专题06 三角函数-2019高考数学命题规律探析（解析版）

专题06三角函数研究发现，课标全国卷的试卷结构和题型具有一定的稳定性和延续性，每个题型考查的知识点、考查方法、考查角度、思维方法等相对固定，掌握了全国卷的各种题型，就把握了全国卷命题的灵魂，基于此，潜心研究全国Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷及高考数学考试说明，精心分类汇总至少最近三年全国卷的所有题型（按年份先理后文排列），对把握全国卷命题的方向，指导我们的高考有效复习，走出题海，快速提升成绩，会起到事半功倍的效果。三角函数——近3年三角函数考了45道，每年理科1-3道小题，文科2-4道小题，当考3-4道小题时，当年就不在考三角函数大题了，题目多数难度较小，主要考查公式熟练运用、平移、图像性质、化简求值、解三角形等问题（含应用问题），多数属于“中档题”，小心平移（重点，难点，几乎年年考），也会有难题，如2016年全国1卷12题和2018年全国1卷16题的考法是比较难的，所以当了压轴题。1.（2018年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅰ卷数学（理16））已知函数f（x）=2sinx+sin2x，则f（x）的最小值是　　．【答案】见解析。【考点】6E：利用导数研究函数的最值；HW：三角函数的最值．【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；53：导数的综合应用；56：三角函数的求值．【 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 】由题意可得T=2π是f（x）的一个周期，问题转化为f（x）在[0，2π）上的最小值，求导数计算极值和端点值，比较可得．【解答】解：由题意可得T=2π是f（x）=2sinx+sin2x的一个周期，故只需考虑f（x）=2sinx+sin2x在[0，2π）上的值域，先来求该函数在[0，2π）上的极值点，求导数可得f′（x）=2cosx+2cos2x=2cosx+2（2cos2x﹣1）=2（2cosx﹣1）（cosx+1），令f′（x）=0可解得cosx=或cosx=﹣1，可得此时x=，π或；∴y=2sinx+sin2x的最小值只能在点x=，π或和边界点x=0中取到，计算可得f（）=，f（π）=0，f（）=﹣，f（0）=0，∴函数的最小值为﹣，故答案为：．【点评】本题考查三角函数恒等变换，涉及导数法求函数区间的最值，属中档题．2.（2017年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅰ卷数学（理9））已知曲线C1：y=cosx，C2：y=sin（2x+），则下面结论正确的是（　　）[来源:Z*xx*k.Com]A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】11：计算题；35：转化思想；57：三角函数的图像与性质．【分析】利用三角函数的伸缩变换以及平移变换转化求解即可．【解答】解：把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=cos2x图象，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到函数y=cos2（x+）=cos（2x+）=sin（2x+）的图象，即曲线C2，故选：D．【点评】本题考查三角函数的图象变换，诱导公式的应用，考查计算能力．3.（2016年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅰ卷数学（理12））已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）上单调，则ω的最大值为（　　）A．11B．9C．7D．5【考点】H6：正弦函数的奇偶性和对称性．【专题】35：转化思想；4R：转化法；57：三角函数的图像与性质．【分析】根据已知可得ω为正奇数，且ω≤12，结合x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，求出满足条件的解析式，并结合f（x）在（，）上单调，可得ω的最大值．【解答】解：∵x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，∴，即，（n∈N）即ω=2n+1，（n∈N）即ω为正奇数，∵f（x）在（，）上单调，则﹣=≤，即T=≥，解得：ω≤12，当ω=11时，﹣+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴φ=﹣，此时f（x）在（，）不单调，不满足题意；当ω=9时，﹣+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴φ=，此时f（x）在（，）单调，满足题意；故ω的最大值为9，故选：B．【点评】本题考查的知识点是正弦型函数的图象和性质，本题转化困难，难度较大．4.（2018年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理6））在△ABC中，cos=，BC=1，AC=5，则AB=（　　）A．4B．C．D．2【考点】HR：余弦定理．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；58：解三角形．【分析】利用二倍角公式求出C的余弦函数值，利用余弦定理转化求解即可．【解答】解：在△ABC中，cos=，cosC=2×=﹣，BC=1，AC=5，则AB====4．