1.5　全称量词与存在量词

1.5全称量词与存在量词一二三二、存在量词与存在量词命题1.给出下列命题:①有些矩形不是平行四边形;②存在一个x∈R,使得x2≤0;③至少有一个菱形的对角线不垂直;④有的自然数不是正整数.(1)上述命题中的“有些”“存在一个”“至少有一个”“有的”都表示什么含义?如何定义这类命题?提示:这些短语在陈述中表示所述事物的个体或部分,称为存在量词.含有存在量词的命题,叫做存在量词命题.(2)判断这四个命题的真假.提示:命题②④是真命题,命题①③是假命题.因为当x=0时,x2≤0成立,所以②是真命题;因为0是自然数,但不是正整数,所以命题④是真命题.一二三三、全称量词命题和存在量词命题的否定1.已知命题:①所有的矩形都是平行四边形;②每一个自然数都是正整数;③存在一个x∈R,使得x2≤0;④至少有一个菱形的对角线不垂直.(1)写出这四个命题的否定.提示:①有些矩形不是平行四边形;②至少存在一个自然数不是正整数;③对任意一个x∈R,都有x2>0;④每一个菱形的对角线都垂直.(2)这四个命题分别是什么命题?它的否定又是什么命题?提示:①②是全称量词命题,它们的否定是存在量词命题.③④是存在量词命题,它们的否定是全称量词命题.(3)判断上述命题与其否定的真假,你能发现什么规律?提示:命题①③是真命题,它们的否定是假命题;命题②④是假命题,它们的否定是真命题.即一个命题和它的否定真假相反.一二三(3)判断这四个命题的真假.提示:命题①③是真命题,命题②④是假命题.因为当x=0时,x2>0不成立,所以②是假命题;因为0是自然数,但不是正整数,所以命题④是假命题.(4)说一说如何判断一个全称量词命题的真假?提示:要判断一个全称量词命题是真命题,需要说明每一个元素都满足题意;而要说明它是假命题,则只需要举出一个反例.2.填空短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“∀”表示.含有全称量词的命题,叫做全称量词命题.全称量词命题“对M中任意一个x,p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M,p(x).探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练对命题的否定理解不清致误典例命题p:∃x<3,x2>9的否定􀱑p为　　　　　　　　　. 答案:∀x<3,x2≤9纠错心得在对含有一个量词的命题进行否定时,只需在两个地方作出改变即可,一是量词的符号,将“∀”改为“∃”,或者将“∃”改为“∀”;二是结论,将结论进行否定.当量词符号后面含有表示变量范围的不等式时,不能将这个不等式进行否定,否则得到的命题就不是原命题的否定.一二三(3)说一说如何判断一个存在量词命题的真假?提示:要判断一个存在量词命题是真命题,只要举一个特例满足题意即可.2.填空短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,用符号“∃”表示.含有存在量词的命题,叫做存在量词命题.存在量词命题“存在M中的元素x,P(x)成立”,可用符号简记为∃x∈M,p(x).一二三3.做一做(1)判断(正确的打“√”,错误的打“×”)①全称量词的含义是“任意性”,存在量词的含义是“存在性”.(　　)②全称量词命题一定含有全称量词,存在量词命题一定含有存在量词.(　　)(2)下列存在量词命题是假命题的是(　　)A.存在x∈Q,使2x-x3=0 B.存在x∈R,使x2+x+1=0C.有的素数是偶数 D.有的有理数没有倒数(3)命题“有些长方形是正方形”含有的量词是　　　　　,该量词是　　　　　量词(填“全称”或“存在”). 答案:(1)①√　②×　(2)B　(3)有些　存在一二三2.填空一二三3.做一做(1)命题“存在一个三角形,内角和不等于180°”的否定为(　　)A.存在一个三角形的内角和等于180°B.所有三角形的内角和都等于180°C.所有三角形的内角和都不等于180°D.很多三角形的内角和不等于180°(2)命题“∀x∈Z,4x-1是奇数”的否定是　　　　　　　　　　　　　　　. 