概率论与数理统计完整版课件全套ppt教学教程-最全电子讲义(最新)

概率论与数理统计概率论与数理统计第一节样本空间与随机事件第二节随机事件的概率第三节条件概率第四节事件的独立性第一章随机事件及概率CONTENTS概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的一门数学学科。通俗地讲，概率论与数理统计的任务就是从大量的偶然现象中去找出规律性。人们在实践中经常会遇到各种随机现象，那么什么是随机现象？随机现象是在一定的条件下事先能够预知所有可能结果，但在每次试验前不能确定哪一种结果将要出现的现象。对于这一类现象，尽管在每次试验之前无法断言将得到哪一种结果，但是如果进行大量的重复观察，会发现其出现的结果还是有一定规律可循的。例如，在相同条件下，多次重复抛一枚均匀硬币时，正面朝上的次数大致有一半；又如，同一门炮射击同一目标的弹着点按照一定规律分布等。随机现象的特征：①随机性（偶然性）；②大量试验条件下其结果的发生又具有规律性。随机现象有其偶然性的一面，也有其必然性的一面，这种必然性表现在大量重复试验或观察中呈现出的固有规律性，即随机现象的统计规律性。由于随机现象的普遍性，使得概率论与数理统计具有极其广泛的应用。概率论与数理统计的应用几乎遍及所有的科学领域以及工农业生产和国民经济各个部门，如天气预报、地震预报、产品的抽样调查、元件和系统可靠性评估等；另一方面，广泛的应用也了促进概率论与数理统计的极大发展。第一节样本空间与随机事件一、随机试验要对随机现象的统计规律进行研究，就需要对随机现象进行重复观察，我们把对随机现象的观察称为试验。例如：E1：抛一枚硬币两次，观察正面H（或1）、反面T（或0）出现的情况。E2：抛一枚硬币三次，观察正面H（或1）、反面T（或0）出现的情况。E3：抛一枚硬币三次，观察出现正面的次数。E4：观察某射击手对固定目标所进行的n次射击，记录其击中目标的次数。E5：在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命。E6：记录某医院接到120急救电话一昼夜的呼叫次数。上述试验具有以下共同特征：（1）可重复性：试验可以在相同的条件下重复进行；（2）可观察性：每次试验的结果可能不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果；（3）不确定性：每次试验出现的结果事先不能准确预知，但可以肯定会出现上述所有可能结果中的一个。在概率论中，将具有上述三个特征的试验称为随机试验，记为E。二、样本空间随机试验每一种可能发生的结果称为一个样本点，记为ω。随机试验E的所有可能结果组成的集合称为样本空间，记为Ω或S。上例中，试验的样本空间分别为对于，绘成几何图形如图1-1所示，如表示第一次反面、第二次正面。图1-1从上面的例子可以看出，随机试验样本点的总数可以是有限多个，也可以是无限多个。应该注意的是，和的过程都是将一枚硬币连抛三次，但由于试验的目的不一样，所以样本空间和截然不同，这说明试验的目的决定试验所对应的样本空间。三、随机事件在随机试验中，可能出现或可能不出现的试验结果称为随机事件，简称事件，通常用大写字母A，B，C等来表示，随机事件是概率论研究的主要对象。例如，在抛掷一枚骰子的试验中，用A表示“点数为偶数”这一试验结果，则A是一个随机事件。（1）必然事件：在每次试验中一定会发生的试验结果，用字母或S表示。例如，在上述试验中，“点数小于7”是一个必然事件。（2）不可能事件：在任何一次试验中都不可能发生的试验结果，用字母表示。例如，在上述试验中，“点数为8”是一个不可能事件。（3）基本事件：在随机试验中，每一个可能出现的试验结果（样本点），用字母e或表示。例如，在上述试验中，“出现2点”“出现4点”等都是基本事件。（4）复合事件：在随机试验中，由若干个基本事件组合而成的事件。例如，在抛掷一枚骰子的试验中，A表示“点数为偶数”，就是包含有可能为“2点”“4点”或“6点”3个基本事件，即。四、事件的关系与运算在一个样本空间中显然可以定义不止一个事件。概率论的重要研究课 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 之一是希望从简单事件的概率推算出复杂事件的概率。为此，需要研究事件间的关系与运算。事件是一个集合，因此事件间的关系和运算自然按照集合之间的关系和运算来处理。1事件的包含与相等若，则称事件B包含事件A，这里指的是事件A发生必然导致事件B发生，即属于A的样本点都属于B，如图1-2所示。显然，对任何事件A，必有。若且，则称事件A与B相等，记为。图1-22事件的积事件，称为事件A与事件B的积事件，即当且仅当事件A与事件B同时发生时，积事件发生。它由既属于A又属于B的所有公共样本点构成，如图1-3所示。积事件也可简记为AB。图1-33事件的并事件，称为事件A与事件B的和事件，即当且仅当事件A或事件B至少有一个发生时，和事件发生。它由属于A或B的所有公共样本点构成，如图1-4所示。图1-44事件的差事件称为事件A与事件B的差事件，即当且仅当事件A发生但事件B不发生时，积事件发生。它是由属于A但不属于B的样本点构成的集合，如图1-5所示。差事件也可写作。图1-55事件的互不相容（互斥）若，则称事件A与事件B是互不相容的，或称为互斥的，这是指事件A与事件B不能同时发生，即A与B没有公共样本点，如图1-6所示。特别地，若事件A与事件B互不相容（即），则A与B的和事件常记为。图1-66事件的对立事件A不发生这一事件称为A的对立事件（或逆事件），记作，即。它由样本空间中所有不属于A的样本构成，如图1-7所示。显然，，。由定义可知：对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件。图1-7在进行事件的运算时，关于它们的顺序作如下约定：先进行逆运算，再进行交运算，最后才进行并或差运算。不难把上面定义推广到多个事件的场合。