理论攻坚-数学运算3+徐月春+（笔记）

理论攻坚-数学运算3（ 笔记 哲学笔记pdf明清笔记pdf政法笔记下载课堂笔记下载生物化学笔记PDF ）主讲教师：徐月春授课时间：2020.05.13粉笔公考·官方微信理论攻坚-数学运算3（笔记）第五节计算问题一、简单计算1.尾数法什么时候用：（1）做加、减、乘、乘方计算；（2）选项的尾数不同怎么用：只取最后一位进行计算，结果也只保留最后一位2.基础 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 提取公因式：ac+bc=（a+b）c平方差公式：a²-b²=（a+b）（a-b）3.定义新运算新的运算符号，按规定计算。原有规则：先算括号，再算乘除，最后算加减【知识点】简单计算：1.尾数法：（1）适用条件：运算必须为加、减、乘、方，不适用与除法；选项尾数不同。（2）举例：（33+44）*87+56，选项分别为xxx5、xxx6、xxx7、xxx8，算式涉及加法、乘法，选项尾数不同，可以用尾数法计算，（33）尾数3+（44）尾数4=尾数7，尾数7*（87）尾数7=尾数9，尾数9+（56）尾数6=尾数5，对应A项。2.基础公式：（1）提取公因式：ac+bc=（a+b）*c。（2）平方差公式：a²-b²=（a+b）*（a-b）。举例：98²-2²=（98+2）*（98-2）=100*96。3.定义新运算：出现新的运算符号，命题人会对运算规则定义，其中如果出现括号则优先计算括号内，没有括号则先乘除，后加减。举例：A⊕B=2A+3B，则3⊕4=2*3+3*4。1【例1】58²+62²=（）A.7206B.7202C.7204D.7208【解析】例1.涉及加法、平方，选项尾数不同，用尾数法。58²与62²的尾数均为4，尾数4+尾数4=尾数8，对应D项。【选D】【例2】16*48+72*15+24*23=（）A.2000B.2324C.2400D.2480【解析】例2.涉及加法、乘法，而选项中有三项的尾数为0，有同学抱着侥幸心理尝试用尾数法，尾数8+尾数0+尾数2=尾数0，无法得出答案。72与48有公因子24，三个算式均提取24，原式=24*（32+45+23）=24*100=2400。【选C】【例3】在初等数学加、减、乘、除运算的基础上，假设一种新的运算符号“*”，规定x*y=（x+y）/4，若（3*a）-2=10*2，则a的值是（）。A.17B.22/3C.93D.5/3【解析】例3.本题属于定义新运算的题型，按规则计算。3*a=（3+a）/4-2=（10+2）/4，解得a=17。【选A】二、数列1.等差数列通项公式：an=a1+（n-1）*d=am+（n-m）d2.等差数列求和公式：S=a1+a2*n=中位数*nn2n-1n-m3.等比数列通项公式：an=a1q=am*qna1（1-q）4.等比数列求和公式：Sn=（q≠1）1-q【知识点】数列：1.等差数列：相邻两项的差为定值，举例：第一项为a1，第二项为a1+d，第三项为a1+2d，第四项为a1+3d。2（1）通项公式：an=a1+（n-1）*d=am+（n-m）*d。若已知a3求a8，a3与a8差5d，则a8=a3+5d。（2）求和公式：Sn=（a1+an）/2*n=中位数*项数。①举例：1、5、9、13、17，相邻两项差4，套公式求和：Sn=（1+17）/2*5。②中位数：数列最中间的项，本例的中位数为9，则Sn=9*5。若项数为奇数项，很容易找到中位数，若项数为偶数项，比如：1、5、9、13、17、21，中位数为中间两项加和除以2。2.等比数列：相邻两项的商为定值，举例：第一项为a1，第二项为a1q，第三项为a1q²，第四项为a1q³。n-1n-m（1）通项公式：an=a1*q=am*q。n（2）求和公式：Sn=a1（1-q）/（1-q），（q≠1）。若q=1，假设第一项为3，则数列均为3。