数学椭圆与双曲线的对偶性质（必背的经典结论）1.点P处的切线PT平分△PFiF2在点P处的外角.xx4.以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.2.PT平分△PFiF2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点XxX5.若P0(x0,y0)在椭圆—aXoX3.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.y勺1上，则过Po的椭圆的切线方程是bXX26.若P0(X0,yo)在椭圆ra21外，则过Po作椭圆的两条切线切点bxx为P1、P2,则切点弦P1P2的直线方程是巻aV0V1了1.x229.设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交P、Q两点，A为椭圆长轴的一个x7.椭圆一2a任意一芯1(a>b>0)的左右焦点分别为b点Fi,F2,点P为椭圆上顶点，连结AP和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点,,则椭圆的焦点三角形的面积为贝UMF丄NF.F1PF2x10.于两点P、Q,Ai、A2为椭圆长轴上过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交2x8.椭圆一a|MF1|a11.2七1(a>b>0)的焦半径
公式
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：bexo,IMF2Iaexo(斤(c,0),F2(c,0)M(Xo,yo)).的顶点，AiP和A2Q交于点M,A2P和AiQ交于点N，贝UMF丄NF.22xVAB是椭圆二21的不平行于对称轴的弦，M(X0,V0)为AB的中ab则被Po所平分的中点弦的方程是12.b7，即Kab2点，则koMkABb2X0a2yo14.椭圆的光学特性.XoXayoyb2Xo2aa2yob2xx22XyP)(x0,yo)在椭圆—221内，则过Poab弦中点的轨迹方程是双曲线1.点P处的切线PT平分△PFiF2在点P处的内角.2.PT平分△PFiF2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.H点的4.以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆右支；外切：P在左支）相切.（内切：P在X24.若P0（X0,y0）在双曲线—a5.若Po（Xo,yo）在双曲线2b-1XoXyoy(a>0,b>0)上,则过F0的双曲线的切线方程是丸負缨a2b21.的中点弦的方程是22ab2Xa5.若P0（x0,y0）在双曲线2yb22X0~2a2y1（a>0,b>0）内，则被Po所平分2y。1（a>0,b>0）内，则过Po的弦中6.右卩0&0,丫0）在双曲线2b-1(a>0,b>0)，则过Po作双曲22点的轨迹方程是予却X0X—TaYcy线的两条切线切点为Pl、P2,则切点弦P1P2的直线方程是椭圆与双曲线的对偶性质（会推导的经典结论）7.22Xy双曲线一豊a2b2曲线上任意一点1（a>0,b>0）的左右焦点分别为F1,F2,点P为8.bcot—.222Xy双曲线——2a2b2F1PF21.F1PF2,则双曲线的焦点角形的面积为1(a>0,b>0)的焦半径公式：(Fdc,0),F2(c,0)M(X0,y0)在右支上时，|MF1|ex0a,|MF2|ex0a.M(X0,y0)在左支上时，|MF1|ex0a,|MF2|exja椭圆会推导的经典结论X2y21.椭圆二T1（a>b>o）ab与y轴平行的直线交椭圆于2是勺a的两个顶点为A1（a,0）,A2（a,0）,P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点，贝UMF丄NF.2.过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q,A1、A2为双曲线实轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M,A2P和A1Q交于点N，贝UMF丄NF.22Xy3.AB是双曲线—七1（a>0,b>0）的不平行于对称轴的弦，abb2xM(X0,y0)为AB的中点，贝yKOMKab—2，即Kabay。b2X0a2y0°2yb21.2y七1（a>0,b倾斜角互补的直线交椭圆于（常数）.2X2.过椭圆一akBC2ay。b>0）上任一点A（X0,y。）任意作两条xx2x23.若M为椭圆~2a(a>b>0)上异于长轴端点的任一点,5.X2若椭圆一2ay—1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，左bFi、隹占八'、八、、JMF1F2MF2F1准线为L,则当0