例如，对于n个事件，用或表示同时发生；用或表示中至少发生一个，称为的并。特别地，当两两互不相容时，并称为和，并记作或。7事件的运算法则交换律，。结合律，。分配律，。对偶律，。例1某棉麦连作地区，因受气候条件的影响，棉花、小麦都可能减产，如果记，，试用表示事件：①棉花、小麦都减产；②棉花减产，小麦不减产；③棉花、小麦至少有一样减产；④棉花、小麦至少有一样不减产。解①AB；②；③；④。例2调查甲、乙、丙收看某电视剧的情况，如果记，，，试用表示事件：①甲收看，乙收看，丙未收看；②甲、乙、丙之中有一人未收看；③甲、乙、丙之中有两人未看；④甲、乙、丙至少有一人未收看；⑤甲、乙、丙三人都未收看；⑥甲、乙、丙三人不都收看。解①；②；③；④；⑤；⑥。例3在某系的学生中任选一人，设，，，试说明：①事件的意义；②事件的意义；③事件的意义；④事件的条件。解①；②；③；④，即，即高数协会会员都是二年级的男生。第二节随机事件的概率随机事件虽有其偶然性一面，但在多次重复试验中又呈现出明显的统计规律性。在现实生活中，我们常常希望知道某些事件在一次试验中发生的可能性大小。我们把衡量事件发生可能性大小的数量指标称为事件的概率，事件A的概率用表示。人们容易接受这种说法：当一个事件发生的可能性大（小），在相同条件下重复进行若干次试验，该事件发生的次数就多（少），因而，下面引进的数量指标能在一定程度上反应事件发生的可能性大小。一、频率定义1在相同的条件下重复进行了n次试验，如果事件A在这n次试验中出现了次，则称比值为事件A发生的频率，记为，即显然，频率的大小表示了在n次试验中事件A发生的频繁程度。频率大，事件A发生就频繁，在一次试验中A发生的可能性就大，也就是事件A发生的概率大，反之亦然。因此，直观的想法是用频率来描述概率。例1历史上有一些科学家曾做过抛硬币试验，并统计了n次试验中出现正面（事件A）的次数及相应的频率，如表1-1所示。表1-1从表中结果可以看出，当试验次数n较大时，频率总是围绕在0.5附近摆动，且逐渐稳定于0.5，这表明频率具有稳定性。通过大量试验可知，对于可重复进行的试验，当试验次数n逐渐增大时，事件A的频率都逐渐稳定于某个常数p，即呈现出稳定性，这种“频率稳定性”就是通常所说的统计规律性，因此可以用频率来描述概率，定义概率为频率的稳定值。频率的性质：（1）非负性。（2）规范性。（3）有限可加性若是一组两两互不相容的事件，则。二、概率定义2（概率的公理化定义）设E是随机试验，是它的样本空间。对于的每一事件A，定义实值函数，若满足下列条件：（1）非负性对任一个事件A，有。（2）规范性对必然事件，有。（3）可列可加性若是两两互不相容的事件，即对于，（），有，则称为随机事件A的概率。由概率的定义，可以推得概率的一些重要性质。性质1不可能事件的概率为0，即。证因，由概率的可列可加性有由概率的非负性知，，故由上式知。性质2（有限可加性）若是两两互不相容的事件，则有。证令，即有()。由可列可加性得。性质3设A，B是两个事件，若，则有，。证由知，且，再由概率的有限可加性，得；移项即得。又由概率的非负性，，知。推论设A，B是任意两个事件，则有。性质4（逆事件的概率）对于任一事件A，有。证因，且，由有限可加性，得。移项得。性质5（加法公式）对于任意两个随机事件A，B，有。证因，且，，故由概率的有限可加性得。此性质还能推广到多个事件的情况。例如，设为任意三个事件，则有。一般，对于任意n个事件，可以用归纳法证得例2设事件A，B的概率分别为，。在下列三种情况下分别求的值：（1）A与B互斥；（2）；（3）。解由性质（3）的推论，。（1）因为A与B互斥，所以，。（2）因为，所以。（3）。例3设，证明。证。三、等可能概型（古典概型）古典概型是一类最简单且又常见的随机试验，这类试验具有以下特点。（1）有限性：试验的样本空间元素只有有限个，即；（2）等可能性：试验中每个基本事件发生的可能性相同，且两两互不相容，即。具有这种性质的随机现象的数学模型称为等可能概型，它在概率论发展初期曾是主要的研究对象，所以也称为古典概型。等可能概型的一些概念具有直观、容易理解的特点，有着广泛的应用。定义3（概率的古典定义）设在古典概型中共有n个基本事件，随机事件A包含其中k个基本事件，则事件A发生的概率为。例4某班27人，女生6人，从班上任选8名班干部，求这8名班干部里有3名女生的概率。解基本事件空间{从班上任选8名班干部的各种选法}，{8名班干部里有3名是女生的选法}，则。在计算古典概率时，所使用的基本工具是排列组合计算法，所使用的基本模型是“摸球”模型。以下举例说明。设一袋中有n个编好号码的小球，从中抽取r次，每次一球。抽取方法分两种：（1）有放回抽取，即每次取出一球记下号码后放回袋中，混合后再进行下次抽取。这时样本点总数为个。（2）不放回抽取，即每次取出一球后不再放回又抽取下一球。这时样本点总数为。显然，前一种抽取时，r可以大于n；而后一种抽取时有。例5一袋中有60个白球和40个红球，从中摸取三次，每次一球。设A表示“恰有两次都取到红球”。请在（1）有放回抽样，（2）不放回抽样条件下求。解显然，袋中有100个球。（1）有放回抽样时，由于每次抽取后都放回，故每次抽取的球都是原100个球，则从100个球中任取三个的所有可能取法共有，即样本空间包含的基本样本点总数为。因任取三球中有两个红球的可能取法有种，且这两个红球是从40个红球中摸取，其可能取法有，另一个球是白球，是从60个白球中摸取，有60种取法，因此事件A中样本点数为，于是。（2）不放回抽样时，由于每次摸一个球后不放回，因此第一次是从原100个球中任意摸取，第二次是从第一次摸取后剩下的99个球中任意取得，第三次是从第二次摸取后剩下的98个球中任意摸取，因此从100个球中任意摸取三个球的所有可能取法共有，此时样本空间样本点总数为。同理可求得事件A中样本点数为，故。注意从本例计算结果说明，在被抽取对象的数量较大的情况下，用放回抽样与不放回抽样，其算得事件的概率是十分相近的，无明显差异。在大样本情况下，常把不放回抽样当作放回抽样来处理。