相似三角形题型归纳总结非常全面

相似三角形题型归纳 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf 非常全面相似三角形题型归纳总结非常全面PAGEPAGE20相似三角形题型归纳总结非常全面相似三角形题型归纳一、比例的性质：比例的性质示例剖析（1）基本性质：（2）反比性质：（3）更比性质：或或（4）合比性质：（5）分比性质：（6）合分比性质：（7）等比性质：已知，则当时，.二、成比例线段的概念：1．比例的项：在比例式（即）中，a，d称为比例外项，b，c称为比例内项．特别地，在比例式（即）中，b称为a，c的比例中项，满足．2．成比例线段：四条线段a，b，c，d中，如果a和b的比等于c和d的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．3．黄金分割：如图，若线段AB上一点C，把线段AB分成两条线段AC和BC（），且使AC是AB和BC的比例中项（即），则称线段AB被点C黄金分割，点C叫线段AB的黄金分割点，其中，，AC与AB的比叫做黄金比．（注意：对于线段AB而言，黄金分割点有两个．）三、平行线分线段成比例定理1．平行线分线段成比例定理两条直线被三条平行线所截，所得的对应线段成比例，简称为平行线分线段成比例定理．如图：如果，则，，．【小结】若将所截出的小线段位置靠上的（如AB）称为上，位置靠下的称为下，两条线段合成的线段称为全，则可以形象的表示为，，．2．平行线分线段成比例定理的推论平行于三角形一边的直线，截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．如图：如果EF（3）由等腰直角三角形得到条件变为，条件变为比例形式：，由于，∴．“A”字和“8”字模型（1）如图4-1，已知□ABCD中，过点B的直线顺次与AC、AD及CD的延长线相交于点E、F、G，若，，则FG的长为____________．（2）如图4-2，已知在□ABCD中，M、N为AB的三等分点，DM、DN分别交AC于P、Q两点，则AP:PQ:QC=____________．图4-1图4-2解析：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，∴∴，，∴，∴∴，即．得．由DC∥AB，得，，同理，，，故．（1）如图4-1，在中，M、E把AC边三等分，MN//EF//BC，MN、EF把分成三部分，则自上而下部分的面积比为．（2）如图4-2，AB、CD、EF都与BD垂直，垂足分别是B、D、F，且，，则的值为__________．（3）如图4-3，已知在平行四边形ABCD中，M为AB的中点，DM，DB分别交AC于P，Q两点，则___________．图4-1图4-2图4-3解析：（1）；（2）；（3），又，，．与内接矩形有关的相似问题（1）如图5-1，中，正方形EFGH的两个顶点E、F在BC上，另两个顶点G、H分别在AC、AB上，，BC边上的高，求．（2）如图5-2，已知中，四边形DEGF为正方形，D，E在线段AC，BC上，F，G在AB上，如果，，求的面积．图5-1图5-2解析：（1）设正方形EFGH的边长为x，AD、HG的交点为M，则有，即，解得，，故（2）设正方形边长为x，则，，．由，得，∴，解得，∴，，∴如图，已知中，，，，四边形DEGF为正方形，其中D、E在边AC、BC上，F、G在AB上，求正方形的边长．解析：法一：由勾股定理可求得，由可得．由可得，设正方形的边长为，则，解得．法二：设，则，∴，．∴，即，解得，∴．“A字和“8”字模型的构造如图，中，D为BC边的中点，延长AD至E，延长AB交CE的延长线于P．若，求证：．解析：如图，过点D作PC的平行线，交AB于点H．∵，，，，∴，，∴，∴．还可用如下辅助线来证此题：如图，已知线段AB∥CD，AD与BC相交于点K，E是线段AD上一动点．