—PAGE\*MERGEFORMAT53—2022河南数学中考总复习--3.4 二次函数五年中考考点1 二次函数的概念、图象与性质1.(2019河南,8,3分)已知抛物线y=-x2+bx+4经过(-2,n)和(4,n)两点,则n的值为( ) A.-2 B.-4 C.2 D.4答案 B ∵抛物线经过(-2,n)和(4,n)两点,∴n=-4-2b+4,n=-16+4b+4,解得b=2,n=-4.故选B.一题多解 ∵抛物线经过(-2,n)和(4,n)两点,∴抛物线的对称轴为直线x=-2+42=1,即b2=1,∴b=2,∴n=-(-2)2+2×(-2)+4=-4.2.(2020四川成都,10,3分)关于二次函数y=x2+2x-8,下列说法正确的是( )A.图象的对称轴在y轴的右侧B.图象与y轴的交点坐标为(0,8)C.图象与x轴的交点坐标为(-2,0)和(4,0)D.y的最小值为-9答案 D 图象的对称轴为直线x=-22=-1,在y轴的左侧,故A错;∵当x=0时,y=-8,∴图象与y轴的交点坐标为(0,-8),故B错;∵y=x2+2x-8=(x+4)(x-2),∴图象与x轴的交点坐标为(-4,0)和(2,0),故C错;∵y=x2+2x-8=(x+1)2-9,(x+1)2≥0,∴(x+1)2-9≥-9,∴y的最小值为-9.故D正确.3.(2021福建,10,4分)二次函数y=ax2-2ax+c(a>0)的图象过A(-3,y1),B(-1,y2),C(2,y3),D(4,y4)四个点,下列说法一定正确的是( )A.若y1y2>0,则y3y4>0 B.若y1y4>0,则y2y3>0C.若y2y4<0,则y1y3<0 D.若y3y4<0,则y1y2<0答案 C ∵y=ax2-2ax+c,∴图象的对称轴为直线x=--2a2a=1.∵a>0,∴抛物线开口向上.∵点A(-3,y1)到直线x=1的距离为4,点B(-1,y2)到直线x=1的距离为2,点C(2,y3)到直线x=1的距离为1,点D(4,y4)到直线x=1的距离为3,∴y3
0,则y1>0,y2>0或y1<0,y2<0.当y1>0,y2>0时,y4>0,但y3符号不确定,故A错误.B.若y1y4>0,则y1>0,y4>0或y1<0,y4<0.当y1>0,y4>0时,y2,y3符号不确定,故B错误.C.若y2y4<0,则y2<0,y4>0,∴y3<0,y1>0,∴y1y3<0,故C正确.D.若y3y4<0,则y3<0,y4>0,∴y1>0,但y2符号不确定,故D错误.故选C.解题关键 确定抛物线的对称轴、开口方向,明确抛物线开口向上时,离对称轴越近的点的纵坐标越小是解题关键.4.(2020广东,10,3分)如图,抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=1.下列结论:①abc>0;②b2-4ac>0;③8a+c<0;④5a+b+2c>0,正确的有( )A.4个 B.3个 C.2个 D.1个答案 B 根据抛物线开口方向及与y轴的交点位置可得a<0,c>0.又∵抛物线的对称轴是直线x=-b2a=1,∴b=-2a>0,∴abc<0,故①错误.根据抛物线与x轴有两个交点,可得b2-4ac>0,故②正确.观察题图发现当x=-2时,y=4a-2b+c<0.又∵b=-2a,∴8a+c<0,故③正确.观察题图发现当x=2时,y=4a+2b+c>0,当x=-1时,y=a-b+c>0,两式相加,得5a+b+2c>0,故④正确.故选B.5.(2018新疆乌鲁木齐,13,4分)把抛物线y=2x2-4x+3向左平移1个单位长度,得到的抛物线的解析式为 . 答案 y=2x2+1解析 y=2x2-4x+3=2(x-1)2+1,则把原抛物线向左平移1个单位长度后得到的抛物线的解析式为y=2x2+1.6.(2019云南,21,8分)已知k是常数,抛物线y=x2+(k2+k-6)x+3k的对称轴是y轴,并且与x轴有两个交点.(1)求k的值;(2)若点P在抛物线y=x2+(k2+k-6)x+3k上,且P到y轴的距离是2,求点P的坐标.解析 (1)∵抛物线y=x2+(k2+k-6)x+3k的对称轴是y轴,∴x=-k2+k-62=0,即k2+k-6=0,解得k=-3或k=2.(2分)当k=2时,抛物线的解析式为y=x2+6,抛物线与x轴无交点,不满足题意,舍去.当k=-3时,抛物线的解析式为y=x2-9,抛物线与x轴有两个交点,满足题意.∴k=-3.(4分)(2)∵点P到y轴的距离为2,∴点P的横坐标为-2或2.又点P在抛物线y=x2+(k2+k-6)x+3k上,∴当x=2时,y=-5;当x=-2时,y=-5.(6分)∴点P的坐标为(2,-5)或(-2,-5).(8分)易错警示 (1)抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为x=-b2a.(2)点P(x,y)到x轴的距离为|y|,到y轴的距离为|x|,二者容易混淆,从而导致失分.7.