故选：A．【点评】本题考查余弦定理的应用，考查三角形的解法以及计算能力．5.（2018年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理10））若f（x）=cosx﹣sinx在[﹣a，a]是减函数，则a的最大值是（　　）A．B．C．D．π【考点】GP：两角和与差的三角函数；H5：正弦函数的单调性．【专题】33：函数思想；4R：转化法；56：三角函数的求值．【分析】利用两角和差的正弦公式化简f（x），由，k∈Z，得，k∈Z，取k=0，得f（x）的一个减区间为[，]，结合已知条件即可求出a的最大值．【解答】解：f（x）=cosx﹣sinx=﹣（sinx﹣cosx）=，由，k∈Z，得，k∈Z，取k=0，得f（x）的一个减区间为[，]，由f（x）在[﹣a，a]是减函数，得，∴．则a的最大值是．故选：A．【点评】本题考查了两角和与差的正弦函数公式的应用，三角函数的求值，属于基本知识的考查，是基础题．6.（2018年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理15））已知sinα+cosβ=1，cosα+sinβ=0，则sin（α+β）=　　．【答案】见解析。【考点】GP：两角和与差的三角函数．【专题】33：函数思想；48：分析法；56：三角函数的求值．【分析】把已知等式两边平方化简可得2+2（sinαcosβ+cosαsinβ）=1，再利用两角和差的正弦公式化简为2sin（α+β）=﹣1，可得结果．【解答】解：sinα+cosβ=1，两边平方可得：sin2α+2sinαcosβ+cos2β=1，①，cosα+sinβ=0，两边平方可得：cos2α+2cosαsinβ+sin2β=0，②，由①+②得：2+2（sinαcosβ+cosαsinβ）=1，即2+2sin（α+β）=1，∴2sin（α+β）=﹣1．∴sin（α+β）=．故答案为：．【点评】本题考查了两角和与差的正弦函数公式的应用，三角函数的求值，属于基本知识的考查，是基础题．7.（2017年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理14））函数f（x）=sin2x+cosx﹣（x∈[0，]）的最大值是　　．【答案】见解析。【考点】HW：三角函数的最值．【专题】11：计算题；33：函数思想；4J：换元法；51：函数的性质及应用；57：三角函数的图像与性质．【分析】同角的三角函数的关系以及二次函数的性质即可求出．【解答】解：f（x）=sin2x+cosx﹣=1﹣cos2x+cosx﹣，令cosx=t且t∈[0，1]，则y=﹣t2+t+=﹣（t﹣）2+1，当t=时，f（t）max=1，即f（x）的最大值为1，故答案为：1【点评】本题考查了同角的三角函数的关系以及二次函数的性质，属于基础题8.（2016年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理7））若将函数y=2sin2x的图象向左平移个单位长度，则平移后的图象的对称轴为（　　）A．x=﹣（k∈Z）B．x=+（k∈Z）C．x=﹣（k∈Z）D．x=+（k∈Z）【考点】H6：正弦函数的奇偶性和对称性；HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】35：转化思想；49：综合法；57：三角函数的图像与性质．【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象的变换及正弦函数的对称性可得答案．【解答】解：将函数y=2sin2x的图象向左平移个单位长度，得到y=2sin2（x+）=2sin（2x+），由2x+=kπ+（k∈Z）得：x=+（k∈Z），即平移后的图象的对称轴方程为x=+（k∈Z），故选：B．【点评】本题考查函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象的变换规律的应用及正弦函数的对称性质，属于中档题．9.（2016年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理9））若cos（﹣α）=，则sin2α=（　　）A．B．C．﹣D．﹣【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值．【专题】36：整体思想；4R：转化法；56：三角函数的求值．【分析】法1°：利用诱导公式化sin2α=cos（﹣2α），再利用二倍角的余弦可得答案．法°：利用余弦二倍角公式将左边展开，可以得sinα+cosα的值，再平方，即得sin2α的值【解答】解：法1°：∵cos（﹣α）=，∴sin2α=cos（﹣2α）=cos2（﹣α）=2cos2（﹣α）﹣1=2×﹣1=﹣，法2°：∵cos（﹣α）=（sinα+cosα）=，∴（1+sin2α）=，∴sin2α=2×﹣1=﹣，故选：D．【点评】本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，熟练掌握诱导公式化与二倍角的余弦是关键，属于中档题．10.（2016年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理13））△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA=，cosC=，a=1，则b=　　．【答案】见解析。【考点】HU：解三角形．【专题】34：方程思想；48：分析法；56：三角函数的求值；58：解三角形．