函数的周期性与对称性

创作时间：二零二一年六月三十天第5炼函数的对称性与周期性之老阳三干创作创作时间：二零二一年六月三十天一、基础知识（一）函数的对称性1、对界说域的要求：不论是轴对称仍是中心对称,均要求函数的界说域要对于对称轴（或对称中心）对称2、轴对称的等价描绘：（1）faxfaxfx对于xa轴对称（那时a0,恰巧就是偶函数）（2）faxfbxfx对于xab轴对称2在已知对称轴的状况下,结构形如faxfbx的等式只需注意两点,一是等式双侧f前面的符号相同,且括号内x前面的符号相反；二是a,b的取值保证xab为所给对称轴即可.比如：2fx对于x1轴对称fxf2x,或获取f3xf1x均可,不过在求函数值方面,一侧是fx更加方便（3）fxa是偶函数,则fxafxa,从而可获取：fx对于xa轴对称.①要注意偶函数是指自变量取相反数,函数值相等,因此在fxa中,x仅是括号中的一部份,偶函数不过指此中的x取相反数时,函数值相等,即fxafxa,要与以下的命题区分：若fx是偶函数,则fxafxa：fx是偶函数中的x占创作时间：二零二一年六月三十天创作时间：二零二一年六月三十天据整个括号,因此是指括号内取相反数,则函数值相等,因此有fxafxa②本结论也可经过图像变换来理解,fxa是偶函数,则fxa对于x0轴对称,而fx可视为fxa平移了a个单元（方向由a的符号决定）,因此fx对于xa对称.在已知对称中心的状况下,结构形如faxfbx的等式相同需注意两点,一是等式双侧f和x前面的符号均相反；二是a,b的取值保证xab为所给对称中心即可.比如：fx对于1,02中心对称fxf2x,或获取f3xf5x均可,同样在求函数值方面,一侧是fx更加方便（3）fxa是奇函数,则fxafxa,从而可获取：x对于a,0中心对称.①要注意奇函数是指自变量取相反数,函数值相反,因此在fxa中,x仅是括号中的一部份,奇函数不过指此中的x取相反数时,函数值相反,即fxafxa,要与以下的命题区分：若fx是奇函数,则fxafxa：fx是奇函数中的x占据整个括号,因此是指括号内取相反数,则函数值相反,因此有fxafxa②本结论也可经过图像变换来理解,fxa是奇函数,则fxa对于0,0中心对称,而fx可视为fxa平移了a个单元（方向由a的符号决定）,因此fx对于a,0对称.4、对称性的作用：最突出的作用为“知一半而得所有”,即一旦创作时间：二零二一年六月三十天创作时间：二零二一年六月三十天函数具备对称性,则只需要剖析一侧的性质,即可获取整个函数的性质,主要 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 此刻以下几点：1）可利用对称性求得某些点的函数值2）在作图时可作出一侧图像,再利用对称性获取另一半图像3）极值点对于对称轴（对称中心）对称4）在轴对称函数中,对于对称轴对称的两个单一区间单一性相反；在中心对称函数中,对于对称中心对称的两个单一区间单一性相同（二）函数的周期性1、界说：设fx的界说域为D,若对xD,存在一个非零常数T,有fxTfx,则称函数fx是一个周期函数,称T为fx的一个周期2、周期性的理解：可理解为间隔为T的自变量函数值相等3、若fx是一个周期函数,则fxTfx,那么fx2TfxTfx,即2T也是fx的一个周期,从而可得：kTkZ也是fx的一个周期4、最小正周期：正由第3条所说,kTkZ也是fx的一个周期,因此在某些周期函数中,常常找寻周期中最小的正数,即称为最小正周期.但是其实不是所有的周期函数都有最小正周期,比方常值函数fxC5、函数周期性的判断：（1）fxafxb：可得fx为周期函数,其周期Tba创作时间：二零二一年六月三十天创作时间：二零二一年六月三十天（2）fxafxfx的周期T2a剖析：直接从等式下手没法得周期性,考虑等间距再结构一个等式：fx2afxa因此有：fx2afxafxfx,即周期T2a注：碰到此类问题,假如一个等式难以推测周期,那么可考虑等间距再列一个等式,从而经过两个等式看可否得出周期（3）fxa1fx的周期T2afx剖析：fx2a11fxafx1fx（4）fxfxak（k为常数）fx的周期T2a剖析：fxfxak,fxafx2ak,两式相减可得：fx2afx（5）fxfxak（k为常数）fx的周期T2a（6）双对称出周期：若一个函数fx存在两个对称关系,则fx是一个周期函数,详细状况以下：（假定ba）①若fx的图像对于xa,xb轴对称,则fx是周期函数,周期T2ba剖析：fx对于