【2020年高考数学一轮复习核心素养大揭秘】专题7.2 空间点、直线、平面间的位置关系（原卷版）

第七篇立体几何与空间向量专 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 7.02空间点、直线、平面间的位置关系【考纲要求】理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解可以作为推理依据的公理和定理.【命题趋势】空间点、线、面的位置关系以位置关系的判断为主要考查点，同时也考查逻辑推理能力和空间想象能力.【核心素养】本讲内容主要考查直观想象、逻辑推理的核心素养。【素养清单•基础知识】1．平面的基本性质(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．(2)公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．(4)公理2的三个推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面．推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面．推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面．(5)公理1是判断一条直线是否在某个平面内的依据，公理2及其推论是判断或证明点、线共面的依据，公理3是证明三线共点或三点共线的依据．2．空间中两直线的位置关系(1)空间中两直线的位置关系①共面直线eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(　平行　，,　相交　；))②异面直线：不同在任何一个平面内．(2)异面直线所成的角①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．②范围：　eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))　.(3)平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行．(4)定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．3．直线与平面、平面与平面之间的位置关系 图形语言 符号语言 公共点 直线与平面 相交 a∩α＝A 1个 平行 a∥α 0个 在平面内 a⊂α 无数个 平面与平面 平行 α∥β 0个 相交 α∩β＝l 无数个【素养清单•常用结论】1．公理2的三个推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面．推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面．推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面．2．异面直线判定的一个定理过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线．3．唯一性定理(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直．(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直【真题体验】1.【2019年 高考 地理事物空间分布特征语文高考下定义高考日语答题卡模板高考688高频词汇高考文言文120个实词 全国Ⅱ卷理数】设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是A．α内有无数条直线与β平行B．α内有两条相交直线与β平行C．α，β平行于同一条直线D．α，β垂直于同一平面2.【2019年高考全国Ⅲ卷理数】如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则A．BM=EN，且直线BM，EN是相交直线B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线C．BM=EN，且直线BM，EN是异面直线D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线3.【2019年高考浙江卷】设三棱锥V–ABC的底面是正三角形，侧棱长均相等，P是棱VA上的点（不含端点）．记直线PB与直线AC所成的角为α，直线PB与平面ABC所成的角为β，二面角P–AC–B的平面角为γ，则A．β<γ，α<γB．β<α，β<γC．β<α，γ<αD．α<β，γ<β4.【2019年高考北京卷理数】已知l，m是平面外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l⊥m；②m∥；③l⊥．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________．5.【2018年高考浙江卷】已知四棱锥S−ABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点（不含端点），设SE与BC所成的角为θ1，SE与平面ABCD所成的角为θ2，二面角S−AB−C的平面角为θ3，则A．θ1≤θ2≤θ3B．θ3≤θ2≤θ1C．θ1≤θ3≤θ2D．θ2≤θ3≤θ16.【2017年高考全国Ⅲ卷理数】a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角；②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角；③直线AB与a所成角的最小值为45°；④直线AB与a所成角的最大值为60°.其中正确的是________.（填写所有正确结论的编号）【考法拓展•题型解码】考法一　　平面的基本性质及应用解题技巧　　　　　　　　　　　　　　　　　　　用平面的基本性质证明共点、共线、共面的方法(1)证明点或线共面问题的两种方法：①首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；②将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合．(2)证明点共线问题的两种方法：①先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；②直接证明这些点都在同一条特定直线上．(3)证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．【例1】以下四个命题中，正确命题的个数是(　　)①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则A，B，C，D，E共面；③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；④依次首尾相接的四条线段必共面．A．0B．1C．2D．3【例2】已知空间四边形ABCD(如图所示)，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别是BC，CD上的点，且CG＝eq\f(1,3)BC，CH＝eq\f(1,3)DC.求证：(1)E，F，G，H四点共面；(2)直线FH，EG，AC共点．考法二　　空间两条直线的位置关系解题技巧　　　　　　　　　　　　　　　　　　　判断空间两条直线的位置关系的方法(1)异面直线，可采用直接法或反证法．(2)平行直线，可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理4及线面平行与面面平行的性质定理．