人教版八年级（初二）数学下册全册同步讲义定稿

春季初二数学1目录第1讲二次根式..............................................................................................................................2第2讲勾股定理............................................................................................................................15第3讲勾股定理逆定理................................................................................................................38第4讲本章复习与 检测 工程第三方检测合同工程防雷检测合同植筋拉拔检测方案传感器技术课后答案检测机构通用要求培训 ................................................................................................................51第5讲平行四边形........................................................................................................................61第6讲矩形....................................................................................................................................71第7讲菱形....................................................................................................................................84第8讲正方形................................................................................................................................92第9讲本章复习与检测..............................................................................................................106第10讲一次函数的解析式........................................................................................................125第11讲一次函数的应用............................................................................................................138第12讲本章复习与检测............................................................................................................164第13讲数据的集中趋势............................................................................................................180第14讲数据的波动程度............................................................................................................187第15讲本章复习与检测............................................................................................................196第16讲一元一次方程的解法....................................................................................................208第17讲一元二次方程的应用....................................................................................................220第18讲本章复习与检测............................................................................................................227春季初二数学2第1讲二次根式入门检测1．若代数式231xx有意义，则x的取值范围是A．1xB．1xC．1x且32xD．1x且32x2．下列四个算式正确的是A．33=6B．233=2C．4949D．4333=13．（15年四中期中）已知0b，化简二次根式ba3的正确结果是A．abaB．abaC．abaD．aba4．（15年西城期末）函数1xy中，自变量x的取值范围是______________．5．（15年顺义期末）已知：1xy，3(2)343xy，求代数式32xy的值．春季初二数学3二次根式概念。