b>0)上任一点,F1,F2为二焦点，A为b,x4.设椭圆—ay—1(a>b>0)b2的两个焦点为Fi、F2,P(异于长轴椭圆内一定点,则2aIAF2I|PA||PF1I2a|AFi|,当且仅端点)为椭圆上任意一点，在^PF1F2中记RPF2当A,F2,P三点共线时，等号成立.PF1F2F1F2Psin，则有sinsinc一e.axx1与直线a的充要条件是2.22Aa2AxByC0有公共点B2b2(Ax0By。C)2.X8.已知椭圆—2a上两动点，且尹OP1(a>b>0),O为坐标原点，P、Q为椭圆OQ.11「)|OP|2|OQ|211-^;(2)|OP2+|OQ|2的最大值为abz2ab—272.ab4a2b2；—2T?;abx10.已知椭圆—a段AB的垂r1b21直平2a(a>b>0),A、分线与b2B、是椭圆上的两点，线交于点P(Xo,O),则baF作直线交该椭圆于M,N(3)SOPQ的最小值是XoaaX22.2ab2x11.设P点是椭圆飞a点,Fi、F2为其焦点记(1)|PFiHPF2I2b21cosa>b>0)上异于长轴端点的任F1PF2，则2.(2)Spf1f2btan—.|PF|e两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P,则J———|MN|2xxxx2x12.设A、B是椭圆—aPAB圆上的一点,椭圆的半tantan(a>b>0)的长轴两端点，P是椭PBA焦距离心率则有(1)|PA|BPA,c、e分别是22ab|cos|-—2—一.(2)accos2e.(3)SPAB-222ab丄72―cotbax22x13.已知椭圆—a鶴1(a>b>0)的右准线I与x轴相交于点E,b过椭圆右焦点F的直线与椭圆相交于A、B两点，点C在右准线I上，且BC//X轴，则直线AC经过线段EF的中点.14.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交,则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直x15.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直2222X2.1.椭圆焦三角形中，内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).2X过双曲线一2a斜角互补的直线交双曲线于(常数).X23.若P为双曲线—a一点,F1,F2是焦点,(或■^-acatan—2(a>0,b>o)上任一点A(X0,y。)任意作两条倾B,C两点，则直线BC有定向且kec2ayo2yb2PF1F2COtI).1(a>0,b>0)右(或左)支上除顶点外的任PF2F1ca，贝Utan—cot—ca22(注：在椭圆焦三角形中，非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为2X4.设双曲线一2a(a>0,b>0)的两个焦点为Fi、F2,P(异于长轴内、外点.)端点)为双曲线上任意一点，在△PF1F2中，记RPF?2椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.PF1F2,F1F2P3椭圆焦三角形中，半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项，则有——Sn-e.(sinsin)a(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,左准椭圆与双曲线的对偶性质(会推导的经典结)线为L,则当10,b>0)的两个顶点为A,(a,0),A2(a,0),b与y轴平行的直线交双曲线于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是22Xy6.P为双曲线一221(a>0,b>0)上任一点，F1,F2为二焦点，A为ab双曲线内一定点，则IAF2I2a|PA||PFi|,当且仅当A,F2,卩三点共线且P和A,F2在y轴同侧时，等号成立.22Xy4.设A、B是双曲线一2—21(a>0,b>0)abPAB,PBA2的长轴两端点，P是双曲线上的一点,BPA,c、e分别是双曲线的22Xy双曲线pJ1(a>0,b>0)与直线AxByC0有公共点的ab充要条件是A2a2B2b2C2.22已知双曲线务■y21abOPOQ.(b>a>0),O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，且SOPQ的最小值是2X1.过双曲线二a11|OQ|2a2a2b2b2a2半焦距离心率,则有⑴1PA||a22ab|cos|22.ccos|右支于M,N两点,2.ABXo3.F214a2b2-y;(2)|OP|2+|OQ|2的最小值为飞——2;(3)bba笃1(a>0,b>0)的右焦点F作直线交该双曲线的b2MN的垂直平分线交X轴于P,则旦|MN|22X已知双曲线—a2yb2的垂直平分线与2.2ab设P点是双曲线为其焦点记2PF1F2bcot3.1(a>0,b>0),A、B是双曲线上的两点，线段a2b2X轴相交于点P(X0,0),则X0或2X~2a2每1(a>0,b>0)上异于实轴端点的任一点bF1PF2则(1)|PF1||PF2|1cos.