【分析】运用同角的平方关系可得sinA，sinC，再由诱导公式和两角和的正弦公式，可得sinB，运用正弦定理可得b=，代入计算即可得到所求值．【解答】解：由cosA=，cosC=，可得sinA===，sinC===，sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=×+×=，由正弦定理可得b===．故答案为：．【点评】本题考查正弦定理的运用，同时考查两角和的正弦公式和诱导公式，以及同角的平方关系的运用，考查运算能力，属于中档题．11.（2018年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅲ卷数学（理4））若sinα=，则cos2α=（　　）A．B．C．﹣D．﹣【考点】GS：二倍角的三角函数．【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；56：三角函数的求值．【分析】cos2α=1﹣2sin2α，由此能求出结果．【解答】解：∵sinα=，∴cos2α=1﹣2sin2α=1﹣2×=．故选：B．【点评】本题考查二倍角的余弦值的求法，考查二倍角公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．12.（2018年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅲ卷数学（理9））△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC的面积为，则C=（　　）A．B．C．D．【考点】HR：余弦定理．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；58：解三角形．【分析】推导出S△ABC==，从而sinC==cosC，由此能求出结果．【解答】解：∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．△ABC的面积为，∴S△ABC==，∴sinC==cosC，∵0＜C＜π，∴C=．故选：C．【点评】本题考查三角形内角的求法，考查余弦定理、三角形面积公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．13.（2018年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅲ卷数学（理15））函数f（x）=cos（3x+）在[0，π]的零点个数为　　．【答案】见解析。【考点】51：函数的零点．【专题】11：计算题；38：对应思想；4O：定义法；57：三角函数的图像与性质．【分析】由题意可得f（x）=cos（3x+）=0，可得3x+=+kπ，k∈Z，即x=+kπ，即可求出．【解答】解：∵f（x）=cos（3x+）=0，∴3x+=+kπ，k∈Z，∴x=+kπ，k∈Z，当k=0时，x=，当k=1时，x=π，当k=2时，x=π，当k=3时，x=π，∵x∈[0，π]，∴x=，或x=π，或x=π，故零点的个数为3，故答案为：3【点评】本题考查了余弦函数的图象和性质以及函数零点的问题，属于基础题．14.（2017年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅲ卷数学（理6））设函数f（x）=cos（x+），则下列结论错误的是（　　）A．f（x）的一个周期为﹣2πB．y=f（x）的图象关于直线x=对称C．f（x+π）的一个零点为x=D．f（x）在（，π）单调递减【考点】H7：余弦函数的图象．【专题】33：函数思想；4O：定义法；57：三角函数的图像与性质．【分析】根据三角函数的图象和性质分别进行判断即可．【解答】解：A．函数的周期为2kπ，当k=﹣1时，周期T=﹣2π，故A正确，B．当x=时，cos（x+）=cos（+）=cos=cos3π=﹣1为最小值，此时y=f（x）的图象关于直线x=对称，故B正确，C当x=时，f（+π）=cos（+π+）=cos=0，则f（x+π）的一个零点为x=，故C正确，D．当＜x＜π时，＜x+＜，此时函数f（x）不是单调函数，故D错误，故选：D．【点评】本题主要考查与三角函数有关的命题的真假判断，根据三角函数的图象和性质是解决本题的关键．15.（2016年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅲ卷数学（理5））若tanα=，则cos2α+2sin2α=（　　）A．B．C．1D．【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值．【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；56：三角函数的求值．【分析】将所求的关系式的分母“1”化为（cos2α+sin2α），再将“弦”化“切”即可得到答案．【解答】解：∵tanα=，∴cos2α+2sin2α====．故选：A．【点评】本题考查三角函数的化简求值，“弦”化“切”是关键，是基础题．16..（2016年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅲ卷数学（理8））在△ABC中，B=，BC边上的高等于BC，则cosA等于（　　）A．B．C．﹣D．﹣【考点】HT：三角形中的几何计算．【专题】35：转化思想；44：数形结合法；58：解三角形．【分析】作出图形，令∠DAC=θ，依题意，可求得cosθ===，sinθ=，利用两角和的余弦即可求得答案．