线性代数公式定理大全(精简版)

线性代数公式定理大全（精简版）1()0ArAnAAxAA不可逆有非零解是的特征值的列（行）向量线性相关12()0,,TsinArAnAxAAAAAAAppppAx可逆只有零解的特征值全不为零的列（行）向量线性无关是正定矩阵与同阶单位阵等价是初等阵总有唯一解R具有向量组等价相似矩阵反身性、对称性、传递性矩阵 合同 劳动合同范本免费下载装修合同范本免费下载租赁合同免费下载房屋买卖合同下载劳务合同范本下载 √关于12,,,neee：①称为n的 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 基，n中的自然基，单位坐标向量；②12,,,neee线性无关；③12,,,1neee；④tr()=En；⑤任意一个n维向量都可以用12,,,neee线性表示.√行列式的计算：①若AB与都是方阵（不必同阶）,则(1)mnAAAABBBBAABB②上三角、下三角行列式等于主对角线上元素的乘积.③关于副对角线：(1)211212112111(1)nnnnnnnnnnnaaaaaaaaa√逆矩阵的求法:①1AAA线性代数公式定理大全（精简版）2②1()()AEEA初等行变换③11abdbcdcaadbcTTTTTABACCDBD④12111121naanaaaa21111211naanaaaa⑤11111221nnAAAAAA11121211nnAAAAAA√方阵的幂的性质：mnmnAAA()()mnmnAA√设1110()mmmmfxaxaxaxa，对n阶矩阵A规定：1110()mmmmfAaAaAaAaE为A的一个多项式.√设,,mnnsABA的列向量为12,,,n,B的列向量为12,,,s，AB的列向量为12,,,srrr,1212121122,1,2,,,(,,,)(,,,),(,,,),,,.iissTnnniiiirAisAAAAABbbbAbbbABirAABirB则：即用中简若则单的一个提即：的第个列向量是的列向量的线性组合组合系数就是的各分量；高运算速度的第个行向量是的行向量的线性组合组合系数就是的各分量√用对角矩阵左乘一个矩阵,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的行向量；用对角矩阵右乘一个矩阵,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的列向量.√两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘,与分块对角阵相乘类似,即：11112222,kkkkABABABAB线性代数公式定理大全（精简版）311112222kkkkABABABAB√矩阵方程的解法：设法化成AXBXAB(I)或(II)当0A时,,BABEX初等行变换（当为一列时(I)的解法：构造()()即为克莱姆法则）TTTTAXBXX(II)的解法：将等式两边转置化为，用(I)的方法求出，再转置得√Ax和Bx同解（,AB列向量个数相同）,则：①它们的极大无关组相对应,从而秩相等；②它们对应的部分组有一样的线性相关性；③它们有相同的内在线性关系.√判断12,,,s是0Ax的基础解系的条件：①12,,,s线性无关；②12,,,s是0Ax的解；③()snrA每个解向量中自由变量的个数.1零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交.2单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关.3部分相关,整体必相关；整体无关,部分必无关.4原向量组无关,接长向量组无关；接长向量组相关,原向量组相关.5两个向量线性相关对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关.6向量组12,,,n中任一向量i(1≤i≤)n都是此向量组的线性组合.7向量组12,,,n线性相关向量组中至少有一个向量可由其余1n个向量线性表示.线性代数公式定理大全（精简版）4向量组12,,,n线性无关向量组中每一个向量i都不能由其余1n个向量线性表示.8m维列向量组12,,,n线性相关()rAn；m维列向量组12,,,n线性无关()rAn.9()0rAA.10若12,,,n线性无关，而12,,,,n线性相关,则可由12,,,n线性表示,且表示法惟一.11矩阵的行向量组的秩等于列向量组的秩.阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数.12矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩,且不改变列向量间的线性关系.矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩,且不改变行向量间的线性关系.向量组等价12,,,n和12,,,n可以相互线性表示.记作：1212,,,,,,nn矩阵等价A经过有限次初等变换化为B.记作：AB13矩阵A与B等价()(),rArBAB作为向量组等价,即：秩相等的向量组不一定等价.矩阵A与B作为向量组等价1212(,,,)(,,,)nnrr1212(,,,,,,)nnr矩阵A与B等价.14向量组12,,,s可由向量组12,,,n线性表示1212(,,,,,,)nsr12(,,,)nr12(,,,)sr≤12(,,,)nr.15向量组12,,,s可由向量组12,,,n线性表示,且sn，则12,,,s线性相关.向量组12,,,s线性无关,且可由12,,,n线性表示,则s≤n.16向量组12,,,s可由向量组12,,,n线性表示,且12(,,,)sr12(,,,)nr,则两向量组等价；17任一向量组和它的极大无关组等价.18向量组的任意两个极大无关组等价,且这两个组所含向量的个数相等.线性代数公式定理大全（精简版）519若两个线性无关的向量组等价,则它们包含的向量个数相等.20若A是mn矩阵,则()min,rAmn,若()rAm，A的行向量线性无关；若()rAn，A的列向量线性无关,即：12,,,n线性无关.线性方程组的矩阵式Ax向量式1122nnxxx1112111212222212,,nnmmmnnmaaaxbaaaxbAxaaaxb12,1,2,,jjjmjjn线性代数公式定理大全（精简版）61212120,,,0,,,()(),,,AnAnnAxAxAnAxAxAAxrArAn当为方阵时当为方阵时有无穷多解有非零解线性相关有唯一组解只有零解可由线性表示有解线性无关12()(),,,()()()1()AnrArAAxrArArArA当为方阵时克莱姆法则不可由线性表示无解矩阵转置的性质：()TTAA()TTTABBA()TTkAkATAA()TTTABAB矩阵可逆的性质：11()AA111()ABBA111()kAkA11AA11()()TTAA11()()kkkAAA伴随矩阵的性质：2()nAAA()ABBA1()nkAkA1nAA11()()()()AATTAAAA()()kkAAAAAAAE线性代数公式定理大全（精简版）7()()1()10()1nrAnrArAnrAn若若若ABABnkAkAkkAA线性代数公式定理大全（精简版）8线性方程组解的性质：1212121211221212(1),0,(2)0,,(3),,,0,,,,,(4),0,(5),,0(6)kkkkAxAxkkAxkAxAxAxAxAx是的解也是它的解是的解对任意也是它的解齐次方程组是的解对任意个常数也是它的解是的解是其导出组的解是的解是的两个解是其导出组的解211212112212112212,0(7),,,,100kkkkkkkAxAxAxAxAx是的解则也是它的解是其导出组的解是的解则也是的解是的解√设A为mn矩阵,若()rAm,则()()rArA,从而Ax一定有解.当mn时,一定不是唯一解.方程个数未知数的个数向量维数向量个数,则该向量组线性相关.m是()()rArA和的上限.√矩阵的秩的性质：①()()()TTrArArAA②()rAB≤()()rArB③()rAB≤min(),()rArB④()0()00rAkrkAk若若⑤()()ArrArBB⑥0,()ArA若则≥1⑦,,()0,()()mnnsABrABrArB若且则≤n⑧,()()()PQrPArAQrA若可逆,则⑨,()()ArABrB若可逆则,()()BrABrA若可逆则线性代数公式定理大全（精简版）9⑩(),()(),rAnrABrB若则且A在矩阵乘法中有左消去律:0ABBABACBC标准正交基n个n维线性无关的向量,两两正交,每个向量长度为1.与正交(,)0.是单位向量(,)1.√内积的性质：①正定性：(,)0,(,)0且②对称性：(,)(,)③双线性：1212(,)(,)(,)1212(,)(,)(,)(,)(,)(,)ccc施密特123,,线性无关,112122111313233121122(,)()(,)(,)()()正交化单位化：111222333正交矩阵TAAE.