《数学分析原理》

《数学分析原理》.Walter.Rudin[M].北京：机械工业出版社，2004第五章微分法本章除最后一节外，我们集中注意于定义在闭区间或开区间上的实函数，这并不是为了方便，当我们从实函数转到向量函数的时候，就会看到本质的差别，定义在上的函数的微分法将在第九章予以讨论。实函数的导数5.1定义设f是定义在[a，b]上的实值函数，对于任意的x∈[a，b]，做（差）商（1）然后定义（2）但是这里要由定义4.1可假设等式右端的极限存在。于是与f相联系得到函数f’，它的定义域是[a，b]中所有使极限（2）存在的x点的集，f’叫做f的导函数。如果f’在x点有定义，就说f在x点可微。如果f’在集E⊂[a，b]的每一点有定义，就说f在E上可微。可以在（2）中考虑左极限或右极限，从而就可得到左导数和右导数的定义。特别是在端点a，b上，在存在的前提下导数分别是左导数和右导数。但是我们不对单侧导数做详细讨论。如果f定义在（a，b）上，并有a<x<b，这是和前边一样，f’(x)依然是以（1）和（2）来定义的，但此时f’(a)和f’(b)就没有定义了。5.2定理设f定义在[a，b]上，若f在[a，b]上任意一点x皆可微，则f在x点连续。证由定理4.4，当时定理的逆命题不成立。在某些孤立点不可微的连续函数式不难构造的。在第7章我们甚至还能得到一个在整条直线上都连续但处处不可微的函数。5.3定理设f和g定义在[a，b]上，且都在点x∈[a，b]可微，那么f+g，fg，f/g也都在x点可微，且：在c中我们自然要假设g（x）≠0证由定理4.4，（a）显然成立令h=fg，则再两端同除以t-x，再注意当时（定理5.2）。（b）得证。再令h=f/g，那么令，再应用定理4.4及定理5.2，就可以得到（c）。5.4例显然任何常数的异数皆为0.若f定义为f（x）=x，则f’=1。反复运用（b）和(c)就可以证明xn是可微的，导函数为nxn-1，这里的n是任意整数，且n<0是必须x≠0.由此，每个多项式都是可微的，所以任一有理函数除掉那些使分母为零的点后也是可微的。下一条定理通常被称为微分法的“链式法则”，用来求复合函数的导数，它也许是求导数的最重要的定理。在第9章还将看到它的更普遍的表述。5.5定理设f在[a，b]上连续，f’（x）在[a，b]上的某点x存在，g定义在一个包含f值域的区间I上，又在点f（x）处可微。若则h在x点可微，且有（3）证设y=f（x），由导数定义，知道（4）（5）这里t∈[a，b]，s∈I，并且当时，，当时。现在令s=f（t），先用（5），再用（4）就可以得到设t≠x，（6）由于f的连续性，知道当时，，于是（6）右端趋于g’(y)f’(x)，这就得到了（3）式。5.6例（a）设f定义为（7）先承认的导函数是（我们在第8章里讨论三角函数）。当x≠0时我们可以运用定理5.3及定理5.5，得到（8）在x=0点，由于1/x无定义，就不能使用这两个定理了，现在直接按导数定义来计算，对于t≠0当t0时，这不能趋于任何极限，所以f’(0)不存在。（b）设f定义为（9）同上我们可以求得（10）在x=0，按导数定义计算，得到令t0，就知道（11）所以f在所有点x可微，但是f＇不是连续函数，这是因为（10）式右端第二项cos（1/x），当x0时不趋于任何极限。中值定理定义设f是定义在度量空间X上的实值函数，称f在点pX取得局部极大值，如果存在着>0，当d（p，q）<且qX时有f（q）f（p）。局部极小值可以类似定义。下面的定理是导数的许多应用的基础。5.8定理设f定义在[a，b]上；x[a，b]，如果f在x点取得局部极大值而且f＇（x）存在，那么f＇(x)=0。对于局部极小值的类似的命题，自然也是对的。证按照定义5.7选取，那么若是x-<t<x，就应该令tx，便知道f＇(x)≥0若是x<t<x+，就应该这又将表示f＇（ｘ）≤０，所以ｆ＇（ｘ）=0。5.9定理设f是[a，b]上的连续函数，它们在（a，b）中可微，那么便有一点x∈（a，b），使得注意：并不要求在区间端点上可微。证：令那么h在[a，b]上连续，在（a，b）内可微，且（12）要证明本定理，就得证明在某点x∈（a，b），h＇（ｘ）=0。若果h是常数，那么不论在哪一点x∈（a，b），都有h＇（ｘ）=0。如果某个t∈（a，b）使得h（t）>h（a），设x是使h达到最大值的点（定理4.16），从（12）来看，x∈（a，b），于是定理5.8说明h＇（x）=0。如果有某个t∈（a，b）使得h（t）<h（a），只要把在[a，b]内的那个x选的使h达到它的最小值，上述论证仍然成立。这个定理常常叫做一般中值定理；下面的特殊情形就是通常所说的种植定理。5.10定理设f是定义在[a，b]上的实连续函数，在（a，b）内可微，那么一定有一点x∈（a，b），使得证在定理5.9中取g（x）=x即得。5.11定理设f在（a，b）内可微，（a）如果对于所有的x∈（a，b），f＇（x）≥0，那么f便是单调递增的。（b）如果对于所有的x∈（a，b），f＇（x）=0，那么f便是常数。（c）如果对于所有的x∈（a，b），f＇（x）≦0，那么f便是单调递减的。证所有结论都可以从下列等式获得：这等式对于（a，b）中的任意一对点x1，x2，都成立，而x是x1与x2之间的某个点。导数的连续性我们已经看到（例5.6（b））一个函数f可以有处处存在、但在某些点间断的导数f＇（x）。可是，并不是每个函数都一定可以看做是某个函数的导函数。