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2009年 第一届全国大学生高等数学竞赛预赛 试题 中考模拟试题doc幼小衔接 数学试题 下载云南高中历年会考数学试题下载N4真题下载党史题库下载 及答案 （非数学类） 一、填空题（每小题 5分，共 20分） 1．计算 = −− ++ ∫∫ yx yx x y yx D dd 1 )1ln()( ____________，其中区域 D由直线 1=+ yx 与两 坐标轴所围成三角形区域. 解 令 vxuyx ==+ , ，则 vuyvx −== , ， vuvuyx dddd 11 10 detdd =⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = ， vu u vuuu yx yx x y yx DD dd 1 lnln dd 1 )1ln()( ∫∫∫∫ − − = −− ++ ∫ ∫ ∫∫ − − − − = − − − = 1 0 2 1 0 00 d 1 )ln( 1 ln d)dln 1 d 1 ln ( u u uuuu u uu uvv u u v u uu uu ∫ − = 1 0 2 d 1 u u u （*） 令 ut −= 1 ，则 21 tu −= ， dt2d tu −= ， 422 21 ttu +−= ， )1)(1()1( 2 tttuu +−=− ， ∫ +−−= 0 1 42 d)21(2(*) ttt ∫ +−= 1 0 42 d)21(2 ttt 15 16 5 1 3 2 2 1 0 53 =⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ +−= ttt 2．设 )(xf 是连续函数，且满足 ∫ −−= 2 0 2 2d)(3)( xxfxxf , 则 =)(xf ____________. 解 令 ∫= 2 0 d)( xxfA ，则 23)( 2 −−= Axxf ， AAxAxA 24)2(28d)23( 2 0 2 −=+−=−−= ∫ , 解得 3 4 =A 。因此 3 10 3)( 2 −= xxf 3．曲面 2 2 2 2 −+= y x z 平行平面 022 =−+ zyx 的切平面方程是__________. 解 因平面 022 =−+ zyx 的法向量为 )1,2,2( − ，而曲面 2 2 2 2 −+= y x z 在 ),( 00 yx 处的法向量为 )1),,(),,(( 0000 −yxzyxz yx ，故 )1),,(),,(( 0000 −yxzyxz yx 与 )1,2,2( − 平行，因此，由 xz x = ， yz y 2= 知 000000 2),(2,),(2 yyxzxyxz yx ==== ， 即 1,2 00 == yx ，又 1)1,2(),( 00 == zyxz ，于是曲面 022 =−+ zyx 在 )),(,,( 0000 yxzyx 处的切平面方程是 0)1()1(2)2(2 =−−−+− zyx ，即曲面 2 2 2 2 −+= y x z 平行平面 022 =−+ zyx 的切平面方程是 0522 =−−+ zyx 。 4．设函数 )(xyy = 由方程 29ln)( yyf exe = 确定，其中 f 具有二阶导数，且 1≠′f ， 则 = 2 2 d d x y ________________. 解法 1 方程 29ln)( yyf exe = 的两边对 x求导，得 29ln)( )()( yeeyyfxe yyfyf ′=′′+ 即 29ln])( 1 [ )( yyf eyxeyyf x ′=′′+ 因 029ln )( ≠= yfy xee ，故 yyyf x ′=′′+ )( 1 ，即 ))(1( 1 yfx y ′− =′ ，因此 222 2 )](1[ )( ))(1( 1 d d yfx yyf yfx y x y ′− ′′′ + ′− −=′′= 32 2 232 )](1[ )](1[)( ))(1( 1 )](1[ )( yfx yfyf yfxyfx yf ′− ′−−′′ = ′− − ′− ′′ = 解法 2 方程 29ln)( yyf exe = 取对数，得 29lnlnln)( +=+ yxyf （1） 方程（1）的两边对 x求导，得 y x yyf ′=+′′ 1 )( （2） 即 ))(1( 1 yfx y ′− =′ （3） 方程（2）的两边对 x 求导，得 y x yyfyyf ′′=−′′′+′′′ 2 2 1))(()( （4） 将（3）代入（4），得 y xyfx yf yyf ′′=− ′− ′′ +′′′ 222 1 ))(1( )( )( 将左边的第一项移到右边，得 ))(1( ))(1( ))(1()( 22 2 yfy yfx yfyf ′−′′= ′− ′−−′′ 因此 32 2 )](1[ )](1[)( yfx yfyf y ′− ′−−′′ =′′ 二、（5分）求极限 x e nxxx x n eee )(lim 2 0 +++ → ⋯ ，其中 n是给定的正整数. 