【解答】解：设△ABC中角A、B、C、对应的边分别为a、b、c，AD⊥BC于D，令∠DAC=θ，∵在△ABC中，B=，BC边上的高AD=h=BC=a，∴BD=AD=a，CD=a，在Rt△ADC中，cosθ===，故sinθ=，∴cosA=cos（+θ）=coscosθ﹣sinsinθ=×﹣×=﹣．故选：C．【点评】本题考查解三角形中，作出图形，令∠DAC=θ，利用两角和的余弦求cosA是关键，也是亮点，属于中档题．17.（2016年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅲ卷数学（理14））函数y=sinx﹣cosx的图象可由函数y=sinx+cosx的图象至少向右平移　　个单位长度得到．【答案】见解析。【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】33：函数思想；4R：转化法；57：三角函数的图像与性质．【分析】令f（x）=sinx+cosx=2sin（x+），则f（x﹣φ）=2sin（x+﹣φ），依题意可得2sin（x+﹣φ）=2sin（x﹣），由﹣φ=2kπ﹣（k∈Z），可得答案．【解答】解：∵y=f（x）=sinx+cosx=2sin（x+），y=sinx﹣cosx=2sin（x﹣），∴f（x﹣φ）=2sin（x+﹣φ）（φ＞0），令2sin（x+﹣φ）=2sin（x﹣），则﹣φ=2kπ﹣（k∈Z），即φ=﹣2kπ（k∈Z），当k=0时，正数φmin=，故答案为：．【点评】本题考查函数y=sinx的图象变换得到y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象，得到﹣φ=2kπ﹣（k∈Z）是关键，也是难点，属于中档题．18.（2018年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅰ卷数学（文8））已知函数f（x）=2cos2x﹣sin2x+2，则（　　）A．f（x）的最小正周期为π，最大值为3B．f（x）的最小正周期为π，最大值为4C．f（x）的最小正周期为2π，最大值为3D．f（x）的最小正周期为2π，最大值为4【考点】H1：三角函数的周期性．【专题】35：转化思想；56：三角函数的求值；57：三角函数的图像与性质．【分析】首先通过三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成余弦型函数，进一步利用余弦函数的性质求出结果．【解答】解：函数f（x）=2cos2x﹣sin2x+2，=2cos2x﹣sin2x+2sin2x+2cos2x，=4cos2x+sin2x，=3cos2x+1，=，=，故函数的最小正周期为π，函数的最大值为，故选：B．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，余弦型函数的性质的应用．19.（2018年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅰ卷数学（文11））已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A（1，a），B（2，b），且cos2α=，则|a﹣b|=（　　）A．B．C．D．1【考点】G9：任意角的三角函数的定义；GS：二倍角的三角函数．【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；56：三角函数的求值．【分析】推导出cos2α=2cos2α﹣1=，从而|cosα|=，进而|tanα|=||=|a﹣b|=．由此能求出结果．【解答】解：∵角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A（1，a），B（2，b），且cos2α=，∴cos2α=2cos2α﹣1=，解得cos2α=，∴|cosα|=，∴|sinα|==，|tanα|=||=|a﹣b|===．故选：B．【点评】本题考查两数差的绝对值的求法，考查二倍角公式、直线的斜率等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．20.（2018年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅰ卷数学（文16））△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知bsinC+csinB=4asinBsinC，b2+c2﹣a2=8，则△ABC的面积为　　．【答案】见解析。【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．【专题】35：转化思想；56：三角函数的求值；58：解三角形．【分析】直接利用正弦定理求出A的值，进一步利用余弦定理求出bc的值，最后求出三角形的面积．【解答】解：△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．bsinC+csinB=4asinBsinC，利用正弦定理可得sinBsinC+sinCsinB=4sinAsinBsinC，由于0＜B＜π，0＜C＜π，所以sinBsinC≠0，所以sinA=，则A=由于b2+c2﹣a2=8，则：，①当A=时，，解得bc=，所以．②当A=时，，解得bc=﹣（不合题意），舍去．故：．故答案为：．【点评】本体考察的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理和余弦定理的应用及三角形面积公式的应用．21.