定积分的概念与计算习题

定积分的概念与计算习题 二、定积分的概念与计算 1. 利用定积分的概念与性质求定积分 例1已知 函数 excel方差函数excelsd函数已知函数     2 f x m x mx m      2 1 4 2拉格朗日函数pdf函数公式下载 在上是连续函数,且fx()[0,)，, 2 xx(1)， ftdtxf(),(2) .,,则,0 p91例4.7 2xx(1)， 解在等式两端同时求导数,得ftdtx(),,0 22232 fxxxxfxxxx[(1)][(1)]'())[23)]1，,，,，,，, 1 令xf,,,1(2). 5 2yx2sintt例2 设方程确定为的函数edtdtyx，,1,,,00t dy 则, . dx p91.例4.6 2yx2sintt解在方程两端对求导,得edtdt，,1,,00t 222sinxyy2, '20'2sineyxyex,，,,,,, 2x 例3设函数在上连续,且fxabfx()[,]()0,, b 2n则lim() .xfxdx,,,,na 19 解在上连续,则在上存在最大值和fxabfxabM()[,]()[,] nnn最小值即有 估值定理mfxmfxM,,,,0(()0).()() nn,,且 limlim1mM ,,,,nn bbb 222nnn？,, mxdxxfxdxMxdx(),,,aaa 由夹逼定理得 33bb,ba22nlim().xfxdxxdx,,,,,,naa3 axx,sin lim0, ,,,,,cabc例4则,,。3x,0xln(1)，t dt,bt 3xln(1)，t lim(sin)0,0,lim00axxcdtb,,,？,,,解且,xxb,,00t axxaxxax,,,sincos(cos)又limlimlim,,333xxx,,,000xln(1)ln(1)ln(1)，，，txx dt,btx xaxax(cos)(cos),, ,limlim0,,,c32xx,,00xx 1 ？,,利用等价原理必有ac1,. 2 3xycost例5设,则FxdtdyFx()()"() .,, ,,2001，t 20 3yxcost 解设则fydtFxfydy(),()(),,,,2001，t 33xcoscostx2且FxfxdtFxx'()(),"()3,,,,,26011，，tx lnx例6设是连续函数且则.(),()(),'() .fxFxftdtFx,,1, x 1111 AfxfBfxf(ln)() (ln)()，，2xxxx 1111 CfxfDfxf(ln)() (ln)(),,2xxxx lnx111 解选择Fxftdtfxf'()(())'(ln)()B.,,，？12,xxxx 561cos,xxx2例7设函数()sin,(),,,，fxtdtgx,056则当时是的,0,()() .xfxgx 低阶无穷小高阶无穷小 AB 等价无穷小同阶但非等价的无穷 CD 21 解当时是阶无穷小xgx,0,()5 2fxxx()sin(1cos)sin,, limlim,41xx,,005xx 5 122()x2(1cos),x2 limlim0,,,33xx,,00xx ？,当时,是的高阶无穷小.选择xfxgx0()()B. 注意无穷小的线性组合仍是无穷小,其阶数等于组合中: 最低阶的阶数.进行无穷小阶的比较时,可以将高阶无穷小省略. 例8设在内连续函数且在时可导,则.()(,),0fxx,,，,, x Fxxftdt()() .,,0 AFBFF"(0) "(0)"(0)0不存在存在且, CFFfDFFf"(0)"(0)2(0) "(0)"(0)(0)存在且存在且,, x 解可导,且FxFxftdtxfxF()'()()(),'(0)0,，,,0 x ftdt()FxF'()'(0),,0 "(0)limlim[()]Ffx,,， xx00,,xx (0)(0)2(0)C.,，,？fff选择 Fxf'()'(0)本题不能直接对求导(不知道是否存在). 22 1 例9设函数在有定义，满足,且.()(1)1FxxF,, 2 , ,,2121xy2FxFyFxyd()()2()(cos)(sin),，,,,,0 则Fx() ., 11 ()(1) ()(1)AFxFxBFxFx,，,,， xx CFxxFxDFxxFx()(1) ()(1),，,,， 解由已知式及选项可知,应令则y,1, , ,21x2FxFxFFxd()()(1)2(1)(cos)(sin),,，,,,,0 , ,21x2 =2(1)(cos)(cos)Fxd，,,,,0 , 2112x 2(1)[(cos)](1) A.,，,,,，？FxFx选择 2xx0 例10若函数与在上皆可导且.