(2)C2.22abAC2.1.已知双曲线2y士1(a>0,bb>0)的右准线I与x轴相交于点E,过双曲线右焦点F的直线与双曲线相交于A、B两点，点C在右准线I上，且BCx轴，则直线经过线段EF的中点.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交,则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直3.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直24.双曲线焦三角形中，外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e（离心率）.（注:在双曲线焦三角形中，非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点）.结论1：ABX1X2p1.双曲线焦三角形中，其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e.2.双曲线焦三角形中，半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项有关抛物线焦点弦问
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
的探讨2过抛物线y2px（p>0）的焦点F作一条直线L和此抛物线相交于A(xi,yi)、b(X2,y2)两点ABAF结论2：若直线BF（X1舟）（X2自L的倾斜角为，则弦长|aBX1X2P2p・2Sin证：（1）若一时,直线L的斜率不存在，此时AB为抛物线的通2径，AB2p结论得证⑵若-时,设直线L的方程为：y(xp—)tan即xycot-P222代入抛物线方程得y22pycot2P0由韦达定理力丫22P,y1y22pcot由弦长公式得aB』1cot2结论3：过焦点的弦中通径长最小uin242PO,-LSin1—2~2Psin通径长最短.yiy22p(1cot2)2psin2aB的最小值为2p,即过焦点的弦长中结论4:S2oAB|ab3牛（为定值）结论&(1)am1BM1(2)MiFAB(3)M1FAFBFSOABSOBFS0AF2ofS2oab|ab|结论5:AFBFsin2|oFIbfII-Of2sinAB(1)yiy2Xi2yi2p，X2AB结论6:以证：设过m点作准线的垂线mm1OF||AF|sin（4）设amH四点共圆1与AiF相交于H,MiB与FBi相交于Q则Mi,Q,sinP.22p・2Sinsin2P2sin(5)AMi证：由结论（MiB|24miM6）知Mi在以AB为直径的圆上am1AiFBi为直角三角形，Mi是斜边AiBi的中点BM12p(2)X1X2=4A1M1AA1FM1FFA1M1M1FA1AA1M1MjAFAA1FAFA1902y22pX1X2(yiy2)24P2P2AFA1A1FM190为直径的圆与抛物线的准线相切M为AB的中点，过A点作准线的垂线AA1,MiFABmm1过B点作准线1,由梯形的中位线性质和抛物线的定义知AA1I|BBi|AFBFAB故结论得证M1FAFam1BM1BFAM1B90AiFBiF结论7:连接AiF、BiF则AiFAAAF,AAiFAFAAA//OFAAFBiFAiFBi90AFOAFOAFA所以Ml,Q，F,H四点共圆,AMiMiB2aB2同理B1FOB1FBA1FB190AiFBiF结论AFBFAA1BB12mm124mM19：（1）A、O、Bi三点共线（2）B，（3）设直线AO与抛物线的准线的交点为（4）设直线BO与抛物线的准线的交点为轴O，AiBi，Ai,三点共线则BBi平行于X轴则AAi平行于X证：因为koAy1X1y122p警koB,y2P22y2P'而ZP2QAEF+ae心BEF+B1EB=90AEF=BE頂卩EF平分角PEQ所以koA2pP2koB所以三点共线。同理可得(2)(3)(4)AFAEBFBE⑷当直线AE和直线BE关于X轴对称Kae+Kbe=0—时，AF=EF=FB2AEB=90结论10：1FA1FB-时,设直线L的方程为证：过A点作AR垂直X轴于点R,过B点作BS垂直X轴于点S,设准迸将其代入方程2px线与x轴交点为E,因为直线L的倾斜角为得k2x2-p(k22)xER1AFEFFRAFcosAFAFP1cos设A(Xi，y1),B(X2$2)则XiX2k2X1X2=k21cosPAEBE则KaeKbe=—1X1y1卫2X2y2卫2同理可得1BFcos11FAFB即ym-X1结论11:(1)线段EF平分角PEQ⑵AFBf|AEBE(3)KaeKBE—时AE不垂直于2BEk21x1x2BB//EF//AABEEA1bFfABFbB，|fAIaABEEAB1BAAAA1EBB1E90A1EA相似于B1EBA1EA=B1EBX1X2X2k2kx1-E22P-k24X2X1X220—k222k290°;90°;20不可能假设错误结论得证深化1性质5中，把弦AB过焦点改为AB过对称轴上一点E(a,0),又设AB的中点为M,则|FM|X1X2PI—2——2cosa2宀|cosa则有y1y22pa.2证：设AB方程为my=x-a，代入y2PX2y2pmy2ap0|FE|严|cosa|吋|cosasinp_2a|FR|.