但当被抽取对象的数量较少时，两者会有较大差异，此时需严格区分是放回抽样还是不放回抽样。例6一袋中装有N个小球，其中m个红球，余下为白球。从袋中任取出个小球，问恰有个红球的概率是多少？这个模型不要求摸球顺序，故用组合式计算。所有可能的取法共有种，设事件A表示“任取n个小球，其中恰有k个红球”，则。上式即为超几何分布的概率公式。例7（分房模型）设有n个人，随机地住进N个房间中的任意一间（），设每个房间可容纳的人数不限，试求下列各事件的概率：（1）{某指定的n个房间中各住一人}；（2）{恰有n个房间，其中各住一人}；（3）{某指定的一房间中，恰有k个人}。解n个人住进N个房间，每个人都有N种住法，共有种，即基本事件空间的基本事件数为。（1）在指定的n个房间中，第1个人有n种选择，第2个人有种选择，…，第n个人只有1种选择，所以A包含的基本事件数位。故。（2）恰好有n个房间共有种组合，所以B所包含的基本事件数为。故。（3）指定的一个房间恰好有k个人，可由n个人中任意选出，有种选法，其余个人可任意住到其余个房间中去住，共有种住法，所以C所包含的基本事件数为。故。例8（生日问题）某班有n个学生，试求该班至少有两名学生的生日相同的概率。解设{至少有两名学生的生日相同}，由假设知，本题直接计算事件A的概率比较复杂，此时可以用对立事件来求解，即有：{没有两名学生的生日相同}。于是。则。现将n取不同值时，事件A的概率列于表1-2。从表1-2的计算结果可知，当一个班级的学生人数在64人以上时，至少有两人生日相同这一事件几乎是必然发生的。显然这一结果常常会使人们感到惊讶：“多巧啊！我们班竟然有两位同学的生日是在同一天。”但从概率意义上来说，这几乎是必然发生的事件。这就是概率思维与人们习惯思维的差异。学生掌握了这种思维方法，对提高对事物的认识能力与分析水平都有积极意义。表1-2例9将3个球随机放入4个杯子中，问杯子中球的个数最多为1，2，3的概率各是多少？解设A，B，C分别表示杯子中的最多球数为1，2，3的事件。我们认为球是可以区分的，于是，放球过程的所有可能结果数为。（1）A所含的基本事件数，即是从4个杯子中任选3个杯子，每个杯子放入一个球，杯子的选法有种，球的放法有种，故。（2）C所含的基本事件数：由于杯子中的最多球数是3，即3个球放在同一个杯子中共有4种放法，故。（3）由于三个球放在4个杯子中的各种可能放法为事件，显然，且互不相容，故。注意在用排列组合公式计算古典概率时，必须注意在计算样本空间和事件A所包含的基本事件数时，基本事件数的多少与问题是排列还是组合有关，不要重复计数，也不要遗漏。四、几何概率在古典概型中利用等可能性的概念，成功地计算了某些问题的概率；不过，古典概型要求试验结果必须为有限个，这在实际应用中具有很大的局限性，因为有时还需要考虑试验结果为无穷多个的情况，而这类问题一般可以通过几何方法来求解，这就是几何概型。所谓几何概型是指具有下列两个特征的随机试验：（1）有限区域、无限样本点：试验的所有可能结果为无穷多个样本点，但其样本空间表现为某一几何区域（直线、平面、立体）时为有限区域。（2）等可能性：试验中各基本事件出现的可能性相同，且任意两个基本事件不可能同时发生。定义4（概率的几何定义）在几何概率试验中，设样本空间为，事件，则事件A发生的概率为，其中几何度量可以指长度、面积、体积等。例10在一个均匀陀螺的圆周上均匀地刻上区间上的所有实数，旋转陀螺，求陀螺停下来后，圆周与桌面的接触点位于区间上的概率。解设A表示“圆周与桌面的接触点位于区间上”，由于陀螺及刻度的均匀性，它停下来时其圆周上的各点与桌面接触的可能性相等，且接触点可能有无穷多个，故。例11在线段AB上，任取两点M，N，在M，N处折断成三条线段，求这三条线段能构成三角形的概率。解如图1-8所示，其中L为线段AB的长。设，，则。记{三条线段能构成三角形}，则依题意，样本空间表示成。图1-8三条线段要能构成三角形必须满足“两边之和大于第三条边，两边之差小于第三条边”，即因此事件A可表示成。如图1-9所示，A为图中阴影部分，两平面区域的度量为面积和，故。图1-9第三节条件概率一、条件概率条件概率是本章的重要概念。我们知道，世界万物都是互相联系、互相影响的，随机事件也不例外。在实际问题中，常常会遇到这样的问题：在得到某个信息B以后（即在已知事件B发生的条件下），求事件A发生的概率，这时由于附加了条件，它与事件A的概率的意义是不同的，这种在已知事件B发生的条件下，求事件A发生的概率称为条件概率，记为。例1掷一枚质地均匀的骰子一次，观察出现的点数。设事件A表示“掷出2点”，事件B表示“掷出偶数点”。（1）求掷出2点的概率；（2）在已知掷出偶数点的情况下，求掷出2点的概率。解（1）由题意，样本空间，显然可知“掷出2点”是样本空间中的一种情况，于是。（2）事件B表示“掷出偶数点”，即{2,4,6}，而此时“掷出2点”是其中三种情况中的一种，于是有。（1-1）这里，其原因在于事件B的发生改变了样本空间，事件B的发生就犹如给我们提供一条“情报”，使我们在更小的范围内考虑问题，从而使它原来的缩减为，因此是在新的样本空间中由古典概率的计算公式而得到的。注意到式（1-1）还可以写出如下的形式。从概率的直观意义出发，若事件B已经发生，则要使事件A发生，当且仅当试验结果出现的样本点属于A又属于B，即属于AB，因此应为在中的“比重”。由此，可以给出条件概率的定义。定义1设A，B是两个随机事件，且，称为事件B发生的条件下事件A发生的条件概率。注：条件概率亦具有概率的三条基本性质：（1）非负性对任一事件B，。（2）规范性。（3）可列可加性设是两两互不相容的事件，则有。因此，类似于概率，对条件概率也可由三个基本性质导出其他一些性质。例如：；；。例2袋中有5个球，其中3个红球2个白球．现从袋中不放回地连取两个。已知第一次取得红球，求第二次取得白球的概率。解设B表示“第一次取得红球”，A表示“第二次取得白球”，求。方法1缩减样本空间B中的样本点数，即第一次取得红球的取法为，第二次取得白球占其中的种，所以。