两收敛且等值的无界函数广义积分变量代换的存在性与唯一性

两收敛且等值的无界函数广义积分变量代换的存在性与唯一性 ?研究简报? 两收敛且等值的无界函数广义积分变量 代换的存在性与唯一性 3 何 钦 仁廖 铁 林 ( ) ( )大连水产学院基础部中国金融学院 摘 要 本文讨论两个收敛且等值的无界函数广义积分变量代换的存在性与唯一性, 文中提出并证 明了在一定的条件下, 这个代换是存在的, 也是唯一的. 关键词 广义积分; 变量代换; 存在性; 唯一性 中图分类号 O 172102 两个都收敛的无界函数广义积分相等时, 这两个积分的积分变量变量之间有什么关 系, 本文经讨论得到了下面的结果. 文中所出现的广义积分都假设为收敛的. Β b ( ) ( )( ) ) ( ) ( ) g 引理 1 设fx dx = t d t, 其中 f x在[ a , b上连续, f > 0< 0 , g t 在?a ?Α ) () ( ) ) () [ Α, Β上连续, g > 0 < 0, 且lim f x = ?, lim g t= ?, 对任意M ? [ a , b及N ?x ?b t?Β M N) () ( ) [ Α, Βf x = g t, 则, 如果x dtd ??a Α M ? bα ] N ? Β M N ()) t, 由设 F M , 可得N = d (( )g= G N t a ?Α b- 1 () () () G [ F M , 因为 f > 0, g > 0, 所以函数N M 是单调增加的, 设 f x dx = K , 显然 ?a - 1 - 1 () () () () F M ? K , 从而N = G [ F M ] ? G K , 根据极限存在准则, limN M 存在.M ?b b c M ?b ?Α ?Α?a ?ΑΒ N () 设limN M = c, 因为 ? , 所以 c ? Β. 如果 c < Β, 即 = , 此时, 一方面因 Β c Β b Β b Β, 故可得 为= + = + , 且= ???????Α Α c a c a ΑΒ ( ) ()g td t = 0 1 ?c 另一方面, 因为 g > 0, c < Β, 故有 Β ( )()t d t > 0 2 g ?c () () 显然 1与2式矛盾, 说明 c < Β 是不可能的, 故必有 c = Β. 同理可证N ? Β 时,M ? b. b Β() ( ) () ) ( ) ()定理 1 如果f x = g t, 其中 f , b> 0< 0 , g t x dtd x 在 [ a 上连续, f ??a Α ) () ( ) () 在[ Α, Β上连续, g > 0 < 0, 且lim f x = ?, lim g t= ?, 则必存在唯一单调增加x ?b t?Β ( ) 的连续可导函数 x = Υt满足 ) ) () ) 1x ? [ a , b?? t ? [ Α, Β, a = ΥΑ, t ? Β 对应于 x ? b; ) ( ) ( ) ( )2f [ Υt]Υ′t= g t. x t() () ( ) ( ) () ( ) 证明 设 Λ= F f x , G g t, 由f > 0, g > 0 知, F x = x dt= td x , G t ??a ΑΒ b ( ) ( ) )均为单调增加的连续可导函数, 由设fx dx = g t d t > K , 故Λ? 0, K??x ? [ a ,??a Α ) ( ) ) ) ) ) b, G t? 0, K ?? t ? [ Α, Β, 对任意的 x = M ? [ a , b相应的有 Λ ? 0, K , 根据N M () f x dx = Α ?a N2 ( ) g td t, 根据两等值定积分变量代换的存在唯一性定理知, 存在唯一单调增加的连 ?Α - 1 ( ) ( ) 续可导函数 x = F [G t] > Υt满足 ) () () ) 1x ? [ a ,M ]?? t ? [ Α, N , a = ΥΑ, M = ΥN ; ) ( ) ( ) ( ) 2f [ Υt]Υ′t= g t. ( ) 又由于M 的任意性, 且由引理知M ? b 时 N ? Β, 故 x = Υt满足 ) ) () ) 1x ? [ a , b?? t ? [ Α, Β, a = ΥΑ, t ? Β 时对应于 x ? b; ) ( ) ( ) ( ) 2f [ Υt]Υ′t= g t. () () () () 从定理 1 的证明中可知, 若定理 1 的条件 f a > 0, g Α> 0 改为 f a = 0, g Α () () () ( ) = 0, 且 s f a = s g Α, 即 x ? a 时 f x 与 t ? Α时 g t为同阶无穷小, 其它条件r r ( )g t() () 由设 s f a = s g Α, 所 , rr( ) 不变, 则定理 1 的结论仍成立. 