得:y1y22pa.深化2:焦点弦AB不垂直于X轴，AB的中垂线交X轴于点R,|FR|则1ABI代入2ctg2a(x2pxy2Px得：32[)2px即:2px(p2pctga)——04由性质|AB|2X1X2P2p2pctga2psin2a,证明：设倾斜角为AB的a,直线AB的方程为：ytga(x号)2,
总结
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:基础回顾1.以AB为直径的圆与准线L相切;2P;J42P；90°;1.2.3.4.5.XlgX2y1gy2AC'BA'FB'XiX2P2(X32p.2sin6.1AF1BF结论1:交点在准线上7.8.A、OB、O9.SVAOBB三点共线;A'三点共线;P2；2sin；当弦ABX轴时，则点P的坐标为卫0在准线上.2，10.Sv2AOB|ab（P）3（定值）；2结论2切线交点与弦中点连线平行于对称轴结论3弦AB不过焦点即切线交点P不在准线上时，切线交点与弦中点的连线也平行于对称轴.11.12.13.14.15.16.17.18.19.20.21.AF1cosBC'垂直平分b'f；AC'垂直平分a'f；c'fABAB；2P;Rab2PKab=—;y3CC'P,X2-2BF丄(|aa'2A'B'C'F4AF丄|a'B'.2切线方程y0yBF|;PX。P1cosBB');性质深究一）焦点弦与切线1、过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线,殊之处？两切线交点位置有何特2、上述命题的逆命题是否成立？结论4过抛物线准线上任一点作抛物线的切线，则过两切点的弦必过焦占八'、八、、过准线与X轴的交点作抛物线的切线，则过两切点AB的弦必过焦点.结论5过准线上任一点作抛物线的切线，过两切点的弦最短时，即为通径.3、AB于p，是抛物线y2AB的中点,l，BB12px(p>0)焦点弦,l是抛物线的准线,l，过A,B的切线相交PQ与抛物线交于点M.则有结论6PA丄PB.结论7PF丄AB.结论8M平分PQ.结论9PA平分/AjAB:PB平分/B1BA.结论10FAFB——2PF结论11SpabminPA二）非焦点弦与切线思考：当弦AB不过焦点，切线交于P点时,也有与上述结论类似结果：结论12结论13结论14结论15结论16①xp器，ypyiy22PA平分/AiAB，同理PB平分/BiBA.PFAPFB点M平分PQPT平分△PFiF2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.以焦点半径PFi为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.8.设A、A为椭圆的左、右顶点，则△PF1F2在边PF2（或PFi）上的旁切圆，必与AA所在的直线切于A（或Ai）.4.4=19.椭圆直(a>b>o)的两个FAFB——2PF顶点为（,），（了），与y轴平行的直线交椭圆于Pi-P2时AR与A2P2交点的轨迹方程是*10.若R（和如在椭圆则过爲＞的椭圆的切线方程是ab上,4^4=2.
标准
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方程：口占4.点P处的切线PT平分△PFiF2在点P处的外角.，则过Po作椭圆的两条切线巫+型二切点为Pl、P2,则切点弦PlP2的直线方程是/F17.给定椭圆G:曲2宀/加(a>b>0),G:12.AB是椭圆口b的不平行于对称轴且过原点的弦，M为AB的b'P+巧7=（—abyCDf、n十心,则（i）对5上任意给定的点勺1珀「片）丿，它的中点，贝ya13•若对（殆M）在椭圆/r内，则被Po所平分的中点弦的方任一直角弦必须经过G上一定点M（/+护//+护儿（ii）对G上任一点巳（殆氏）在E上存在唯一的点■,使得M'的任一直角弦都经过丘点.14.若垃（心加在椭圆2盘占内，则过Po的弦中点的轨迹方程18•设鸟（"0氏）为椭圆（或圆）C才(a>0,.b>0)上一点，PlP2为曲线C的动弦，且弦PoPl,P0P2斜率存在,记为ki,k2,则直线PlP2通过定点M脚心■娜J3疋1）的充要条件是■—215•若PQ是椭圆口（a>b>0）上对中心张直角的弦，则19.