【例4】前100个既能被2整除又能被3整除的正整数之和为（）。A.30296B.30300C.30312D.30306【解析】例4.既能被2整除又能被3整除的正整数：指的是2和3的公倍数6，求6的倍数，且要求为正整数，枚举：6、12、18、24……，属于首项为6，公差为6，项数为100的等差数列，求和：已知首项a1和项数n，先求an=6+（100-1）*6=6*（99+1）=600，则Sn=（6+600）/2*100=30300。【选B】【例5】一个空箱子，每次往里放1、2、4、8、16、…个小球，从第5次开始，每次放入后便取出11、15、19、23、27、…个小球。问第几次操作后箱子内小球数多于900个？（）A.6次B.7次C.10次D.11次【解析】例5.出现省略号，说明有规律，1、2、4、8、16、……为等比数列，11、15、19、23、27、……为等差数列。问第几次操作后箱子内小球数多于900，即累计数＞900。结合选项，题干条件已经列举到第5次，假设到第6次，3等比数列第6项为32，累计数＜900；若为第7次，等比数列第7项为64，累计数＜900，排除A、B项。剩余C、D项，考虑枚举，等比数列第6～10项分别为32、64、128、256、512，等差数列第10项为31，计算第10次的累计数，若累计数＞900，则C项为正确答案，若累计数＜900，则D项为正确答案。放入的球1010求和（等比数列求和）：Sn=1*（1-2）/（1-2）=2-1=1024-1=1023，取出的球求和（等差数列求和）：Sn=（11+31）/2*6=126，累计数=1023-126=897＜900，第10次不满足，对应D项。【选D】【注意】记忆：210=1024。【注意】计算问题：1.基础计算：（1）尾数法：加、减、乘、方运算；尾数各不相同。（2）基础公式：①提取公因子：ac+bc=（a+b）c。②平方差公式：a²-b²=（a+b）（a-b）。4（3）定义新运算：①题目中出现新的运算符号。②按规则运算，先括号、再乘除、后加减。2.数列：（1）等差数列：①通项：an=a1+（n-1）*d。②求和：Sn=（a1+an）/2*n=中位数*项数。（2）等比数列：n-1①通项：an=a1*q。n②求和：Sn=a1*（1-q）/（1-q），（q≠1）。第六节容斥问题【注意】容斥问题：出现多个集合，集合之间有交叉。举例：有20人喜欢吃小龙虾，有25人喜欢吃螃蟹，有15人既喜欢吃小龙虾又喜欢吃螃蟹。1.公式法。2.画图法。一、公式法1.两集合容斥：A+B-A∩B=总数-都不2.三集合容斥： 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 ：A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C=总数-都不非标准：A+B+C-满足两项-满足三项*2=总数-都不【知识点】公式法：1.两集合容斥：A+B-A∩B=总-都不。举例：班上有20人，喜欢羽毛球的有15人，喜欢乒乓球的有12人，都喜欢的有8人，问：都不喜欢的有多少人？如图所示，先将两个圆覆盖的区域加和：15+12，其中有重复计数的，需要减掉（理解成两张圆纸片，中间有两层纸，需要减掉一次），即15+12-8=20-x。52.三集合容斥。二、画图法【例1】某班学生总数是32人，在第一次考试中有25人及格，第二次考试中有22人及格，若两次考试中，都及格的有20人，那么两次考试都不及格的人数有（）人。A.28B.4C.5D.6【解析】例1.出现两次考试，且两者有交叉，属于两集合容斥问题，公式：A+B-A∩B=总-都不。找到对应数据代入公式：25+22-20=32-x，解得x=5。【选C】【注意】容斥问题均为加减法运算，若碰到数据较大，优先考虑尾数法。【知识点】三集合容斥：1.