有意义的条件形如(0)aa的式子叫二次根式，其中a叫被开方数，只有当a是一个时，a才有意义．注：双重非负性1根式本身具有非负性；2被开方数一定是非负数．【例】函数y=中自变量x的取值范围是A．x≥3B．x≤3C．x＞3D．x≠3【 练习 飞向蓝天的恐龙练习非连续性文本练习把字句和被字句的转换练习呼风唤雨的世纪练习呼风唤雨的世纪课后练习 】1．（15顺义期末）若代数式23xx有意义，则x的取值范围是A．23xx且B．2xC．3xD．23xx且2．（17石景山期末）若代数式有意义，则x的取值范围是A．x≥-2B．x＞-2C．x≠-2D．x≤-23．（17朝阳区期末）二次根式25x有意义，则x的取值范围是．4．在实数范围内有意义，则x的范围是5．（17怀柔区期末）请你写出一个二次根式，要求被开方数只含有字母a，且无论a取任何数值时，这个二次根式都有意义，这个二次根式可以是．春季初二数学4二次根式的性质1．非负性：)0(aa是一个非负数．2．2()(0)aaa．3．或者：2(0)||(0)aaaaaa【例】（17平谷区第一学期15）化简）5()5（2xx_____________【练习】1．化简二次根式2)3(等于A．3B．3C．3D．92．已知1x＜，则122xx化简的结果是．3．（15年三帆中学期中）若23x，那么22(2)(3)xx的值为．【例】若2110xyxy，求xy＝．【练习】1．若实数a、b满足0422ba，则ba．2．如果023yx，则yx的值是．3．若230(n1)m，则mn的值为．春季初二数学5最简二次根式最简二次根式的定义：1被开方数是，因式是；2被开方数中不含能开得尽方的数或因式．【例】（15年西城期末）下列二次根式中，最简二次根式是A．21B．17C．75D．35a【练习】1．（15年西城七中期中）下列二次根式中，属于最简二次根式的是A．21B．8C．4D．52．（17西城区期末）下列二次根式中，最简二次根式是A．1xB．18C．116D．29a3．（15年海淀期末）下列根式中，最简二次根式是A．a25B．5.0C．3aD．22ba4．（17丰台区期末）下列式子为最简二次根式的是A．31B．21C．8D．10春季初二数学6同类二次根式同类二次根式（可合并的根式）：几个二次根式化成最简二次根式后，如果相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式．【例】（15年41中期中）若最简二次根式aa241与是同类二次根式，则a的值为A．43aB．34aC．1aD．1a【练习】1．（15年十三中分校期中）下列二次根式：①12；②22；③23；④27中，与3是同类二次根式的是A．①和④B．②和③C．①和②D．③和④2．（17昌平区期末）下列二次根式中，与2是同类二次根式的是A．4B．8C．12D．273．（17怀柔区期末）下列二次根式中可以和2相加合并的是A．14B．18C．31D．12春季初二数学7分母有理化1．分母有理化定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化．2．有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式．有理化因式确定方法如下：①单项二次根式：利用aaa来确定，如：aa与，abab与，ba与ba等分别互为有理化因式．②两项二次根式：利用平方差公式来确定．如ab与ab，abab与，axbyaxby与分别互为有理化因式．【例】已知a、b为两个连续的整数，且28ab，则ab．【练习】1．（15年海淀期末）如果49a的值是一个整数，且a是大于1的数，那么满足条件的最小的整数a__________．2．如图在数轴上点A和点B之间 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示整数的点共有个．3．如果实数a在数轴上的位置如图所示，那么2212aa为A．1B．-1C．2aD．-2a春季初二数学8二次根式相关运算乘除运算：积的算术平方根：ab=a·b（0a，0b）二次根式的乘法：a·b＝ab．（0a，0b）加减运算：需要先把二次根式化简，然后把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）的系相加减，被开方数不变．【例】（17门头沟期末）下列计算正确的是A．222B．255C．263D．20ababa【练习】1．（17房山期末）下列计算错误．．的是A．233B．326C．325D．6322．（17平谷区期末）计算：38．3．（17丰台区期末）计算：18×31=．【例】（17石景山期末）下列计算，正确的是A．5335B．aaa26225C．abbaD．baba22春季初二数学9【练习】1．（17房山期末）计算218+2，结果正确的是A．42B．72C．23+2D．63+22．下列计算正确的是A．325B．1233C．326D．842【例】（17丰台区期末）1310520525．【练习】1．（17丰台期末）计算：3271312．（17昌平期末）计算：83122．2．（17东城区期末）计算0222-113131+323．3．（15北京师大附中期末）计算：233)1()31(301春季初二数学104．（17昌平区期末）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简2abb的结果是A．aB．-aC．2abD．2ab5．若2xy，321xy，11xy．6．化简201320142+332，结果正确的是A．1B．23C．32D．23春季初二数学11二次根式比较大小1、根式变形法当0,0ab时，①如果ab，则ab；②如果ab，则ab．2、平方法当0,0ab时，①如果22ab，则ab；②如果22ab，则ab．3、分母有理化法通过分母有理化，利用分子的大小来比较．4、分子有理化法通过分子有理化，利用分母的大小来比较．5、倒数法6、媒介传递法适当选择介于两个数之间的媒介值，利用传递性进行比较．