2019年最新辽宁省大连市高考数学二模试卷(理科)及答案解析

辽宁省大连市高考数学二模试卷（理科）　一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知集合A={1，2}，B={（x，y）|x∈A，y∈A，x﹣y∈A}，则B的子集共有（　　）A．2个B．4个C．6个D．8个2．复数z=1+ai（a∈R）在复平面对应的点在第一象限，且||=，则z的虚部为（　　）A．2B．4C．2iD．4i3．对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是（　　）A．m⊥n，m∥α，n∥βB．m⊥n，α∩β=m，n⊂αC．m∥n，n⊥β，m⊂αD．m∥n，m⊥α，n⊥β4．执行如图的程序框图，如果输入x=1，则输出t的值为（　　）A．6B．8C．10D．125．已知{an}为等差数列，3a4+a8=36，则{an}的前9项和S9=（　　）A．9B．17C．36D．816．已知函数f（x）=﹣x2﹣x+2，则函数y=f（﹣x）的图象为（　　）A．B．C．D．7．已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数=3，=3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（　　）A．=0.4x+2.3B．=2x﹣2.4C．=﹣2x+9.5D．=﹣0.3x+4.48．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实（虚）线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（　　）A．64B．C．16D．9．D是△ABC所在平面内一点，=λ+μ（λ，μ∈R），则0＜λ＜1，0＜μ＜1是点D在△ABC内部（不含边界）的（　　）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分且必要条件D．既不充分也不必要条件10．命题p：“∃x0∈[0，]，sin2x0+cos2x0＞a”是假命题，则实数a的取值范围是（　　）A．a＜1B．a＜C．a≥1D．a≥11．过抛物线C：y2=4x的焦点F的直线l交C于A，B两点，点M（﹣1，2），若•=0，则直线l的斜率k=（　　）A．﹣2B．﹣1C．1D．212．函数f（x）=eax﹣lnx（a＞0）存在零点，则实数a的取值范围是（　　）A．0＜a≤B．0＜a≤C．a≥D．a≥　二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分。把 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 填在答题卡上的相应位置上13．将3本不同的数学书和2本不同的语文书在书架上排成一行，若2本语文书相邻排放，则不同的排放 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 共有______种（用数字作答）14．设F1、F2分别是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点，点M（a，b）．若∠MF1F2=30°，则双曲线的离心率为______．15．已知函数f（x）=，若曲线y=f（x）在点Pi（xi，f（xi））（i=1，2，3，其中x1，x2，x3互不相等）处的切线互相平行，则a的取值范围是______．16．若数列{an}满足：a1=0，a2=3且（n﹣1）an+1=（n+1）an﹣n十1（n∈N*，n≥2），数列{bn}满足bn=••（）n﹣1，则数列{bn}的最大项为第______项．　三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字 说明 关于失联党员情况说明岗位说明总经理岗位说明书会计岗位说明书行政主管岗位说明书 、证明过程或演算步骤.17．（12分）（2016•大连二模）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，b=acosC+asinC．（I）求A；（Ⅱ）若a=2，b+c≥4，求△ABC的面积．18．（12分）（2016•大连二模）甲、乙两名乒乓球运动员进行乒乓球单打比赛，根据以往比赛的胜负情况，每一局甲胜的概率为，乙胜的概率为，如果比赛采用“五局三胜制”（先胜三局者获胜，比赛结束）．（1）求甲获得比赛胜利的概率；（2）设比赛结束时的局数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．19．（12分）（2016•大连二模）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥BC，AA1=2，AC=2，M是CC1的中点，P是AM的中点，点Q在线段BC1上，且BQ=QC1．