标准型：A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C=总数-都不。举例：班上有100人，喜欢玫瑰的有50人，喜欢百合的有40人，喜欢木棉花的有30人，既喜欢玫瑰又喜欢百合的有10人，既喜欢玫瑰又喜欢木棉花的有8人，既喜欢百合又喜欢木棉花的有7人，三种都喜欢的有3人，问：都不喜欢的有多少人？画图：如图所示，方框对应总人数，圆分别对应玫瑰、百合和木棉花，三个圆覆盖的区域有重叠，条纹代表的区域有2层，中间实心区域有3层，需要将2层和3层均变为1层。玫瑰、百合和木棉花加和为50+40+30，既喜欢玫瑰又喜欢百合、既喜欢玫瑰又喜欢木棉花、既喜欢百合又喜欢木棉花对应黑框区域，将2层变1层，分别-10-8-7。既喜欢玫瑰又喜欢百合、既喜欢玫瑰又喜欢木棉花、既喜欢6百合又喜欢木棉花都包含中间实心区域，相当于中间实心区域被减了3次，被减空了，需要加3。综上：50+40+30-10-8-7+3=100-x，记忆：加和、去重、补漏。2.非标准型：A+B+C-满足两项-满足三项*2=总数-都不。举例：班上有100人，喜欢玫瑰的有50人，喜欢百合的有40人，喜欢木棉花的有30人，喜欢两种的有25人，三种都喜欢的有3人，问：都不喜欢的有多少人？画图：玫瑰、百合和木棉花加和为50+40+30；根据已知条件，喜欢两种即只喜欢两种，对应图形中的条纹区域，2层变1层，只需减一次，即-25；中间实心区域有3层，3层变1层，需要减2次，即-3*2；综上：50+40+30-25-3*2=100-x。3.区分：出现“既……又……”，用标准型；没有出现“既……又……”，用非标准型。【例2】31个学生参加体育课期末考评，学生可以从铅球、100米短跑和跳远三个项目中任选至多两个项目。参加铅球、100米短跑和跳远的人数分别是15人、22人、20人，其中铅球和100米短跑都参加的有9人，铅球和跳远都参加的有6人，则100米短跑和跳远都参加的有几人？（）A.10B.12C.15D.11【解析】例2.出现三个项目，且存在交叉，属于三集合容斥问题；“铅球和7100米短跑都参加的有9人”指既参加铅球又参加100米短跑，相当于出现了“既……又……”的表述，用标准型公式：A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C=总数-都不。找对应的数据：根据“任选至多两个项目”，则A∩B∩C=0；根据“31个学生参加体育课期末考评”，没有不参加的人，则“都不”=0。列式：15+22+20-9-6-x=31，用尾数法，尾数2-x=31，则x的尾数为1，对应D项。【选D】【例3】某 小学 小学生如何制作手抄报课件柳垭小学关于三违自查自纠报告小学英语获奖优质说课课件小学足球课教案全集小学语文新课程标准测试题 开设了航模、美术、书法3个兴趣小组。已知四 年级 六年级体育公开课教案九年级家长会课件PPT下载六年级家长会PPT课件一年级上册汉语拼音练习题六年级上册道德与法治课件 有43人报名参加航模小组，62人报名参加美术小组，90人报名参加书法小组，三个小组都报名的有20人，报名参加两个小组的有48人，不报名参加其中任何一个小组的有21人。问四年级共有多少名学生？（）A.107B.128C.148D.176【解析】例3.出现三个兴趣小组，且三者存在重叠，属于三集合容斥问题；题干没有出现“既……又……”的表述，用非标准型公式：A+B+C-满足两项-满足三项*2=总数-都不。找到对应数据代入公式：43+62+90-48-20*2=x-21，解得x=128。【选B】【例4】某单位有72名职工，为丰富业余生活，拟举办书法、乒乓球和围棋培训班，要求每个职工至少参加一个班。已知三个班报名人数分别为36、20、28，则同时报名三个班的职工数至多是（）。A.6人B.12人C.16人D.20人【解析】例4.