7、作差比较法在对两数比较大小时，经常运用如下性质：①0abab；②0abab8、求商比较法【例】比较大小：132_______22（填“”、“”或“”）．【练习】1．（15年四中期中）比较大小：512_______12（填“”、“”或“”）．2．（15年39中期中）比较大小：27_______36（填“”、“”或“”）．3．比较大小：27________43（填“”、“”或“”）．4．（17石景山期末）比较53和25的大小：53_______25(用“”或“”连接)．化解与求值综合运用【例】（15北京师大附中期末）先化简，再求值：11()babbaab，其中512a，512b【练习】春季初二数学121．先化简，再求值：)111(xxx，其中．2．先化简，再求值：，其中13a．3．先化简，再求值：，其中．4．先化简，再求值：221()baababab，其中21a，21b．5．（15海淀期末）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x=．春季初二数学13出门检测1．在实数范围内，二次根式2x有意义的x的取值范围是A．2xB．2x＞C．2x≥D．2x≤2．估计14的值在A．1与2之间B．2与3之间C．3与4之间D．4与5之间3．二次根式2x中，x的取值范围是．4．（15年门头沟期末）如果实数a，b满足24(b5)a=0，那么ab．5．计算：1(83)642．6．计算：03143272．7．已知6x，1)3(y，求代数式xyxyyxyxyx2)84())((33的值．春季初二数学14课后作业1．下列二次根式中，最简二次根式是A．21B．17C．75D．35a2．下列各式中，是最简二次根式的是A．12B．325mC．13D．33．（15年人大附中期末）若代数式1xx实数范围内有意义，则x的取值范围为A．0x且1xB．0x≥C．1xD．0x≥且1x4．如果实数a在数轴上的位置如图所示，那么22(1)(2)aa．5．（15年平谷期末）若230baba，则．6．若29xy与3xy互为相反数，求+xy的值．7．计算：2013.144832．8．计算：1124(38)8．春季初二数学15第2讲勾股定理入门检测1．（15年师大实验二龙路中学期中）若一直角三角形两边长为4和5，则第三边长为A．3B．41C．3或41D．不确定2．（15年三帆期中）如图，数轴上点M所表示的数为m，则m的值是A．5-1B．-5+1C．5+1D．53．（17年北师大附中期中）直角三角形两直角边的长度分别为2和4，则第三边的长为A．10B．5C．9．6D．4．84．（17三帆中学期中）小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高是A．8米B．10米C．12米D．14米5．（15年56中期中）梯子的底端离建筑物5米，13米长的梯子可以达到该建筑物的高度是__________米．6．（15年62中期中）如图是由边长为1m的正方形地砖铺设的地面示意图，小明延图中所示的折线从ABCA所走的路程为春季初二数学16勾股定理概念如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么222abc；这一定理在我国被称为勾股定理．【例1】（19年丰台期末）直角三角形两边长分别为3和4，那么该直角三角形第三边长为．【练习1】1．（17年35中期中）直角三角形的两条边为3和4，则第三边的长为A．5B．7C．5或7D．无法确定2．（17年铁二中期中）若一个直角三角形的两条边的长分别为12和5，则三角形的第三边的长为3．（19年56中期中）如下图，已知OA=OB，那么数轴上点A所表示的数是____________．1-30-1-2-4231BA春季初二数学17勾股定理求边长在RtABC中，90C，已知其中两边边长，求第三边边长．22ab2c，a22cb，b22ca，c22ab【例2】1．（16年西城期末）如图，平安路与幸福路是两条平行的道路，且与新兴大街垂直，老街与小米胡同垂直，书店位于老街与小米胡同的交口处．如果小强同学站在平安路与新兴大街的交叉路口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程为m．2．（15年66中期中）由于台风的影响，一棵树在离地面6m处折断，树顶落在离树干底部8m处，则这棵树在折断前的高度是A．18mB．16mC．10mD．8m↑↓←→m6m83．（19年35中期中）△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为,,abc．（1）若:3:4,25abc，求,.ab（2）若4,12,cab求,.ac春季初二数学184．（16年朝阳期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点B（3，4），BA⊥x轴于A．（1）画出将△OAB绕原点O逆时针旋转90°后所得的的△OA1B1，并写出点B的对应点B1的坐标为；（2）在（1）的条件下，连接BB1，则线段BB1的长度为．5．（18年昌平期末）如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，△ABD是等边三角形，求CD的长度．6．（16年石景山期末）如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若6AC，5BC，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是A．76B．72C．68D．52春季初二数学197．（18年怀柔期末）已知：如图，△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连结DH与BE相交于点G．（1）判断AC与图中的那条线段相等，并 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 你的结论；（2）若CE的长为3，求BG的长．【练习2】1．