（1）证明：PQ∥平面ABC；（2）若直线BA1与平面ABM成角的正弦值为，求∠BAC的大小．20．（12分）（2016•大连二模）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率e=，且椭圆上一点M与椭圆左右两个焦点构成的三角形周长为4+2．（1）求椭圆C的方程；（2）如图，设点D为椭圆上任意一点，直线y=m和椭圆C交于A、B两点，且直线DA、DB与y轴分别交于P、Q两点，试探究∠PF1F2和∠QF1F2之间的等量关系并加以证明．21．（12分）（2016•大连二模）已知函数f（x）=lnx+kx（k∈R）．（1）当k=﹣1时，求函数f（x）的极值点；（2）当k=0时，若f（x）+﹣a≥0（a，b∈R）恒成立，试求ea﹣1﹣b+1的最大值；（3）在（2）的条件下，当ea﹣1﹣b+1取最大值时，设F（b）=﹣m（m∈R），并设函数F（x）有两个零点x1，x2，求证：x1•x2＞e2．　请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题计分。做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑题号[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）（2016•大连二模）已知点C在圆O直径BE的延长线上，CA切圆O于A点，CD分别交AE、AB于点F、D，∠ADF=45°．（1）求证：CD为∠ACB的平分线；（2）若AB=AC，求的值．　[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2016•大连二模）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的极坐标方程为ρ=4sinθ．从极点作圆C的弦，记各条弦中点的轨迹为曲线C1．（1）求C1的极坐标方程；（2）已知曲线l的参数方程为，（0≤α＜π，t为参数，且t≠0），l与C交于点A，l与C1交于点B，且||=，求α的值．　[选修4-5：不等式证明选讲]24．（2016•大连二模）已知a，b，c均为正实数，且++=1．（1）证明：++≤；（2）求证：++≥1．　参考答案与试题解析　一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知集合A={1，2}，B={（x，y）|x∈A，y∈A，x﹣y∈A}，则B的子集共有（　　）A．2个B．4个C．6个D．8个【考点】子集与真子集．【分析】先确定集合B，再求出B的子集的个数．【解答】解：∵集合A={1，2}，B={（x，y）|x∈A，y∈A，x﹣y∈A}，∴B={（2，1）}，∴B的子集共有2个．故选：A．【点评】本题考查集合的关系，考查学生的计算能力，确定集合B是关键．　2．复数z=1+ai（a∈R）在复平面对应的点在第一象限，且||=，则z的虚部为（　　）A．2B．4C．2iD．4i【考点】复数的基本概念．【分析】复数z=1+ai（a∈R）在复平面对应的点在第一象限，可得a＞0，=1﹣ai．由||=，可得=，解得a．【解答】解：复数z=1+ai（a∈R）在复平面对应的点在第一象限，∴a＞0，=1﹣ai．∵||=，∴=，解得a=2．则z的虚部为2．故选：A．【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．　3．对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是（　　）A．m⊥n，m∥α，n∥βB．m⊥n，α∩β=m，n⊂αC．m∥n，n⊥β，m⊂αD．m∥n，m⊥α，n⊥β【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】在A中，α与β相交或相行；在B中，α与β不一定垂直；在C中，由由面面垂直的判定定理得α⊥β；在D中，由面面平行的判定定理得α∥β．【解答】解：在A中，m⊥n，m∥α，n∥β，则α与β相交或相行，故A错误；在B中，m⊥n，α∩β=m，n⊂α，则α与β不一定垂直，故B错误；在C中，m∥n，n⊥β，m⊂α，由由面面垂直的判定定理得α⊥β，故C正确；在D中，m∥n，m⊥α，n⊥β，则由面面平行的判定定理得α∥β，故D错误．故选：C．【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．　4．执行如图的程序框图，如果输入x=1，则输出t的值为（　　）A．6B．8C．10D．12【考点】程序框图．【分析】模拟程序的运行过程，依次写出每次循环得到的x，t的值，当x=121时满足条件x＞120，退出循环，输出t的值为8．