出现三个培训班，且三者存在重叠，属于三集合容斥问题；题干没有出现“既……又……”的表述，用非标准型公式：A+B+C-满足两项-满足三项*2=总数-都不。设满足两项的为x，满足三项的为y，根据“每个职工至少参加一个班”，说明没有人不参加，则“都不”=0，代入数据得：36+20+28-x-2y=72，整理得：x+2y=12。和一定的情况下，要求y尽量多，则x尽量小，x最小为0，解得y=6。【选A】8公式无法解决，题目中出现“只满足一个”的条件从里到外，不重不漏【知识点】画图法（适用于：公式无法解决；公式可以解决但很麻烦）：1.何时用：“只满足某一个条件”。举例：参加乒乓球、羽毛球、围棋三个项目，只参加羽毛球的有8人，出现“只”，考虑画图。2.怎么用：画圈圈，标数据（注意去重）。举例：如图所示，已知红框区域有8人，中间实心区域有3人，标注中间的3人，则红框中剩余区域不能标8，应标5。【补例】某班共有46人参加了一次数学测验，其中35人做对了第一题，28人做对了第二题，有3人都做错了这两道题，那么该班有（）人只做对了第二题。A.8B.11C.15D.18【解析】补例.方法一：若用公式法：35+28-x=46-3，解得x=20，x对应既做对第一题又做对第二题的人数，而题干问“只做对第二题”的人数，还需要用28-20=8（该方法麻烦）。方法二：出现“只”，考虑画图。只做对第二题的人数对应条纹区域，46-3-35=8。【选D】9【例5】某单位派出80名职工参加三个项目的比赛：篮球、乒乓球、排球。其中有8个人只能参加乒乓球比赛，有52人能参加篮球比赛，62人能参加排球比赛。那么既能参加篮球比赛又能参加排球比赛的有多少人？（）A.42B.28C.78D.34【解析】例5.读完题很想列式，篮球（A）、乒乓球（B）、排球（C），还出现“既……又……”，想用三集合标准公式：A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C=总-都不，但只给出B、C和总数，A、A∩B、A∩C、B∩C、A∩B∩C都没有，大量数据未知，无法利用公式计算，大家做题的时候不要试错，要关注条件。出现“只满足某个条件/集合”，最好不加考虑，直接画图。由题干“有8个人只能参加乒乓球比赛，有52人能参加篮球比赛，62人能参加排球比赛”可知，参加乒乓球的8人，画在上面的圆中、参加篮球的52人，画在左边圆中、参加排球的62人，画在右边圆中。题干可知，总人数为80，“都不”=0，问“既能参加篮球比赛又能参加排球比赛的有多少人”，即求篮球和排球的交集，设“既能参加篮球比赛又能参加排球比赛为x人”，问题转化为两集合容斥原理问题（只涉及篮球和足球），根据图形列式：52+62-x+8=80，x尾数为2，对应A项。【选A】10【知识点】容斥原理：1.公式：（1）两集合公式：A+B-A∩B=总数-都不。（2）三集合①标准型（出现“既……又……”）：A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C=总数-都不。②三集合非标准型（没有“既……又……”、出现满足两项、满足三项的）：A+B+C-满足两项-2*满足三项=总数-都不。③常识：满足一项+满足两项+满足三项=总数-都不。比如：全班去旅游，旅游1个景点的有10人、旅游2个景点的有25人、旅游3个景点的有5人，3个景点都没旅游的有3人，问全班有多少人？旅游1个景点+旅游2个景点+旅游3个景点+3个景点都不旅游=总人数。2.画图（只满足某个条件/集合）：（1）画圈圈，表数据。（2）注意去重。第七节高频几何问题一、公式类1.规则图形：套公式2.不规则图形：转化为规则图形3.常用公式（1）常用周长公式：C正方形=4a；C长方形=2（a+b）；C圆=2πR11（2）常用面积公式：S正方形=a²；S菱形=对角线乘积/2；S长方形=ab；S平行四边形=ah；S三角形=1/2*ah；S梯形=1/2*（a+b）h；S圆=πR²；S扇形=n°/360°*πR²。