事实上, 因为 Υ′t= ( ) f [ Υt] ( )g t 3 ( ) 以lim= c ? 0, c 为常数, 即 Υ′t在 t = Α处存在且连续.( ) t?Α f [ Υt] b Β x 0() (() )()( ) Α, Β 定义 1 设f x = a , b fx dx = g td t, 如果对 x ?, t?x d有0 0 ???a Αa t 0 ( ) () ( ) () ( ) () (d = = g tt, 其中lim f x ?, lim g t?, 则称 x 0 和 t0 为 f x 及 g t在a , b和Α, ?x ?x t?tΑ 00 ) Β上的等值广义积分无界点. () () () () (定义 2 设f x 在x 的邻域内连续x 除外, 且lim f x = ?, 如果lim f x x -0 0 x ?x x ?x 00K ) () () x = c ? 0, c 为常数, 则称 f x 在 x ? x 时为 K 阶无穷大, 简记 s f x = K.r 0 0 0 b() () () () (f < 0 引 理 2 设f x dx 收敛, 其中f x 在a , b ] 上连续, f > 0 , limx = ?, +?a ?ax K () () ) ( 如果 limf x x - a = c ? 0 c 为常数, 则 K < 1.+ x ?a ()f x K () () () 证明 用反证法, 设 K ? 1, 因为 limf x x - a = c > 0, 即 limK++ ()cƒx - a x ?ax ?a ) () ( = 1, 故对某个适当的 Ε> 0, 0 < Ε< 1, 必可找到 r, a < r < b, 当 a < x < r 时, ()) (f x Εc 1 - () 有 1 - Ε< < 1 + Ε, 即 0 < < f x , 因为 K ? 1, 所以KK() () cx - a x - a ƒ r bb ( ) 1 1 - Εc 4() , 故有dx 发散, 从而f x 发散, 这与引理假设dx 发散x dK K ?() ??a () aa - a x - a x b() f x 收敛矛盾, 证毕.x d ?a b Β ( ) ( ) ( )( ) g 定理 2 设fx dx = t d t, 其中fx 在 [ a , b ] 上除内点x 外连续, gt 在[ Α,0 ?a ?Α() ( ) Β] 上除内点 t外连续, x 与 t为 f x 和 g t在[ a , b ] 与[ Α, Β] 上的等值广义积分无界 0 0 0 () ( ) ) ) (( 点, s f x = s g t, f 在[ a , x 与 g 在[ Α, t及 f 在x , b ] 与 g 在t, Β] 上符号相 r r0 0 0 0 0 0 ( ) 同, 则在[ Α, Β] 上必存在唯一单调增加的连续可导函数 x = Υt满足 () () ) 1x ? [ a , b ]?? t ? [ Α, Β, a = Υ= ΥΑ, b Β; ) ( ) ( ) ( ) 2f [ Υt]Υ′t= g t, t ? t0. - 1 ( ) ( ) 证明 根据定理 1, 分别存在唯一单调增加的连续可导函数 x = Υt= F [G t]1 1 1 满足 - --( ) ) ) () ) 对应 x ? x , 即 x 1x ? [ a , x ?? t ? [ Α, t, a = ΥΑ, t ? t= lim Υ1 t;0 0 1 0 0 0 - t? t 0 ) ( ) ( ) ( ) 2f [ Υt]Υ′t= g t.1 1 x t [G t ]2 ?Αa - 1( ) ( ) 2 ( ) ( ) g td t, t < t及x = Υt= F 0 2 满足 ++ +) (() ( ) 1x ? x , b ]?? t ? [ t, Β, b = ΥΒ, t ? t对应 x ? x , 即 x 0 0 2 = lim Υ2 t; 0 0 0 + t? t0 ( ) ( ) ( ) )2f [ Υt]Υ′t= g t.2 2 bΒ() () () ( ) ( ) ( )其中 F 2 x = f x dx x 0 < x , G 2 t= g td t t0 < t. ?x ?t -+ 因为 x 在 x 连续, 故 x = x 0 x 0 , 令= 0 0 ( ) Υ1 t, Α? t < t0 ( ) x t = tΥt= 0 0 ( ) Υtt< t ? Β2 0 ( ) ( ) 显然 Υt是唯一单调增加的, 且满足定理的结论, 剩下只须证明 Υt在[ Α, Β] 上连续可 ( ) 导, 其实只须证 Υt在 t处连续可导, 现证明如下.0 ( ) gt ( ) ( ) ( ) () 因为 Υ′t= , 且由设lim g t= ?, lim f [ Υt= lim f x = ?, 故 lim1 1 -- - - ( ) f [ Υt] 1 x ?x t?tt?tt?t 0 0003 ( )g t 只有三种可能结果, 即等于 0, 常数 c? 0, ?. 