xa轴对称fxf2axfx对于xb轴对称fxf2bxf2axf2bxfx的周期为T2b2a2ba②若fx的图像对于a,0,b,0中心对称,则fx是周期函数,周期T2ba创作时间：二零二一年六月三十天创作时间：二零二一年六月三十天③若fx的图像对于xa轴对称,且对于b,0中心对称,则fx是周期函数,周期T4ba7、函数周期性的作用：简而言之“窥一斑而知全豹”,只需认识一个周期的性质,则获取整个函数的性质.1）函数值：可利用周期性将自变量大年夜小进行调整,从而利用已知条件求值2）图像：只需做出一个周期的函数图象,其他部份的图像可利用周期性进行“复制+粘贴”（3）单一区间：因为间隔kTkZ的函数图象相同,因此若fx在a,bbaT上单一增（减）,则fx在akT,bkTkZ上单调增（减）（4）对称性：假如一个周期为T的函数fx存在一条对称轴xa（或对称中心）,则fx存在无数条对称轴,其通式为xakTkZ2 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 ：fx对于xa轴对称fxf2ax函数fx的周期为TfxkTfxfxkTf2axfx对于xakT轴对称2注：此中（3）（4）在三角函数中应用宽泛,可作为查验谜底的方法二、模典范题：例1：设f(x)为界说在R上的奇函数,f(x2)f(x),那时0x1,f(x)x,则f(7.5)__________创作时间：二零二一年六月三十天创作时间：二零二一年六月三十天思路：由f(x2)f(x)可得：fx的周期T4,考虑将f(7.5)用0x1中的函数值进行示意：f(7.5)f3.5f0.5,此时周期性已经没法再进行调整,考虑利用奇偶性进行微调：f0.5f0.51,因此f(7.5)122谜底：f(7.5)12例2：界说域为R的函数fx知足fx22fx,那时x0,2,x3215f,则f（）x22A.1B.1C.148214思路：由fx22fxfx1fx2,可类比函数的周期性,52所以考虑将向x0,2进行转变：x233f51113112212f2f242424谜底：D小炼有话说：fx固然不是周期函数,但函数值关系与周期性类似,可理解为：间隔2个单元的自变量,函数值呈2倍关系.因此在思路上仍可沿用周期性的想法,将自变量向已知范围进行聚拢.例3：界说在R上的函数fx对随意xR,都有1fx1,则f2016即是（）fx2,f21fx4A.1B.1C.142335创作时间：二零二一年六月三十天创作时间：二零二一年六月三十天思路：由fx21fx及所求f2010可联想到周期性,因此考1fx11fx1fx21fx4虑fx4因此fx是周期为的1fx21ffx,1x1fx周期函数,故f2016f4,而由已知可得f1f23,所4f215以f201635谜底：D例4（2009山东）：界说在R上的函数fx知足flog21x,x0则f2009的值为（）xx1f,fx2,x0A.1B.0C.1D.2思路：所给fx的特色为x0才有分析式能够求值,而x0只好经过fxfx1fx2减少自变量的取值,由所求f2009可联想到判断fx能否拥有周期性,x0时,fxfx1fx2,则有fx1fx2fx3,两式相加可得：fxfx3,则fxfx3fx6,即fx在x0时周期是6,故f2009f5f2,而谜底：C小炼有话说：（1）此题的思路依旧是将无分析式的自变量经过函数性质向含分析式的自变量聚拢,而x2009数较大年夜,因此考虑判断函数周期性.创作时间：二零二一年六月三十天创作时间：二零二一年六月三十天2）怎样迅速将较大年夜自变量缩至已知范围中？可利用带余除法除以周期,察看余数.则被除数的函数值与余数的函数值相同,而商即为被除数利用周期缩了若干次抵达余数.比这样题中200963345,从而f2009f5（3）此题推导过程中fxfx3也有其用途,其含义是间隔为3的自变量函数值互为相反数,对比周期,它的间隔更小,所以合用于利用周期减小自变量范围后,进行“微调”从而将自变量搁置已知区间内例5：函数fx是周期为4的偶函数,那时x0,2,fxlog2x11,则不等式xfx0在1,3上的解集为___________思路：从已知起程可知x0,2时,fx为增函数,且f1log2210,因此x0,1时,fx0,x1,2时,fx0,由偶函数可得：x1,0时,fx0,fx2,1时,fx0.从而可作出草图.