(2020河南,21,10分)如图,抛物线y=-x2+2x+c与x轴正半轴,y轴正半轴分别交于点A,B,且OA=OB,点G为抛物线的顶点.(1)求抛物线的解析式及点G的坐标;(2)点M,N为抛物线上两点(点M在点N的左侧),且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度,点Q为抛物线上点M,N之间(含点M,N)的一个动点,求点Q的纵坐标yQ的取值范围.解析 (1)∵抛物线y=-x2+2x+c与y轴正半轴交于点B,∴点B的坐标为(0,c),c>0,∵OA=OB,且点A在x轴正半轴上,∴点A的坐标为(c,0),(2分)∵抛物线y=-x2+2x+c经过点A,∴-c2+2c+c=0,解得c1=0(舍去),c2=3,∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3.(4分)∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,∴抛物线顶点G的坐标为(1,4).(5分)(2)抛物线y=-x2+2x+3的对称轴为直线x=1.∵点M,N到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度,∴点M的横坐标为-2或4,点N的横坐标为-4或6.∴点M的纵坐标为-5,点N的纵坐标为-21.(8分)又∵点M在点N的左侧,∴当点M的坐标为(-2,-5)时,点N的坐标为(6,-21),∴-21≤yQ≤4;当点M的坐标为(4,-5)时,点N的坐标为(6,-21),∴-21≤yQ≤-5.(10分)思路
分析
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(1)根据OA=OB确定A点的坐标,代入解析式,即可求出c的值,得到抛物线的解析式以及点G的坐标;(2)根据抛物线的解析式求出抛物线的对称轴,根据点M,N到对称轴的距离,得出M,N的横坐标,进一步得出M,N的纵坐标,根据M,N的位置关系分类讨论确定yQ的取值范围.8.(2021新疆,23,12分)已知抛物线y=ax2-2ax+3(a≠0).(1)求抛物线的对称轴;(2)把抛物线沿y轴向下平移3|a|个单位,若抛物线的顶点落在x轴上,求a的值;(3)设点P(a,y1),Q(2,y2)在抛物线上,若y1>y2,求a的取值范围.解析 (1)由题意可得,抛物线的对称轴为直线x=--2a2a=1.(2)把抛物线沿y轴向下平移3|a|个单位,可得抛物线y'=ax2-2ax+3-3|a|.∵此时抛物线的顶点落在x轴上,∴Δ=(-2a)2-4a(3-3|a|)=0,化简得4a2-12a+12a|a|=0.当a>0时,可得4a2-12a+12a2=0,解得a=34或a=0(不符合题意,舍去);当a<0时,可得4a2-12a-12a2=0,解得a=-32或a=0(不符合题意,舍去).∴a=34或a=-32.(3)当x=2时,y2=3,即Q(2,3),又抛物线的对称轴为直线x=1,∴点Q关于对称轴对称的点为(0,3).当a>0时,抛物线开口向上,若满足y1>y2,则a>2或a<0(不符合题意,舍去);当a<0时,抛物线开口向下,若满足y1>y2,则02.思路分析 (1)根据x=-b2a即可求出对称轴;(2)由根的判别式Δ=0建立等式,分a>0和a<0两种情况求出a的值;(3)当x=2时,y2=3,则点Q关于抛物线对称轴对称的点为(0,3),分a>0和a<0两种情况求a的取值范围即可.考点2 二次函数与方程、不等式的关系1.(2017甘肃兰州,5,4分)下
表
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是一组二次函数y=x2+3x-5的自变量x与函数值y的对应值:x11.11.21.31.4y-1-0.490.040.591.16那么方程x2+3x-5=0的一个近似根是( )A.1 B.1.1 C.1.2 D.1.3答案 C 由表格中的数据可以看出最接近于0的数是0.04,它对应的x的值是1.2,故方程x2+3x-5=0的一个近似根是1.2.故选C.2.(2018天津,12,3分)已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)经过点(-1,0),(0,3),其对称轴在y轴右侧.有下列结论:①抛物线经过点(1,0);②方程ax2+bx+c=2有两个不相等的实数根;③-30.∵a<0,∴b>0.把点(-1,0),(0,3)分别代入y=ax2+bx+c得a-b+c=0,c=3,∴a-b=-3,∴b=a+3,a=b-3.∴-3-1解析 若二次函数y=-x2+2x+k的图象与x轴有两个交点,则Δ=4+4k>0,解得k>-1.4.(2018云南,20,8分)已知二次函数y=-316x2+bx+c的图象经过A(0,3),B-4,-92两点.(1)求b、c的值;(2)二次函数y=-316x2+bx+c的图象与x轴是否有公共点?