（2017年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅰ卷数学（文8））　函数y=的部分图象大致为（　　）A．B．C．D．【考点】3A：函数的图象与图象的变换．【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；51：函数的性质及应用．【分析】判断函数的奇偶性排除选项，利用特殊值判断即可．【解答】解：函数y=，可知函数是奇函数，排除选项B，当x=时，f（）==，排除A，x=π时，f（π）=0，排除D．故选：C．【点评】本题考查函数的图形的判断，三角函数化简，函数的奇偶性以及函数的特殊点是判断函数的图象的常用方法．22.（2017年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅰ卷数学（文11））△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinB+sinA（sinC﹣cosC）=0，a=2，c=，则C=（　　）A．B．C．D．【考点】HP：正弦定理．[来源:学,科,网Z,X,X,K]【专题】11：计算题；35：转化思想；4O：定义法；56：三角函数的求值；58：解三角形．【分析】根据诱导公式和两角和的正弦公式以及正弦定理计算即可【解答】解：sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，∵sinB+sinA（sinC﹣cosC）=0，∴sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC﹣sinAcosC=0，∴cosAsinC+sinAsinC=0，∵sinC≠0，∴cosA=﹣sinA，∴tanA=﹣1，∵＜A＜π，∴A=，由正弦定理可得=，∴sinC=，∵a=2，c=，∴sinC===，∵a＞c，∴C=，故选：B．【点评】本题考查了诱导公式和两角和的正弦公式以及正弦定理，属于基础题23.（2017年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅰ卷数学（文15））已知α∈（0，），tanα=2，则cos（α﹣）=　　．【答案】见解析。【考点】GG：同角三角函数间的基本关系；GP：两角和与差的三角函数．【专题】11：计算题；33：函数思想；4R：转化法；56：三角函数的求值．【分析】根据同角的三角函数的关系求出sinα=，cosα=，再根据两角差的余弦公式即可求出．【解答】解：∵α∈（0，），tanα=2，∴sinα=2cosα，∵sin2α+cos2α=1，解得sinα=，cosα=，∴cos（α﹣）=cosαcos+sinαsin=×+×=，故答案为：【点评】本题考查了同角的三角函数的关系以及余弦公式，考查了学生的运算能力，属于基础题．24.（2016年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅰ卷数学（文4））△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知a=，c=2，cosA=，则b=（　　）A．B．C．2D．3【考点】HR：余弦定理．【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；58：解三角形．【分析】由余弦定理可得cosA=，利用已知整理可得3b2﹣8b﹣3=0，从而解得b的值．【解答】解：∵a=，c=2，cosA=，∴由余弦定理可得：cosA===，整理可得：3b2﹣8b﹣3=0，∴解得：b=3或﹣（舍去）．故选：D．【点评】本题主要考查了余弦定理，一元二次方程的解法在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．25.（2016年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅰ卷数学（文6））将函数y=2sin（2x+）的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为（　　）A．y=2sin（2x+）B．y=2sin（2x+）C．y=2sin（2x﹣）D．y=2sin（2x﹣）【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】33：函数思想；48：分析法；57：三角函数的图像与性质．【分析】求得函数y的最小正周期，即有所对的函数式为y=2sin[2（x﹣）+]，化简整理即可得到所求函数式．【解答】解：函数y=2sin（2x+）的周期为T==π，由题意即为函数y=2sin（2x+）的图象向右平移个单位，可得图象对应的函数为y=2sin[2（x﹣）+]，即有y=2sin（2x﹣）．[来源:学_科_网Z_X_X_K]故选：D．【点评】本题考查三角函数的图象平移变换，注意相位变换针对自变量x而言，考查运算能力，属于基础题和易错题．26.（2016年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅰ卷数学（文14））已知θ是第四象限角，且sin（θ+）=，则tan（θ﹣）=　　．【答案】见解析。【考点】GP：两角和与差的三角函数．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；56：三角函数的求值．【分析】由θ得范围求得θ+的范围，结合已知求得cos（θ+），再由诱导公式求得sin（）及cos（），进一步由诱导公式及同角三角函数基本关系式求得tan（θ﹣）的值．【解答】解：∵θ是第四象限角，∴，则，又sin（θ+）=，∴cos（θ+）=．