由所解不等式xfx0可将1,3分为1,00,3两部份,那时x0,fx0,因此x1,0,那时x0,fx0,因此fx1,3,综上解集为：1,01,3谜底：1,01,3例6：已知fx是界说在R上的函数,知足fxfx0,fx1fx1,那时x0,1,fxx2x,则函数fx的最小值为（）创作时间：二零二一年六月三十天A.D.创作时间：二零二一年六月三十天1B.1C.144212思路：由fx1fx1可得fx是周期为2的周期函数,因此只需要求出一个周期内的最值即可.由fxfx0可得fx为21,奇函数,因此考虑区间1,1,在x0,1时,fxx124因此fxmaxf11,而因为fx为奇函数,因此在x1,0时,24fxminf1f11,因此f1即为fx在1,1的最小2242值,从而也是fx在R上的最小值谜底：B例7：已知界说域为R的函数fx知足fxfx4,且函数fx在区间2,上单一递加,假如x12x2,且x1x24,则fx1fx2的值（）A.可正可负B.恒大年夜于0C.可能为0D.恒小于0思路一：题目中给了单一区间,与自变量不等关系,所求为函数值的关系,从而想到单一性,而x1x24可得x24x1,因为x12,因此4x12,从而将x2,4x1装入了2,中,因此由x24x1可得fx2f4x1,下一步需要转变f4x1,由fxfx4可得fx对于2,0中心对称,因此有f4xfx.代入x1可得f4x1fx1,从而fx2fx1fx1fx20创作时间：二零二一年六月三十天创作时间：二零二一年六月三十天思路二：此题运用数形联合更便于求解.先从fxfx4剖析出fx对于2,0中心对称,令x2代入到xfx4可得f20.中心对称的函数对称区间单一性相同,从而可作出草图.而x1x24x1x22,即x1,x2的中点位于2x2的左边,因此x1比x2距离x2更远,联合图象即可剖析出fx1fx2恒小于0谜底：D小炼有话说：（1）此题是单一性与对称性的一个联合,下手点在于发现条件的自变量关系,与所求函数值关系,而连结它们大年夜小关系的“桥梁”是函数的单一性,因此需要将自变量装入同一单一区间内.而对称性起到一个将函数值等价转变的作用,从而与所求发生联系（2）数形联合的重点点有三个：第一个是中心对称图像的特色,不但仅是单一性相同,并且是呈“对称”的关系,从而在图像上才华看出fx1fx2的符号；第二个是f20,从而可知x2,,fx0;x,2,fx0；第三个是x1x24x1x22,2既然是数形联合,则题中条件也要尽可能转为图像特色,而x1x24示意出中点的地点,从而能够判断出x1,x2距离中心对称点的远近.例8：函数fx的界说域为R,若fx1与fx1都是奇函数,则（）创作时间：二零二一年六月三十天创作时间：二零二一年六月三十天A.fx是偶函数B.fx是奇函数C.fxfx2D.fx3是奇函数思路：从已知条件下手可先看fx的性质,由fx1,fx1为奇函数分别可获取：fx1fx1,fx1fx1,因此fx对于1,0,1,0中心对称,双对称出周期可求得T2114,因此C不正确,且由已知条件没法推出必定切合A,B.对D选项,因为T4,因此fx5fx1fx1,从而可推出fx对于3,0中心对称,因此fx3为fx图像向左平移3个单元,即对于0,0对称,所以fx3为奇函数,D正确谜底：D例9：已知界说域为R的函数yfx在0,7上有1和6两个零点,且yfx2与yfx7都是偶函数,则yfx在0,2013上的零点个数起码有（）个A.404B.804C.806D.402思路：已知区间仅是0,7,而所求区间为0,2013,跨度这样之年夜,需要函数性质.从条件下手fx2,fx7为偶函数可得fx对于x2,x7轴对称,从而判断出fx是周期函数,且T27210,故能够考虑将0,2013以10为周期分组,先判断出一个周期内零点的个数,再乘以组数,加上节余部份的零点即可创作时间：二零二一年六月三十天创作时间：二零二一年六月三十天解：fx2,fx7为偶函数fx2fx2,fx7fx7fx对于x2,x7轴对称fx为周期函数,且T27210将0,2013区分为0,1010,202000,20102010,2013fx对于x2,x7轴对称fxf4x,fxf14x在0,10中只含有四个零点而0,1010,202000,2010共201组因此N2014804在2010,2013中,含有零点f2011f10,f2013f30共两个因此一共有806个零点谜底：C小炼有话说：（1）周期函数处理零点个数时,能够考虑先统计一个周期的零点个数,再看所求区间包含几个周期,相乘即可.