【解答】解：模拟程序的运行过程，可得x=1，t=0执行循环体，x=4，t=2不满足条件x＞120，执行循环体，x=13，t=4不满足条件x＞120，执行循环体，x=40，t=6不满足条件x＞120，执行循环体，x=121，t=8满足条件x＞120，退出循环，输出t的值为8．故选：B．【点评】本题考查循环框图的应用，注意判断框的条件的应用，考查计算能力，属于基础题．　5．已知{an}为等差数列，3a4+a8=36，则{an}的前9项和S9=（　　）A．9B．17C．36D．81【考点】等差数列的前n项和．【分析】由等差数列性质得到a1+4d=a5=9，由此能求出{an}的前9项和．【解答】解：∵{an}为等差数列，3a4+a8=36，∴3（a1+3d）+a1+7d=4a1+8d=36，解得a1+4d=a5=9，∴S9=×（a1+a9）=9a5=9×9=81．故选：D．【点评】本题考查等差数列的前9项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．　6．已知函数f（x）=﹣x2﹣x+2，则函数y=f（﹣x）的图象为（　　）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】利用已知条件求出函数f（﹣x），然后利用二次函数的性质，判断函数的图象即可．【解答】解：函数f（x）=﹣x2﹣x+2，则函数y=f（﹣x）=﹣x2+x+2．函数的图象开口向下，经过（﹣1，0）与（2，0），函数的图象为：．故选：D．【点评】本题考查函数的图象，二次函数的性质的应用，考查计算能力．　7．已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数=3，=3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（　　）A．=0.4x+2.3B．=2x﹣2.4C．=﹣2x+9.5D．=﹣0.3x+4.4【考点】线性回归方程．【分析】变量x与y正相关，可以排除C，D；样本平均数代入可求这组样本数据的回归直线方程．【解答】解：∵变量x与y正相关，∴可以排除C，D；样本平均数=3，=3.5，代入A符合，B不符合，故选：A．【点评】本题考查数据的回归直线方程，利用回归直线方程恒过样本中心点是关键．　8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实（虚）线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（　　）A．64B．C．16D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图知几何体是三棱锥、为棱长为4的正方体一部分，画出直观图，由正方体的性质判断出线面位置关系、求出底面的面积，由椎体的体积公式求出该多面体的体积．【解答】解：根据三视图知几何体是：三棱锥D﹣ABC、为棱长为4的正方体一部分，直观图如图所示：B是棱的中点，由正方体的性质得，CD⊥平面ABC，△ABC的面积S==4，所以该多面体的体积V==，故选：D．【点评】本题考查三视图求几何体的体积，结合三视图和对应的正方体复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．　9．D是△ABC所在平面内一点，=λ+μ（λ，μ∈R），则0＜λ＜1，0＜μ＜1是点D在△ABC内部（不含边界）的（　　）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分且必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】若=λ+μ（λ，μ∈R），点D在△ABC内部，可得：0＜λ＜1，0＜μ＜1；反之不成立，例如时，点D为边BC的中点．即可判断出结论．【解答】解：若=λ+μ（λ，μ∈R），点D在△ABC内部，则0＜λ＜1，0＜μ＜1，反之不成立，例如时，点D为边BC的中点．∴0＜λ＜1，0＜μ＜1是点D在△ABC内部（不含边界）的必要不充分条件．故选：B．【点评】本题考查了平面向量基本定理、向量共线定理、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．　10．命题p：“∃x0∈[0，]，sin2x0+cos2x0＞a”是假命题，则实数a的取值范围是（　　）A．a＜1B．a＜C．a≥1D．a≥【考点】特称命题．【分析】特称命题转化为全称命题，求出sin（2x+）的最大值，从而求出a的范围即可．【解答】解：“∃x0∈[0，]，sin2x0+cos2x0＞a”是假命题，即∀x∈[0，]，sin2x+cos2x≤a是真命题，由sin2x+cos2x=sin（2x+）≤a，得：sin（2x+）≤，由x∈[0，]得：2x+∈[，]，故sin（2x+）的最大值是1，故只需≥1，解得：a≥，故选：D．【点评】本题考查了特称命题转化为全称命题，考查三角函数问题，是一道中档题．　