（16年昌平期末）如图，矩形网格由小正方形构成，每一个小正方形的边长都为1，点A和点B是小正方形的顶点，则点A和点B之间的距离为．2.（17年教育学院附属中学）．如图，把两块相同的含30角的三角尺如图放置，若66ADcm，则三角尺的最长边长为．3．（19年门头沟期末）在直角三角形ACB中，∠C=90°，AB=4，AC=2，现操作如下：过点C做CP1⊥AB于点P1，得到Rt△CP1B，过点P1做P1P2⊥CB于点P2，得到Rt△P1P2B，按照相同的方法一直操作下去，则P1P2=________________；PnPn+1=________________．春季初二数学204．（16年密云期末）已知△ABC在平面直角坐标系中位置如图所示，△ABC的顶点A、B、C都在格点上．（1）作出△ABC关于原点O的中心对称图形△A1B1C1（点A、B、C关于原点O的对称点分别为A1、B1、C1）；（2）写出点C1的坐标及CC1长；（3）BC与BC1的位置关系为_______．5．（19年石景山期末）如图建立了一个由小正方形组成的网格（每个小正方形的边长为1）．（1）在图1中，画出△ABC关于直线l对称的△'''ABC；（2）在图2中，点D，E为格点（小正方形的顶点），则线段DE=；若点F也是格点且使得△DEF是等腰三角形，标出所有的点F．图1图2春季初二数学216．（16年门头沟期末）如图，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的方格纸中，有线段AB和直线MN，点A、B、M、N均在小正方形的顶点上．（1）在方格纸中画四边形ABCD（四边形的各顶点均在小正方形的顶点上），使四边形ABCD是以直线MN为对称轴的轴对称图形，点A的对称点为点D，点B的对称点为点C；（2）请直接写出四边形ABCD的周长．春季初二数学22利用勾股定理求高与面积222abcABCahbhchS2ABCdhS，Sdh四边形，2Sd正方形【例3】1．（15年师大附中期中）直角三角形两直角边长分别为5和12，则它的斜边上的高为．2．（19年66中期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AC=3，BC=4，则CD=__________．3．（18年怀柔期末）如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为1和9，则b的面积为A．8B．9C．10D．114．（16年海淀期末）如图，四边形ABCD中，AB＝10，BC＝13，CD＝12，AD＝5，AD⊥CD，求四边形ABCD的面积．春季初二数学235．（17年西城八中期中）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图（1）所示）．图（2）由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成的．记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3=144，则S2的值是A．48B．36C．24D．25【练习3】1．（18年15中期中）如图，在菱形ABCD中，AB=5，对角线AC=6，若过点A作AE⊥BC，垂足为E，则AE的长为_______．2．（19年西城铁二中）如图，直线l上有三个正方形a，b，c，，若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为A．4B．6C．16D．553．（17年35中学期中）如图，图中所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，123916144sss，，，则4s．春季初二数学244．（17年三中期中）等腰三角形的腰长为10,底长为12,则其底边上的高为．5．（17年39中期中）直角三角形的两条直角边的长分别为6和8，则斜边上的高为6．（19年昌平期末）如图，已知，MN是AD的垂直平分线，点C在MN上，∠MCA=20°，∠ACB=90°，CA=CB=5，BD交MN于点E，交AC于点F，连接AE．（1）求∠CBE，∠CAE的度数；（2）求AE2+BE2的值．7．（19年房山期末）中国古代的数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位．尤其是三国时期的数学家赵爽，不仅最早对勾股定理进行了证明，而且创制了“勾股圆方图”，开创了“以形证数”的思想方法．在图1中，小正方形ABCD的面积为1，如果把它的各边分别延长一倍得到正方形A1B1C1D1，则正方形A1B1C1D1的面积为；再把正方形A1B1C1D1的各边分别延长一倍得到正方形A2B2C2D2（如图2），如此进行下去，得到的正方形AnBnCnDn的面积为（用含n的式子表示，n为正整数）．春季初二数学258．（16年66中期中）阅读下列材料：小明遇到这样一个问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 ：已知：在△ABC中，AB，BC，AC三边的长分别为5、10、13，求△ABC的面积．小明是这样解决问题的：如图1所示，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），从而借助网格就能计算出△ABC的面积．他把这种解决问题的方法称为构图法．请回答：（1）图1中△ABC的面积为；参考小明解决问题的方法，完成下列问题：（2）图2是一个6×6的正方形网格（每个小正方形的边长为1）．①利用构图法在答题卡的图2中画出三边长分别为13、52、29的格点△DEF；②计算△DEF的面积为．（3）如图3，已知△PQR，以PQ，PR为边向外作正方形PQAF，PRDE，连接EF．若22,13,17PQPRQR，则六边形AQRDEF的面积为__________．图1图2图3春季初二数学26列方程求线段长在已知的直角三角形中，将未知的线段设为x，利用勾股定理，求出未知线段【例4】1．