特别的一点事，在一个闭区间上处处存在的导函数与闭区间上的连续函数之间，却有一个重要的共同性质：任何中间值都能取到。确切的表述是：5.12定理设f是[a，b]上的实值可微函数，再设f＇（a）<<f＇（b），那么必有一点x∈（a，b）使f＇（x）=。对于f＇（a）>f＇(b)的情形，当然也有类似的结果。证令g（t）=f（t）-t。于是g＇（a）<0，从而有某个t1∈（a，b）使得g（t1）<g(a)；同样，g＇（b）>0，从而有某个t2∈（a，b）使得g（t2）<g(b)。因此，根据定理4.16，g在（a，b）的某点x上达到它在[a，b]上的最小值。再根据定理5.8，g＇（x）=0，因而f＇（x）=。推论如果f在[a，b]上可微，那么f＇在[a，b]上便不能有一类间断点。但是f＇很可能有第二类间断点。L＇Ｈospital法则下面的定理在求极限时时常用到。5.13定理假设实函数f和g在（a，b）内可微，而且对于所有x∈（a，b），g＇（x）≠0。这里-∞≤a<b≤+∞,已知当x→a时，→A,(13)如果当x→a时，f（x）→0，g（x）→0，（14）或是当x→a时，g（x）→+∞,(15)那么当x→a时，→A.(16)如果是x→b,或者(15)中如果是g(x)→-∞,各种类似的叙述自然也都是正确的。注意，我们现在是按照定义4.33推广了的意义来使用极限概念的。证先考虑-∞≤A≤+∞的情形。选择一个实数q使A<q，再选一个r使A<r<q。由（13）知道有一点c∈（a，b），使得当a<x<c有<r，（17）如果a<x<y<c，那么定理5.9说明有一点t∈（x，y）使得=<r.（18）先看（14）成立的情形.在（18）中令x→a，便看到≤r<q（a<y<c）.（19）再看（15）成立的情形。在（18）中让y固定，我们可以选一点c1∈（a，y），使a<x<c1能够保证g（x）>g(y)及g（y）>0.将（18）两端乘以[g(x)-g(y)]/g(x),便得到<r-r+(a<x<c1)(20)如果在（20）式中令x→a，（15）式说明必有一点c2∈（a，c1）使　　　　　　　　<q(a<x<c2).(21)总之，（19）与（21）式都说明对于任意的q，只要A<q,便有一点c2，使得a<x<c2足以保证f（x）/g（x）<q。同理，若是-∞<A≤+∞,选择p<A,便可找到一点c3，使得P<(a<x<c3).(22)结合起这两方面就得到了（16）式。　高阶导数定义如果在一个区间上有导函数f＇，而ｆ＇自身又是可微的，把ｆ的导函数记做ｆ＇＇，就叫做ｆ的二阶导数。照这样继续下去就得到　　　　　　ｆ，ｆ＇，ｆ＇＇，ｆ（３），．．．，ｆ（ｎ），这许多函数，其中每一个是前一个的导函数。ｆ（ｎ）叫做f的n阶导函数。为了要ｆ（ｎ）（x）在x点存在f（n-1）（x）必须在x点的某个邻域例存在（当x是定义f的区间的端点时，f（n-1）（x）必须在它有意义的那个单侧邻域例存在），而且f（n-1）必须在x点可微。因为在f（n-1）必须在x的邻域例存在，那么，f（n-2）又必须在x的邻域里可微。　　　　　　　　　　　　　　　　　　文献原文附录：Walter.Rudin.principlesofmathematicalanalysis[M].北京：机械工业出版社，20045DIFFERNTIATIONInthischapterweshall(exceptinthefinalsection)confineourattentiontorealfunctionsdfineonintervalsorsegements.Thisisnotjustamatterofconvenience,sincegenuinedifferencesappearwhenwepassfromrealfunctionstovector-valuedones.DifferentiationoffunctionsdefinedonRkwillbediscussedinChap9.THEDERIVATIVEOFAREALFUNCTION5.1DefinitionLetfbedefined(andreal-valued)on[a,b].Fofanyx∈[a,b]fromthequotient(1)anddefine(2)providedthislimitexistsinaccordancewithDefinition4.1Wethiusassociantewiththefunctionfafunctionf’whosedomainisthesetofpointsxatwhichthelimit(2)exists;f’iscalledthederivativeoff.Iff’isdefinedatapointx,wesaythatfisdifferentiableatx.Iff’isdefinedateverypointofasetE∈[a,b],wesaythatfisdifferentiableonE.Itispossibletoconsiderright-handandleft-handderivative,respectively.Weshallnot,however,discussone-sidederivativesinanydetail.Iffisdefinedonasegment(a,b)andifa<x<b,thenf’(x)isdefinedby(1)and(2),adabove.Butf’(a)andf’(b