但等于 0 和 ? 是不可能的, 因 1 ( ) f [ Υ 1 t] 为若 ( )( ) ( ) g t Υt- Υt1 1 0 - ) ( ) ()1lim即 Υ′t= 0, 也就是lim= 0, = 0, 由设 s r f 0 0 x --( ) f [ Υt] t - t1 0 t? t? tt 00 ( ) = s g t> K , 且r 0 ( ) g t K ( ) ( ) ( ) f [ Υt] g tt - t 1 0 ()= 3K ( ) ( ) Υt- Υt( ) ( ) ( ) 1 1 0 f [ ΥtΥt- Υt] 1 1 1 0 K [ ]t - t0 -0() 由引理 2 知, 3式中的 K < 1, 今令 t ? t = A ”, 即“0 () 对3式两端取极限, 便得到“ 0 K0 = A ”的矛盾结果, A 为非零常数. ( ) ( ) ( )Υt- Υtg t 1 1 - ) () 2若lim= ?, 即lim = ?, 同样令 t ? t对3两边取极限,0 - - ( ) f [ Υt]t - t1 0t? t? t t 0 0 ( )g t ? 0, 即 ? = c便得到“ = A ”即“? = A ”的矛盾结果. 综合上述必有 lim1 K -( ) f [ Υ ? 1 t]t? t 0 -( ) Υ1 ′t= c1 ? 0.0 ( ) g t+( ) 同理可得 Υ′t= limc? 0.= 2 0 2 +( ) f [ Υ 2 t]t? t 0 - + - + -+ ) ( ) () () ( ) ( ) ( 0 0 0 0 因为 s f x = s f x = s g t= s g t, 故 c= c, 即 Υ′t= Υ′t,rrrr0 0 1 2 1 2 ( ) 即 Υ′t在 t处存在且连续.0 参 考 文 献 1 菲赫金哥尔茨. 数学分析原理: 一卷一分册. 北京: 人民教育出版社, 1959. 132, 133 ( )2 何钦仁. 两等值定积分变量代换的存在唯一性. 大连水产学院学报, 1994 1、2 ( )3 何钦仁. 再论两等值定积分变量代换的存在唯一性. 大连水产学院学报, 1995 4 4 同济大学数学教研室编. 高等数学: 上册 三年级上册必备古诗语文八年级上册教案下载人教社三年级上册数学 pdf四年级上册口算下载三年级数学教材上册pdf . 北京: 高等教育出版社, 1988. 333, 334 The Ex isten ce an d Un iquen e ss of the Var iable Rep lacem en t in two Con vergen t an d Equa l Im proper In tegra l on Un boun ded Fun c t ion H e Q in ren L iao T ie lin () (), 100029D ep a r tm en t o f B a sic Co u r se sD FC C h ina In st itu te o f F inance and B ank ing A bstra c t T h is p ap e r co n ce rn s th e ex isten ce an d u n iqu en e ss o f th e va r iab le s rep lacem en t in tw o co n vegen t an d equ a l im p rop e r in teg ra l o n u n bo u n ded . fu n c t io nIt h a s m en t io n ed an d p ro ved th e ex isten ce an d u n iqu en e ss o f th e re2 .p lacm en t u n de r ce r ta in co n d it io n s ; ; ; Key word s im p rop e r in teg ra lva r iab le rep lacem en tex isten ceu n iqu en e ss