11．过抛物线C：y2=4x的焦点F的直线l交C于A，B两点，点M（﹣1，2），若•=0，则直线l的斜率k=（　　）A．﹣2B．﹣1C．1D．2【考点】抛物线的简单性质．【分析】先根据抛物线方程求得焦点坐标，进而设出过焦点弦的直线方程，与抛物线方程联立消去y，根据韦达定理 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示出x1+x2=2+，x1x2=1，y1y2=﹣4，由•=0，求得k值．【解答】解：∵抛物线的方程为y2=4x，∴F（1，0），设焦点弦方程为y=k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2），代入抛物线方程得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0由韦达定理：x1+x2=2+，x1x2=1，y1y2=﹣4，y1+y2=∵M（﹣1，2），•=0，∴（x1+1，y1﹣2）•（x2+1，y2﹣2）=0，∴1﹣2k+k2=0，∴k=1．故选：C．【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题．　12．函数f（x）=eax﹣lnx（a＞0）存在零点，则实数a的取值范围是（　　）A．0＜a≤B．0＜a≤C．a≥D．a≥【考点】函数零点的判定定理．【分析】先考虑函数f（x）=ax与g（x）=logax（a＞1）图象仅有一个交点，且在公共点处有公共的切线，a的值，再利用换元法，即可得出结论．【解答】解：先考虑函数f（x）=ax与g（x）=logax（a＞1）图象仅有一个交点，且在公共点处有公共的切线，a的值．两函数互为反函数，则该切线即为y=x，设切点A，可求出A（e，e），此时a=e．若a＞e时，则f（x）=ax与g（x）=logax（a＞1）无公共点；若1＜a＜e时，则f（x）=ax与g（x）=logax（a＞1）有两个公共点．对f（x）=eax﹣lnx（a＞0），换元令t=ea，即得tx=logtx，由上知1＜ea=t≤e，得0＜a≤．故选：A．【点评】本题考查函数的零点，考查数形结合的数学思想，考查学生转化问题的能力，属于中档题．　二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题卡上的相应位置上13．将3本不同的数学书和2本不同的语文书在书架上排成一行，若2本语文书相邻排放，则不同的排放方案共有　48　种（用数字作答）【考点】排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，使用捆绑法，2本不同的语文书，将其排在一起当做一个元素，有2种情况，再将其与其他3本不同的数学书全排列，由分步计数原理乘法公式，计算可得答案．【解答】解：由题意分2步进行，先将2本不同的语文书排在一起，看成做一个元素，考虑其顺序，有A22种情况，再将其与其他3本不同的数学书全排列，有A44种情况，则其不同的排列方法为A44A22=48种，故答案为：48．【点评】本题考查排列、组合的运用，注意相邻问题一般用捆绑法，不相邻问题用插空法或间接法．　14．设F1、F2分别是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点，点M（a，b）．若∠MF1F2=30°，则双曲线的离心率为　2　．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得直线MF1的斜率为tan30°=，即有=，运用a，b，c的关系和离心率公式计算即可得到所求值．【解答】解：由题意可得F1（﹣c，0），M（a，b），直线MF1的斜率为tan30°=，即有=，即a+c=b，平方可得（a+c）2=3b2=3（c2﹣a2）=3（c+a）（c﹣a），化简可得a+c=3（c﹣a），即为c=2a，可得e==2．故答案为：2．【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用直线的斜率公式和a，b，c的关系和离心率公式，考查化简整理的运算能力，属于基础题．　15．已知函数f（x）=，若曲线y=f（x）在点Pi（xi，f（xi））（i=1，2，3，其中x1，x2，x3互不相等）处的切线互相平行，则a的取值范围是　（﹣1，2）　．【考点】分段函数的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】对函数f（x）分段研究，求出各段的导数，判断出在x≤0时切线的斜率范围，由此得到在x＞0时，斜率的取值范围，由此得到a的取值范围．【解答】解：∵函数f（x）=，∴f′（x）=，∵曲线y=f（x）在点Pi（xi，f（xi））（i=1，2，3，其中x1，x2，x3互不相等）处的切线互相平行，即y=f′（x）在点Pi（xi，f（xi））处的值相等．