第66课--三角函数综合训练

第66课三角函数综合训练一、典型例题1.已知函数()=4cossin()(0)6fxxx的最小正周期是.（1）求函数()fx在区间(0,)的单调递增区间；（2）求()fx在3[,]88上的最大值和最小值.答案：（1）单调递增区间为(0,]3和5[,)6；（2）最小值6212，最大值1.解析：（1）31()=4cossin()4cos(sincos)622fxxxxxx223sincos2cosxxx3sin2cos21xx2sin(2)16x，∴22T，解得1，从而()2sin(2)16fxx，令222262kxk，解得()63kxkkZ，∴函数()fx在区间(0,)的单调递增区间为(0,]3和5[,)6.（2）当3[,]88x时，72[,]61212x，∴当2612x，即8x时，62sin()sin()12464ppp-=-=，此时函数()fx取得最小值6212.当262x，即3x时，函数()fx取得最大值1.2.已知直线518x是函数()sin(3)(0)fxx图象的一条对称轴.（1）求；（2）求函数()()6yfxfx，(0,)3x的值域.答案：（1）3；（2）2631[,)22y解析：（1）∵直线518x是函数()sin(3)(0)fxx图象的一条对称轴，∴53,182kkZ，∴3.（2）由（1）可知()sin(3)3fxx，函数()()sin(3)sin[3()]6363yfxfxxxsin(3)cos(3)33xx1313sin3cos3cos3sin32222xxxx1313sin3cos322xx26sin(3)24x，∵(0,)3x，∴53(,)444x，∴2sin(3)(,1]42x，∴2631[,)22y.二、课堂练习1.已知函数2()2sin()4cos3(0)62xfxx.（1）求函数()fx的值域；（2）若函数()fx的图象与直线1y的相邻两交点间的距离为2，求()fx的单调递减区间.答案：（1）[1,3]；（2）单调递减区间为5[,]()36kkkZ解析：（1）2()2sin()4cos362xfxx312(sincos)2cos122xxx312(sincos)122xx2sin()16x，由1sin()16x，得12sin()136x，∴函数()fx的值域为[1,3].（2）由题设条件与三角函数的图象和性质可知，函数()fx的周期为，即2，解得2，∴()2sin(2)16fxx，令3222()262kxkkZ，解得5()36kxkkZ，∴函数()fx的单调递减区间为5[,]()36kkkZ.2.已知函数22cos2sincos23fxxxx.（1）求函数fx的最小正周期和单调递增区间；（2）若存在,123t满足2220ftftm，求实数m的取值范围.答案：（1）T，单调递增区间,k63kkZ；（2）,1解析：（1）2213cos2sin2sincos222fxxxxx13cos2sin2cos2222xxxsin226x，函数fx的最小正周期T，由222262kxkkZ，得63kxkkZ，所以函数fx的单调递增区间为,63kkkZ.（2）当,123t时，20,62t，sin222,216ftt，令222222Fftfttft，则2,1Ft，因为存在,123t满足0Ftm，所以max1mFt，所以实数m的取值范围为,1.三、课后作业1．已知向量sin,cos,2cos,2cosxxxxab，函数1fxab.（1）求fx的对称中心；（2）求函数fx在区间0,2上的最大值和最小值，并求出x相应的值.答案：（1）,028kkZ；（2）最大值为2，最小值为1.解析：（1）因为212sincoscos2cos12sincos2cos1fxxxxxxxxabsin2cos22sin24xxx，令2,4xkkZ，解得28kx，kZ.所以fx的对称中心为,028kkZ.（2）由（1）得2sin24fxx，因为0,2x，所以32,444x，所以当242x，即38x时，fx的最大值为2，当244x时，即0x时，fx的最小值为1.2．已知函数22cos23sincos1fxxxx.（1）求函数fx的最小正周期；（2）求函数fx在区间π,π2上的最小值和最大值.答案：（1）；（2）max1fx，min2fx解析：（1）22cos23sincos1fxxxxcos23sin2xx132cos2sin222xxπ2sin26x，所以周期2ππ2T.（2）因为ππ2x，所以7ππ13π2666x.所以当π13π266x时，即πx时max1fx.当π3π262x时,即2π3x时min2fx.3．设函数22()cos(2)2cos3fxxx.（1）求函数()fx的对称中心和单调减区间；（2）将函数()fx的图象向右平移3个单位长度后得到函数()gx的图象，求函数()gx在区间[0,]2上的最小值.答案：（1）单调减区间为[,]()63kkkZ，对称中心为(,1),122kkZ；（2）12解析：（1）2213()cos(2)2coscos2sin21cos2322fxxxxxx13cos2sin21cos(2)1223xxx，∴函数()fx的最小正周期为.由222,3kxkkZ，可得,63kxkkZ，∴函数()fx的单调减区间为[,]()63kkkZ，∴()cos(2)13fxx，令ππ232xk，得,122kxkZ，∴函数()fx的对称中心为(,1),122kkZ.（2）将函数()fx的图象向右平移3个单位长度后得到函数()gx的图象，可得()()cos[2()]1cos(2)13333gxfxxx，由[0,]2x，可得22[,]333x，∴1cos(2)[,1]32x，∴1cos(2)1[,2]32x，∴()gx在区间[0,]2上的最小值为12.