)arenotdefinedinthiscase.5.2TheoremLetbedefinedon[a,b].Ifitisdifferentiableatapointx∈[a,b],thenfiscontinuousatx.ProofAst→x,wehave,byTheorem4.4Theconverseofthistheoremisnottrue.Itiseasytoconstructcontinuousfunctionswhichfailtobedifferentiableatisolatedpoints.InChap6weshallevenbecomeacquaintedwithafunctionwhichiscontinuousonthewholelinewithoutbeingdifferentiableatanypoint!5.3TheoremSupposefandgaredefinedon[a,b]andaredifferentiableatapointx∈[a,b].Thenf+g,fg,andf/garedifferentiableatx,and(a)(f+g)’(x)=f’(x)+g’(x);(b)(fg)’(x)=f’(x)g(x)+f(x)g’(x);(c)(f/g)’(x)=[g(x)f’(x)-g’(x)f(x)]/g2(x)In(c),weassumeofcoursethatg(x)≠0.Proof(a)isclear,byTheorem4.4.Leth=fg.ThenIfwedividethisbyt-xandnotethatf(t)→f(x)ast→x(Theorem5.2),(b)follows.Next,leth=f/g.ThenLettingt→x,andapplyingTeorems4.4and5.2,weobtain(c).5.4ExamplesThederivativeofanyconstantisclearlyzero.Iffisdefinedbyf(x)=x,thenf’(x)=1.Repeatedapplicationof(b)and(c)thenshowsthatxnisdifferentiable,andthatitsderivativeisnxn-1,foranyintegern(ifn<0,wehavetorestrictourselvestox≠0).Thuseverypolynomialisdifferentiable,andsoiseveryrationalfunction,exceptatthepointswherethedenominatoriszero.Thefollowingtheoremisknownasthe“chainrule”fordifferentiation.Itdealswithdifferentiationofcompositefunctionsandisprobablythemostimportanttheoremaboutderivateves.WsshallmeetmoregeneralversionsofitinChap9.5.5TheoremSupposefiscontinuouson[a,b],f’(x)existsatsomepointx∈[a,b],gisdefinedonanintervalIwhichcontainstherangeoff,andgisdifferentiableatthepointf(x).Ifh(t)=g(f(t))(a≤t≤b),thenhisdifferentiableatx,and(3)h’(x)=g’(f(x))f’(x).ProofLety=f(x).Bythedefinitionofthederivative,wehave(4)(5)wheret∈[a,b],s∈I,andu(t)→0ast→x,v(s)→0ass→y.Lets=f(t).Usingfirst(5)andthen(4),webotainor,ift≠x,(6)Lettingt→x,weseethats→y,bythecontinuityoff,sothattherightsideof(6)tendstog’(y)f’(x),whichgives(3).5.6Examples(a)Letfbedefinedby(7)Takingforgrantedthatthederivativeofsinxiscosx(weshalldiscussthetrigonometricfunctionsinChap8),wecanapplyTheorems5.3and5.5wheneverx≠0,andobtain(8)Atx=0,thesetheoremsdonotapplyanylonger,since1/xisnotdenfinedthere,andweappealdirectlytothedefinition:fort≠0,Ast→o,thisdoesnottendtoanylimit,sothatf’(0)doesnotexist.