∵当x≤0时，f′（x）=﹣2x+2a﹣2≥2a﹣2，∴当x＞0时，f′（x）必须满足，，∴﹣1＜a＜2，故答案为（﹣1，2）【点评】本题主要考查导数的几何意义，解题中运用转化化归的数学思想．　16．若数列{an}满足：a1=0，a2=3且（n﹣1）an+1=（n+1）an﹣n十1（n∈N*，n≥2），数列{bn}满足bn=••（）n﹣1，则数列{bn}的最大项为第　6　项．【考点】数列递推式．【分析】通过（n﹣1）an+1=（n+1）an﹣n十1（n∈N*，n≥2）与nan+2=（n+2）an+1﹣n作差、两边同时除以n（n+1），整理得=，利用累乘法计算可知an﹣an﹣1=2n﹣1（n≥2），进而利用累加法可知an=n2﹣1，化简可知bn=n（n+1）•（）n﹣1，从而问题转化求当x＞0时函数f（x）=x（x+1）•（）x﹣1的最大值，利用导数有关知识计算即得结论．【解答】解：∵（n﹣1）an+1=（n+1）an﹣n十1（n∈N*，n≥2），∴nan+2=（n+2）an+1﹣n，两式相减，得：nan+2﹣nan+1=（n+1）an+1﹣（n+1）an﹣1，两边同时除以n（n+1），整理得：=（n∈N*，n≥2），又∵a1=0，a2=3，a3=3a2﹣1=8，∴=2，=2，∴=，由累乘法可知an﹣an﹣1﹣1=••…••=••…••2=2（n﹣1），∴an﹣an﹣1=1+2（n﹣1）=2n﹣1（n≥2），由累加法可知：an=（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a3﹣a2）+（a2﹣a1）+a1=（2n﹣1）+[2（n﹣1）﹣1]+…+（2×3﹣1）+（2×2﹣1）=2（2+3+…+n）﹣（n﹣1）=2•﹣n+1=n2﹣1（n≥2），又∵a1=0满足上式，∴an=n2﹣1，∴bn=••（）n﹣1=n（n+1）•（）n﹣1，令f（x）=x（x+1）•（）x﹣1，通过求导、计算可得草图如图，故数列{bn}的最大项为第6项，故答案为：6．【点评】本题考查数列的通项及前n项和，考查累乘法、累加法计算数列的通项公式，考查利用导数研究函数的单调性，注意解题方法的积累，属于难题．　三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）（2016•大连二模）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，b=acosC+asinC．（I）求A；（Ⅱ）若a=2，b+c≥4，求△ABC的面积．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）利用余弦定理将角化边得出b2+c2﹣a2=absinC=2bccosA，再使用正弦定理得出tanA；（2）利用余弦定理和基本不等式可得bc≥4，bc≤4，故bc=4．【解答】解：（1）在△ABC中，∵b=acosC+asinC，∴b=a×+asinC．即b2+c2﹣a2=absinC．又∵b2+c2﹣a2=2bccosA，∴asinC=ccosA，∴sinAsinC=sinCcosA，∴tanA=．∴A=．（2）由余弦定理得：cosA==，∴b2+c2=bc+4≥2bc，∴bc≤4．又b2+c2=bc+4，∴（b+c）2=3bc+4，∵b+c≥4，∴（b+c）2=3bc+4≥16，∴bc≥4．∴bc=4．∴S△ABC==．【点评】本题考查了正余弦定理，基本不等式的应用，属于中档题．　18．（12分）（2016•大连二模）甲、乙两名乒乓球运动员进行乒乓球单打比赛，根据以往比赛的胜负情况，每一局甲胜的概率为，乙胜的概率为，如果比赛采用“五局三胜制”（先胜三局者获胜，比赛结束）．（1）求甲获得比赛胜利的概率；（2）设比赛结束时的局数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）甲获得比赛胜利包含三种情况：①甲连胜三局；②前三局甲两胜一负，第四局甲胜；③前四局甲两胜两负，第五局甲胜．由此能求出甲获得比赛胜利的概率．（2）由已知得X的可能取值为3，4，5，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列和数学期望．【解答】解：（1）甲获得比赛胜利包含三种情况：①甲连胜三局；②前三局甲两胜一负，第四局甲胜；③前四局甲两胜两负，第五局甲胜．∴甲获得比赛胜利的概率：p=++C（）2（）2×=．（2）由已知得X的可能取值为3，4，5，P（X=3）==，P（X=4）=+×=，P（X=5）=C（）2（）2×+C（）2（）2×=，∴随机变量X的分布列为： X 3 4 5 P 数学期望EX==．【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式的合理运用．　19．（12分）（2016•大连二模）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥BC，AA1=2，AC=2，M是CC1的中点，P是AM的中点，点Q在线段BC1上，且BQ=QC1．