（3）常用表面积公式：S正方体=6a²；S长方体=2ab+2bc+2ac；S球=4πR²；S圆柱=2πR²+2πRh。（4）常用体积公式：V正方体=a³；V长方体=abc；V柱体=Sh；V椎体=1/3*Sh；V球=4/3*πR³。【知识点】高频几何问题：平面图形、立体图形。1.公式计算类（平面图形）：涉及长度、面积。（1）长度相关公式：①正方形周长：C正方形=4a。②长方形周长：C长方形=2（a+b）。③圆形周长：C圆=2πr，r是半径，或C圆=πd，d为直径。2.面积相关公式：（1）S正方形=a²。边长为a。（2）S长方形=ab。边长a、b，面积为长乘以宽。（3）S平行四边形=ah。底边乘以高，h为高。（4）S三角形=1/2*ah。过上顶点做底边的垂线（如下左图），高为h。如果为直角三角形（如下右图），高恰好为直角边。12（5）S梯形=1/2*（a+b）h。梯形的面积和上底、下底有关，上底为a、下底为b、高为h，面积为上底加下底乘以高，再除以2。（6）S圆=π*r²。面积与r有关。（7）S菱形=对角线乘积/2。菱形（边长相等）为特殊的平行四边形，面积和对角线有关，假设对角线分别为a和b，且a与b垂直，则面积=1/2*a*b。将菱形补全，变成以a、b为边长的长方形（蓝色图形），菱形面积为长方形面积的一半，即S菱形=1/2*a*b。（8）S扇形=n°/360°*πr²。扇形是圆的一部分，圆的圆心角是360°，面积为πr²，则扇形圆心角占360°的占比，再乘以圆的面积，就是扇形面积。【例1】如图所示，在长为64米、宽为40米的长方形耕地上修建宽度相同的两条道路（一条横向、一条纵向），把耕地分为大小不等的四块。已知修路后耕地总面积为1377平方米，则该道路路面宽度为多少米？（）A.10B.11C.12D.1313【解析】例1.题干要计算道路的宽度，设道路的宽度为x，利用总面积1377平方米考虑，四块面积分别用S1（左上）、S2（右上）、S3（左下）、S4（右下）表示，可以利用总面积和与1377列等式，即S1+S2+S3+S4=1377，但其中每一块的面积很难计算，可以利用移动拼接，化繁为简，得到一个小的长方形（黑色区域），则此时的长为64-x，宽为40-x，列式：（64-x）*（40-x）=1377，为一元二次方程，计算比较麻烦。方法一：可以拆分，将1377拆分为两个数字相乘，但数字较大，计算较难，不建议拆分，建议代入。四个选项最多代入三次，而本题只需要代入两次，在代入前可以先排除两项。通过数字的奇偶特性进行排除，两个数的乘积为1377（奇数），已知奇数*奇数=奇数，因此64-x为奇数，40-x为奇数，因此x必须为奇数，排除A、C项；剩下B、D项，代入B项，正确就选择B项，不正确就选择D项。代入B项：（64-11）*（40-11）=53*29≠1377，排除，对应D项。方法二：如果没想到奇偶性，可以利用尾数，从A项开始代入，A项：（64-10）*（40-10）=54*30≠1377，排除；B项：（64-11）*（40-11）=53*29≠1377，排除；同理，排除C项；D项：（64-13）*（40-13）=51*27=1377，当选。【选D】【注意】道路面积=大长方形面积-小长方形面积。【例2】设一矩形ABCD的长和宽分别为a、b，点E是长边上的黄金分割点，即AE/EB=（√5-1）/2。点G是短边上的黄金分割点，即AG/GD=（√5-1）/2，则矩形DGHF与矩形BCFE的面积之比为（）。14A.（√5-1）：2B.（3-√5）：1C.（√5-2）：1D.（3-√5）：2【解析】例2.三支一扶的真题，很吓人。有同学看到“黄金分割点”，想不起数值为多少，想放弃，由题干“点E是长边上的黄金分割点，即AE/EB=（√5-1）/2”可知，黄金分割点的值为（√5-1）/2。