解法 1 因 x e nxxx x x e nxxx x n neee n eee )1(lim)(lim 2 0 2 0 −+++ += +++ →→ ⋯⋯ 故 nx neee e x e n neee A nxxx x nxxx x −+++ = −+++ = → → ⋯ ⋯ 2 0 2 0 lim lim e n n n e n neee e nxxx x 2 1212 lim 2 0 + = +++ = +++ = → ⋯⋯ 因此 e n A x e nxxx x ee n eee 2 12 0 )(lim + → == +++ ⋯ 解法 2 因 x neee e n eee nxxx x x e nxxx x ln)ln( lim)ln(lim 2 0 2 0 −+++ = +++ →→ ⋯⋯ e n n n e eee neee e nxxx nxxx x 2 1212 lim 2 2 0 + = +++ = +++ +++ = → ⋯ ⋯ ⋯ 故 e n A x e nxxx x ee n eee 2 12 0 )(lim + → == +++ ⋯ 三、（15分）设函数 )(xf 连续， ∫= 1 0 d)()( txtfxg ，且 A x xf x = → )( lim 0 ， A为常数，求 )(xg′ 并讨论 )(xg′ 在 0=x 处的连续性. 解 由 A x xf x = → )( lim 0 和函数 )(xf 连续知， 0 )( limlim)(lim)0( 000 === →→→ x xf xxff xxx 因 ∫= 1 0 d)()( txtfxg ，故 0)0(d)0()0( 1 0 === ∫ ftfg ， 因此，当 0≠x 时， ∫= x uuf x xg 0 d)( 1 )( ，故 0)0( 1 )( lim d)( lim)(lim 0 0 00 ==== →→→ ∫ f xf x uuf xg x x xx 当 0≠x 时， x xf uuf x xg x )( d)( 1 )( 02 +−=′ ∫ ， 2 0 0 0 00 d)( lim d)( 1 lim )0()( lim)0( x ttf x ttf x x gxg g x x x xx ∫∫ →→→ == − =′ 22 )( lim 0 A x xf x == → 22 d)( 1 lim )( lim] )( d)( 1 [lim)(lim 02000200 AA Auuf xx xf x xf uuf x xg x xx x xx =−=−=+−=′ ∫∫ →→→→ 这 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 明 )(xg′ 在 0=x 处连续. 四、（15分）已知平面区域 }0,0|),{( ππ ≤≤≤≤= yxyxD ， L为D的正向边界， 试证： （1） ∫∫ −=− −− L xy L xy xyeyxexyeyxe dddd sinsinsinsin ； （2） 2sinsin 2 5 dd π∫ ≥− − L yy xyeyxe . 证 因被积函数的偏导数连续在D上连续，故由格林公式知 （1） yxye y xe x xyeyxe D xy L xy dd)()(dd sinsinsinsin ∫∫∫ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − ∂ ∂ − ∂ ∂ =− −− yxee D xy dd)( sinsin∫∫ −+= ∫ −− L xy xyeyxe dd sinsin yxye y xe x D xy dd)()( sinsin∫∫ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − ∂ ∂ − ∂ ∂ = − yxee D xy dd)( sinsin∫∫ += − 而 D 关于 x 和 y 是对称的，即知 yxee D xy dd)( sinsin∫∫ −+ yxee D xy dd)( sinsin∫∫ += − 因此 ∫∫ −=− −− L xy L xy xyeyxexyeyxe dddd sinsinsinsin （2）因 )1(2) !4!2 1(2 2 42 t tt ee tt +≥+++=+ − ⋯ 故 2 2cos5 2 2cos1 2sin2 2sinsin xx xee xx − = − +=+≥+ − 由 ∫∫∫ ∫∫ +=+=− −−− D xy L D xyyy yxeeyxeexyeyxe dd)(dd)(dd sinsinsinsinsinsin 知 ∫∫∫ ∫∫ +++=− −−− D xy L D xyyy yxeeyxeexyeyxe dd)( 2 1 dd)( 2 1 dd sinsinsinsinsinsin ∫∫∫∫∫∫ +=+++= −−− D xx D xx D yy yxeeyxeeyxee dd)(dd)( 2 1 dd)( 2 1 sinsinsinsinsinsin 2 00 sinsin 2 5 d 2 2cos5 d)( πππ ππ = − ≥+= ∫∫ − x x xee xx 即 2sinsin 2 5 dd π∫ ≥− − L yy xyeyxe 五、（10分）已知 xx exey 21 += ， xx exey −+=2 ， xxx eexey −−+= 23 是某二阶常 系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程. 