方法2在5个球中不放回连取两球的取法有种，其中，第一次取得红球的取法有种，第一次取得红球第二次取得白球的取法有种，所以，。由定义得。计算条件概率一般的方法：（1）在缩减后的样本空间中计算概率。（2）在原来的样本空间中，直接由公式计算概率。例3据历年气象资料，某地4月份刮东风的概率为，既“刮东风”又“下雨”的概率为，问“刮东风”与“下雨”有无密切关系？解设B表示“刮东风”，A表示“下雨”，则AB表示“既刮东风又下雨”，于是由条件概率公式可得。计算结果说明，一般情况下，“刮东风”时“下雨”的可能性较大。注意用条件概率可以判别两事件之间有否密切关系，或者说，一事件发生对另一事件发生的影响程度都可用条件概率来计算，如例3中说明4月份天气：“刮东风”与“下雨”有密切关系。二、乘法公式利用条件概率的定义，很自然地可得到下述乘法公式。定理1（乘法公式）设是两个随机事件，若，则；（1-2）若，则．（1-3）式（1-2）和式（1-3）称为乘法公式。乘法公式容易推广到多个事件的情形。推论设有n个随机事件，则。（1-4）例4在一批由90件正品，3件次品组成的产品中，不放回接连抽取两件产品，问第一件取正品，第二件取次品的概率。解设事件A={第一件取正品}；事件B={第二件取次品}。按题意，，。由乘法公式。例5在袋中有a个白球和b个黑球，随机地取出一个，然后放回，并同时再放进与取出的球同色的球c个，再取第二个，如此连续地取3次，问：（1）取出的3个球中，已知头两个是黑球，求第3个是白球的概率；（2）取出的3个球中，头两个是黑球，第3个是白球的概率。解设{第i次取得黑球}()，则（1）。（2）。说明：注意区分和。例6在对一种产品进行三种破坏性试验，产品没通过第一种试验的概率为0.3，通过了第一种试验而未通过第二种试验的概率为0.2，通过了前两种试验而未通过第三种试验的概率为0.1，试求产品没通过这三种试验的概率。解设{产品没通过第三种试验}，{产品没通过第i种试验}()，则或。。依题意知，，从而。另解，显然互不相容，故三、全概率公式下面先介绍样本空间的划分定义。定义2若事件满足下面两个条件：（1）两两互不相容，即。（2），则称为样本空间的一个划分，或称其为一个完备事件组，如图1-10所示。显然，全部的基本事件构成一个完备事件组；任何事件A与也构成完备事件组。为了计算复杂事件的概率，经常把一个复杂事件分解为若干个互不相容的简单事件的和，通过分别计算简单事件的概率，来求得复杂事件的概率。图1-10定理2（全概率公式）设为样本空间的一个划分，且，则对中的任意一个事件B都有。证因为是一组两两互不相容的事件。又因为，所以。由此得。例7七人轮流抓阄，抓一张参观票，问第二人抓到的概率？解设{第i人抓到参观票}()，于是。由全概率式。从这道题，可以看到，第一个人和第二个人抓到参观票的概率一样；事实上，每个人抓到的概率都一样。这就是“抓阄不分先后原理”。例8设有一仓库有一批产品，已知其中50%，30%，20%依次是甲、乙、丙厂生产的，且甲、乙、丙厂生产的次品率分别为，现从这批产品中任取一件，求取得正品的概率？解以，，表示诸事件“取得的这箱产品是甲、乙、丙厂生产”；以B表示事件“取得的产品为正品”，于是按全概率公式，有。四、贝叶斯公式贝叶斯（Bayes）公式与全概率公式是相反的问题，即一事件已经发生，要考察引发该事件发生的各种原因或情况的可能性大小。定理3（贝叶斯公式）设B是样本空间的一个事件，为样本空间的一个划分，且，，则在B已经发生的条件下，发生的条件概率为。这个公式称为贝叶斯公式。贝叶斯公式在理论上和应用上都十分重要，假定是导致结果“B”发生的“原因”，且已知发生的概率大小为，称其为先验概率。现试验中出现了事件B，它将有助于探讨引起事件B发生的“原因”。归纳起来，贝叶斯公式是一类由“结果”找引起“结果”发生的“原因”的问题，即求，称此概率为后验概率。例9发报台分别以概率0.6和0.4发出信号“．”和“—”，由于通信系统受到干扰，当发出信号“．”时，收报台未必收到信号“．”，而是分别以0.8和0.2概率收到“．”和“—”；同样，发出“—”时分别以0.9和0.1概率收到“—”和“．”。如果收报台收到“．”，问它没收错的概率？解设{发报台发出信号“．”}，{发报台发出信号“—”}，{收报台收到“．”}，{收报台收到“—”}；于是，，，，，，；按贝叶斯公式，有。所以，没收错的概率为0.5714。例10根据以往的记录，某种诊断肝炎的试验有如下效果：对肝炎病人的试验呈阳性的概率为0.95；对非肝炎病人的试验呈阴性的概率为0.95。对自然人群进行普查的结果为：有千分之五的人患有肝炎．现有某人做此试验，结果为阳性，问此人确有肝炎的概率为多少？解设{某人做此试验结果为阳性}，{某人确有肝炎}；由已知条件有，，，；从而，；由贝叶斯公式，有。本题的结果表明，虽然，，这两个概率都很高。但若将此实验用于普查，则有，即其正确性只有8.7%。如果不注意到这一点，将会经常得出错误的诊断。这也说明，若将和搞混了会造成不良的后果。还可进一步说明：与，这两个概率都很接近于1，若近似取值为1，则有。从上式可以看出，非肝炎病人的试验呈阳性的概率（即误诊率）为0.05，是肝炎犯病率为0.005的10倍，此时近似等于；在其他条件不变，当误诊率增加时，的值将减小，反之则增大。第四节事件的独立性一、事件的独立性从条件概率的例子中，可以知道，一般的有，但有时事件B发生与否与A无关，这时就会有，由此可以引出事件独立性的概念。先看一个例子。例110件产品中有4件正品，连续取两次，每次取一件，作有放回抽样。设B，A分别表示第一、二次取得正品，则，，故。这个例子说明，当事件B对事件A没有任何影响时，事件A与事件是等价的。当且时，有，即。由此可定义事件的独立性。定义1设为同一样本空间中的两事件，若，则称A与B互相独立。应当指出的是，事件的独立性与事件的互不相容是两个完全不同的概念。事实上，由定义可以证明，在，的前提下，事件互相独立与事件互不相容是不能同时成立的。