方法一：读完题发现，只给出“黄金分割点”，无法从题干入手，可以从问题出发，问矩形面积比，DGHF面积（红色边长）=长*宽=DF*FH；BCFE面积（黑色边长）=长*宽=FC*EF，所求=DF*HF/（FC*EF），但此时的四条边都未知，不能直接找数据，可以从题干条件入手，从边长之间的比例关系考虑。其中，DF和FC在一条直线上，已知DF/FC=AE/EB=（√5-1）/2；HF和EF分别对应左边的GD和AD，则HF/EF=GD/AD。已知AG/GD=（√5-1）/2，所以AG占（√5-1）份，GD占2份，则AD=AG+GD=√5-1+2=√5+1，DGHF面积：BCFE面积=[（√5-1）/2]*[2/（√5+1）]=（√5-1）/（√5+1），没有答案，需要分母有理化、进行约分，根据平方差公式，分子分母同时乘以√5-1，则原式=（√5-1）*（√5-1）/[（√5+1）*（√5-1）]=（√5-1）2/（5-1），此时分子为完全平方式：（a-b）2=a2+b2-2ab，则=（√5-1）2=5+1-2√5，原式=（6-2√5）/4=（3-√5）/2，对应D项。方法二：猜题。√2≈1.414，√5≈2.236，观察图形，BCFE面积：DGHF面积大约为2倍多，则所求=1/2+（比1：2偏小），代入选项最接近1：2即为答案。15A项：（√5-1）/2≈（2.236-1）/2≈1.2：2，排除；B项：（3-√5）/1≈（3-2.236）/1≈0.7：1，排除；C项：（√5-2）/1≈（2.236-2）：1≈0.2：1，排除，D项当选。【选D】【注意】分母有理化：M/（√a+√b=M（√a-√b）/[（√a+√b）*（√a-√b）]=M（√a-√b）/（a-b）。【知识点】1.表面积相关公式：（1）S正方体=6a²。棱长为a，正方体表面积为单个面积再乘以6。（2）S长方体=2ab+2bc+2ac。（3）S球=4πr²，r为球体的半径。（4）S圆柱=2πr²+2πrh。上、下面为圆形，展开可知，侧面为长方形，宽为圆柱的高，长为圆柱的底面周长2πr。2.体积相关公式：（1）V正方体=a³。棱长为a，棱长a的三次方。（2）V长方体=abc。长*宽*高。（3）V柱体=Sh。底面积*高，任何柱体的体积都是底面积*高。（4）V椎体=1/3*Sh。椎体的体积都是柱体体积的三分之一。比如：底面积和高相等的圆柱和圆锥体积比为3：1。（5）V球=4/3*πr³。【例3】两个侧面积相等的圆柱，它们的体积之比为V1：V2=4：3，则它们的底面积之比S1：S2为（）16A.9：4B.3：2C.25：16D.16：9【解析】例3.三支一扶的真题。从问题出发，圆柱的底面积为圆，面积为2πr。设两个圆柱的底面半径分别为r1、r2，高分别为h1、h2，则底面积之比为2222S1：S2=（πr1）/（πr2）=r1/r2；由题干“两个侧面积相等的圆柱”可知，2πr1h1=222πr2h2→r1h1=r2h2。由V1：V2=4：3得：V1：V2=（πr1*h1）/（πr2*h2）=4：3→r1：2222r2=4：3，因此底面积之比为（πr1）/（πr2）=4：3=16：9，对应D项。【选D】【注意】公式类解题思路：1.规则图形直接用公式。2.不规则图形，转化为规则图形，再用公式，在平面几何中容易出现。【例4】如图所示，一个小区的道路围成了一个五边形，经实地勘测，五边形内有三个角为直角，AD边、BC边和CD边长度相等，且OA边长度为其一半。已知AD边长20米，问道路围成的五边形面积为多少平方米？（）A.（50√2+200）平方米B.（50√3+200）平方米C.（50√2+400）平方米D.50√3+400）平方米17【解析】例4.