(b)Letfbedefinedby(9)Asabove,weobtain(10)Atx=0,weappealtothedefinition,andobtainLettingt→0,weseethat(11)Thusfisdifferentiableatallpointsx,butf’isnotacontinuousfunction,sincecos(1/x)in(10)doesnottendtoalimitasx→0.MEANVALUETHEOREMS5.7DefinitionLetfbearealfunctiondefinedonametricspaceX.WesayThatfhasalocalmaximumatapointp∈Xifthereexists>0suchthatf(q)≤f(p)forallq∈Xwithd(p,q)<.Localminimaaredefinedlikewise.Ournexttheoremisthebasisofmanyapplicationsofdifferentiation.5.8TheoremLetfbedefinedon[a,b];iffhasalocalmaximumatapointx∈(a,b),andiff’(x)exisets,thenf’(x)=0.Theanalogousstatementforlocalminimaisofcoursealsoture.ProofchooseinaccordancewithDefinition5.7,sothatIfx-<t<x,thenLettingt→x,weseethatf’(x)≥0.Ifx<t<x+,thenWhichshowsthatf’(x)≤0.Hencef’(x)=0.5.9TheoremIffandgarecontinuousrealfunctionson[a,b]whicharedifferentiablein(a,b),thenthereisapointx∈(a,b)atwhichNotethatdifferentiabilityisnotrequiredattheendpointds.ProofPutThenhiscontinuouson[a,b],hisdifferentiablein(a,b),and(12)Toprovethetheorem,wehavetoshowthath’(x)=0forsomex∈(a,b).Ifhisconstant,thisholdsforeveryx∈(a,b).Ifh(t)>h(a)forsomet∈(a,b),letxbeapointon[a,b]atwhichhattainsitsmaximum(Theorem4.16).By(12),x∈(a,b),andTheorem5.8showsthath’(x)=0.Ifh(t)<h(a)forsomet∈(a,b),thesameargumentappliesifwechooseforxapointon[a,b]wherehattainsitsminimum.Thistheoremisoftencalledageneralizedmeanvaluetheorem;theFollowingspecialcaseisusuallyreferredtoas“the”meanvaluetheorem:5.10TheoremIffisarealcontinuousfunctionon[a,b]whichisdifferetiablein(a,b),thenthereisapointx∈(a,b)atwhichProofTakeg(x)=xinTheorem5.9.5.11TheoremSupposefisdifferentiablein(a,b).(a)Iff’(x)≥0forallx∈(a,b),thenfismonotonicallyincreasing.(b)Iff’(x)=0forallx∈(a,b),thenfisconstant.(c)Iff’(x)≤0forallx∈(a,b),thenfismonotonicallydecreasing.ProofAllconclusionscanbereadofffromtheequationWhichisvalid,foreachpairofnumbersx1,x2in(a,b),forsomexbetweenx1andx2.THECONTINUITYOFDERIVATIVESWehavealreadyseen[Example5.6(b)]thatafunctionfmyhaveaderivativef’whichexisetsateverypoint,butisdiscontinuousatsomepoint.Howere,noteveryfunctionisaderivative.Inparticular,derivativesWhichexistateverypointofanintervalhaveoneimportantpropertyincommonwithfunctionswhicharecontinuousonaninterval:Intermediatevaluesareassumed(compareTheorem4.23).Thepecisestatementfollows.5.12TheoremSupposefisarealdifferentiablefunctionon[a,b]andSupposef’(a)<<f’(b).Thenthereisapointx∈(a,b)suchthatf’(x)=Asimilarresultholdsofcourseiff’(a)>f’(b).ProofPutg(t)=f(t)-t.Theng’(a)<0,sothatg(t1)<g(