√A是正交矩阵的充要条件：A的n个行（列）向量构成n的一组标准正交基.√正交矩阵的性质：①1TAA；②TTAAAAE；③A是正交阵,则TA（或1A）也是正交阵；④两个正交阵之积仍是正交阵；⑤正交阵的行列式等于1或-1.线性代数公式定理大全（精简版）10A的特征矩阵EA.A的特征多项式()EAf.A的特征方程0EA.AxxAxx与线性相关√上三角阵、下三角阵、对角阵的特征值就是主对角线上的n各元素.√若0A,则0为A的特征值,且0Ax的基础解系即为属于0的线性无关的特征向量.√12nA1niAtr√若()1rA,则A一定可分解为A=1212,,,nnaabbba、21122()nnAabababA,从而A的特征值为：11122nnAabababtr,230n.√若A的全部特征值12,,,n，()fx是多项式,则:①()fA的全部特征值为12(),(),,()nfff；②当A可逆时,1A的全部特征值为12111,,,n,A的全部特征值为12,,,nAAA.√1122,.mmAkkAabaAbEAAAAA是的特征值则:分别有特征值√1122,mmAkkAabaAbEAxAxAAA是关于的特征向量则也是关于的特征向量.A与B相似1BPAP（P为可逆阵）记为：AB线性代数公式定理大全（精简版）11√A相似于对角阵的充要条件：A恰有n个线性无关的特征向量.这时,P为A的特征向量拼成的矩阵，1PAP为对角阵,主对角线上的元素为A的特征值.√A可对角化的充要条件：()iinrEAkik为i的重数.√若n阶矩阵A有n个互异的特征值,则A与对角阵相似.A与B正交相似1BPAP（P为正交矩阵）√相似矩阵的性质：①11AB若,AB均可逆②TTAB③kkAB（k为整数）④EAEB,从而,AB有相同的特征值,但特征向量不一定相同.即:x是A关于0的特征向量,1Px是B关于0的特征向量.⑤AB从而,AB同时可逆或不可逆⑥()()rArB⑦()()ABtrtr√数量矩阵只与自己相似.√对称矩阵的性质：①特征值全是实数,特征向量是实向量；②与对角矩阵合同；③不同特征值的特征向量必定正交；④k重特征值必定有k个线性无关的特征向量；⑤必可用正交矩阵相似对角化（一定有n个线性无关的特征向量,A可能有重的特征值,重数=()nrEA）.A可以相似对角化A与对角阵相似.记为：A（称是A的相似标准型）√若A为可对角化矩阵,则其非零特征值的个数（重数重复计算）()rA.线性代数公式定理大全（精简版）12√设i为对应于i的线性无关的特征向量,则有：121212112212(,,,)(,,,)(,,,),,,nnnnnnPAAAA.√若AB,CD,则：ABCD.√若AB,则()()fAfB,()()fAfB.二次型12(,,,)TnfxxxXAXA为对称矩阵12(,,,)TnXxxxA与B合同TBCAC.记作：AB（,,ABC为对称阵为可逆阵）√两个矩阵合同的充分必要条件是：它们有相同的正负惯性指数.√两个矩阵合同的充分条件是：AB√两个矩阵合同的必要条件是：()()rArB√12(,,,)TnfxxxXAX经过正交变换合同变换可逆线性变换XCY化为2121(,,,)nniifxxxdy标准型.√二次型的标准型不是惟一的,与所作的正交变换有关,但系数不为零的个数是由()rA正惯性指数负惯性指数惟一确定的.√当标准型中的系数id为1，-1或0时,则为 规范 编程规范下载gsp规范下载钢格栅规范下载警徽规范下载建设厅规范下载 形.√实对称矩阵的正（负）惯性指数等于它的正（负）特征值的个数.线性代数公式定理大全（精简版）13√任一实对称矩阵A与惟一对角阵111100合同.√用正交变换法化二次型为标准形:1求出A的特征值、特征向量；2对n个特征向量单位化、正交化；3构造C（正交矩阵）,1CAC；4作变换XCY,新的二次型为2121(,,,)nniifxxxdy,的主对角上的元素id即为A的特征值.正定二次型12,,,nxxx不全为零，12(,,,)0nfxxx.正定矩阵正定二次型对应的矩阵.√合同变换不改变二次型的正定性.√成为正定矩阵的充要条件（之一成立）：1正惯性指数为n；2A的特征值全大于0；3A的所有顺序主子式全大于0；4A合同于E，即存在可逆矩阵Q使TQAQE；5存在可逆矩阵P，使TAPP（从而0A）；线性代数公式定理大全（精简版）146存在正交矩阵，使121TnCACCAC（i大于0）.√成为正定矩阵的必要条件：0iia；0A.