()()(,),()(),fxgxfxgx,,，,,则必有 .AfxgxBfxgx()() '()'(),,,, xxCfxgxDftdtgtdtlim()lim() ()(),,,,xxxx,,0000 解 可导必连续,故选择fxgx()().C.,00 23 1,2(1)01xx，,,x,,2 ()(),(),gxftdtfx,,例11设其中,,01,(1)12xx,,, ,3,()(0,2).gx则在内 ABCD无界递减 不连续 连续 x1112301()(1),,,，,，xgxtdtxx解当时, ,0262 1x112,,,，，,xgxtdttdt2()(1)(1) 当1时, ,,0123 1152 ,,，xx 636 2 ？,,,,，,ggg(1)(10)(10)D.选择 3 x，,2sint例12设则.()sin,() .FxetdtFx,,x ABCD为正常数为负常数恒为零不为常数 sint解 是以为周期的etsin2, x，,,22sinsintt ()sinsin？,,Fxetdtetdt,,x0 22,,sinsin2tt cos0cos,,,，edtedt,0,,00 故选择A. 24 例13设在区间上函数.,()0,'()0,''()0,abfxfxfx,,,,, b1 令SfxdxSfbbaSfbfaba,,,,，,(),()(),[()()](),123,a2 则 . ASSSBSSS,,,, 123213 CSSSDSSS,,,, 312231 解 由定积分的几何意义及函数的特性可知，选择B. 例14设函数在(-内为奇函数,且可导,则奇函数.(),)fx,，, 是 . x AfxBxftdtsin'() sin(),0 xx CftdtDtftdt(sin) [sin()]，,,00 25 xxx 解为偶函数为奇函数ftdtxftdtxftdt(),sin()sin(),,,,000 x而为偶函数,为奇函数,为偶函数,sin'() (sin)(sin)fxftftdt,0 x sin()[sin()]Btfttftdt，，为奇函数,为偶函数.故选择.,0 例15设为非负连续函数且当时,有.(),0fxx,x3fxfxtdtxfx()(),() .,,,则,0 122AxBxCxDx2 2 2 2 xx 解 fxfxtdtfxfxtdt()()()(),,,,,00 x ()()令uxtfxfudu,,,0 x 又令 FxfuduFxfx()(),'()(),,,0 11324？Fx(),,,,，FxxFxxC'()() 24 11242又FCFxxFxx(0)00,(),()0,,,,,, 22？,,fxFxxC()'()2..选择 2x,t 例16求函数的最大值和最小值fxtedt()(2).,,,0 26 解是偶函数,fx() ？，, 只需求在内的最大值和最小值fx()[0,). 22,x令 = 0fxxxe'()2(2),, 故在内有唯一的驻点，[0,)2，,,x 当 0时, 当 时, ,,,,,xfxxfx2'()0,2'()0 ？,x2.是极大值点,即最大值点 222,,,ttt,,,,,,最大值ftedtteedt(2)(2)(2),,000 2 1,，e ，,，,，,,,,ttt (2)(2)211,,,,，,,,tedttee,000 以及故是最小值点,的最小值为0.fxfx(0)0,0(),？, 5 ()(0,),(1)例17. 设函数在内连续,且对所有的fxf，,, 2 xtxt xtfudutfuduxfudu与满足条件,，,,，(0,)()()(),,,111 ().求fx t ()()()解已知等式两边对求导,得 xtfxttfxfudu,，,1 5 1,(1)令 由,得xf,, 2 t5 ()()tfttfudu,，,12 则在内可导,对上式两边对求导,得ftt()(0,)，, 27 555 fttftftftfttC()'()()'()()ln，,，,,,,， 222t 555 又由得fCfxx(1),()(ln1).,,,,， 222 2x2t,例设试求的极值18.(),(1)();FxedtFx,,0 (2)()曲线的拐点的横坐标yFx, 32(3)'().xFxdx,,2 2x24tx,,解 令(1)'()[]'200Fxedtexx,,,,,,0 4x,4 "()2(14),"(0)20FxxeF,,,, 0()()(0)0.？,,xFxFxF是的极小值点,的极小值为 4114,x (2)"()又Fx,2(14)0,,,,,,xexx令12 22 1 "()0,当-时,,,,,,xFx 2 11 "()0, 当-时,,,,xFx 22 1 "()0, 当时,,,，,,xFx 2 1 ().？