∴cos（）=sin（θ+）=，sin（）=cos（θ+）=．则tan（θ﹣）=﹣tan（）=﹣=．故答案为：﹣．【点评】本题考查两角和与差的正切，考查诱导公式及同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．27.（2018年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（文7））在△ABC中，cos=，BC=1，AC=5，则AB=（　　）A．4B．C．D．2【考点】HR：余弦定理．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；58：解三角形．[来源:Z,xx,k.Com]【分析】利用二倍角公式求出C的余弦函数值，利用余弦定理转化求解即可．【解答】解：在△ABC中，cos=，cosC=2×=﹣，BC=1，AC=5，则AB====4．故选：A．【点评】本题考查余弦定理的应用，考查三角形的解法以及计算能力．28.（2018年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（文10））若f（x）=cosx﹣sinx在[0，a]是减函数，则a的最大值是（　　）A．B．C．D．π【考点】GP：两角和与差的三角函数；H5：正弦函数的单调性．【专题】33：函数思想；4R：转化法；56：三角函数的求值．【分析】利用两角和差的正弦公式化简f（x），由﹣+2kπ≤x﹣≤+2kπ，k∈Z，得﹣+2kπ≤x≤+2kπ，k∈Z，取k=0，得f（x）的一个减区间为[﹣，]，结合已知条件即可求出a的最大值．【解答】解：f（x）=cosx﹣sinx=﹣（sinx﹣cosx）=﹣sin（x﹣），由﹣+2kπ≤x﹣≤+2kπ，k∈Z，得﹣+2kπ≤x≤+2kπ，k∈Z，取k=0，得f（x）的一个减区间为[﹣，]，由f（x）在[0，a]是减函数，得a≤．则a的最大值是．故选：C．【点评】本题考查了两角和与差的正弦函数公式的应用，三角函数的求值，属于基本知识的考查，是基础题．　29.（2018年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（文15））已知tan（α﹣）=，则tanα=　　．[来源:Zxxk.Com]【答案】见解析。【考点】GP：两角和与差的三角函数．【专题】35：转化思想；4R：转化法；56：三角函数的求值．【分析】根据三角函数的诱导公式以及两角和差的正切公式进行计算即可．【解答】解：∵tan（α﹣）=，∴tan（α）=，则tanα=tan（α+）=====，故答案为：．【点评】本题主要考查三角函数值的计算，利用两角和差的正切公式进行转化是解决本题的关键．30.（2017年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（文3））函数f（x）=sin（2x+）的最小正周期为（　　）A．4πB．2πC．πD．【考点】H1：三角函数的周期性．【专题】38：对应思想；48：分析法；57：三角函数的图像与性质．【分析】利用三角函数周期公式，直接求解即可．【解答】解：函数f（x）=sin（2x+）的最小正周期为：=π．故选：C．【点评】本题考查三角函数的周期的求法，是基础题．31.（2017年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（文13））函数f（x）=2cosx+sinx的最大值为　　．【答案】见解析。【考点】HW：三角函数的最值．【专题】11：计算题；35：转化思想；56：三角函数的求值；57：三角函数的图像与性质．【分析】利用辅助角公式化简函数的解析式，通过正弦函数的有界性求解即可．【解答】解：函数f（x）=2cosx+sinx=（cosx+sinx）=sin（x+θ），其中tanθ=2，可知函数的最大值为：．故答案为：．【点评】本题考查三角函数的化简求值，正弦函数的有界性的应用，考查计算能力．32.（2017年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（文16））△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcosB=acosC+ccosA，则B=　　．【答案】见解析。【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；HP：正弦定理．【专题】11：计算题；35：转化思想；4O：定义法；56：三角函数的求值；58：解三角形．【分析】根据正弦定理和两角和的正弦公式和诱导公式计算即可【解答】解：∵2bcosB=acosC+ccosA，由正弦定理可得，2cosBsinB=sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C）=sinB，∵sinB≠0，∴cosB=，∵0＜B＜π，∴B=，故答案为：【点评】本题考查了正弦定理和两角和的正弦公式和诱导公式，属于基础题33.（2016年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（文3））　函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则（　　）A．y=2sin（2x﹣）B．y=2sin（2x﹣）C．y=2sin（x+）D．y=2sin（x+）【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】35：转化思想；4R：转化法；57：三角函数的图像与性质．