（17年159期中）《九章算术》中芦苇问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？”译文：“有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央长有一根芦苇，芦苇露出水面1尺．如果把这根芦苇拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边，它的顶端恰好到达池边的水面。水池的深度为这根芦苇的长度为．2．（19年平谷期末）我国古代的数学家很早就发现并应用勾股定理，而且尝试对勾股定理做出证明．最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽．如图，就是著名的“赵爽弦图”．△ABE，△BCF，△CDG和△DAH是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形．已知AB=5，AH＝3，求EF的长．小敏的思路是设EF=x，根据题意，小敏所列的方程是_________________．3．（1年东城期末）如图，沿折痕AE折叠矩形ABCD的一边，使点D落在BC边上一点F处．若AB=8，且⊿ABF的面积为24，则EC的长为．春季初二数学274．（19年师大附中期中）把一张矩形纸片ABCD按如右图方式折叠，使顶点B和顶点D重合，折痕为EF．若∠DEF=60°，FC=2，则BF的长为．5．（15年66中期中）把一张矩形纸片（矩形ABCD）按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF．若AB=4cm，BC=8cm，则重叠部分△DEF的面积是cm2．A．5B．7．5C．10D．156．（17年三中期中）已知，如图所示，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，如果AB=8cm，BC=10cm，求EC的长．春季初二数学28【练习4】1．（16年石景山期末）我国传统数学重要著作《九章算术》内容十分丰富，全书采用问题集的形式，收有246个与生产、生活实践有联系的应用问题，其中每道题有问（题目）、答（答案）、术（解题的步骤，但没有证明），有的是一题一术，有的是多题一术或一题多术．《九章算术》中记载“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问：折者高几何？”译文：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好着地，着地处离原竹子根部3尺远．问：原处还有多高的竹子？（1丈=10尺）答：原处的竹子还有尺高．2．（19年怀柔期末）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开放术、正负术和方程术．其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就．《九章算术》“勾股”一章记载：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？”译文：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？（1丈=10尺，1尺=10寸）设长方形门的宽x尺，可列方程为．春季初二数学293．（16年大兴期末）印度数学家什迦罗（1141年－1225年）曾提出过“荷花问题”：平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边；渔人观看忙向前，花离原位二尺远；能算诸君请解题，湖水如何知深浅？如图所示：荷花茎与湖面的交点为O，点O距荷花的底端A的距离为0．5尺；被强风吹一边后，荷花底端与湖面交于点B，点B到点O的距离为2尺，则湖水深度OC的长是尺．4．（19年二中分校期中）如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点E、O，连接CE，则CE的长为A．3B．3．5C．2．5D．2．85．（16年怀柔期末）已知：如图，折叠矩形ABCD，使点B落在对角线AC上的点F处，若BC=4，AB=3，则线段CE的长度是A．825B．25C．3D．2．86．（19年14中期中）如图，折叠矩形的一边AD，点D落在BC边上点F处，已知AB=8，BC=10，则EC的长是A．3B．4C．5D．6春季初二数学307．（17西城外国语期中）如图，边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，求线段CN的长.8．（19年35中期中）如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DG，则AG的长为．9．（17年四中期中）如图，在正方形ABCD中，△ABE和△CDF为直角三角形，∠AEB=∠CFD=90O,AE=CF=5,BE=DF=12,则EF的长是春季初二数学31出门检测1．（15年师大附中期中）如图，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是A．5-1B．-5+1C．5+1D．5�1�2�-3�-2�1�0�-1�3�A2．（17年159中学期中）如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为．A．4B．6C．16D．553．（17年北师大附属实验中学）如图有两棵树，一棵高8m，另一棵高2m，两树相距8m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了m.4．（19年西城期末）如图，将矩形ABCD沿对角线BD所在直线折叠，点C落在同一平面内，落点记为C’，BC’与AD交于点E，若AB=3，BC＝4，则DE的长为．EC'DCBA春季初二数学325．（17年44中期中）阅读材料，回答问题：（1）中国古代数学著作《周髀算经》有着这样的记载：“勾广三，股修四，经隅五．”