,,,曲线拐点的横坐标为yFxx 2 28 33423,x(3) '()2xFxdxxedx,,,,,22 3411,,,x1681 ().,,,,eee 22,2 2. 定积分的计算 22例1。(4) xxdx，,,,,2 解 利用被积函数的奇偶性 22222(4)4xxdxxdxxdx，,,，,,,,,2,2,2 22, 242,,,xdx,0 112,22若 (4)243xxdxxdx，,,,,，,,,103 2ax12222注意:arcsinaxdxxaxC,,，,，, 22a ln8dx 例2 .,,xln31，e 3ln83113dxdtt,x解令1lnln.te,，,,2,,xln32212t，1t,1，e2 29 x12fx(),t 例3 设则,,,fxedtIdx(), .,,10x 111fxx(),x解,,,Idxxfxedx2()2,,000xx2 11,x,,, 1e 0e , fx(sin)2例4 Idt,, .,0fxfx(cos)(sin)， ,fx(sin),2解令dtxu,,,0fxfx(cos)(sin)2， 0,fufx(cos)(cos)2 dudt,,,,0fufufxfx(cos)(sin)(cos)(sin)，，,2 , ,1(sin)(cofxfs)x22？,，Idt[dt],,002(cos)(sin)fxfx，fxfx(cos)(sin)， , , 4 注意: 被积函数为三角有理式时,可采用换元积分法,把原积分分解成可抵消或容易积分的若干个积分.当积分区间为[0,π], 令x=π-u;当积分区间为[0,π/2], 令x=π/2-u; 当积分区间为[0,π/4], 令x=π/4-u; 当积分区间为对称区间, 令x= -u;( 指南 验证指南下载验证指南下载验证指南下载星度指南下载审查指南PDF p.103) 30 2，,，,sinsinxx, 例5 已知则dxdx,,, .,,200x2x ，,22，,，,sinsin2sincosxxxx 解 dxdx,,，,,200xxx0 ，,sin2x, 2,,dx,022x 1arcsinx dx .例6 广义积分,,021,x 11,,arcsinarcsinxx 解 limdxdx,,,00221,x11xx,, 1,,1,,1,2limarcsinarcsinlim(arcsin)xdxx,,,,001,,xx280 , x,ex, 0, , 例7已知则广义积分收敛的是 fxx()1, 01,.,,,, , 1 ,, 1x, x, ，,，,，,0 AfxdxBfxdxCfxdxDfxdx() ()()(),,,,01,,,, ，,，,1，,解,,,,fxdxdxx()ln1,, 11x ？,只要积分限含有+积分都发散. 选择.,B 31 axa，2xt例8 若,则常数lim(). .,,tedta,,，,x,,xa, 251 5 ABCD 525 ax(1)， ，xaxa2x解 lim()lim,,e axx,，,,，,,xax(1), x aa1111taa222 tedtetea,,,,()(),,,2222,, 11522aa ().？,,,,. 选择eeaaB 222 st1x 例9 若则IftdxstI,，,,()(0,0), .,0ss ,, AstxBst依赖于依赖于和 , CtsDsx依赖于不依赖于依赖于和 解积分与积分变量无关,只与积分限和被积函数有关. 2stt11xx ？,，,，,Iftdxutfusdu()()令,,0tssss 2t ().,,fuduC选择 ,t 32 112例10则fxxfxfxdx'(ln),(0),() .,,,,02 221111ee,， ABCD 2448 22x解由,得fxxfxe'(ln)'(),, 1122xx,,,，,,fxedxeCfC()(0)0由 ,得 ,22 1111111 222xxx？,,,,xfxdxxedxxeedx(),,,0002440 12111e，22x .D,,,ee选择 4880 (1) 分段函数积分(指南p96) 注意: 01要认清积分限是被积函数定义域的哪个区间段内,是否包含分界点,然后按段积分求和. 02如果被积函数含有绝对值，则绝对值为零的点就是分界点,求出在积分区间内的根,再据此把积分区间分成若干个子区间,然后在各个子区间内积分求和. 03当被积函数是给定函数与某一简单函数复合而成的函数时,要通过变量代换将其化为给定函数的形式,同时积分限也要相应改变后积分. 33 ,3例11.求sinsin.xxdx, ,0 ,,3解sinsincossinxxdxxxdx,,,,00 ,,2 cossincossin,,xxdxxxdx ,,,02 ,33,222422 sinsin.,,, 333 0,2 x 例12.