【分析】根据已知中的函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象，求出满足条件的A，ω，φ值，可得答案．【解答】解：由图可得：函数的最大值为2，最小值为﹣2，故A=2，=，故T=π，ω=2，故y=2sin（2x+φ），将（，2）代入可得：2sin（+φ）=2，则φ=﹣满足要求，故y=2sin（2x﹣），故选：A．【点评】本题考查的知识点是由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，确定各个参数的值是解答的关键．34.（2016年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（文11））函数f（x）=cos2x+6cos（﹣x）的最大值为（　　）A．4B．5C．6D．7【考点】HW：三角函数的最值．【专题】33：函数思想；4J：换元法；56：三角函数的求值；57：三角函数的图像与性质．【分析】运用二倍角的余弦公式和诱导公式，可得y=1﹣2sin2x+6sinx，令t=sinx（﹣1≤t≤1），可得函数y=﹣2t2+6t+1，配方，结合二次函数的最值的求法，以及正弦函数的值域即可得到所求最大值．【解答】解：函数f（x）=cos2x+6cos（﹣x）=1﹣2sin2x+6sinx，令t=sinx（﹣1≤t≤1），可得函数y=﹣2t2+6t+1=﹣2（t﹣）2+，由∉[﹣1，1]，可得函数在[﹣1，1]递增，即有t=1即x=2kπ+，k∈Z时，函数取得最大值5．故选：B．【点评】本题考查三角函数的最值的求法，注意运用二倍角公式和诱导公式，同时考查可化为二次函数的最值的求法，属于中档题．35.（2016年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（文15））△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA=，cosC=，a=1，则b=　　．【答案】见解析。【考点】HU：解三角形．【专题】34：方程思想；48：分析法；56：三角函数的求值；58：解三角形．【分析】运用同角的平方关系可得sinA，sinC，再由诱导公式和两角和的正弦公式，可得sinB，运用正弦定理可得b=，代入计算即可得到所求值．【解答】解：由cosA=，cosC=，可得sinA===，sinC===，sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=×+×=，由正弦定理可得b===．故答案为：．【点评】本题考查正弦定理的运用，同时考查两角和的正弦公式和诱导公式，以及同角的平方关系的运用，考查运算能力，属于中档题．36.（2018年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅲ卷数学（文4））若sinα=，则cos2α=（　　）A．B．C．﹣D．﹣【考点】GS：二倍角的三角函数．【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；56：三角函数的求值．【分析】cos2α=1﹣2sin2α，由此能求出结果．【解答】解：∵sinα=，∴cos2α=1﹣2sin2α=1﹣2×=．故选：B．【点评】本题考查二倍角的余弦值的求法，考查二倍角公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．37.（2018年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅲ卷数学（文6））函数f（x）=的最小正周期为（　　）A．B．C．πD．2π【考点】H1：三角函数的周期性．【专题】35：转化思想；49：综合法；57：三角函数的图像与性质．【分析】利用同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性，得出结论．【解答】解：函数f（x）===sin2x的最小正周期为=π，故选：C．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式，正弦函数的周期性，属于基础题．38.（2018年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅲ卷数学（文11））△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC的面积为，则C=（　　）A．B．C．D．【考点】HR：余弦定理．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；58：解三角形．【分析】推导出S△ABC==，从而sinC==cosC，由此能求出结果．【解答】解：∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．△ABC的面积为，∴S△ABC==，∴sinC==cosC，∵0＜C＜π，∴C=．故选：C．【点评】本题考查三角形内角的求法，考查余弦定理、三角形面积公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．39.（2017年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅲ卷数学（文4））已知sinα﹣cosα=，则sin2α=（　　）A．﹣B．﹣C．D．【考点】GS：二倍角的三角函数．【专题】11：计算题；35：转化思想；4O：定义法；56：三角函数的求值．