第四章微积分的数值计算方法4.3高斯型求积公式4.3高斯型求积公式问
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:是否有比等距节点的Newton-Cotes型求积公式更高代数精度的求积公式?最高能达到多大?高斯求积公式高斯求积公式权函数定义:设[a,b]是有限或无限区间,(x)是定义在[a,b]上的非零可积函数，若其满足 则称(x)是[a,b]上的一个权函数。在高等数学中介绍付立叶级数时，曾提到函数系1,cosx,sinx,cos2x,sin2x,…,cosnx,sinnx,…中，由于任意两个函数乘积在区间[-，+]上的积分都等于零，则说这个函数系在[-，+]上是正交的，并称这个函数系为正交函数系。定义1(a)：设函数f(x),g(x)[a,b],且则称f(x)与g(x)在[a,b]上正交.正交多项式定义1(b)：设函数f(x),g(x)[a,b],且则称f(x)与g(x)在[a,b]上带权(x)正交.正交多项式称为权函数定义2最高幂项的系数为的n次多项式，若满足（两两正交）：则称为在[a,b]上带权正交序列，称为[a,b]上带权的n次正交多项式。_960999901.unknown_1194768543.unknown_1194891308.unknown_1194891404.unknown_1194768662.unknown_961000086.unknown_960998669.unknown高斯点与正交多项式的零点常见的正交多项式及高斯求积公式 勒让德多项式(Legendre) 切比雪夫多项式(Chebyshev) 拉盖尔多项式(Laguerre) 埃尔米特多项式(Hermite)高斯-勒让德求积公式2.Legendre多项式的性质: n xk Ak n xk Ak 1 0 2 6 ±0.9324695142±0.6612093865±0.2386191861 0.17132449240.36076157300.4679139346 2 ±0.5773502692 1 3 ±0.77459666920 0.55555555560.8888888889 7 ±0.9491079123±0.7415311856±0.40584515140 0.12948496620.27970539150.38183005050.4179591837 4 ±0.8611363116±0.3399810436 0.34785484510.6521451549 8 ±0.9602898565±0.7966664774±0.5255324099±0.1834346425 0.10122853630.22238103450.31370664590.3626837834 5 ±0.9061798459±0.53846931010 0.23692688510.47862867050.5688888889高斯-切比雪夫求积公式2.Chebyshev多项式的性质:一般积分区间[a,b]的处理高斯积分公式的数值稳定型Gauss型求积公式的构造方法(1)求出区间[a,b]上权函数为W(x)的正交多项式pn(x).(2)求出pn(x)的n个零点x1,x2,…xn即为Gsuss点.(3)计算积分系数复习提纲《应用数值分析》第四章：4.2.5小节中的例题及例题4.3.1；习题4.1——4.7、4.12、4.13、4.17、4.19Tobecontinued
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