定理1设是两事件，且。若相互独立，则。反之亦然。定理2若事件A与B相互独立，则下列各对事件也相互独立：A与，与B，与。证因为，所以。故A与相互独立。在实际问题中，一般不用定义来判断两事件A，B是否相互独立，而是相反，从试验的具体条件以及试验的具体本质分析去判断它们有无关联，是否独立？如果独立，就可以用定义中的公式来计算积事件的概率了。例2两门高射炮彼此独立的射击一架敌机，设甲炮击中敌机的概率为0.9，乙炮击中敌机的概率为0.8，求敌机被击中的概率？解设{甲炮击中敌机}，{乙炮击中敌机}，那么{敌机被击中}；因为A与B相互独立，所以，有。或。定义2设是三个事件，如果以下4个等式成立：（1-5）。（1-6）则称事件互相独立。若仅（1-5）式成立，则称两两独立。由定义2知，事件相互独立，则必两两独立；但若事件两两独立，则事件不一定相互独立。例3两如图1-11所示，有四张同样大小的卡片，上面标有数字，从中任抽一张，每张被抽到的概率相同。解令{抽到卡片上有数字i}()，则，即；图1-11而；；。可见两两之间是独立的，但是总起来看并不相互独立。因此对多个事件的独立性要求比较严格。定义3设对任意n个事件，若；；…(共个式子)均成立，则称相互独立。例4用步枪射击飞机，设每支步枪命中率均为0.004，求：（1）现用250支步枪同时射击一次，飞机被击中的概率；（2）若想以0.99的概率击中飞机，需要多少支步枪同时射击？解（1）表示“第i支击中”，则要求而。（2）由。本例计算结果说明，虽然每支步枪单独射击命中率很低，但是很多支步枪同时射击，命中飞机的概率还是可以比较高的。这就是“人多力量大、人多智慧广”的生动阐述。下面介绍独立性在可靠性问题中的应用。元件的可靠性：对于一个元件，它能正常工作的概率称为元件的可靠性。系统的可靠性：对于一个系统，它能正常工作的概率称为系统的可靠性。例5一个系统由3个部件组成，它们的工作是相互独立的，若它们正常工作的概率都是0.85，在下列各情形下，分别求系统正常工作的概率：（1）3个部件串联起来，如图1-12（a）所示；（2）3个部件并列起来，如图1-12（b）所示；（3）3个部件串联两个，再并联起来，如图1-12（c）所示。图1-12(b)(c)(a)解设{第i个部件正常工作}()，{第i个系统正常工作}()。由题意知相互独立，于是（1）。（2）。（3）。计算结果说明，系统（Ⅱ）最高，系统（Ⅲ）其次，系统（Ⅰ）最低，因此在实际应用中，集成电路大多采用并联形式。二、伯努利概型随机现象的统计规律，往往是通过相同条件下进行大量重复试验和观察而得以揭示。这种在相同条件下重复试验的数学模型在概率论中占有重要地位。定义4具以下两个特点的随机试验称为n次伯努利概型试验：（1）在相同条件下，重复n次做同一试验，每次试验只有两个可能结果A和，且；（2）n次试验是相互独立的（即每次试验结果出现的概率不受其他各次试验结果发生情况的影响。n次伯努利概型试验简称为伯努利概型，它是一种很重要的数学模型，现实生活中大量的随机试验都可归结为伯努利概型。例如，产品的抽样检验中的“合格品”与“次品”，打靶中的“命中”与“不中”，车间里的机器“出故障”与“未出故障”等等，都是只有两个结果的伯努利概型。下面讨论在伯努利概型试验中，事件A在n次试验中恰好发生k次的概率。定理3在n次伯努利概型中，每次试验事件A发生的概率为，则在n次试验中，事件A恰好发生k次的概率为，其中，。证由于每次试验的独立性，n次试验中事件A在指定的k次发生，而在其余次不发生的概率为。又因为在n次试验中，指定事件A在某k次发生的方式为n次中任取k次的不同组合数，利用概率的有限可加性得。例6若某厂家生产的每台仪器，以概率0.7可以直接出厂；以概率0.3需进一步调试，经调试后以概率0.8可以出厂，以概率0.2定为不合格品不能出厂。现该厂生产了n台仪器（假设各台仪器的生产过程相互独立），求：（1）全部能出厂的概率；（2）其中恰有两台不能出厂的概率；（3）其中至少有两台不能出厂的概率。解设A={某一台仪器可以出厂}，则。（1）P{全部能出厂}；（2）P{恰有两台不能出厂}；（3）P{其中至少两台不能出厂}。例7某厂自称产品的次品率不超过0.5%，经过抽样检查，任取200件产品就查出了5件次品，试问：上述的次品率是否可信？解设该厂产品的次品率为0.005，任取200件产品中任一件检查，其结果只有两个，即次品与非次品，且每次检查结果互不影响，即视为独立。所以此试验为伯努利概型，，，故。此概率如此之小，应该说在一次检查中几乎不可能发生（“概率很小的随机事件在一次试验中几乎不可能发生”这一事实，称为“小概率原理”。它是统计推断理论中的主要依据，今后将要经常引用它），可现在竟然发生了，因此认为此厂自称的次品率不超过0.5%是不可信的。内容小结1．知识框架图2．基本要求（1）本章介绍了随机事件与样本空间的概念，事件的关系与运算；给出了概率的统计定义，概率加法定理，条件概率与概率乘法定理，并介绍了全概率公式与逆概率公式，研究了事件的独立性问题，伯努里概型。（2）古典概型是一种随机现象的数学模型，它要求所研究的样本空间是有限的，且各样本点的发生和出现是等可能的。计算古典概率必须要知道样本点的总数和事件A所含的样本点数。在所考虑的样本空间中，对任何事件A均有。古典概率的求法是灵活多样的，从不同的角度分析，可以构成不同的样本空间，解题的关键是确定什么是所需的样本点。统计概率是一种随机试验事件的概率，它不一定是古典概型。其特点是以事件出现次数的频率作为概率的近似值。事件的关系和运算和集合论的有关知识有着密切的联系。如事件的包含关系可以表示为集合的包含关系；事件的和、积相当于集合的并、交，事件的对立相当于集合的互补，学习时需要加以对照。为了讨论有关系的事件的概率，必须了解概率的加法定理、条件概率与概率乘法定理。在应用加法定理时首先要搞清楚所涉及的事件是否互斥（三个以上的事件是否两两互斥？）。使用概率的乘法公式时，首先要搞清楚所涉及的事件是否相互独立？条件概率与事件乘积的概率的联系由公式表示。