答案:(1)B　(2)∃x∈Z,4x-1不是奇数探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练反思感悟判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的思路探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练变式训练1下列命题中,是全称量词命题的是　　　　　,是存在量词命题的是　　　　　(填序号). ①正方形的四条边相等;②有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形;③正数的平方根不等于0;④至少有一个正整数是偶数.解析:①②③是全称量词命题,④是存在量词命题.答案:①②③　④探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练反思感悟判断全称量词命题和存在量词命题真假的方法(1)要判断一个全称量词命题为真,必须对在给定集合的每一个元素x,使命题p(x)为真;但要判断一个全称量词命题为假时,只需在给定的集合中找到一个元素x,使命题p(x)为假.(2)要判断一个存在量词命题为真,只要在给定的集合中找到一个元素x,使命题p(x)为真;要判断一个存在量词命题为假,必须对在给定集合的每一个元素x,使命题p(x)为假.探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练变式训练2指出下列命题中,哪些是全称量词命题,哪些是存在量词命题,并判断真假.(1)存在一个实数,它的绝对值不是正数;(2)每一条线段的长度都能用正有理数来表示;(3)存在一个实数x,使得等式x2+x+8=0成立.解:(2)是全称量词命题,(1)(3)是存在量词命题.(1)真命题.存在一个实数0,它的绝对值不是正数.(2)假命题,如边长为1的正方形,其对角线的长度为,就不能用正有理数表示.(3)假命题,方程x2+x+8=0的判别式Δ=-31<0,故方程无实数解.探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练反思感悟1.一般地,写含有一个量词的命题的否定,首先要明确这个命题是全称量词命题还是存在量词命题,并找到量词及相应结论,然后把命题中的全称量词改成存在量词,存在量词改成全称量词,同时否定结论,即得其否定.2.对于省略量词的命题,应先挖掘命题中隐含的量词,改写成含量词的完整形式,再写出命题的否定.探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练变式训练3写出下列命题的否定,并判断其真假.(2)q:所有的正方形都是矩形;(3)r:∃x∈R,x2+3x+7≤0;(4)s:至少有一个实数x,使x3+1=0.探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练反思感悟求解含有量词的命题中参数范围的策略(1)对于全称量词命题“∀x∈M,a>f(x)(或a<f(x))”为真的问题,实质就是不等式恒成立问题,通常转化为求函数f(x)的最大值(或最小值),即a>f(x)max(或a<f(x)min).(2)对于存在量词命题“∃x∈M,a>f(x)(或a<f(x))”为真的问题,实质就是不等式能成立问题,通常转化为求函数f(x)的最小值(或最大值),即a>f(x)min(或a<f(x)max).探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练延伸探究(1)若本例中的“假命题”改为“真命题”,求实数a的取值范围.(2)若本例中的“∀x∈R”改为“∀x>0”,求实数a的取值范围.解:(1)由题意知Δ≤0,则a2-4≤0,得-2≤a≤2.所以实数a的取值范围为[-2,2].(2)因为全称量词命题“∀x>0,x2+ax+1≥0”的否定形式为:“∃x>0,x2+ax+1<0”.由“命题真,其否定假;命题假,其否定真”可知,这个否定形式的命题是真命题.由于函数f(x)=x2+ax+1是开口向上的抛物线,解得a<-2,所以实数a的取值范围是(-∞,-2).探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练2.下列语句:①被7整除的数都是奇数;②|x-1|<2;③存在实数a使方程x2-ax+1=0成立;④等腰梯形的对角线相等.其中是全称量词命题且为真命题的序号是　　　　　. 解析:全称量词命题有①④,其中①是假命题,如70.答案:④3.指出命题“空间中所有的四边形都共面”的量词,并判断真假.解:量词为“所有的”.是假命题.