（1）若，求的值；（2）连接BE，若BE平分∠ABC，则当时，猜想线段AB、BC、CD三者之间有怎样等量关系？请写出你的结论并予以证明．再探究：当，而其余条件不变时，线段AB、BC、CD三者之间又有怎样的等量关系？请直接写出你的结论，不必证明．解析：（1）∵，∴，又∵CD∥AB，∴，∴（2）当BE平分，时，；证明：取BD的中点为F，连接EF交BC于G点，由中位线定理，得EF//AB//CD，∴G为BC的中点，，又∵，∴，∴，而，，，即：；；当()时，．斜“A”和斜“8”模型如图，在中，于D，于E，的面积是面积的4倍，，求DE的长．解析：∵，，，∴，∴，∵，∴，∴．（1）如图，是等边三角形，点D，E分别在BC，AC上，且，AD与BE相交于点F．求证：①；②；③．（2）如图，四边形ABCD是菱形，交BD于E，交BC于F．求证：．解析：（1）∵等边，∴，∵∴．∴，∴∴∴，∴．②证明即可．③证明即可．（2）方法一：取DE中点M，连接AM，∵，M为DE中点∴，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，∴．方法二：取BD中点N，连接AN．由等腰三角形的性质可知：，又∵，∴，∴，又∵，∴．总结：考查斜“A”和斜“8”常见结论，看到比例乘积想到斜“A”和斜“8”，也要会找在等边中，点D为AC上一点，连结BD，直线l与AB，BD，BC分别相交于点E、P、F，且．（1）如图8-1，写出图中所有与相似的三角形，并选择其中一对给予证明．（2）若直线l向右平移到图8-2、图8-3的位置时（其它条件不变），（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出来（不证明），若不成立，请说明理由．（3）探究：如图8-1，当BD满足什么条件时（其它条件不变），请写出探究结果，并说明理由．（说明：结论中不得含有未标识的字母）图8-1图8-2图8-3解析：（1）与，以为例，证明如下：∵，，∴．（2）均成立，均为，．（3）BD平分时，．证明：∵BD平分，∴∵，∴，∴，又，∴，∴．射影定理如图，已知AD、CF是的两条高，与E，交CB延长线于G，交AD于H，求证：．解析：∵，，∴，又由可知，，，∴，∴，∴，∴．（1）如图9-1，在中，于D，于E，于F．求证：．（2）如图9-2，在中，AD是斜边BC上的高，于E，于F，求证：．图9-1图9-2解析：（1）分别在与中由射影定理得到：，，，即，，．（2）由射影定理可以依次得到，于是仅需证明，由于，分别是与上的高，所以有，得证．三垂直模型如图，M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，，且DM交AC于F，ME交BC于G．（1）求证：．（2）连接FG，如果，，，求FG的长．解析：（1）由题意得，，∴，，∴，又，∴△AMF∽△BGM．（2）∵，∴，∵M为AB的中点，∴，∵，，∴，∵，∴，，∴，，∴．（1）如图10-1，矩形ABCD中，由8个面积均为1的小正方形组成的L型模板如图放置，则矩形ABCD的周长为____________．（2）如图10-2，在直角坐标系中，矩形ABCO的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为，将矩形沿对角线AC翻折，使得B点落在D点的位置，且AD交y轴于点E，则D点坐标为___________．图10-1图10-2解析：（1），，∴，∴，，∴，，∴，又∵，∴，，∴，，∴矩形ABCD的周长为．（2）过D点做轴于F点，BC与FD的延长线交于G点则，∴，设，则，，，由于，列得方程：，解得，故，，求得点坐标为．如图11-1，和是两个全等的等腰直角三角形，，的顶点E与的斜边BC的中点重合．将绕点E旋转到如图11-2，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与线段CA的延长线相交于点Q．