2.2本征值和本征函数的计算

高等量子力学讲义（研究生用）§2.2本征函数和本征值的计算河北师范大学刘建军§2.2本征函数和本征值的计算我们讨论Schr方程的定态解，则解方程odinger..HEψψ=，这个方程的求解可以直接由矢量求解，也可以在某一 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 象中求解。以一维振子问题为例分几种情况讨论。对一维振子问题，其哈密顿为221122Hpmmω=+2x1．直接矢量计算引入两个辅助算符：()12bpimmxωω=−h，()12imxmbpωω+=+h，显然有[]()22221,2bbpmximpxmωωω+=++h()22221122pmxmHm1ωωωωω⎛⎞=++=+⎜⎟⎝⎠hhhh,同理可得⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=+ωωhh211Hbb。Q()12Hbbbbω++=+h,1bbbbbb+++，⎡⎤=−=⎣⎦,∴()112122Hbbbbωω++⎛⎞=+=⎜⎟⎝⎠hh+。由此可以看出，且,0Hbb+⎡⎤=⎣⎦()bbbb+++=，所以H与厄米算符b有共同的本征矢。设b的归一化本征矢b+b+λ的本征值为λ，则有bbλλλ+=，①Q2bbbbbλλλλλ+==λ=，∴λ为大于等于零的实数，用b作用于①式有()1bbbbbbbλλλλ++=+=，∴()()()1bbbbλλλ+=−，由此可知bλ也是的本征矢，其本征值为bb+1λ−，而模为λ，所以1bλλλ=−，∴nnbn−+−−=λλλλλ21)]1()1([L，),2,1,0(L=n1高等量子力学讲义（研究生用）§2.2本征函数和本征值的计算河北师范大学刘建军因此b为下降算符，若λ为bb+的本征值，则0nλ−≥也是bb+的本征值，而00b=，因此b的本征值b+λ只有是非负整数时，才能保证b是下降算符时nbλ得出的态中没有bb+的本征值为负值的本征态。所以有0,1,2.....λ=。考察用b作用于①式两边：+()()11bbbbbbbbbbλλλ+++++++=−=−=λλ，∴()()1bbbbλλλ+++=+，由此可以看出bλ+也是b的本征矢，其本征值为b+1λ+，而()211bbbbbλλλλλλ+++==+=+，∴11bλλλ+=++，由此可知b+是上升算符。1122Hbbλωλωλ+⎛⎞⎛⎞=+=+⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠hhλ，由于λ是非负整数，所以习惯上用n代替λ，即nnnH)21(+=ωh，L,2,1,0=n，所以得到本征值：12nEnω⎛⎞=+⎜⎟⎝⎠h，本征矢为：1110,21,......,1,21bbnn++==+=+bn+而00b=。我们将H的全部本征矢取为希尔伯特空间的基，则可得到能量表象中（占有数表象）各算符的表示，b和b+矩阵元为,11mnmnbmbnmnnnδ−==−=，,1111mnmnbmbnmnnnδ+++==++=+。2高等量子力学讲义（研究生用）§2.2本征函数和本征值的计算河北师范大学刘建军∴0100...0020...0003......b⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠MMMM，0000...1000...0200......b+⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠MMMM，0000...0100...0020......bb+⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠MMMM，1000...23000...25000...2Hω⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠hMMMMM（注意序号排列按0,1,2,3,…次序）。所以本征矢矩阵形式为1000⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠M，0110⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠M，002,......1⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠M。Q()2xibmω+=−hb，()2mpbbω+=+h，∴120100...1020...0203...20030..................ximω⎛⎞⎜⎟−⎜⎟⎡⎤⎜⎟=−⎢⎥⎜⎟⎣⎦⎜⎟−⎜⎟⎜⎟⎝⎠h，120100...1020...0203...20030..................mpω⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎡⎤⎜⎟=⎢⎥⎜⎟⎣⎦⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠h。可以将此结果取x表象，在x表象中：xx∧=，pix∧∂=−∂h，而本征态的波函数为()nxxnψ=，而11bnnn+=++，00b=，只要求出())00xxψ=，就可求出()nxψ，在x表象中有：12122idbpimxmdωξωξ∧∧⎛⎞⎡⎤⎛⎞=−=−+⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎣⎦⎝⎠h，2iddbξξ∧+⎛⎞=−+⎜⎟⎝⎠，其中xξα=，mωα=h。解00b=，所以3高等量子力学讲义（研究生用）§2.2本征函数和本征值的计算河北师范大学刘建军()002iddξψξξ⎛⎞−+=⎜⎟⎝⎠，解得：()24120meξωψξπ−=h，再由11bnnn+=++，可逐项求出()nψξ，最后得()()()24122!nnnnimeHnξωψξξπ−=h，其中22)1()(ξξξξ−−=eddeHnnnn为汉克函数，1,1,2,......2nEnnω⎛⎞=+=⎜⎟⎝⎠h。