（1）证明：PQ∥平面ABC；（2）若直线BA1与平面ABM成角的正弦值为，求∠BAC的大小．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．【分析】（1）设AB=a，BC=b，以B为坐标原点建立坐标系，则为平面ABC的一个法向量，求出，的坐标，通过证明=0得出PQ∥平面ABC；（2）求出和平面ABM的法向量，令|cos＜，＞|=得出a，b的关系，结合a2+b2=8得出a，b的值，从而确定∠BAC的大小．【解答】证明：（1）分别以BA，BC，BB1为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系B﹣xyz，如图所示：设AB=a，BC=b，则A（a，0，0），B（0，0，0），M（0，b，1），C1（0，b，2）．∴P（，，），Q（0，，）．∴=（﹣，﹣，0）．∵BB1⊥平面ABC，∴=（0，0，2）为平面ABC的一个法向量．∵=0，PQ⊄平面ABC，∴PQ∥平面ABC．（2）A1（a，0，2），=（a，0，2），=（a，0，0），=（0，b，1），设平面ABM的法向量为=（x，y，z），则，∴，令z=1得=（0，﹣，1）．∴cos＜，＞===．∴（a2+4）（）=15．∵AC=2，∴a2=8﹣b2．∴（12﹣b2）（）=15．解得b=．∴sin∠BAC==．∴∠BAC=30°．【点评】本题考查了线面平行的判定，空间向量的应用，线面角的计算，属于中档题．　20．（12分）（2016•大连二模）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率e=，且椭圆上一点M与椭圆左右两个焦点构成的三角形周长为4+2．（1）求椭圆C的方程；（2）如图，设点D为椭圆上任意一点，直线y=m和椭圆C交于A、B两点，且直线DA、DB与y轴分别交于P、Q两点，试探究∠PF1F2和∠QF1F2之间的等量关系并加以证明．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 方程．【分析】（1）：由题意可得：e==，2a+2c=4+2，又a2=b2+c2．联立解出即可得出椭圆C的方程．（2）设D（x0，y0），则+=1．把y=m代入椭圆方程可得：A（﹣，m），B（，m）．利用点斜式可得：直线DA的方程与直线DB的方程，可得P，Q的坐标．利用斜率公式只要证明•=1即可得出．【解答】（1）解：由题意可得：e==，2a+2c=4+2，又a2=b2+c2．联立解得：a=2，b=c=．∴椭圆C的方程为：=1．（2）解：∠PF1F2+∠QF1F2=90°．下面给出证明：F1．设D（x0，y0），则+=1．把y=m代入椭圆方程可得：+=1，解得x=±．取A（﹣，m），B（，m）．直线DA的方程为：y﹣y0=（x﹣x0），可得P．同理可得：直线DB的方程为：y﹣y0=（x﹣x0），可得Q．∴=，=．又=2﹣．∴•=•===1．∴∠PF1F2+∠QF1F2=90°．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、直线方程、斜率计算公式、点与椭圆的位置关系，考查了探究能力、推理能力与计算能力，属于难题．　21．（12分）（2016•大连二模）已知函数f（x）=lnx+kx（k∈R）．（1）当k=﹣1时，求函数f（x）的极值点；（2）当k=0时，若f（x）+﹣a≥0（a，b∈R）恒成立，试求ea﹣1﹣b+1的最大值；（3）在（2）的条件下，当ea﹣1﹣b+1取最大值时，设F（b）=﹣m（m∈R），并设函数F（x）有两个零点x1，x2，求证：x1•x2＞e2．【考点】函数模型的选择与应用；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）求导数，令f′（x）=0，可得x=1，函数在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，可得函数f（x）的极值点；（2）确定a≤lnx+恒成立，求出右边的最小值，可得a﹣1≤lnb，即可求ea﹣1﹣b+1的最大值；（3）在（2）的条件下，F（x）=﹣m，原不等式x1•x2＞e2进一步整理得到ln＞，只要能证出上述不等式恒成立即可．【解答】（1）解：当k=﹣1时，f（x）=lnx﹣x，∴f′（x）=﹣1．