（1）求证：．（2）已知，，求P、Q两点间的距离（用含a的代数式表示）．图11-1图11-2解析：（1）∵和是两个全等的等腰直角三角形，∴，∴，，∴，又∵，∴．（2）连接PQ，∵，∴，∵，，，∴，∴，∴，∴，，在中，．三平行模型已知：如图，在梯形ABCD中，AB//CD，M是AB的中点，分别连接AC、BD、MD、MC，且AC与MD交于点E，DB与MC交于F．（1）求证：EF//CD；（2）若，，求EF的长．解析：（1）∵，∴，，∵，∴（中间过渡量），∴．（2）∵，∴，∴．如图所示，在中，，AD平分交BC于点D．求证：．解析：分别过B、C两点做AD的平行线，分别交CA、BA的延长线于E、F两点．由于EB//AD//FC，有；由于，所以为正三角形，同理亦为正三角形．，．故．角平分线定理在中，的平分线交AC于D，的平分线交AB于E，且．求证：．解析：由角平分线定理得到，，∵，∴即，∴，∴，整理得到明显，故．（1）如图13-1，在中，，，，且CD是的平分线．则AD的长为__________．（2）如图13-2，I是内角平分线的交点，AI交对应边于D点，求证：．图13-1图13-2解析：（1）由角平分线定理，由于，（2）由角平分线定理得到，由等比性质得到：．若，，AC与PB相交于点D，且，．求的值．解析：过P点做的角平分线PE，交AD于E点．∵，且，∴，∴，又由于是角平分线，∴，∵，∴，∴，∴．线束模型如图，M、N为边BC上的两点，且满足，一条平行于AC的直线分别交AB、AM和AN的延长线于点D、E和F．求证：．法一：如下左图，过D作交AC于G，交AM、AN于P、Q，由线束定理可知，∵，∴，，∴，∴．过E点或F点作BC的平行线也可得到类似的证法．法二：如下右图，过M作，交AB于P，交AF延长线于Q，则有，∴，，∴，由线束定理可知，即．过B点或N点作DF的平行线也可得到类似的证法．（1）如图15-1，AB∥CD，AD与BC交于点P，过P点的直线与AB、CD分别交于E，F．求证：．（2）如图15-2，AB∥CD，AD与BC交于点P，连接CA、DB并延长相交于O，连接OP并延长交CD于M，求证：点M为CD的中点．（3）如图15-3，在图15-2中，若点G从D点向左移动（不与C点重合），AG与BC交于点P，连OP并延长交CD于M，直接写出MC、MG、MD之间的关系式．图15-1图15-2图15-3解析：（1）证明：如图1，∵AB//CD，AD与BC交于点P，∴，，∴,，∴，∴；（2）证明：如图2，设OM交AB于点N．∵AB//CD，∴，，，∴，，，∴①，∵，，，∴，，，∴②，①÷②，，∴CM=DM，即点M为CD的中点；（3）解：MC2=MG•MD，理由如下：如图3，设OM交AB于点N．∵AB//CD，∴，，∴①，②，①×②，得，∴．∵，，∴，，∴，∴，∴，∴．相似综合如图，点A的坐标为，点C是线段OA上的一个动点（不与O、A两点重合），过点C作轴，垂足为D，以CD为边在右侧作正方形CDEF．连接AF并延长交x轴的正半轴于点B，连接OF．若以B、E、F为顶点的三角形与相似，则点B的坐标是　　　　　．解析：要使与相似，∵∴只要或，即或．当时，，∴，∴（舍去）或，∴．②当时，（i）当B在E的左侧时，，∴，∴（舍去）或，∴．（ii）当在的右侧时，，∴，∴（舍去）或，∴．如图，中，，于D，过点D作，边DE上的中线BF延长线交AC于点G．（1）求证：；（2）若，求；（3）在（2）的条件下，若，求BD的长度．解析：（1）证明：∵，∴是直角三角形．∵，∴．∵是直角三角形，，∴，∴；（2）解：过G作交DF于P，连结DG，∵，，，∴四边形CEPG是矩形，∴在中，∵G是边AC中点，∴．又∵，∴，∴是等腰三角形．∴GP是FD的中线，，即．∵，，∴，∴．∵，∴，∴，；（3）解：∵，，∴，．∵，设，则，∴，解得，∴，，，∴，∴．