．这句话的意思是：“如果直角三角形两直角边为3和4时，那么斜边的长为5．”．上述记载表明了：在Rt△ABC中，如果∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=c，那么a，b，c三者之间的数量关系是：．（2）对于这个数量关系，我国汉代数学家赵爽根据“赵爽弦图”（如下图，它是由八个全等直角三角形围成的一个正方形），利用面积法进行了证明．参考赵爽的思路，将下面的证明过程补充完整：证明：∵S△ABC12ab，2ABDESc正方形，MNPQS正方形．又∵=，∴221=42ababc，整理得2222=2aabbabc，∴．春季初二数学336．（19年14中期中）如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，求CH的长．7.（17年教育学院附属中学）已知：如图①，矩形ABCD被一些线段分割成四部分，其中某些线段的长度如图中所示，已知这四部分可以没有重叠、没有空隙地拼成一个正方形．（1）求出所拼得正方形的边长，并写出计算过程；（2）求证：∠EAF=∠CGH；（3）将五边形DEFGH的位置不动，在图②中用实线补全拼接后得到的正方形，并标出图中所有线段的长（在不添加新线段的条件下）．图②图①春季初二数学34课后作业1．（15年西城月坛中学期中）如果直角三角形两直角边为5∶12，则斜边上的高与斜边的比为A．60∶13B．5∶12C．12∶13D．60∶1692．（15年八中期中）△ABC中，AB=15，AC=20，BC边上的高AD=12，则BC的长为A．25B．7C．25或7D．14或43．（15年35中期中）若三角形的三边长分别为2,6,2,则此三角形的面积为A．22B．2C．32D．34．（16年门头沟期末）如图，Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点重合，折痕为MN，则线段BN的长为A．22B．23C．4D．55．（15年三帆期中）如图，在长方形ABCD中，AC是对角线，将长方形ABCD绕点B顺时针旋转90°到长方形GBEF位置，H是EG的中点，若AB=6，BC=8，则线段CH的长为A．52B．41C．102D．216．（17年七中期中）若正方形的面积为16cm2,则正方形对角线长为7．（17年八中期中）古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果m表示大于1的整数，1,1,222mcmbma，那么a,b,c为勾股数，请你根据柏拉图的发现，写出一组满足条件的勾股数.春季初二数学358．（15年师大实验二龙路中学期中）如图一个圆柱，底面圆周长6cm，高4cm，一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A点爬到B点，则最少要爬行cm．AB9．（15年三帆期中）如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DG，则AG的长为．10．（15年西城外国语学校期中）已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4，D是AB延长线上一点且∠CDB=45°，求：DB与DC的长．11．（15年师大附中期中）如图，四边形ABCD中，AD//BC，∠ABC=45，∠ADC=120，AD=DC，AB=22，求BC的长．�D�C�B�A12．（15年师大附中期中）根据题意作出图形，并回答相关问题：春季初二数学36（1）现有5个边长为1的正方形，排列形式如图1，请在图1中用分割线把它们分割后标上序号，重新在图2中拼接成一个正方形．（标上相应的序号）�图2�图1（2）在△ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90，D是BC边上的中点，E是AB边上一动点，在右图中作出点E，使EC+ED的值最小（不写作法，保留作图痕迹），此时EC+ED的值是________．�D�C�B�A13．（15年师大附中期中）有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm．①如图1，现将纸片沿直线AD折叠，使直角边AC落在斜边AB上，则CD=_________cm．ACBD图1图2②如图2，若将直角∠C沿MN折叠，点C与AB中点H重合，点M、N分别在AC、BC上，则2AM、2BN与2MN之间有怎样的数量关系？并证明你的结论．14．（15年35中期中）勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面春季初二数学37积法”给了小聪以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB=90°，求证：222.abc证明：连结DB，过点D作BC边上的高DF，则DF=EC=b﹣a．∵S四边形ADCB=S△ACD+S△ABC=b2+ab．又∵S四边形ADCB=S△ADB+S△DCB=c2+a（b﹣a）∴b2+ab=c2+a（b﹣a）∴222.abc请参照上述证法，利用图2完成下面的证明．将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠DAB=90°．求证：222.abc春季初二数学38第3讲勾股定理逆定理入门检测1．小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多2米,当他把绳子的下端拉开6米后，发现绳子拉直且下端刚好接触地面，则旗杆的高是A．4米B．6米C．8米D．10米2．如图，在ABCRt中90C，若AB=15,则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为A．150B．200C．225D．无法计算2题图3题图3．