若有,求公共点的坐标;若没有,请说明理由.解析 (1)∵二次函数y=-316x2+bx+c的图象经过A(0,3),B-4,-92两点,∴c=3,-316×(-4)2-4b+c=-92,解得b=98,c=3.(4分)(2)有公共点.∵b=98,c=3,∴y=-316x2+bx+c=-316x2+98x+3.由-316x2+98x+3=0得x2-6x-16=0,解得x=-2或x=8.(6分)∴二次函数y=-316x2+bx+c的图象与x轴有两个公共点,公共点的坐标为(-2,0),(8,0).(8分)思路分析 (1)将A、B的坐标分别代入解析式,列方程组求得b、c.(2)由(1)得二次函数解析式,令y=0,解方程即可.考查内容 本题主要考查二次函数的性质及其与一元二次方程的关系,熟练地解方程(组)是解决本题的关键.5.(2021安徽,22,12分)已知抛物线y=ax2-2x+1(a≠0)的对称轴为直线x=1.(1)求a的值;(2)若点M(x1,y1),N(x2,y2)都在此抛物线上,且-10)与抛物线y=ax2-2x+1交于点A,B,与抛物线y=3(x-1)2交于点C,D,求线段AB与线段CD的长度之比.解析 (1)由题意知--22a=1,所以a=1.(3分)(2)y1>y2.理由如下:因为-1y2.(7分)(3)由x2-2x+1=m,得(x-1)2=m,故x1=1-m,x2=1+m.所以线段AB的长度为x2-x1=(1+m)-(1-m)=2m.由3(x-1)2=m,得(x-1)2=m3,故x3=1-3m3,x4=1+3m3.所以线段CD的长度为x4-x3=1+3m3-1-3m3=233m.故线段AB与线段CD的长度之比为2m233m=3.(12分)思路分析 (1)根据抛物线对称轴为直线x=1求出a;(2)由(1)知y=x2-2x+1=(x-1)2,抛物线开口向上,分别求出当-1-x+b的解集;(3)点M是直线AB上的一个动点,将点M向左平移3个单位长度得到点N,若线段MN与抛物线只有一个公共点,直接写出点M的横坐标xM的取值范围.解析 (1)∵抛物线y=x2+mx经过点A(2,0),∴4+2m=0,∴m=-2.(2分)∵直线y=-x+b经过点A(2,0),∴-2+b=0,∴b=2.(4分)(2)当x2-2x=-x+2时,x1=-1,x2=2.∴点B的坐标为(-1,3).(6分)结合图象可知,不等式x2+mx>-x+b的解集为x<-1或x>2.(8分)(3)-1≤xM<2或xM=3.(10分)提示:抛物线y=x2-2x的顶点坐标为(1,-1),过点M作直线y=t,则点N在直线y=t上,由图象可知,当t=-1时,xM=3,xN=3-3=0.此时线段MN与抛物线只有一个公共点(1,-1);当t=0时,xM=2.xN=2-3=-1,-1<0,线段MN与抛物线有两个公共点(0,0)和(2,0);当t=3时,xM=-1,线段MN与抛物线只有一个公共点(-1,3).综上,当xM<-1或xM>3时,线段MN与抛物线无公共点,当2≤xM<3时,线段MN与抛物线有两个公共点,当-1≤xM<2或xM=3时,线段MN与抛物线只有一个公共点.解后
反思
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本题考查一次函数、二次函数的图象的性质及相关计算.把已知点的坐标代入函数的解析式是常见的求解析式中参数值的方法;两个函数图象的交点处函数值相等,异于交点处可根据“上大下小”确定相应不等式的解集;作平行于x轴的直线,上下平移直线可以确定直线上相应线段与抛物线的交点个数.考点3 二次函数的实际应用1.(2020山西,9,3分)竖直上抛物体离地面的高度h(m)与运动时间t(s)之间的关系可以近似地用公式h=-5t2+v0t+h0表示,其中h0(m)是物体抛出时离地面的高度,v0(m/s)是物体抛出时的速度.某人将一个小球从距地面1.5m的高处以20m/s的速度竖直向上抛出,小球达到的离地面的最大高度为( )A.23.5m B.22.5mC.21.5m D.20.5m答案 C 由已知可得v0=20m/s,h0=1.5m,则h=-5t2+20t+1.5(t>0),其图象的对称轴方程为t=-202×(-5)=2,图象开口向下,∴当t=2时,h最大,为-5×22+20×2+1.5=21.5.故选C.2.(2018湖北武汉,15,3分)飞机着陆后滑行的距离y(单位:m)关于滑行时间t(单位:s)的函数解析式是y=60t-32t2.在飞机着陆滑行中,最后4s滑行的距离是 m. 答案 24解析 y=60t-32t2=-32(t-20)2+600,即t=20时,y取得最大值,即滑行距离达到最大,此时滑行距离是600m.当t=16时,y=60×16-32×162=576,所以最后4s滑行的距离为600-576=24m.3.(2021广东,22,8分)端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日,端午节吃粽子是中华民族的传统习俗.