假如有不满一个周期的区间可单独统计2）在为周期函数分段时有一个细节：“一开一闭”,分段的要求时“不重不漏”,因此在给周期函数分段时,一端为闭区间,另一端为开区间,不但抵达分段要求,并且每段之间坚持队型,结构齐整,便于剖析.3）当一个周期内含有对称轴（或对称中心）时,零点的统计不可以仅限于已知条件,而要看能否因为对称发生新的零点.其方法一是能够经过特别值的代入,二是能够经过图像,将零点和对称轴标在数轴上,看能否有由对称生成的零点（这个方法更直观,不创作时间：二零二一年六月三十天创作时间：二零二一年六月三十天简单丢解）例10：设函数yfx是界说在R上以1为周期的函数,若gxfx2x在区间2,3上的值域为2,6,则函数gx在12,12上的值域为（）A.2,6B.20,34C.22,32D.24,28思路：设x02,3,则gx02,6,因为fx为周期函数,故以fx为突破口,gx0nfx0n2x0nfx02x02ngx02n,考虑在12,11中n14,因此gx014gx0214gx02826,34,在11,12中n9,因此gx09gx029gx01820,12,所以gx在12,12的值域为20,34谜底：B三、最近几年模拟 试题 中考模拟试题doc幼小衔接 数学试题 下载云南高中历年会考数学试题下载N4真题下载党史题库下载 题目优选1、（2014,庆安高三期中）已知函数f(x)是R上的偶函数,且满足f(x1)f(x)3,那时x1,0,f(x)2x,则f(2007.5)的值为（）A．B．1.5C．1.5D．12、（2014,安徽）设函数fx知足fxfxsinx,那时x0,,fx0,23（）则f6A.1B.3C.022创作时间：二零二一年六月三十天创作时间：二零二一年六月三十天123、（2014,四川）设fx是界说在R上的周期为2的函数,那时x1,1,fx4x22,1x0,则f3_________x,0x124、（2014,新课标全国卷I）设函数fx,gx的界说域都为R,且fx是奇函数,gx是偶函数,则以下结论中正确的选项是（）A.fxgx是偶函数B.fxgx是奇函数C.fxgx是奇函数D.fxgx是奇函数5、（2014,会宁县校级月考）已知fx1fx1,fxfx2,方程fx0在0,1内有且只有一个1,则fx在区间0,2014内根的个数为（）2A.1006B.1007C.201320146、已知界说在R上的函数f(x)知足：f(x)f(x),f(1x)f(1x),那时x1,1,f(x)x3,则f(2009)______________7、已知界说在R上的函数fx知足fxfx,fx2fx2,且x1,0时,fx2x1,则flog220（）5A.1B.4C.1D.5458、已知f(x)是界说在R上的奇函数,且对随意实数x,恒有创作时间：二零二一年六月三十天创作时间：二零二一年六月三十天f(x2)f(x),那时x0,2,f(x)2xx2,求f(0)f(1)f(2)f(2012)习题谜底：1、谜底：B分析：由f(x1)f(x)3可得：f(x)f(x1)3,两式相减可得：fx1fx1,因此fx的周期T2,再由fx是偶函数可得：1.52、谜底：A解析：由fxfxsinx可知f23f17sin17f171,66662f17f11sin11f111,66662f11f5sin5f511,因此可得：f231666622623、谜底：1312分析：ff41212224、谜底：C分析：fx为奇函数,可知fx为偶函数,因此依据奇偶性的规律可得：fxgx为奇函数,fxgx是偶函数,fxgx是奇函数,fxgx是偶函数,故C正确5、谜底：D分析：fx1fx1T2,,fxfx2可得fx对于x1创作时间：二零二一年六月三十天创作时间：二零二一年六月三十天轴对称,因为fx在0,1内有且只有一个零点1,因此由对称性可1,32得fx在0,2只有两个零点.因此一个周期中含有两个零点,22区间0,2014共包含1007个周期,因此有2014个零点6、谜底：1分析：由f(x)f(x)可得：fx对于0,0中心对称,由f(1x)f(1x)可得：fx对于x1轴对称,因此可求出fx的周期T4,则f2009f117、谜底：1分析：fxfx可知fx为奇函数,fx2fx2可得T4,所以554log4125flog220f4log24flog24flog252518、谜底：0分析：由f(x2)f(x)可得：fx的周期T4,因为fx具备周期性,故乞降时可考虑依据周期将一个周期的函数值归为一组,求出一组的结果,在考虑乞降的式子中含有若干组周期即可：故f(0)f(1)f(2)f(2012)f050300创作时间：二零二一年六月三十天创作时间：二零二一年六月三十天