(3)垂直关系，往往利用线面垂直的性质来解决．【例3】(1)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是(　　)A．l与l1，l2都不相交B．l与l1，l2都相交C．l至多与l1，l2中的一条相交D．l至少与l1，l2中的一条相交(2)如图为正方体 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 面的一种展开图，则图中的四条线段AB，CD，EF，GH所在的直线在原正方体中互为异面直线的对数为__________对．考法三　　两条异面直线所成角归纳 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　两异面直线所成角的作法及求解步骤(1)找异面直线所成角的三种方法：①利用图中已有的平行线平移；②利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；③补形平移．(2)求异面直线所成角的三个步骤：①作：通过作平行线，得到相交直线；②证：证明相交直线所成的角或其补角为异面直线所成的角；③算：通过解三角形，求出该角．【例4】(1)(2018·全国卷Ⅱ)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为(　　)A.eq\f(\r(2),2)B.eq\f(\r(3),2)C.eq\f(\r(5),2)D.eq\f(\r(7),2)(2)(2017·全国卷Ⅱ)已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为(　　)A.eq\f(\r(3),2)B.eq\f(\r(15),5)C.eq\f(\r(10),5)D.eq\f(\r(3),3)【易错警示】易错点　忽视异面直线所成角的范围而出错【典例】如图所示，已知空间四边形ABCD，AD＝BC，M，N分别为AB，CD的中点，且直线BC与MN所成的角为30°，求BC与AD所成的角．【错解】：如图，连接BD，并取中点E，连接EN，EM，则EN∥BC，ME∥AD，故∠ENM为BC与MN所成的角，∠MEN为BC与AD所成的角，所以∠ENM＝30°.又由AD＝BC，知ME＝EN，所以∠EMN＝∠ENM＝30°，所以∠MEN＝180°－30°－30°＝120°，即BC与AD所成的角为120°.【错因分析】：异面直线所成的角的范围是(0°，90°]，因此在未判断出∠MEN是锐角或直角还是钝角之前，不能断定它就是两异面直线所成的角，如果∠MEN为钝角，那么它的补角才是异面直线所成的角．【正解】：以上同错解，求得∠MEN＝120°，即BC与AD所成的角为60°.误区防范　　　　　　　　　　　　　　　　　　　求异面直线所成的角的时候，要注意它的取值范围是(0°，90°]．两异面直线所成的角转化为一个三角形的内角时，容易忽略这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角．【跟踪训练】(2019·浙江普通高中学业水平考试)如图所示，三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥AB，AA1⊥AC.若AB＝AC＝AA1＝1，BC＝eq\r(2)，则异面直线A1C与B1C1所成的角为(　　)A．30°B．45°C．60°D．90°【递进题组】1．下列命题中正确的个数是(　　)①过异面直线a，b外一点P有且只有一个平面与a，b都平行；②异面直线a，b在平面α内的射影相互垂直，则a⊥b；③直线a，b分别在平面α，β内，且a⊥b，则α⊥β.A．0B．1C．2D．32．两条异面直线在同一个平面上的正投影不可能是　(　　)A．两条相交直线　B．两条平行直线C．两个点　D．一条直线和直线外一点3．已知正方体ABCD-A1B1C1D1.(1)求AC与A1D所成角的大小；(2)若E，F分别为AB，AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小．【考卷送检】一、选择题1．(2019·武邑中学月考)下列命题正确的是(　　)A．两个平面如果有公共点，那么一定相交B．两个平面的公共点一定共线C．两个平面有3个公共点一定重合D．过空间任意三点，一定有一个平面2．设a，b是平面α内两条不同的直线，l是平面α外的一条直线，则“l⊥a，l⊥b”是“l⊥α”的(　　)A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件3．如图所示，ABCD-A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是(　　)A．A，M，O三点共线B．A，M，O，A1不共面C．A，M，C，O不共面D．B，B1，O，M共面4．正方体A1C中，E，F分别是线段BC，CD1的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是(　　)A．相交B．异面C．平行D．垂直5．(2017·全国卷Ⅰ)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是(　　)6．(2019·绵阳二中月考)空间四边形ABCD中，AB，BC，CD的中点分别为P，Q，R，且AC＝4，BD＝2eq\r(5)，PR＝3，则AC和BD所成的角为(　　)A．90°B．60°C．45°D．30°二、填空题7．已知a，b为异面直线，直线c∥a，则直线c与b的位置关系是________．8．(2019·长治二中月考)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列说法正确的是________(填序号)．①直线AC1在平面CC1B1B内；②设正方形ABCD与A1B1C1D1的中心分别为O，O1，则平面AA1C1C与平面BB1D1D的交线为OO1；③由A，C1，B1确定的平面是ADC1B1；④由A，C1，B1确定的平面与由A，C1，D确定的平面是同一个平面．9．如图所示，正方形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，将此正方形沿EF折成直二面角后，异面直线AF与BE所成角的余弦值为________．三、解答题10．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，CC1的中点，求异面直线A1M与DN所成的角的大小．11．如图，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BCeq\f(1,2)AD，BEeq\f(1,2)FA，G，H分别为FA,FD的中点．(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？12．如图所示，在三棱锥PABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝60°，PA＝AB＝AC＝2，E是PC的中点．(1)求证：AE与PB是异面直线；(2)求异面直线AE和PB所成角的余弦值；(3)求三棱锥A－EBC的体积．13．(2019·哈尔滨三中检测)如图是三棱锥D－ABC的三视图，点O在三个视图中都是所在边的中点，则异面直线DO和AB所成角的余弦值等于(　　)A.eq\f(\r(3),3)B.eq\f(1,2)C.eq\r(3)D.eq\f(\r(2),2)11_1234567891.unknown_1234567893.unknown_1234567894.unknown_1234567892.unknown_1234567890.unknown