市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜10元,某商家用8000元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同.在销售中,该商家发现猪肉粽每盒售价50元时,每天可售出100盒;每盒售价提高1元时,每天少售出2盒.(1)求猪肉粽和豆沙粽每盒的进价;(2)设猪肉粽每盒售价x元(50≤x≤65),y表示该商家每天销售猪肉粽的利润(单位:元),求y关于x的函数解析式并求最大利润.解析 (1)设豆沙粽每盒进价为a元,则猪肉粽每盒进价为(a+10)元,依题意得6000a=8000a+10,解得a=30.经检验,a=30是原方程的解,且符合题意.∴a+10=40.答:豆沙粽每盒进价为30元,猪肉粽每盒进价为40元.(4分)(2)依题意,得y=(x-40)[100-2(x-50)]=-2x2+280x-8000=-2(x-70)2+1800.(6分)∵-2<0,∴当x<70时,y随x的增大而增大.∵50≤x≤65,∴当x=65时,函数取最大值,为1750.故y与x之间的函数解析式为y=-2x2+280x-8000(50≤x≤65).当猪肉粽的售价为65元时,有最大利润1750元.(8分)易错警示 第(2)问中y=-2(x-70)2+1800,由于x有取值范围,所以y的最值不是在x=70时取得,而是在x=65时取得.4.(2020辽宁营口,24,12分)某超市销售一款“免洗洗手液”,这款“免洗洗手液”的成本价为每瓶16元,当销售单价定为20元时,每天可售出80瓶.根据市场行情,现决定降价销售.市场调查反映:销售单价每降低0.5元,则每天可多售出20瓶(销售单价不低于成本价),若设这款“免洗洗手液”的销售单价为x(元),每天的销售量为y(瓶).(1)求每天的销售量y(瓶)与销售单价x(元)之间的函数关系式;(2)当销售单价为多少元时,销售这款“免洗洗手液”每天的销售利润最大,最大利润为多少元?解析 (1)y=80+20×20-x0.5,(3分)∴y=-40x+880(x≥16).(4分)(2)设每天的销售利润为w元,(5分)w=(-40x+880)(x-16)(7分)=-40(x-19)2+360.(8分)∵a=-40<0,∴二次函数图象开口向下,∴w有最大值.(10分)∴x=19时,w最大,此时w最大=360.(11分)答:当销售单价为19元时,每天的销售利润最大,最大利润为360元.(12分)易错警示 在解决第(2)问时,要检验x的取值是否在取值范围内,如果不在,要结合函数的增减性进行判断.5.(2020湖北武汉,22,10分)某公司分别在A,B两城生产同一种产品,共100件.A城生产产品的总成本y(万元)与产品数量x(件)之间具有函数关系y=ax2+bx,当x=10时,y=400;当x=20时,y=1000.B城生产产品的每件成本为70万元.(1)求a,b的值;(2)当A,B两城生产这批产品的总成本的和最少时,求A,B两城各生产多少件;(3)从A城把该产品运往C,D两地的费用分别为m万元/件和3万元/件;从B城把该产品运往C,D两地的费用分别为1万元/件和2万元/件.C地需要90件,D地需要10件,在(2)的条件下,直接写出A,B两城总费用的和的最小值(用含有m的式子表示).解析 (1)依题意,得400=100a+10b,1000=400a+20b.∴a=1,b=30.(2)A,B两城生产这批产品的总成本的和为x2+30x+70(100-x)=x2-40x+7000=(x-20)2+6600.∴当x=20时,A,B两城生产这批产品的总成本的和最少.100-x=80.答:A城生产20件,B城生产80件.(3)当m>2时,最小值为10m+110;当m=2时,最小值为130;当m<2时,最小值为20m+90.考点4 二次函数的综合问题1.(2021广东,25,10分)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过点(-1,0),且对任意实数x,都有4x-12≤ax2+bx+c≤2x2-8x+6.(1)求该二次函数的解析式;(2)若(1)中二次函数图象与x轴的正半轴交点为A,与y轴交点为C;点M是(1)中二次函数图象上的动点.问在x轴上是否存在点N,使得以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形.若存在,求出所有满足条件的点N的坐标;若不存在,请说明理由.解析 (1)对任意的实数x,都有4x-12≤ax2+bx+c≤2x2-8x+6.在上式中,令x=3,得0≤9a+3b+c≤0,即9a+3b+c=0.∵二次函数y=ax2+bx+c的图象过点(-1,0),∴a-b+c=0.联立9a+3b+c=0,a-b+c=0.解得b=-2a,c=-3a.(2分)由题意可得对任意实数x,都有ax2+bx+c-4x+12≥0,即ax2-(2a+4)x-3a+12≥0.