令f′（x）=0，可得x=1，函数在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，∴函数f（x）的极大值点是1；（2）解：当k=0时，若f（x）+﹣a≥0（a，b∈R）恒成立，则lnx+﹣a≥0（a，b∈R）恒成立，∴a≤lnx+恒成立，令y=lnx+，则y′=，由题意b＞0，函数在（0，b）上单调递减，在（b，+∞）上单调递增，∴a≤lnb+1，∴a﹣1≤lnb，∴ea﹣1﹣b+1≤1，∴ea﹣1﹣b+1的最大值为1；（3）证明：由（2）可知a﹣1=lnb，F（b）=﹣m，∴F（x）=﹣m∵x1、x2为函数F（x）的两个零点，不妨设0＜x1＜x2，∴﹣m=0，﹣m=0，∴lnx1﹣mx1=0，lnx2﹣mx2=0，∴lnx1﹣lnx2=m（x1﹣x2），lnx1+lnx2=m（x1+x2）原不等式x1•x2＞e2等价于lnx1+lnx2＞2⇔m（x1+x2）＞2，⇔＞⇔ln＞，令=t，则0＜t＜1，∴ln＞⇔lnt＞，设g（t）=lnt﹣，（0＜t＜1），∴g′（t）=＞0，∴函数g（t）在（1，+∞）是递增，∴g（t）＞g（1）=0即不等式lnt＞成立，故所证不等式x1•x2＞e2成立【点评】本题主要考查了导数在函数单调性和函数极值中的应用，连续函数的零点存在性定理及其应用，考查构造法的运用，属中档题．　请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题计分。做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑题号[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）（2016•大连二模）已知点C在圆O直径BE的延长线上，CA切圆O于A点，CD分别交AE、AB于点F、D，∠ADF=45°．（1）求证：CD为∠ACB的平分线；（2）若AB=AC，求的值．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）判断出△ADF为等腰直角三角形，根据弦切角定理，三角形外角定理，及圆周角定理的推论，即可得出结论；（2）若AB=AC，结合（1）的结论，我们可得△ABC三个角分别为30°，30°，120°，解三角形，即可得到的值．【解答】（1）证明：∵CA切圆O于A点，∴由弦切角定理，可得∠CAE=∠B∵BE为圆O的直径∴∠DAF=90°∵∠ADF=45°，∴∠ADF=∠AFD∴∠ACD+∠CAE=∠B+∠BCD∴∠ACD=∠BCD，∴CD为∠ACB的角平分线；（2）解：若AB=AC，则∠CAE=∠B=∠ACB=30°则=．【点评】本题考查的知识点是圆周角定理，弦切角定理，三角形外角定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．　[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2016•大连二模）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的极坐标方程为ρ=4sinθ．从极点作圆C的弦，记各条弦中点的轨迹为曲线C1．（1）求C1的极坐标方程；（2）已知曲线l的参数方程为，（0≤α＜π，t为参数，且t≠0），l与C交于点A，l与C1交于点B，且||=，求α的值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）由圆C的极坐标方程为ρ=4sinθ．从极点作圆C的弦，设各条弦中点M（ρ，θ）．则（2ρ，θ）在圆C上，代入即可C1的极坐标方程．（2）曲线l的参数方程为，（0≤α＜π，t为参数，且t≠0），化为y=xtanα．由题意可得：|OA|=ρ1=4sinα，|OB|=ρ2=2sinα，利用||=，即可得出．【解答】解：（1）由圆C的极坐标方程为ρ=4sinθ．从极点作圆C的弦，设各条弦中点M（ρ，θ）．则（2ρ，θ）在圆C上，∴C1的极坐标方程为2ρ=4sinθ，可得ρ=2sinθ．（2）曲线l的参数方程为，（0≤α＜π，t为参数，且t≠0），化为y=xtanα．由题意可得：|OA|=ρ1=4sinα，|OB|=ρ2=2sinα，∵||=，∴|OA|﹣|OB|=2sinα=，即sinα=．又0≤α＜π，∴，或α=．【点评】本题考查了直角坐标与极坐标的互化、参数方程化为普通方程、两点之间的距离、圆的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．　[选修4-5：不等式证明选讲]24．（2016•大连二模）已知a，b，c均为正实数，且++=1．（1）证明：++≤；（2）求证：++≥1．【考点】不等式的证明．【分析】（1）运用均值不等式，可得++≥++，再由两边平方即可得到证明；（2）由均值不等式可得+≥，+≥，+≥，相加即可得证．【解答】证明：（1）由a，b，c均为正实数，且++=1，可得+≥，+≥，+≥，相加可得++≥++，即有（++）2=+++2（++）≤3（++）=3，当且仅当a=b=c=取得等号；（2）由a，b，c均为正实数，且++=1，可得+≥2=，+≥，+≥，相加可得++≥++=1，即有原不等式成立．【点评】本题考查不等式的证明，注意运用均值不等式，考查推理能力和运算能力，属于中档题．