新课程标准数学选修4—5不等式选讲课后习题解答第一讲不等式和绝对值不等式习题1.1（P9）1、（1）假命题.假如，但是.（2）假命题.假如，但是.（3）假命题.假如，但是.（4）真命题.因为，所以，因此.又，所以.因此.2、因为所以3、（1）因为，，所以，即，即；（2）因为，，所以.因为，，所以.因此.4、不能得出.举反例如下：例如，，但是.5、（1）因为，，所以，即.所以.（2）因为，所以所以，即6、因为是不全相等的正数所以，，，以上不等式不可能全取等号.所以（1）（2）所以7、因为，，，所以即8、因为，，……，所以即，所以9、因为，所以.10、因为，所以11、因为，，所以所以12、（1）因为，所以，所以（2）因为，所以，所以13、设矩形两边分别为，对角线为定值，则∴∴，∴当且仅当时，以上不等式取等号.∴当矩形为正方形时，周长取得最大值，最大值为因为，当且仅当时等号成立所以当矩形为正方形时，面积取得最大值，最大值为14、因为，所以.根据三个正数的算术—几何平均不等式，得所以，球内接圆柱的体积当且仅当，即，时，取最大值.15、因为，所以，即.由于，所以，从而习题1.2（P19）1、（1）（2），所以2、证法一：.证法二：容易看出，无论，还是，均有所以3、（1）（2）因为所以另证：4、（1）（2）5、当且仅当，即时，
函
关于工期滞后的函关于工程严重滞后的函关于工程进度滞后的回复函关于征求同志党风廉政意见的函关于征求廉洁自律情况的复函
数取最小值2.6、7、8、9、第二讲证明不等式的基本方法习题2.1（P23）1、因为，所以.因此所以2、因为，所以所以3、因为，所以所以4、因为是正数，不妨设，则，，因为，且所以习题2.2（P25）1、因为，所以.2、（1）因为所以（2）因为所以，，所以3、略.4、要证明，即证明因为，所以，从而又因为，所以，所以5、要证，只需要证明.因为只需证，即证，只需证，不妨设，则所以.所以，原不等式成立.6、要证明，即，即因为，所以只需证∵∴，从而原不等式成立.7、又因为，所以，.所以所以，即从而8、因为，所以9、因为，所以习题2.3（P29）1、因为，根据基本不等式，所以假设都大于，则这与矛盾.所以不能都大于.2、一方面，另一方面，所以，3、当时，不等式显然成立，即.当时，因为所以即所以，，，……，所以4、假设.由于且所以得，这与矛盾，所以5、因为（定值）所以，圆柱的表面积当且仅当时，等号成立.所以，当，即，其表面积最大.6、第三讲柯西不等式与排序不等式习题3.1（P36）1、函数定义域为，且当且仅当，即时，函数有最大值5.2、三维柯西不等式三维三角不等式3、因为，所以.因此4、因为，所以5、因为，所以6、，即当且仅当时，有最小值7、当且仅当（）时，函数有最小值8、9、当且仅当时，函数有最大值习题3.2（P41）1、推广：若，且，则.证：2、因为所以3、4、上式中等号不成立，这是由于是互不相等的正数，所以.5、因为，所以.当且仅当时，有最小值.6、因为所以习题3.3（P45）1、由加法交换律及的任意性，不妨假设，这不影响题意.由排序不等式，等.2、由于要证的式子中是轮换对称的，所以不妨假设.于是.由排序不等式，得两式相加，得3、由于要证的式子中是轮换对称的，所以不妨假设.于是，由排序不等式，得即4、用柯西不等式证明如下：因为所以.用排序不等式证明如下：设，其中是的一个排列则，.由排序不等式知，反序和最小，从而所以习题4.1（P50）1、（1）当时，左边1，右边1，所以，左边右边，命题成立.（2）假设当时，命题成立，即.当时，.所以，当时，命题成立.由（1）（2）知，2、（1）当时，左边1，右边，所以，左边右边，命题成立.（2）假设当时，命题成立，即.当时，所以，当时，命题成立.由（1）（2）知，3、（1）当时，左边，右边，所以，左边右边，命题成立.（2）假设当时，命题成立，即.当时，所以，当时，命题成立.由（1）（2）知，4、（1）当时，因为能被整除，所以命题成立.（2）假设当时，命题成立，即能被整除.当时，上式前后两部分都能被整除，所以，当时命题成立.由（1）（2）知，能被整除.5、凸边形有条对角线.下面证明这个命题.（1）当时，三角形没有对角线，即三角形有0条对角线，命题成立.（2）假设当时，命题成立，即凸边形有条对角线.当时，凸边形的对角线条数为所以，当时，命题成立.由（1）（2）知，凸边形有条对角线.6、这样的条直线把平面分成的区域数目为.下面证明这个命题.（1）当时，平面被分为个区域，，命题成立.（2）假设当时，命题成立，即有.当时，第条直线与前面条直线有个不同交点即，它被前面条直线截成段，其中每一段都把它所在的原区域一分为二，也即使原区域数目增加.于是所以，当时，命题成立.由（1）（2）知，对任意正整数，命题都成立.习题4.2（P53）1、（1）当时，左边，右边所以，左边右边，命题成立.（2）假设当时，命题成立，即.当时，所以，当时，命题成立.由（1）（2）知，命题对大于2的一切正整数成立.2、（1）当时，有.①当时，，命题成立.②假设当时，命题成立，即当时，所以，当时，命题成立.由①②知，命题对一切不小于17的正整数成立.（2）当时，有.①当时，，命题成立.②假设当时，命题成立，即当时，所以，当时，命题成立.由①②知，命题对一切不小于3的正整数成立.3、（1）当时，，命题成立.（2）假设当时，命题成立，即当时，所以，当时，命题成立.由（1）（2）知，命题对任意大于1的正整数成立.4、不妨设，，.（1）当时，，命题成立.（2）假设当时，命题成立，即当时，所以，当时，命题成立.由（1）（2）知，命题对一切大于1的正整数成立.5、（1）当时，，命题成立.（2）假设当时，命题成立，即.当时，所以，当时，命题成立.由（1）（2）知，命题对一切正整数成立.6、（1）当时，，命题成立.（2）假设当时，命题成立，即当时，所以，当时，命题成立.由（1）（2）知，命题对一切大于1的正整数成立.7、（1）当时，，命题成立.（2）假设当时，命题成立，即当时，所以，当时，命题成立.由（1）（2）知，命题对一切不小于2的正整数成立即，.8、（1）（2）①当时，，命题成立.②假设当时，命题成立，即当时，所以，当时，命题成立.由①②知，命题对一切正整数成立
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