求ttdt(1)., ,0 解 由得 注意这里上限为变限,可以ttttx(1)0,0,1.,,,, x ,取任意值.设()(1).xttdt,,,0 32xxxxxttdt当时, ,,,,,0()(1),,032 32xxxxxttdt当时,01()(1),,,,,,，,,032 3211xxxxttdt当时, ,,,,，,1()(1),,0332 32,xx x,, 0, 32, 32x,xx, xttdtx综上所述 ()(1) 01,,,,，,,,,,032, 32,xx1 x，,, 1, 332,, 34 ,, sin, 0xx,,,,2例13.设,fxxxgx(),0,(),,,, ,, 0, x, ,2, x 求 ()的表达式()xftgxtdtx()()0.,,,,,0 p97例4.17(2) 解 先设将化为的形式.uxtgxtgx,,,,()()又因 ()是变上限的函数需按积分上限所在区间段,,xx,分段积分. xx ？,,,,,()xftgxtdtfxugudu()()()(),,00 , 当时,0,,x 2 xx fxuguduxuudu()()()sin,,,,,00 x (coscossin)sin,,，,,,xuuuuxx0 ,当时,x, 2 ,,x 22fxuguduxuuduxuudu()()()sin()0,,,，,,,,,000 ,, 22 ()sin(cosc,,,,，xuuduxuuossin)1uux,,,0,0 35 ,, xxxsin, 0,,,,,2 故 (),,x, ,,xx,,1, . ,2, (2) 被积函数中含有“变上限积分”的积分(p99) 注意: 01用分部积分去做,将变上限积分取作u,其余的部分取作dv. 02将原积分化为二重积分,再更换累次积分次序. x12tt22,，例14. 设,求fxexfxdx()(1)().,,,,00 p99例4.19(2) 解被积函数是两个因子的乘积，其中是变上限fx()的定积分,用分部积分法. 222,，xx设 且ufxdvxdxffxe,,,,,(),(1),(0)0,'() 11111233？,,,,,(1)()(1)()(1)'()xfxdxxfxxfxdx ,,00330 11221132,，xx2(1)12,,，x,,,(1)xedx(1)(1),,,,xedx,,0036 0e12,t(1)(2).txtedte,,,,,,166 36 1例15. 设在区间上连续,且,求fxfxdx()[0,1]()1,,011 dxfxfydyp()().(100例4.20(2)),,0x 1111 解可以看作dxfxfydyfxdxfydy()()()(),,,,,00xx 是两个函数乘积的定积分,用分部积分法. 1x设 ufydydvfxdxvftdt,,,(),(),(),,0x 1111 y？,dxfxfydyfxdxfyd()()()(),,,,00xx 111xx [()()][()(())],,,,,fydyftdtftdtfxdx,,,,000x0 11xxx ()()[()(()),,fxdxftdtftdtdftdt,,,,,00000 11x11122[()][()].,,,ftdtftdt,,002220 xy b例16. 设,求fxaxeftdt(2)().，,,ab，2 解先通过变量替换将被积函数化为以便ftfxa()(2),， x b代入被积函数令 则xetxa.2,,， 37 ya,y 2ftdtfxadx()2(2),，,,abb，2 ya, yaya,,xxx2 22bbb 22[],,,xedxxbebedx,,bb b ya, yaxya,,2ya,22bbb22 2[](2),,,,,,bebebebyabe 2 b (3) 被积函数中或积分限含有“参变量”的积分 注意: 01先作换元,化简被积函数中或积分限后积分去. 02将原积分化为变上限积分,求导可去积分号. x12例17. 设函数连续且fxtfxtdtx(),(2)arctan,,,,02 1 已知求ffxdx(1)1,().,,0 解先通过变量替换将被积函数化为以便fxtfx,(2)(),代入已知式子的积分中令 则.2,,uxtdtdu,,,, xx (2)(2)()tfxtdtxufudu,,,,,,02x 22xx12anx 2()()arct,,,xfuduufudu,,xx2 等式两边对求导,得x 38 2xx2()2[2(2)()][4(2)()]fuduxfxfxxfxxfx，,,,,4,x1，x 2xx 2()()fuduxfx,，即 4,x，x1 113 xfxdx,,，,1,2()1令 得 ,022 39