已知：如图，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边上的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求EC的长．4．直角三角形的两条边长分别为2和3，则另一条边长为．ABCFED春季初二数学39勾股定理逆定理勾股定理逆定理：如果三角形中的三边长a，b，c满足222abc，那么这个三角形是直角三角形，我们把这个定理叫做勾股定理的逆定理．【例1】1．下列各组数中，以a、b、c为边长的三角形不是．．直角三角形的是A．3a，4b，5cB．5a，12b，13cC．1a，2b，5cD．23a，2b，3c2．若△ABC的三边长分别为a、b、c，且a2+2ab=c2+2bc，则△ABC是A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形3．对于任意两个正整数m、n（m＞n），下列各组三个数为勾股数的一组是A．2212mmnmmn，﹣，B．22222mnmnmn﹣，，C．22222mnmnmn﹣，，D．2212nnmnmn﹣，，【练习1】1．下列各组数中以a，b，c为边的三角形不是直角三角形的是A．a=2，b=3，c=4B．a=7，b=24，c=25C．a=6，b=8，c=10D．a=3，b=4，c=52．由下列条件不能够判定ABC△为直角三角形的是A．ABCB．132BCA：：：：C．2()()bcbcaD．3,4,05()akbkckk＞3．下列定理中，没有逆定理的是A．直角三角形两锐角互余B．直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方C．两直线平行，同位角相等D．对顶角相等春季初二数学40通过勾股数判断直角三角形满足222abc的三个正整数a、b、c称为勾股数．如果a、b、c是一组勾股数，那么ak、bk、ck也是一组勾股数．常见勾股数：3、4、5/6、8、10/5、12、13/7、24、25常见直角三角形三边比：1：1：2/1：3：2/1：2：5【例2】1．五根小木棒，其长度分别为7,15,20,24,25现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是2．下列各组数中，以它们为边不能．．构成直角三角形的是A．6，8，10B．8，15，17C．1，3，2D．2，2，323．一个直角三角形的两条直角边分别是516512，，则斜边为．【练习1】1．下列各组数据中不能作为直角三角形的三边长的是A．9，12，15B．10，24，26C．4，5，6D．1，3，22．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是A．1，2，5B．2，3，4C．1，2，3D．4，5，6春季初二数学41在网格或坐标系中判断直角三角形【例3】1．正方形网格中的ABC，若小方格边长为1，则ABC的形状为A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．以上答案都不对【练习3】1．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点，线段AC的两个端点均在格点上．（1）如图，点P在格点上，在图中画出点P关于直线AC的对称点Q，连接AQ，QC，CP，PA，并直接写出四边形AQCP的周长；（2）判断∠QAP的度数，并写出求∠QAP度数的思路．2．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的△ABC是A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形春季初二数学42通过代数式变形判断直角三角形完全平方公式：平方差公式：【例4】三角形的三边长分别为a、b、c，且满足等式：22()2abcab，则此三角形是A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形【练习4】1．若ABC的边长a、b、c，满足222506810abcabc，试判断ABC的形状．2．已知△ABC的三边长分别为a，b，c且a，b，c满足，试判断△ABC的形状．春季初二数学43几何图形中证明垂直【例5】1．如图，在正方形ABCD中，F为DC的中点，E为CB上的一点,且14ECBC．求证：EFAF．2．已知：如图，四边形ABCD中，AB⊥BC，AB＝1，BC＝2，CD＝2，AD＝3．求：四边形ABCD的面积．【练习5】1．如图，在△ABC中，D为BC边上的一点，已知AB=13,AD=12,AC=15,CD=9,求BD的长．春季初二数学442．如图，CD是AB上的高，AC=4，BC=3，DB=．（1）求CD的长；（2）△ABC是直角三角形吗？请说明理由．3．如图，四边形ABCD中，AB＝10，BC＝13，CD＝12，AD＝5，AD⊥CD，求四边形ABCD的面积．春季初二数学45勾股定理的综合运用【例6】1．利用勾股定理可以在数轴上画出表示20的点，请依据以下思路完成画图，并保留画图痕迹：第一步：（计算）尝试满足2220ab，使其中a，b都为正整数．你取的正整数a=____，b=；第二步：（画长为20的线段）以第一步中你所取的正整数a，b为两条直角边长画Rt△OEF，使O为原点，点E落在数轴的正半轴上，=90OEF，则斜边OF的长即为20．请在下面的数轴上画图：（第二步不要求尺规作图，不要求写画法）第三步：（画表示20的点）在下面的数轴上画出表示20的点M，并描述第三步．．．的画图步骤：．2．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=4，分别以AB、BC、AC为边作正方形ABED、BCFK、ACGH，再作Rt△PQR，使∠R=90°，点H在边QR上，点D、E在边PR上，点G、F在边PQ上，则PQ的长为．春季初二数学463．如图，一只蚂蚁从长、宽都是4，高是6的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是A．