 向量的数乘 当λ=0时，λa=0，方向任意。 当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。 注:按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。 实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示向量a的有向线段伸长或压缩。 当λ>1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸长为原来的?λ?倍 当λ<1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或××反方向(λ<0)上缩短为原来的?λ?倍。 数与向量的乘法满足下面的运算律 结合律:(λa)?b=λ(a?b)=(a?λb)。 向量对于数的分配律(第一分配律):(λ+μ)a=λa+μa. 数对于向量的分配律(第二分配律):λ(a+b)=λa+λb. 数乘向量的消去律:? 如果实数λ?0且λa=λb，那么a=b。? 如果a?0 [2]且λa=μa，那么λ=μ。 4、向量的数量积 定义:已知两个非零向量a,b。作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a,b〉并规定0?〈a,b〉?π 定义:两个向量的数量积(内积、点积)是一个数量(没有方向)，记作a?b。若a、b不共线，则a?b=|a|?|b|?cos〈a，b〉(依定义有:cos〈a，b〉=a?b / |a|?|b|);若a、b共线，则a?b=??a??b?。 向量的数量积的坐标表示:a?b=x?x'+y?y'。 向量的数量积的运算律 a?b=b?a(交换律) (λa)?b=λ(a?b)(关于数乘法的结合律) (a+b)?c=a?c+b?c(分配律) 向量的数量积的性质 a?a=|a|的平方。 a?b 〈=〉a?b=0。 |a?b|?|a|?|b|。(该公式证明如下:|a?b|=|a|?|b|?|cosα| 因为0?|cosα|?1，所以|a?b|?|a|?|b|) 向量的数量积与实数运算的主要不同点 1(向量的数量积不满足结合律，即:(a?b)?c?a?(b?c);例如:(a?b)^2?a^2?b^2。 2(向量的数量积不满足消去律，即:由 a?b=a?c (a?0)，推不出 b=c。 3(|a?b|与|a|?|b|不等价 4(由 |a|=|b| ，推不出 a=b或a=-b。 5、向量的向量积 定义:两个向量a和b的向量积 向量的几何表示 (外积、叉积)是一个向量，记作a×b(这里“×”并不是乘号，只是一种表示方法，与“?”不同，也可记做“?”)。若a、b不共线，则a×b的模是:?a×b?=|a|?|b|?sin〈a，b〉;a×b的方向是:垂直于a和b，且a、b和a×b按这个次序构成右手系。若a、b垂直，则a×b=0。 向量的向量积性质: ?a×b?是以a和b为边的平行四边形面积。 a×a=0。 a垂直b〈=〉a×b=0 向量的向量积运算律 a×b=-b×a (λa)×b=λ(a×b)=a×(λb) a×(b+c)=a×b+a×c. 注:向量没有除法，“向量AB/向量CD”是没有意义的。 6、三向量的混合积 定义:给定空间三向量a、b、c，向量a、b的向量积a×b，再和向量c作数量积(a×b)?c， 向量的混合积 所得的数叫做三向量a、b、c的混合积，记作(a,b,c)或(abc)，即(abc)=(a,b,c)=(a×b)?c 混合积具有下列性质: 1(三个不共面向量a、b、c的混合积的绝对值等于以a、b、c为棱的平行六面体的体积V，并且当a、b、c构成右手系时混合积是正数;当a、b、c构成左手系时，混合积是负数，即(abc)=εV(当a、b、c构成右手系时ε=1;当a、b、c构成左手系时ε=-1) 2(上性质的推论:三向量a、b、c共面的充要条件是(abc)=0 3((abc)=(bca)=(cab)=-(bac)=-(cba)=-(acb) 4((a×b)?c=a?(b×c) 7.例题 正方形ABCD,EFGA,CHIK首尾相连，L是EH中点，求证LB?GK, 设AE=a,向量,, AG=a', AD=c, AB=c', CH=b,CK=b'有 aa'=bb'=cc'=0, a2=a'2, b2=b'2 ,c2=c'2,a'b=ab',a'c'=-ac,a'c=ac', bc=b'c'. b'c=-bc' ,*,FH=-a+c+c'+b LB=FH/2-b-c=,-a-c+c'-b,/2, GK=-a'+c'+c+b'从 ,*,:,-a-c+c'-b,?,-a'+c'+c+b',=„„=0. ?LB?GK 8、三向量二重向量积 由于二重向量叉乘的计算较为复杂，于是直接给出了下列化简公式以及证 明过程: 二重向量叉乘化简公式及证明