了解事件的独立性以及事件的互不相容性对于计算一些事件的概率可起简化作用。全概率公式中要求是互不相容的完备群。逆概率公式是求后验概率而得到的。它与全概率公式中求先验概率问题恰是对立的，但彼此又有公式相联系。概率论与数理统计第一节随机变量及其分布函数第二节离散型随机变量及其概率分布第三节连续型随机变量及其概率分布第四节随机变量函数的概率分布第二章随机变量及其分布CONTENTS为了深入研究和全面掌握随机现象的统计规律，将随机试验的结果与实数对应起来，即将随机试验的结果数量化，为此引入随机变量的概念，随机变量是概率论中最基本的概念之一，用它描述随机现象是近代概率论中最重要的方法，它使概率论从事件及其概率的研究扩大到随机变量及其概率分布的研究，这样就可以应用微积分等近代数学工具，使概率论成为真正的一门数学学科。第一节随机变量及其分布函数一、随机变量在许多随机试验中，试验的结果可以直接用一个数值来表示，不同的结果对应着不同的数值。例如，投掷一颗骰子，观察出现的点数，可能的结果分别是1，2，3，4，5，6这六个数值。如果用一个变量T表示出现的点数，那么试验的所有可能结果都可以用T的取值来表示，如“出现2点”可以表示成，“出现6点”可以表示成。这个变量T随着试验的不同结果而取不同的数值。而在有些随机现象中，随机事件与实数之间虽然没有上述那种数字联系，但常常可以人为引进变量给它建立起一个对应关系。例如，抛掷一枚硬币，它的可能结果为“出现正面”或“出现反面”。我们引进变量W，用表示“出现正面”，用表示“出现反面”。一般地，有下面的定义。定义1设随机试验E的样本空间为，如果对于每一个，都有唯一的实数与之对应，则称为随机变量。随机变量通常用大写字母X，Y，Z或希腊字母，等表示；而其所对应的小写字母x，y，z等则表示为随机变量所取的值。由定义1可知，前面所说的T和W都是随机变量。下面再举几个随机变量的例子。（1）将一枚硬币抛掷4次，用X表示正面出现的次数，则X是一个随机变量，它的所有可能取值为0，1，2，3，4。（2）某篮球队员投篮，投中记2分，未投中记0分。用Y表示篮球队员一次投篮的得分，则Y是一个随机变量，它的所有可能取值为0，2。（3）一个在数轴上的闭区间上作随机游动的质点，用Z表示它在数轴上的坐标，则Z是一个随机变量，它可以取a和b之间（包括a和b）的任何实数。由于随机变量的取值依赖于随机试验的结果，因此，在试验之前只能知道它的所有可能取值的范围，而不能预先知道它究竟取哪个值。因为试验的各个结果的出现都有一定的概率，所以随机变量取相应的值也有确定的概率。例如，在上面的（1）中，；。引入随机变量以后，就可以用随机变量来表示随机试验中的各种事件。例如在上面的（1）中，事件“四次均未出现正面”可以用来表示，事件“正面至少出现两次”可以用来表示，事件“正面最多出现三次”可以用来表示。可见，随机变量是一个比随机事件更宽泛的概念。随机变量依其取值的特点通常分为离散型和非离散型两类：如果随机变量X具有有限个值或无限多个可数值，则称X为离散型随机变量，如“取到次品的个数”“收到的呼叫个数”等；另一类是非离散型随机变量，它包含的范围很广，情况比较复杂，我们只关注其中最重要也是实际中常遇到的连续型随机变量，如“电灯泡的寿命”，实际生活中常遇到的“测量误差”等。研究随机变量，不仅要知道它能够取得哪些值，更重要的是要知道它的取值规律，即取到相应值的概率。随机变量的取值及其取值规律之间的对应关系称为随机变量的概率分布。概率论的历史表明，引入随机变量的概念以后，概率论的研究中心就从随机事件转移到随机变量上来，概率论的发展也从古典概率时期跨越到分析概率时期。二、随机变量的分布函数随机变量是定义在样本空间上的单值实函数，它的取值是有确定的概率的，这是它与普通函数的本质差异。下面引进分布函数的概念，它是普通的一元函数，通过它可以利用数学分析的方法来研究随机变量。定义2设X是一个随机变量，x为任意实数，函数()（2-1）称为随机变量X的分布函数。显然，随机变量X的分布函数是定义在上的一元函数。如果将X看成是数轴上随机点的坐标，则分布函数在x处的函数值等于事件“随机点X落在区间上”的概率。由定义可知，对于任意实数，由于，所以随机点落在区间的概率为。（2-2）可见，若已知随机变量X的分布函数，就可以求出X落在任一区间上的概率，这表明分布函数完整地描述了随机变量的统计规律性。分布函数具有下列性质。（1）单调性为x的单调不减函数，即当时，有。 （2-3）事实上，若，则，所以。（2）有界性对任意实数x，有，且，，或者，。（2-4）由以及概率的性质知,。而从几何图形上看，当时，“随机点X落在区间上”这一事件趋近于不可能事件，因此；当时，“随机点X落在区间上”这一事件趋近于必然事件，因此。（3）右连续性对任意实数x，有（证明从略）。需要指出的是，如果一个函数满足上述三条性质，则该函数一定可以作为某一随机变量X的分布函数。因此，通常将满足上述三条性质的函数都称为分布函数。也就是说，上述三条性质是鉴别一个函数是否为某一随机变量X的分布函数的充分必要条件。例1抛掷一枚硬币，设随机变量求：（1）随机变量X的分布函数；（2）随机变量X在区间上取值的概率。解（1）设x是任意实数。当时，事件，因此；当时，事件。因此。当时，事件，因此。综上所述，X的分布函数为（2）随机变量X在区间上取值的概率为。例2设随机变量X的分布函数为求常数A以及概率。解由于分布函数是右连续的，所以。又，，因此。于是进而。例3向数轴上的闭区间上投掷随机点，假设随机点落在区间上任意一点的可能性相等，用X表示随机点的坐标，求X的分布函数。解这是直线上的几何概型问题，随机点落在的任一子区间上的概率为。对任意实数x，当时，分布函数；当时，事件，所以；当时，。所以。综上所述，随机变量X的分布函数为第二节离散型随机变量及其概率分布对于离散型随机变量X而言，知道X的所有可能取值以及X取每一个可能值的概率，也就掌握了随机变量X的统计规律．