9B．10C．24D．1724．有一个如图示的长方体的透明玻璃杯，其长AD=8cm，高AB=6cm，水深为AE=4cm，在水面线EF上紧贴内壁G处有一粒食物，且EG=6cm，一小虫想从杯外的A处沿壁爬进杯内的G处吃掉食物．（1）小虫应该走怎样的路线才使爬的路线最短呢？请你在图中画出它爬行的路线，并用箭头标注．（2）求小虫爬行的最短路线长（不计杯壁厚度）．5．观察一下几组勾股数，并寻找规律：①3,4,5;②5,12,13;③7,24,25;④9,40,41……（1）请你写出有以上规律的第⑤组勾股数：（2）请你写出第m组勾股数：春季初二数学476．已知：如图，D为AB上一动点，分别过点A、B作CA⊥AB于A点，EB⊥AB于点B，联结CD、DE．（1）请问：点D满足什么条件时，CD+DE的值最小？（2）若AB=8，AC=4，BE=2，设AD=x用含x的代数式表示CD+DE的长（直接写出结果）．拓展应用：参考上述问题解决的方法，请构造图形，并求出代数式22144xx的最小值．�A�B�C�D�E7．问题：在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为2、13、17，求这个三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．（1）请你将△ABC的面积直接填写在横线上________思维拓展：（2）我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法．若△ABC三边的长分别为2a、25a、26a（a＞0），请利用图2的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的△ABC，并求出它的面积是：．春季初二数学48出门检测1．下列三角形中不是直角三角形的是A．一个内角等于另外两个内角之和B．三个内角之比为3：4：5C．三边之长为7、24、25D．三边之比为5：12：132．下列各组线段中，不能作为直角三角形三边的是A．20,21,29B．9,12,15C．4,5,6D．15,8,173．如图，在正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，请你根据所学的知识（1）判断△ABC是什么形状？并说明理由．（2）求AC边上的高．4．如图所示的一块地，已知AD=4m，CD=3m，AD⊥DC，AB=13m，BC=12m，求这块地的面积．5．如图是一个边长60厘米的立方体ABCD-EFGH，一只甲虫在棱EF上且距离F点10厘米的P处．他要爬到顶点D，需要爬行的最近距离是_______厘米．春季初二数学49课后作业1．（15年毕节试卷）下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是A．3,4,5B．1,2,3C．6,7,8D．2,3,42．（13年福建期末）已知三角形△ABC中，5,12,13,ABcmBCcmACcm那么AC边上的中线BD的长为cm．3．（13年青岛模拟）如图是一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯，纸杯开口圆的直径EF长为10cm，母线OE（OF）长为10cm．在母线OF上的点A处有一块爆米花残渣，且，FA=2cm一只蚂蚁从杯口的点E处沿圆锥表面爬行到A点，则此蚂蚁爬行的最短距离________cm．4．（19年咸宁中考模拟）若a,b,c是直角三角形的三条边长，斜边c上的高的长是h，给出下列结论：①以222,,abc的长为边的三条线段能组成一个三角形②以,,abc的长为边的三条线段能组成一个三角形③以,,abchh的长为边的三条线段能组成直角三角形④111,,abc的长为边的三条线段能组成直角三角形其中所有正确结论的序号为．春季初二数学505．（13年贵阳试卷）在△ABC中，,,BCaACbABc，设c为最长边，当222abc时，△ABC是直角三角形；当222abc时，利用代数式22ab和2c的大小关系，探究△ABC的形状（按角分类）．（1）当△ABC三边分别为6,8,9时，ABC为------三角形；当△ABC三边分别为6,8,11时，△ABC为------三角形．（2）猜想，当22ab---2c时，△ABC为锐角三角形；当22ab----2c时，△ABC为钝角三角形．（3）判断当2,4ab时，△ABC的形状，并求出对应的c的取值范围．6．（15年宁城期末）在寻找马航MH370航班过程中，两艘搜救舰艇接到消息，在海面上有疑似漂浮目标A，B接到消息后，一艘舰艇以16海里/时的速度离开港口O（如图所示）向北偏东40°方向航行，另一艘舰艇在同时以12海里/时的速度向北偏西一定角度的航向行驶，已知它们离港口一个半小时后相距30海里，问另一艘舰艇的航行方向是北偏西多少度？春季初二数学51第4讲本章复习与检测入门检测1．（2016-2017石景山第一学期）若代数式24x有意义，则x的取值范围是A．x≥2B．2xC．2xD．x≤22．（2016-2017西城区第一学期）下列二次根式中，最简二次根式是A．1xB．18C．116D．29a3．（2016-2017东城区第一学期）下列各式中，成立的是A．42B．222C．235D．2222334．（2016-2017北师大附属实验中学期中）如图有两棵树，一棵高8m，另一棵高2m，两树相距8m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了m．5．（2016-2017西城外国语八下期中）如图，在△ABC中，AB=10，△ABC的角平分线AD的长为8，BD＝6，求AC的长．春季初二数学52基础练习【例1】1．（2016-2017西城区第一学期）下列二次根式中，最简二次根式是A．1xB．18C．116D．29a2．（2017海淀区八下期末）下列各式中，运算正确的是A．2(2)2B．2810C．284D．2223．（2017东城区八下期末）下列四组线段中，不能作为直角三角形三条边的