方法一：已知AD=BC=CD=20，OA=10，五边形为不规则图形，2连接AB构造成一个（直角）三角形和一个正方形，S正方形=20=400，所求=S△+S正2222方形，在直角三角形AOB中，AO⊥OB，则OA+OB=AB→OB=√20−10²=10√3，S△=1/2*10*10√3=50√3，所求=50√3+400，对应D项。方法二：根据选项结构猜题。所求=S三角形+S正方形，其中S正方形为平方数，排除A、B项；判断S三角形与√2有关，还是与√3有关，已知AO=10，AB=20，因此∠ABO=30°，边长比为1：2：√3，则OB=10√3，说明S三角形与√3有关，排除C项，对应D项。【选D】【注意】提速小技巧：在几何问题中，选项结构不同时，可以根据选项结构秒选答案。【知识点】常考特殊三角形：1.30°直角三角形：三边之比为1：√3：2。2.45°直角三角形：三边之比为1：1：√2。183.120°等腰三角形（两个底角为30°）：三边之比为1：1：√3。过顶点做底边的垂线（中线），左半部分（下图红色三角形）中，假设斜边为1，则短直角边为1/2，长直角边为√3/2，因此整个底边为√3。二、几何计数1.枚举类：不重不漏2.土色类：角、棱、面【知识点】计数类：1.平面：枚举类（不重不漏）。问多少条路线等问题，就是数数。2.立体：涂色类。把正方体所有面进行涂漆，问三面色的面有多少，两面色的面有多少。【例5】某人决定从西安到北京自驾游，可供他选择的道路如下图所示，如果他每次只能由西南到东北方向行驶，则他到北京有多少种不同的行驶路线？（）A.8B.9C.10D.1119【解析】例5.已知坐标中，上北下南、左西右东，“只能由西南到东北方向行驶”，就是只能向右上方行驶，不可以出现向左、下方行驶，问多少条路线，为计数问题，可以枚举。方法一：从西安可以发出三条路线，分别为：延安（革命根据地）、运城、临汾。（1）延安还可以分支为：忻州、北京、阳泉；忻州还可以分支为：（直达）北京、经过保定再到北京；阳泉发射出去，可以直接到北京、可以经过保定再到北京（5条）。（2）从运城到北京，只能往阳泉行驶，到达阳泉之后，可以直接到达北京，还可以经过保定到北京（2条）。（3）临汾：只能去运城，从运城只能到阳泉，阳泉可以直接到北京，还可以经过保定到北京（2条），因此一共有5+2+2=9条路线，对应B项。方法二：标数法（不太好想，适合数字较大问题）。从西安开始，向右上方行驶（不能向左、向下），西安可以到达三个地方：延安、运城和临汾，问西安到北京的路线，先分析西安到其他地方的路线。西安到延安只有1条路线，到临20汾有1条路线，到运城有2条路线（可以直接到达，还可以经过临汾再到达运城）。忻州只能从延安到，说明到延安有几条路线，到忻州就有几条路线，因此西安到忻州只能有1条路线。阳泉可以从延安来，可以从运城来，则西安到达阳泉的总路线，是到延安路线数加上到运城路线数，为1+2=3条。保定可以从忻州到达，可以从阳泉到达，因此到达保定的路线数为到达阳泉和忻州路线数之和，为1+3=4条。北京可以从忻州、延安、阳泉、保定到达，路线之和为1+1+3+4=9，对应B项。【选B】【注意】延安只能从西安到达，如果从临汾到达，则是向左上方行驶（必须向右上方走），不符合题意。【知识点】立体涂色类（正方体居多）：有一个大正方体，每条棱有n个边长为1的小正方体，把这个大正方体外面涂色，问这些小正方体中：1.三面涂色的有几个？答：蓝色。三面涂色，即露在外面三个面被涂色，只有角上的8个被三面涂色。2.两面涂色的有几个？21答：黄色。关键分析不含角的棱，如果棱长为n，去掉两端的棱（含角角的棱），则每条棱（大正方体的棱）上有n-2（黄色区域）个被两面涂色，正方体共有12条棱，则两面涂色有12（n-2）个。3.一面涂色的有几个？答：红色。外表面一面涂色，说明需要在面上，需要去掉挨着棱的面（黄色和蓝色），整条棱边长为n，则剩余部分的边长为n-2，另一边也是n-2，则涂色一面有（n-2）2个，正方体共有6个面，因此一面涂色是6（n-2）2个。4.未被涂色的有几个？答：内部。