∵a≠0,∴a>0且Δ=16(a-1)2≤0,解得a=1,b=-2,c=-3.故所求二次函数的解析式为y=x2-2x-3.(4分)(2)由(1)易知点A(3,0),点C(0,-3).①若四边形ACMN为平行四边形,则AC∥NM,AC=NM.由yA-yC=yN-yM,得yM=-3.将yM=-3代入y=x2-2x-3,得x=0(舍去)或x=2,故点M(2,-3).由xA-xC=xN-xM,得xN=5,故点N(5,0).经验证,此时四边形ACMN为平行四边形.(6分)②若四边形ACNM为平行四边形,则AC∥MN,AC=MN.由yA-yC=yM-yN,得yM=3.将yM=3代入y=x2-2x-3,得x=1±7,故点M(1±7,3).由xA-xC=xM-xN,得xN=-2±7,故点N(-2±7,0).经检验,此时四边形ACNM为平行四边形.(8分)③若四边形AMCN为平行四边形,则AN∥MC,AN=MC.由yA-yN=yM-yC,得yM=-3.将yM=-3代入y=x2-2x-3,得x=0(舍去)或x=2,故点M(2,-3).由xA-xN=xM-xC,得xN=1,故点N(1,0).经验证,此时四边形AMCN为平行四边形.综上,存在满足条件的点N的坐标为(5,0)或(-2+7,0)或(-2-7,0)或(1,0).(10分)2.(2019河南,23,11分)如图,抛物线y=ax2+12x+c交x轴于A,B两点,交y轴于点C,直线y=-12x-2经过点A,C.(1)求抛物线的解析式;(2)点P是抛物线上一动点,过点P作x轴的垂线,交直线AC于点M,设点P的横坐标为m.①当△PCM是直角三角形时,求点P的坐标;②作点B关于点C的对称点B',则平面内存在直线l,使点M,B,B'到该直线的距离都相等.当点P在y轴右侧的抛物线上,且与点B不重合时,请直接写出直线l:y=kx+b的解析式.(k,b可用含m的式子表示)解析 (1)∵直线y=-12x-2交x轴于点A,交y轴于点C,∴A(-4,0),C(0,-2).∵抛物线y=ax2+12x+c经过点A,C,∴0=16a-2+c,-2=c.∴a=14,c=-2.∴抛物线的解析式为y=14x2+12x-2.(3分)(2)∵点P的横坐标为m,∴点P的坐标为m,14m2+12m-2.①当△PCM是直角三角形时,有以下两种情况:(i)当∠CPM=90°时,PC∥x轴,14m2+12m-2=-2.解得m1=0(舍去),m2=-2.∴点P的坐标为(-2,-2).(5分)(ii)当∠PCM=90°时,过点P作PN⊥y轴于点N,∴∠CNP=∠AOC=90°.∵∠NCP+∠ACO=∠OAC+∠ACO=90°,∴∠NCP=∠OAC.∴△CNP∽△AOC.∴CNAO=PNCO.∵C(0,-2),N0,14m2+12m-2,∴CN=14m2+12m,PN=m.即14m2+12m4=m2,解得m3=0(舍去),m4=6.∵当m=6时,14m2+12m-2=10,∴点P的坐标为(6,10).综上所述,点P的坐标为(-2,-2)或(6,10).(8分)②y=x-34m-2或y=m+44-2mx-2或y=4-m2m+4x-2.(11分)提示:满足条件的直线l即△MBB'的三条中位线所在的直线.当y=0时,14x2+12x-2=0,解得x1=-4,x2=2,∴点B的坐标为(2,0).∵点C的坐标为(0,-2),点B,B'关于点C对称,∴点B'的坐标为(-2,-4).∵点P的横坐标为m(m>0),∴点M的坐标为m,-12m-2.利用待定系数法可求出直线BB'的解析式为y=x-2;直线BM的解析式为y=-m+42m-4x+m+4m-2;直线B'M的解析式为y=-m+42m+4x-5m+4m+2.分三种情况考虑:当直线l∥BB'且过线段CM的中点D12m,-14m-2时,直线l的解析式为y=x-34m-2;当直线l∥BM且过点C时,直线l的解析式为y=-m+42m-4x-2;当直线l∥B'M且过点C时,直线l的解析式为y=-m+42m+4x-2.综上所述,直线l的解析式为y=x-34m-2或y=-m+42m-4x-2或y=-m+42m+4x-2.思路分析 (1)由直线y=-12x-2经过点A,C,求得点A,C的坐标,代入y=ax2+12x+c中,求得抛物线的解析式;(2)①当△PCM是直角三角形时,分以下两种情况:(i)当∠CPM=90°时,由PC∥x轴,得14m2+12m-2=-2,可求得P(-2,-2);(ii)当∠PCM=90°时,作PN⊥y轴于点N,易证△CNP∽△AOC,∴CNAO=PNCO,可求得P(6,10).②由题意知,直线l是△MBB'的三条中位线所在的直线,当点B,B'在l同侧时,l过CM的中点与BB'平行,当点B,B'在l异侧时,l过点C与BM平行或与B'M平行,计算可得l的解析式.3.(2018河南,23,11分)如图,抛物线y=ax2+6x+c交x轴于A,B两点,交y轴于点C.直线y=x-5经过点B,C.(1)求抛物线的解析式;(2)过点A的直线交直线BC于点M.