一、离散型随机变量及其分布律定义1如果离散型随机变量X的所有可能取值为，并且X取到各个可能值的概率为，（2-5）则称式（2-5）为离散型随机变量X的概率分布律，简称为分布律。分布律也可以用 表格 关于规范使用各类表格的通知入职表格免费下载关于主播时间做一个表格详细英语字母大小写表格下载简历表格模板下载 来表示（见表2-1），并称之为X的概率分布表。表2-1容易验证，离散型随机变量的分布律满足下列性质。性质1； （2-6）性质2。 （2-7）例1设随机变量的分布律如表2-2所示。求：（1）a的值；（2），，。表2-2解根据性质1和性质2可知，解得。以下计算欲求的概率分别为；；。例2甲、乙、丙三人独立射击同一目标。已知三人击中目标的概率依次为0.8，0.6，0.5，用X表示击中目标的人数，求X的分布律以及分布函数。解X的所有可能取值为0，1，2，3。设，，分别表示事件“甲击中目标”，“乙击中目标”，“丙击中目标”，则依题意，，相互独立，且，，，所以；；；。X的分布律如表2-3所示。从而得出X的分布函数为表2-3其图形如图2-1所示。图2-1由图2-1可以看出，分布函数是一个阶梯函数，它在X的可能取值点0，1，2，3处发生跳跃，跳跃的高度等于相应点处的概率。这一特征是所有离散型随机变量分布函数的共同特征。反过来，如果一个随机变量X的分布函数为阶梯函数，那么X一定是离散型随机变量。对于任意实数x，随机事件可以表示成，由于互不相同，根据概率的可加性可知，离散型随机变量X的分布函数为。（2-8）由式（2-8）可见，是随机变量X取小于或等于x的所有可能值的概率之和。通常，该分布函数也可写成分段函数的形式：对于离散型随机变量，如果知道了它的分布律，便可知道它在任意范围内的概率，同时也唯一决定了它的分布函数。事实上，对于离散型随机变量而言，分布律与分布函数具有相同的作用，但分布律比分布函数更直观、更简便。因此常常通过分布律来掌握离散型随机变量的统计规律性。接下来介绍几种常见的离散型随机变量及其分布。二、几种重要的离散型随机变量及其分布律1．（0-1）分布如果随机变量X只可能取0和1两个值，其分布律为，，或写成，（2-9）则称随机变量X服从参数为P的（0-1）分布（或两点分布）。它的分布律也可以写成如表2-4所示的形式。表2-4（0-1）分布是一种常见的分布，如果随机试验只有两个对立结果A和，或者一个试验虽然有很多个结果，但我们只关心事件A发生与否，那么就可以定义一个服从（0-1）分布的随机变量，如对产品合格率的抽样检测、新生儿性别的调查等。2．二项分布在n重伯努利试验中，设，用X表示n次试验中事件A发生的次数，则X的所有可能取值为。由第一章中的二项概率公式知X的分布律为。（2-10）显然()；，即式（2-10）满足分布律的性质。一般地，如果随机变量X的分布律由式（2-10）给出，则称随机变量X服从参数为n，p的二项分布（或伯努利分布），记作。特别地，当时，二项分布的分布律为。这就是（0-1）分布。这也说明了（0-1）分布是二项分布在时的特例。例3某射手射击的命中率为0.6，在相同的条件下独立射击7次，用X表示命中的次数，求随机变量X的分布律。解每次射击命中的概率都是0.6，独立射击7次是7重伯努利概型，因此，随机变量，于是，。计算可知X的分布律如表2-5和图2-2所示。表2-5图2-2随机变量X的分布律图从图2-2中可以看到，当k增加时，概率先是随之单调增加，直到达到最大值，然后单调减少。一般地，对于固定的n及p，当k增加时，概率先是随着k的增加而增加，直至某点（）时达到最大值，然后再随着k的增加而减少。事实上，若随机变量X在点处的概率最大，必须满足不等式，由解这个不等式可得（2-11）图2-3达到最大值的值就是随机变量X最可能出现的数。图2-3是试验次数均为20，但试验成功概率不同的三种二项分布的概率分布图，由此图可以看出三种二项分布最可能发生的次数的值。例4某人进行射击，每次击中目标的概率为0.01，问：独立射击400发时，击中目标的最可能成功次数是多少？并求该次数对应的概率。解显然，独立射击400发中击中目标的次数X服从参数，的二项分布。根据式（2-11）的结论，击中目标的最可能成功次数，而相应发生的概率为。二项分布的计算公式虽然很简单，但当n较大且没有计算机等工具时，的计算却不容易。为了寻找快速且较准确的计算方法，人们进行了不懈努力，而泊松（Poisson）最早做到了这一点。3．泊松（Poisson）分布如果随机变量X的所有可能取值为，并且，（2-12）其中为常数，则称随机变量X服从参数为的泊松分布，记作。容易验证，()；。图2-4在实际问题中经常会遇到服从泊松分布的随机变量。例如，某急救中心一天内收到的呼救次数，某印刷品一页上出现的印刷错误个数，某地区一段时间内迁入的昆虫数目等都服从泊松分布。对于固定的，当k增加时，概率先是随之增加，当k增大到一定范围之外时，相应的概率便急剧下降，如图2-4所示。 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后附表给出了泊松分布表，以便查阅。例5设每分钟通过某交叉路口的汽车流量X服从泊松分布，且已知在一分钟内恰有一辆车通过的概率和恰有两辆车通过的概率相等，求在一分钟内至少有三辆车通过的概率。解设X服从参数为的泊松分布，则X的分布律为。又，即，解得，所以在一分钟内至少有三辆车通过的概率为。查泊松分布表，当时，，，，从而。在概率论的发展史上，泊松分布是作为二项分布的近似而引入的，下面给出二项分布与泊松分布的关系定理。泊松定理设为随机变量序列，并且。如果(为常数)，则有。证明设，则，从而对任意固定的非负整数k，有对于固定的k，当时：；；；；所以。定理得证。由泊松定理知道，当n很大（由于，所以必定较小）时，有下面的近似公式，（2-13）即二项分布可以用泊松分布近似表达。在实际计算时，当n较大p相对较小时（通常，），二项分布就可以用泊松分布来近似代替，近似效果不错。例6设一批产品共2000个，其中有40个次品，每次任取1个产品做放回抽样检查，求抽检的100个产品中次品数X的分布律。