未被涂色就是里面的，拿刀砍掉外部正方体，如果原来大正方体的棱长为n，则剩下内部小正方体的棱长为n-2，正方体的体积是棱长立方，小正方的体积为1，因此体积等于个数，未被涂色有（n-2）3个。22【例6】将一个长为10厘米、宽为6厘米的长方体的所有外表面涂上蓝色颜料，然后将其恰好切成若干个棱长为1厘米的小立方体，已知在切成的小立方体中，有两面涂有颜料的小立方体个数是有三面涂有颜料的小立方体个数的8倍。则该长方体的高为多少厘米？（）A.4B.5C.6D.7【解析】例6.题目有所变化，考查长方体，但思维（与正方体）是一样的。假设高为x，则长方体长、宽、高分别为10、6、x。通过刚才的分析可知，三面色图形只有角上的8个，两面涂色的与正方体有区别，长方体有长、宽、高，各不相同，需要分开讨论。（1）对于边长为10的棱，需要去掉左右两个角，这样的棱有4条，每条棱上有10-2个，则总数为（10-2）*4个。（2）对于边长为6的棱，需要去掉两个角，这样的棱有4条，每条棱上有6-2个，则总数为（6-2）*4个。（3）对于边长为x的棱，需要去掉左右两个角，这样的棱有4条，每条棱上有x-2个，则总数为（x-2）*4个，列式：（10-2）*4+（6-2）*4+（x-2）*4=8*8，长方体涂色问题，不可以直接总体去看，要分开讨论，约分解得x=6，即高为6厘米，对应C项。【选C】23【注意】涂色数（区别正方体和长方体）：1.三面涂色：（1）正方形（每条棱上n个）：共8个。（2）长方形（长a个、宽b个、高c个）：共8个。2.两面涂色：（1）正方形（每条棱上n个）：12（n-2）个。（2）长方形（长a个、宽b个、高c个）：4（a-2）+4（b-2）+4（c-2）=4（a+b+c-6）。3.一面涂色：（1）正方形（每条棱上n个）：6（n-2）2个。（2）长方体（长a个、宽b个、高c个）：2（a-2）*（b-2）+2（b-2）*（c-2）+2（a-2）*（c-2）。4.未被涂色：（1）正方体（每条棱上n个）：（n-2）3个。（2）长方体（长a个、宽b个、高c个）：（a-2）*（b-2）*（c-2）个。24【注意】高频几何问题：1.几何公式：（1）周长：①正方形周长：C正方形=4a。②长方形周长：C长方形=2（a+b）。③圆形周长：C圆=2πr。④弧长：2πr*n°/360°。（2）面积：①S正方形=a²。②S长方形=ab。③S三角形=1/2*ah。④S圆=π*r²。⑤S扇形=πr²*n°/360°。⑥S梯形=1/2*（a+b）h。⑦S菱形=对角线乘积/2。25（3）表面积：①S正方体=6a²。6个正方形相加。②S长方体=2（ab+bc+ac）。③S圆柱=2πR²+2πrh。④S球体=4πr²。很少考，可以不记。（4）体积：①V正方体=a³。棱长的三次方。②V长方体=abc。长*宽*高。③V柱体=Sh。底面积*高，任何柱体的体积都是底面积*高，长方体和正方体也是柱体，也可以理解为底面积*高。④V椎体=1/3*Sh。上面是个尖，椎体是同底同高柱体体积的三分之一。⑤V球=4/3*πr³。2.公式类：（1）规则图形：直接用公式。（2）不规则图形：转化为规则图形，再用公式。3.计数类：（1）平面：按顺序数，不重不漏。（2）立体（正方体涂色）：①三面涂色8个。②两面涂色12（n-2）个。③一面涂色6（n-2）2个。④未被涂色（n-2）3个。【注意】数学运算怎么学：理论课有盲点的地方自己再学习一下。1.送分题（必须拿下）：基本方程、计算问题。2.拿稳套路题（套路题）：工程问题、经济利润、容斥问题、概率问题。3.攻克薄弱点（难点）：行程问题、排列组合、其他题型。4.每天刷10题：错题本本用起来，数量关系进步快！26【答案汇总】第五节计算问题：1-5：DCABD第六节容斥原理：1-5：CDBAA第七节高频几何：1-5：DDDDB；6：C27遇见不一样的自己Beyourbetterself28