()nψξ的通式可由数学归纳法证明：设()()()24122!nnnnimeHnξωψξξπ−=h，则有24120meξωψπ−=h满足左式，()()11nnbnψξψξ∧++=+，2idbdξξ∧+⎛⎞=−+⎜⎟⎝⎠，则有()()()()()()()222241214111122211212!21!nnnnnnnnniimdeHdnnimdeHeHeHdnξξξξωψξξπξωξξξπξ−++−−−+⎛⎞=−+⎜⎟+⎝⎠⎡⎤=−+⎢⎥+⎣⎦hh。()()()ξξ()()()222222411111222111212121!nnnnnnnnnnimdeHeeeeeeddnξξξξξξω2dξψξξξξπξ++−−−−−+++⎡⎤=−−−−⎢⎥+⎣⎦h()()ξ()()()()==222244111111221111121!21!nnnnnnnniimdmeeeeHdnnξξξξωωξπξπ+++−−+−++++−++hh成立。2.在能量表象中计算Q[],HxHip∂=∂h，[],HHpix∂=∂h，221122Hpmmω=+2x，∴()1HpxHHxpmi∂==−∂h，()21HmxHppHxiω∂==−∂h，4高等量子力学讲义（研究生用）§2.2本征函数和本征值的计算河北师范大学刘建军在能量表象中，H矩阵为对角矩阵，其矩阵元可写成ijiijHEδ=，其中重复脚标并不表示求和，将上式写成矩阵元式为：Q()()()1111ijilljilljillljiilljijllpxHHxxHHxxEExmiiiδδ=−=−=−∑∑hhh()()1ijjiijijijixEExEExi=−=−hh，()()211ijilljilljiilljillljllmxHppHEppEiiωδδ=−=−∑∑hh()()1iijijjijijiEppEEEpi=−=−−hh，∴()()2100ijijijijijijiEExpmimxEEpω⎧−−=⎪⎪⎨⎪+−=⎪⎩hh，对矩阵元ijx和ijp只有在系数行列式为零时才有非零解，即()()210ijijiEEmimEEω−−=−hh，得到只有()22()ijEEω−=h时ijx和ijp才有非零解，否则为零。这表明只有当H的本征值以差ωh的间隔取等间距分立数值时矩阵才不为零。设x和p()iEiεω=+h，其中，并按小到大排列，01......2,1,0,1,2,......i=−−ε≤≤。相邻本征值相差ωh，于是对的矩阵元只有当行标和列标相差时矩阵元才不为零。x和p1±∴(),1,1ijijjijippδδ+−=+，(),1,1ijijjijixxδδ+−=+，将()()2ijijijijimxEEpiijpω=−−=−−hω代入哈密顿矩阵元有：()()()()()12221111222211,2ijiijikkjikkjikkjikkjkkkkikkjkHEppmxxppmikkjppmmppikkjmδωωω−⎡⎤==+=+−−−⎣⎦=−−−⎡⎤⎣⎦∑∑∑∑∑5高等量子力学讲义（研究生用）§2.2本征函数和本征值的计算河北师范大学刘建军将代入得(),1,1ijijjijippδδ+−=+()()()()()()()()()()()()(),1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,11,,21121{11211}1{112iijikkikikjjkjkkikkjkijkkijkkkijkkijkiiijjiEppikkjmppikkjikkjmikkjikkjppiiimδδδδδδδδδδδδδδ+−+−+++−−+−−+++=++−−−⎡⎤⎣⎦=−−−+−−−+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦+−−−+−−−⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=−−−∑∑()()()()()()(),11,,,11,,,11,,2,11,,11,111111111}1{22}2iiijjiiiijjiiiijjiiiiiiiiiij1jppiiijppiiijppiiijppppmδδδδ++−−−−−−−+++−+−−−+−⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦+−−−−−+−−+−−⎡⎤⎡⎣⎦⎣=+。⎤⎦∴()(),11,,11,1iiiiiiiiippppEimεω−−+++==+h。Qpp+=，∴*,11,iiiipp±±=，则有(221,,1iiiippmi)ωε−++=+h，则，0i≥设,1iipciα+=+，其中c与α为待定常数，代入上式得()()(221cicimi)ααω−+++=+hε，()(2212cimi)αωε−+=+h，比较得当212cmω=h，12αε=+时满足上式时（取12cmω=h），∴,1122iimpiωε+=+h+，上式中，所以表达式中的矩阵元应为零，取0i≥0i<0i=代入上式方程时，有221,00,1ppmωε−+=h，则20,1pmωε=h，1122mmωεωε⎛⎞+=⎜⎟⎝⎠hh，∴12ε=。最后得,1112nnpmnω+=+h，，*,11,nnnnpp−−=∴,11,12nnnnppmω−−==hn，由此可求出(),11,1212nnnnnnixEEpinmmωω+++=−−=+hh，,12nnxinmω−=−h，6高等量子力学讲义（研究生用）§2.2本征函数和本征值的计算河北师范大学刘建军12nEnω⎛=+⎜⎝⎠h⎞⎟(22,1,11nnnnnEppm−+⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦)。x和p的矩阵表示与直接矢量计算的表示相同。x表象中计算3.在在x表象中可将pix∧∂→−∂h，xx∧→，解方程()()22222122dmxxExmdxωψψ⎡⎤−+=⎢⎥⎣⎦h，这个方程的解是我们在量子力学中已研究过的，它的解同前面已经得出的一样。4.在动量表象中计算在动量表象中，pp∧→，xip∧∂→∂h，则解()()22222122pdmyEmdpω⎡⎤−Φ=⎢⎥⎣⎦hyΦ，这个方程可通过令pmyω=，把方程化为()()22222122dmyyEymdyω⎡⎤−+Φ=Φ⎢⎥⎣⎦h显然有：()(22122!ynnn)yeHynαααπ−Φ=，其中mωα=h，这个解是对y积分归一，若化成对p归一则得出()241121112!pmnnpeHmnmωπωω−⎛⎞Φ=⎜⎟⎝⎠hhhp。7