①当AM⊥BC时,过抛物线上一动点P(不与点B,C重合),作直线AM的平行线交直线BC于点Q,若以点A,M,P,Q为顶点的四边形是平行四边形,求点P的横坐标;②连接AC,当直线AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍时,请直接写出点M的坐标.解析 (1)∵直线y=x-5交x轴于点B,交y轴于点C,∴B(5,0),C(0,-5),∵抛物线y=ax2+6x+c过点B,C,∴0=25a+30+c,-5=c.∴a=-1,c=-5.∴抛物线的解析式为y=-x2+6x-5.(3分)(2)①∵OB=OC=5,∠BOC=90°,∴∠ABC=45°.∵抛物线y=-x2+6x-5交x轴于A,B两点,∴A(1,0).∴AB=4.∵AM⊥BC,∴AM=22.∵PQ∥AM,∴PQ⊥BC.若以点A,M,P,Q为顶点的四边形是平行四边形,则PQ=AM=22.过点P作PD⊥x轴交直线BC于点D,则∠PDQ=45°.∴PD=2PQ=4.(5分)设P(m,-m2+6m-5),则D(m,m-5).分两种情况讨论如下:(i)当点P在直线BC上方时,PD=-m2+6m-5-(m-5)=-m2+5m=4.∴m1=1(舍去),m2=4.(7分)(ii)当点P在直线BC下方时,PD=m-5-(-m2+6m-5)=m2-5m=4.∴m3=5+412,m4=5-412.综上,点P的横坐标为4或5+412或5-412.(9分)②M136,-176或236,-76.(11分)提示:作AC的垂直平分线,交BC于点M1,连接AM1,过点A作AN⊥BC于点N,将△ANM1沿AN翻折,得到△ANM2,点M1,M2的坐标即为所求.思路分析 (1)求出直线y=x-5与坐标轴的两个交点B,C的坐标,用待定系数法求出抛物线的解析式;(2)△BOC是等腰直角三角形,得∠ABC=45°,求得AM=22,以点A,M,P,Q为顶点的四边形是平行四边形,得PQ=AM=22,过点P作PD⊥x轴交BC于D,易得PD=4,设出点P的坐标,则|yP-yD|=4,分类讨论,解方程求出点P的坐标;(3)作线段AC的垂直平分线,交BC于点M1,易得∠AM1B=2∠ACB,作AN⊥BC于点N,作点M1关于直线AN的对称点M2,则∠AM2C=2∠ACB,分别计算求出两个符合题意的点M的坐标.4.(2017河南,23,11分)如图,直线y=-23x+c与x轴交于点A(3,0),与y轴交于点B,抛物线y=-43x2+bx+c经过点A,B.(1)求点B的坐标和抛物线的解析式;(2)M(m,0)为x轴上一动点,过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P,N.①点M在线段OA上运动,若以B,P,N为顶点的三角形与△APM相似,求点M的坐标;②点M在x轴上自由运动,若三个点M,P,N中恰有一点是其他两点所连线段的中点(三点重合除外),则称M,P,N三点为“共谐点”.请直接写出使得M,P,N三点成为“共谐点”的m的值.解析 (1)∵直线y=-23x+c与x轴交于点A(3,0),∴-23×3+c=0,∴c=2.∴B(0,2).(1分)∵抛物线y=-43x2+bx+c过点A(3,0),∴-43×32+3b+2=0,∴b=103.∴抛物线的解析式为y=-43x2+103x+2.(3分)(2)∵MN⊥x轴,M(m,0),∴Nm,-43m2+103m+2.①由(1)知直线AB的解析式为y=-23x+2,OA=3,OB=2.∵在△APM和△BPN中,∠APM=∠BPN,∠AMP=90°,∴若使△BPN和△APM相似,则需∠NBP=90°或∠BNP=90°.分如下两种情况讨论:(i)当∠NBP=90°时,过点N作NC⊥y轴于点C,则∠NBC+∠BNC=90°,NC=m,BC=-43m2+103m+2-2=-43m2+103m.∵∠NBP=90°,∴∠NBC+∠ABO=90°,∴∠ABO=∠BNC.∴Rt△NCB∽Rt△BOA.(5分)∴NCBO=CBOA,∴m2=-43m2+103m3,解得m=0(舍去)或m=118.∴M118,0.(6分)(ii)当∠BNP=90°时,BN⊥NM.∴点N的纵坐标为2.∴-43m2+103m+2=2,∴m=0(舍去)或m=52.∴M52,0.综上,点M的坐标为118,0或52,0.(8分)②m=-1或m=-14或m=12.(11分)详解:由已知得M(m,0),Nm,-43m2+103m+2,Pm,-23m+2.令-43x2+103x+2=0,得x1=3,x2=-12.(i)当0≤m≤3时,MN=yN-yM=-43m2+103m+2,PM=yP-yM=-23m+2,此时只可能P是MN的中点,即MN=2PM,∴-43m2+103m+2=2-23m+2,解得m1=3,m2=12,当m=3时,M、P、N重合,不符合题意,舍去.故m=12.(ii)当-12≤m<0时,MN=-43m2+103m+2,PM=-23m+2,此时只可能N是PM的中点,即PM=2MN,∴-23m+2=2-43m2+103m+2,解得m1=3(舍去),m2=-14.