【分析】由条件，两边平方，根据二倍角公式和平方关系即可求出．【解答】解：∵sinα﹣cosα=，∴（sinα﹣cosα）2=1﹣2sinαcosα=1﹣sin2α=，∴sin2α=﹣，故选：A．【点评】本题考查了二倍角公式，属于基础题．40.（2017年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅲ卷数学（文6））函数f（x）=sin（x+）+cos（x﹣）的最大值为（　　）A．B．1C．D．【考点】HW：三角函数的最值．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；57：三角函数的图像与性质．【分析】利用诱导公式化简函数的解析式，通过正弦函数的最值求解即可．【解答】解：函数f（x）=sin（x+）+cos（x﹣）=sin（x+）+cos（﹣x+）=sin（x+）+sin（x+）=sin（x+）．故选：A．【点评】本题考查诱导公式的应用，三角函数的最值，正弦函数的有界性，考查计算能力．41.（2017年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅲ卷数学（文7））函数y=1+x+的部分图象大致为（　　）A．B．C．D．【考点】3A：函数的图象与图象的变换．【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；51：函数的性质及应用．【分析】通过函数的解析式，利用函数的奇偶性的性质，函数的图象经过的特殊点判断函数的图象即可．【解答】解：函数y=1+x+，可知：f（x）=x+是奇函数，所以函数的图象关于原点对称，则函数y=1+x+的图象关于（0，1）对称，当x→0+，f（x）＞0，排除A、C，当x=π时，y=1+π，排除B．故选：D．【点评】本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性以及特殊点是常用方法．42.（2017年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅲ卷数学（文15））△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知C=60°，b=，c=3，则A=　　．【答案】见解析。【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．【专题】11：计算题；35：转化思想；4O：定义法；58：解三角形．【分析】根据正弦定理和三角形的内角和计算即可【解答】解：根据正弦定理可得=，C=60°，b=，c=3，∴sinB==，∵b＜c，∴B=45°，∴A=180°﹣B﹣C=180°﹣45°﹣60°=75°，故答案为：75°．【点评】本题考查了三角形的内角和以及正弦定理，属于基础题43.（2016年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅲ卷数学（文6））若tanθ=，则cos2θ=（　　）A．B．C．D．【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值．【专题】11：计算题；35：转化思想；56：三角函数的求值．【分析】原式利用二倍角的余弦函数公式变形，再利用同角三角函数间的基本关系化简，将tanθ的值代入计算即可求出值．【解答】解：∵tanθ=，∴cos2θ=2cos2θ﹣1=﹣1=﹣1=．故选：D．【点评】此题考查了二倍角的余弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键．44.（2016年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅲ卷数学（文9））在△ABC中，B=，BC边上的高等于BC，则sinA=（　　）A．B．C．D．【考点】HT：三角形中的几何计算；HU：解三角形．【专题】11：计算题；35：转化思想；58：解三角形．【分析】由已知，结合勾股定理和余弦定理，求出AB，AC，再由三角形面积公式，可得sinA．【解答】解：∵在△ABC中，B=，BC边上的高等于BC，∴AB=BC，由余弦定理得：AC===BC，故BC•BC=AB•AC•sinA=•BC•BC•sinA，∴sinA=，故选：D．【点评】本题考查的知识点是三角形中的几何计算，熟练掌握正弦定理和余弦定理，是解答的关键．45.（2016年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅲ卷数学（文14））函数y=sinx﹣cosx的图象可由函数y=2sinx的图象至少向右平移　　个单位长度得到．【答案】见解析。【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】39：运动思想；49：综合法；57：三角函数的图像与性质．【分析】令f（x）=2sinx，则f（x﹣φ）=2in（x﹣φ），依题意可得2sin（x﹣φ）=2sin（x﹣），由﹣φ=2kπ﹣（k∈Z），可得答案．【解答】解：∵y=sinx﹣cosx=2sin（x﹣），令f（x）=2sinx，则f（x﹣φ）=2in（x﹣φ）（φ＞0），依题意可得2sin（x﹣φ）=2sin（x﹣），故﹣φ=2kπ﹣（k∈Z），即φ=﹣2kπ+（k∈Z），当k=0时，正数φmin=，故答案为：．【点评】本题考查函数y=sinx的图象变换得到y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象，得到﹣φ=2kπ﹣（k∈Z）是关键，属于中档题．