解 设 xx exey 21 += ， xx exey −+=2 ， xxx eexey −−+= 23 是二阶常系数线性非齐 次微分方程 )(xfcyyby =+′+′′ 的三个解，则 xx eeyy 2 12 −=− − 和 x eyy −=− 13 都是二阶常系数线性齐次微分方程 0=+′+′′ cyyby 的解，因此 0=+′+′′ cyyby 的特征多项式是 0)1)(2( =+− λλ ，而 0=+′+′′ cyyby 的特 征多项式是 02 =++ cbλλ 因此二阶常系数线性齐次微分方程为 02 =−′−′′ yyy ，由 )(2 111 xfyyy =−′−′′ 和 xxx exeey 2 1 2++=′ ， xxx exeey 2 1 42 ++=′′ 知， 111 2)( yyyxf −′−′′= )(2)2(42 222 xxxxxxxx exeeexeeexe +−++−++= x ex)21( −= 二阶常系数线性非齐次微分方程为 xx xeeyyy 22 −=−′−′′ 六、（10分）设抛物线 cbxaxy ln22 ++= 过原点.当 10 ≤≤ x 时, 0≥y ,又已知该抛 物线与 x 轴及直线 1=x 所围图形的面积为 3 1 .试确定 cba ,, ,使此图形绕 x轴旋转一周而成 的旋转体的体积最小. 解 因抛物线 cbxaxy ln22 ++= 过原点，故 1=c ，于是 2323 dt)( 3 1 1 0 23 1 0 2 ba x b x a bxax +=⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ +=+= ∫ 即 )1( 3 2 ab −= 而此图形绕 x轴旋转一周而成的旋转体的体积为 ∫∫ −+=+= 1 0 22 1 0 22 dt))1( 3 2 (dt)()( xaaxbxaxaV ππ ∫∫∫ −+−+= 1 0 22 1 0 3 1 0 42 dt)1( 9 4 dt)1( 3 4 dt xaxaaxa πππ 22 )1( 27 4 )1( 3 1 5 1 aaaa −+−+= πππ 即 22 )1( 27 4 )1( 3 1 5 1 )( aaaaaV −+−+= πππ 令 0)1( 27 8 )21( 3 1 5 2 )( =−−−+=′ aaaaV πππ ， 得 04040904554 =+−−+ aaa 即 054 =+a 因此 4 5 −=a , 2 3 =b , 1=c . 七、（15分）已知 )(xu n 满足 ),2,1()()( 1 ⋯=+=′ − nexxuxu xn nn , 且 n e u n =)1( , 求函 数项级数∑ ∞ =1 )( n n xu 之和. 解 xn nn exxuxu 1)()( −+=′ ， 即 xn exyy 1−=−′ 由一阶线性非齐次微分方程公式知 )d( 1 xxCey nx ∫ −+= 即 )( n x Cey n x += 因此 )()( n x Cexu n x n += 由 ) 1 ()1( n Ceu n e n +== 知， 0=C ， 于是 n ex xu xn n =)( 下面求级数的和： 令 ∑∑ ∞ = ∞ = == 11 )()( n xn n n n ex xuxS 则 x e xSexxS n ex exxS x n xn n xn xn − +=+=+=′ ∑∑ ∞ = − ∞ = − 1 )()()()( 1 1 1 1 即 x e xSxS x − =−′ 1 )()( 由一阶线性非齐次微分方程公式知 )d 1 1 ()( x x CexS x ∫ −+= 令 0=x ，得 CS == )0(0 ，因此级数∑ ∞ =1 )( n n xu 的和 )1ln()( xexS x −−= 八、（10分）求 −→1x 时, 与∑ ∞ =0 2 n n x 等价的无穷大量. 解 令 2 )( txtf = ，则因当 10 << x ， ),1( +∞∈t 时， 0ln2)( 2 <=′ xtxtf t ，故 x t t extf 1 ln22 )( − == 在 ),0( +∞ 上严格单调减。因此 ∫∑ ∫∑∑∫∫ ∞+∞ = − ∞ = ∞ = +∞+ +=+≤≤= 0 1 1 00 1 0 d)(1d)()0()(d)(d)( ttfttffnfttfttf n n n nn n n 即 ∫∑∫ ∞+∞ = ∞+ +≤≤− 0 1 0 d)(1)(1d)( ttfnfttf n 又 ∑∑ ∞ = ∞ = = 00 2 )( n n n xnf ， 1 1 1 lim 1 1 ln lim 11 = − − = − →→ x x x xx 21 ln 1 d 1 ln 1 ddd)( 00 1 ln 00 2 2 2 π x te x tetxttf t x t t ==== ∫∫∫∫ ∞+ − ∞+ −∞+∞+ ， 所以，当 −→1x 时, 与∑ ∞ =0 2 n n x 等价的无穷大量是 x−12 1 π 。