a)forsomet1∈(a,b),andg’(b)>0,sothatg(t2)<g(b)forsomet2∈(a,b).Hencegattainsitsminimumon[a,b](Theorem4.16)atsomepointxsuchthata<x<b.ByTheorem5.8,g’(x)=0.Hencef’(x)=.CorollaryIffisadifferentiableon[a,b],thenf’cannothaveanysimplediscontinuitieson[a,b].Butf’myverywellhavediscontinuitiesofthesecondkind.L’HOSPITAL’SRULEThefollowingtheoremisfrequentlyusefulinevaluationoflimits.5.13TheoremSupposefandgarerealanddifferentiablein(a,b),andg’(x)≠0forallx∈(a,b),where-∞≤a≤b≤+∞.Suppose(13)If(14)),Orif(15)then(16)Theanalogousstatementisofcoursealsotrueifx→b,orifg(x)→-∞in(15).LetusnotethatwenowusethelimitconceptintheextendsenseofDefinition4.33ProofWefirstconsiderthecaseinwhich-∞≤A<+∞.ChoosearealnumberqsuchthatA<q,andthenchoosersuchthatA<r<q.By(13)thereisapointc∈(a,b)suchthata<x<cimplies(17)Ifa<x<y<c,thenTheorem5.9showsthatthereisapointt∈(x,y)suchthat(18)Suppose(14)holds.Lettingx→ain(18),weseethat(19)Next,suppose(15)holds.Keepingyfixedin(18),wecanchooseapointc1∈(a,y)suchthatg(x)>g(y)andg(x)>0ifa<x<c1.Multiplying(18)by[g(x)>g(x)],weobtain(20)Ifweletx→ain(20),(15)showsthatthereisapointc2∈(a,c1)suchthat(21)Summingup,(19)and(21)showthatforanyq,subjectonlytotheconditionA<q,thereisapointc2suchthatf(x)/g(x)<qifa<x<c2.Inthesamemanner,if-∞<A≤+∞,andpischosensothatp<A,wecanfindapointc3suchthat(22)And(16)followsfromthesetwostatements.DERIVATIVESOFHIGHERORDER5.14DefinitionIffhasaderivativef’onaninterval,andiff’isitselfdifferentiable,wedenotethederivativeoff’byf＇＇andcallf＇＇thesecondderivativeoff.Continuinginthismanner,weobtainfunctionsEachofwhichisthederivativeoftheprecedingone,f(n)iscalledthenthderivative,orthederibativeofordern,off.Inorderforf(n)(x)toexistatapointx,f(n-1)(t)mustexistInaneighborhoodofx(orinaone-sidedneighborhood,ifxisanendpointoftheintervalonwhichfisdefined),andf(n-1)mustbedifferentiableatx.Sincef(n-1)mustexistinaneighborhoodofx,f(n-2)mustbedifferentiableinthatneighborhood._1424782919.unknown_1424785501.unknown_1424802128.unknown_1424848064.unknown_1424849641.unknown_1424849691.unknown_1424802170.unknown_1424801475.unknown_1424801598.unknown_1424793293.unknown_1424793477.unknown_1424785509.unknown_1424783602.unknown_1424783691.unknown_1424783105.unknown_1424782581.unknown_1424782733.unknown_1424782777.unknown_1424782683.unknown_1424782040.unknown_1424782460.unknown_1424781454.unknown