(iii)当m<-12时,PM=-23m+2,MN=43m2-103m-2,此时只可能M是PN的中点,即PM=MN,∴-23m+2=43m2-103m-2,解得m1=3(舍去),m2=-1.(iv)当m>3时,PM=23m-2,MN=43m2-103m-2,此时只可能P是MN的中点,即MN=2PM,∴43m2-103m-2=223m-2,解得m1=12,m2=3,∵m1=12,m2=3都不满足m>3,∴舍去.综上所述,m=-1或m=-14或m=12.失分警示 1.第(2)问中①分∠NBP=90°和∠BNP=90°两种情况求点M的坐标;②分m<-12,-12≤m<0,0≤m≤3,m>3四种情况求m的值.做题时考虑不全面,易失分;2.在求线段长度时,一定要注意端点的位置和坐标的符号.5.(2020重庆A卷,25,10分)如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=x2+bx+c与直线AB相交于A,B两点,其中A(-3,-4),B(0,-1).(1)求该抛物线的函数表达式;(2)点P为直线AB下方抛物线上的任意一点,连接PA,PB,求△PAB面积的最大值;(3)将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线y=a1x2+b1x+c1(a1≠0),平移后的抛物线与原抛物线相交于点C,点D为原抛物线对称轴上的一点,在平面直角坐标系中是否存在点E,使以点B,C,D,E为顶点的四边形为菱形?若存在,请直接写出点E的坐标;若不存在,请说明理由.备用
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析 (1)∵抛物线y=x2+bx+c经过点A(-3,-4),点B(0,-1),∴9-3b+c=-4,c=-1.解这个方程组,得b=4,c=-1.∴该抛物线的函数表达式为y=x2+4x-1.(3分)(2)设直线AB的函数表达式为y=kx+m(k≠0).将点A(-3,-4),点B(0,-1)代入函数表达式,得-3k+m=-4,m=-1.解这个方程组,得k=1,m=-1.∴直线AB的函数表达式为y=x-1.如图1所示,过点P作PQ⊥x轴交AB于点Q.图1设P(t,t2+4t-1)(-30 C.c<0 D.b+c<0答案 B 因为函数图象与x轴的两个交点均在负半轴,所以抛物线的对称轴与x轴负半轴相交,所以-b2a<0,因为a<0,所以b<0,c<0,所以abc<0,b+c<0.故选B.思路分析 根据函数图象与x轴的两个交点均在负半轴,可得抛物线的对称轴与x轴负半轴相交,进而判断a,b,c的符号,得出结论.5.(2020安阳一模,7)关于二次函数y=x2-4x+7,下列说法中正确的是( ) A.函数图象是抛物线,且开口向下B.函数图象与x轴有两个交点C.当x≤2时,y随x的增大而增大D.函数图象的顶点坐标是(2,3)答案 D ∵a=1>0,∴抛物线开口向上,A错;∵Δ=-12<0,∴抛物线与x轴无交点,B错;抛物线的对称轴为直线x=2,开口向上,∴当x≤2时,y随x的增大而减小,C错;配方得y=(x-2)2+3,其图象的顶点坐标是(2,3),D正确.故选D.二、填空题(每题3分,共6分)6.(2020新乡二模,13)若二次函数y=x2-4x-m的图象与x轴有两个不同的交点,则实数m的取值范围是 . 答案 m>-4解析 由题意得二次函数y=x2-4x-m对应的一元二次方程x2-4x-m=0有两个不等实数根,∴Δ=16+4m>0,解得m>-4.7.(2020周口沈丘一模,11)将抛物线y=x2-6x+5向上平移两个单位长度,再向右平移一个单位长度后,得到的抛物线的顶点坐标是 . 答案 (4,-2)解析 y=x2-6x+5=(x-3)2-4,按题意平移后得到抛物线y=(x-4)2-2,故其顶点坐标为(4,-2).一题多解 平移可以依据“左加右减自变量,上加下减常数项”进行确定,平移后的抛物线为y=(x-1)2-6(x-1)+7=x2-8x+14.运用公式求得顶点坐标为(4,-2).三、解答题(共29分)8.(2021郑州一模,21)已知关于x的二次函数y=kx2+(k-1)x-1(k为常数且k≠0).(1)无论k取何值,此函数图象一定经过y轴上一点,该点的坐标为 ; (2)试说明:无论k取何值,此函数图象一定经过点(-1,0);(3)此函数是否存在最小值-1?若存在,请求出此时k的值;若不存在,请说明理由.解析 (1)(0,-1).(2)将x=-1代入,得y=k(-1)2+(k-1)·(-1)-1=0,所以不论k取何值,此函数图象一定经过点(-1,0).(3)当-4k-(k-1)24k=-1时,解得k1=k2=1,k>0,二次函数开口向上,符合题意.∴当k=1时,函数存在最小值-1.9.(2021安阳一模,21)已知抛物线y=x2+(2-m)x+(2021-n)(m,n为常数).