解由题意，产品的次品率为，从而，即。由于较大而相对较小，由泊松定理，X近似服从泊松分布，其中，所以。从表2-6中可以看出二项分布用泊松分布表达的近似程度。次品数X二项分布B(100，0.02)泊松分布P(2)00.13260.135310.27070.270720.27340.270730.18230.180440.09020.090250.03530.036160.01140.012070.00310.003480.00070.000990.00020.0002表2-6例7在400毫升的水中随机游动着200个菌团，从中任取1毫升水，求其中所含菌团的个数不少于3的概率。解观察1个菌团，它落在取出的1毫升水中的概率为，对200个菌团逐个进行类似的观察，相当于做200次伯努利试验。设任取的1毫升水中所含菌团的个数为X，则，即X的分布律为。从而，任取的1毫升水中所含菌团的个数不少于3的概率为。由于较大，相对较小，由泊松定理，有，其中。查泊松分布表知，，，。所以。例8若一年中某类保险者里面每个人死亡的概率为0.002，现有2000个这类人参加人寿保险．参加者交纳24元保险金，而死亡时保险公司付给其家属5000元赔偿费．计算“保险公司亏本”和“保险公司盈利不少于10000元”的概率．解X表示一年内的死亡人数，则，“保险公司亏本”表示收入小于支出，即，即；。这里要直接计算是比较麻烦的，可用近似公式泊松定理计算。因为，所以。同理，。4．几何分布设试验E只有两个对立的结果A与，并且，，其中。将试验E独立重复地进行下去，直到A发生为止，用X表示所需要进行的试验次数，则X的所有可能取值为。由于事件表示在前次试验中A都不发生，而在第k次试验中A发生，所以（）。（2-14）显然（），，即式（2-14）满足分布律的性质。一般地，如果随机变量X的分布律由式（2-14）给出，则称X服从参数为p的几何分布，记作。例9一段防洪大堤按照抗百年一遇洪水的 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，求在建成后的第5年，首次发生百年一遇大洪水的概率。解任何一年中发生百年一遇大洪水的概率都是。设在大堤建成后的第X年发生百年一遇大洪水，则，从而。5．超几何分布口袋中有N个产品，其中M个为次品，从中不放回地抽取个产品（或一次取出n个产品），用X表示取到的次品数，则由古典概型可得X的分布律为。（2-15）可以验证，式（2-15）满足分布律的两条性质。一般地，如果随机变量X的分布律由式（2-15）给出，则称X服从超几何分布，记作。从直观上容易理解，当产品总数N很大而抽取个数n相对较小时，不放回抽样和有放回抽样差异很小，而在有放回抽样时，抽到的次品数X是服从二项分布的，所以可以用二项分布近似表达超几何分布，即。（2-16）事实上，在一定条件下，上述近似关系可以得到严格的数学证明。例10某班有20名同学，其中有5名女生，现在从班上任选4名去参加讲座，求被选到的女同学人数X的分布律。解被选到的女同学人数X可能取0，1，2，3，4这五个值，相应的概率应按下列式子来计算：。具体计算结果如表2-7所示。表2-7X01234P0.28170.46960.21670.03100.0010第三节连续型随机变量及其概率分布对离散型随机变量，可用分布律来刻画其概率分布情况；而对于非离散型随机变量，考虑对任意实数x，事件的概率没有多大意义。例如，等公共汽车的时间X，考虑它取某特定常数的概率，如。事实上，“等待公共汽车时间严格等于3分钟”这一事件几乎不可能发生，其概率为0。于是需要寻求另外的方法来刻画非离散型随机变量的概率分布，下面将通过引入概率密度函数的概念来介绍其中的连续型随机变量。定义1设随机变量X的分布函数为，如果存在一个非负可积函数，使得对任意实数x，都有，（2-17）则称X为连续型随机变量，并称函数为X的概率密度函数（或分布密度函数），简称为概率密度（或分布密度），常记作。一、连续型随机变量及其概率密度由定义1以及微积分理论知，连续型随机变量的分布函数是连续函数，并且概率密度具有下列性质：（1）。（2-18）（2）。（2-19）（3）对于任意实数，有。（2-20）（4）对任意实数。（5）如果在点x处连续，则有。（2-21）需要指出的是，满足性质（1）和性质（2）的函数一定可以作为某一连续型随机变量的概率密度函数。在几何图形上，概率密度曲线总是位于x轴上方，并且介于它和x轴之间的面积为1，随机变量落在区间的概率等于区间上曲线以下曲边梯形的面积，如图2-5所示。（a）（b）图2-5概率密度曲线最后，对于连续型随机变量X，它取任一实数x的概率都是0，即。事实上，设，由于事件，所以。令，由的连续性，有。连续型随机变量的这一特性是它与离散型随机变量的最大差异。这一特性也表明，概率为0的事件未必是不可能事件，同样概率为1的事件并不一定是必然事件。根据这一特性，在计算连续型随机变量落在某一区间的概率时，可以不必区分该区间是开区间、闭区间，还是半开半闭区间，即。根据定义，性质5是显然成立的，则。因此当很小时，有。上式说明密度函数在x处的函数值越大，则X取x附近值的概率就越大。因此密度函数并不是随机变量X取值x时的概率，而是随机变量X集中在该点附近的密集程度。这也意味着确实有“密度”的性质，所以称它为概率密度。例1已知随机变量X的概率密度为（1）求常数a；（2）求分布函数；（3）求概率。解（1）由于，即，所以有，。（2）因为，所以当时，；当时，；当时，。综上所述，X的分布函数为（3）。二、几种常见的连续型随机变量的分布1.均匀分布定义2如果连续型随机变量X的概率密度为（2-22）则称X在区间上服从均匀分布，记作。X的分布函数为（2-23）X的概率密度和分布函数的图形如图2-6所示。（a）（b）图2-6均匀分布的概率密度和分布函数如果，那么对于满足的任意实数c，d，都有。（2-24）此时表明随机变量X落在区间的任一子区间内的概率，只依赖于子区间的长度，且与该子区间的长度成正比，而与子区间的位置无关，这说明X落在内任意