(1)若抛物线的顶点坐标为(2,-3),求m,n的值;(2)若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称,求n的取值范围.解析 (1)∵对称轴为直线x=-2-m2=2,∴m=6,(2分)∴-3=22+(2-6)×2+(2021-n),∴n=2020.(4分)(2)设P(x,y)在抛物线上,点P关于原点对称的点P'(-x,-y)也在抛物线上,且P与P'不重合,即x≠-x,x≠0,(5分)∴y=x2+(2-m)x+(2021-n)①,-y=(-x)2+(2-m)(-x)+(2021-n)②,(7分)①+②得2x2+2(2021-n)=0,∴x2=n-2021>0.∴n>2021.(10分)思路分析 本题主要考查二次函数的性质,关于原点对称的点的坐标特征.(1)由顶点坐标得到对称轴,并将顶点坐标代入解析式即可求出m,n的值.(2)设出关于原点对称的两个点的坐标,代入解析式,联立方程组,根据x2>0,求得n的取值范围.10.(2021平顶山二模,21)已知,抛物线y=x2+4x+c与x轴交于A(x1,0),B(x2,0)两点(x1y2,则实数a满足 ( ) A.-41C.-4y2,∴-40,则一定有( )A.b2-4ac>0 B.b2-4ac=0C.b2-4ac<0 D.b2-4ac≤0答案 A ∵a<0,∴抛物线的开口向下.∵a-b+c>0,∴当x=-1时,y=a-b+c>0,∴抛物线与x轴有两个交点,∴b2-4ac>0.故选A.3.(2021开封一模,10)小明周末前往游乐园游玩,他乘坐了摩天轮,摩天轮转一圈他离地面高度y(m)与旋转时间x(s)之间的关系可以近似地用y=-140x2+bx+c来刻画,如图记录了该摩天轮旋转时间x(s)和离地面高度y(m)的三组数据,根据上述函数模型和数据,可以推断出:当小明乘坐此摩天轮离地面最高时,需要的时间为( )A.172s B.175s C.180s D.186s答案 C 把点(160,60)和点(210,47.5)分别代入y=-140x2+bx+c中,得60=-140×1602+160b+c,47.5=-140×2102+210b+c,解得b=9,c=-740.∴抛物线的解析式为y=-140x2+9x-740,∵x=-140<0,∴当x=-9-140×2=180时,y有最大值,即小明乘此摩天轮离地面最高时,需要的时间为180s.故选C.4.(2021洛阳一模,9)我们定义一种新函数:形如y=|ax2+bx+c|(a≠0,b2-4ac>0)的函数叫做“鹊桥”函数.小腾同学画出了“鹊桥”函数y=|x2-2x-3|的图象(如图所示),并写出下列四个结论,其中正确结论的个数是( )①图象与坐标轴的交点坐标为(-1,0)和(3,0);②当-1≤x≤1或x≥3时,函数值y随x的增大而增大;③当x=1时,函数有最大值是4;④函数与直线y=m有4个公共点,则m的取值范围是0
总结
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本题考查了二次函数与几何变换.由于抛物线平移后的形状不变,故a不变,所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法:一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标,利用待定系数法求出解析式;二是只考虑平移后的顶点坐标,即可求出解析式.6.(2019开封一模,14)如图,已知顶点为(-3,-6)的抛物线y=ax2+bx+c经过点(-1,-4),下列结论:①b2>4ac;②ax2+bx+c≥-6;③若点(-2,m),(-5,n)在抛物线上,则m>n;④关于x的一元二次方程ax2+bx+c=-4的两根为-5和-1,其中正确的是 . 答案 ①②④解析 ∵抛物线与x轴有两个交点,∴Δ=b2-4ac>0,∴b2>4ac,∴①正确;∵抛物线的开口向上,顶点的纵坐标为-6,∴ax2+bx+c≥-6,∴②正确;∵抛物线的对称轴为x=-3,开口向上,∴n>m,∴③错误;∵抛物线经过点(-1,-4),此点关于x=-3的对称点是(-5,-4),∴当y=-4时,x的值为-1或-5,即一元二次方程ax2+bx+c=-4的两根为-5和-1,∴④正确.综上所述,正确的结论是①②④.三、解答题(共42分)7.(2021濮阳一模,21)已知抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点(0,3a),对称轴为直线x=1.(1)试用含a的代数式表示b、c;(2)当抛物线过点(2,3)时,求此抛物线的解析式;(3)求当b(c+6)取得最大值时的抛物线的顶点坐标.解析 (1)∵抛物线与y轴交于点(0,3a),∴c=3a,∵对称轴为直线x=1,∴x=-b2a=1,∴b=-2a.(2)∵抛物线过点(2,3),
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