过椭圆Cb（a>0,b>0）上任一点/（画从）任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于上皿=B,C两点，则直线BC有定向且（常16.若椭圆£f（a>b>0）上中心张直角的弦L所在直线方程数）.20.椭圆b，则椭圆的焦点角形的面积为（a>b>0）的左右焦点分别为F1,F2,点P为椭4十21i(1)口&;(2)(a>b>0)上存在两点关于直线f••:=^(x~心)对称的充要条件是~a¥21.若P为椭圆&(a>b>0)上异于长轴端点的任一点,Fi,F2I俪i|=a+吒，I胞^^（叫0）28.P是椭圆则该点与P对椭圆两焦点E_鈕戸是焦点，"F也皿,"时严0,则忑44=^22.椭圆口b(a>b>0)的焦半径公式:26.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.27.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，焦点的连线必与焦半径互相垂直.x=acos3=sinip（a>b>0）上一点，则点张直角的充要条件是1+$也®线为L,则当29.设A,B为椭圆OA上两点,其直线AB与椭4.4=123.若椭圆就b(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，左准圆口厂护"1相交于比2,则处=也0b>0)上任一点,Fi,F2为二焦点，A为椭30.在椭圆口占中，定长为2m(0b>0)的通径，定长线段L的两端44=1点A,B在椭圆上移动，记|AB|=E是AB中点，则当冷①E时,上两动点，且°尸丄°Q.(1)+—十|0艸IOGP苧:(2)|OP|2+|OQ|2已知椭圆口0(a>b>0),O为坐标原点，P、Q为椭圆有(^oU=—--4/护/护的最大值为卄b2:(3)比蜩的最小值是MN是经过椭圆由'*+0^二盼护(a>b>0)过焦点的任一弦,_pL_=]32.椭圆H与直线/入+砂+U=°有公共点的充要条件是2若AB是经过椭圆中心0且平行于MN的弦，则WI=纠厕IMN是经过椭圆，*+巧、丹'(a>b>0)焦点的任一弦，若(兀一孟畀｝0-片尸_[33•椭圆疋护与直线加十矽+0=Q有公共点为其对称轴上的充要条件是旳。护心：>(血+取,心=过椭圆中心O的半弦°F丄临，则4|财||0戸|说4.4=139.设椭圆口方(a>b>0),M(m,o)或(o,m)34.设椭圆工=1总占(a>b>0)的两个焦点为Fi、F2,P(异于长轴端点)为椭圆上任意点，在△PFF2除中心，顶点外的任一点，过M引一条直线与椭圆相交于线AP、A2Q(Ai,A2为对称轴上的两顶点)的交点P、Q两点，则直/胪2——y=—N在直线』：滋(或烧)?1X1抚P、Q两点，A为椭圆长轴上F的椭圆准线于MN两点，F的直线与椭圆交于两点c_"F西=/?ZF^F^P-y则有sin0+sin了a经过椭圆X+盘y一盘◎(a>b>0)的长轴的两端点Ai和A的切线，与椭圆上任一点的切线相交于p和P2,^J尸4M肌1=护上.设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交一个顶点，连结AP和AQ分别交相应于焦点则MF1NF.过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q,Ai、A为椭圆长轴上的顶点，AP和AQ交于点MAP和AQ交于点N,贝UMF1NF.42.设椭圆方程a4.4=1rnh,则斜率为k(k丰0)的平行弦的中点必在直4咛146.过椭圆口占(a>b>0)的右焦点F作直线交该椭圆右支线F：》=&的共轭直线空=2于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P,则I洌I2.(a>b>0)上任一点，过A作川143.设A、B、CD为椭圆rn3上四点,AB、CD所在直线的倾斜4+447.设A(xi,y1)是椭圆口占角分别为30,直线AB与CD相交于P,且P不在椭圆上，则円101_山2曲戸+卫叫111"|FU|.|加「歹-一条斜率为曲丹的直线L,又设d是原点到直线L的距离,W分别是A到椭圆两焦点的距离，则斥詁=处44.已知椭圆(a>b>0),点P为其上一点Fi,F2为椭48.已知椭圆盘b角平分线为2,作Fi、F2分别垂直f于R一直线顺次与它们相交于A、B、CD四点UlABl=|CDI.时，R、S形成的轨迹方程*+护=r?({^y+[(厲70(=+b+c：c)'=|>(托+町『当P跑遍整个椭圆M工-1—3十—T—丄49.已知椭圆口b(a>b>0),A、B、是椭圆上的两点,).线段AB的垂直平分线与x轴相交于45•设△ABC内接于椭圆r，且AB为r的直径，‘为AB的共轭直径所在的直线，/分别交直线ACBC于E和F,又D为，上一点，则CD与椭圆厂相切的充要条件是D为EF的中点.50.设P点是椭圆7十a>b>0)上异于长轴端点的任44 54.L是椭圆口i(a>b>0)的准线，E、F是两个焦点，H点,F1F2为焦八'、点记"1P瓦=日是L与x轴的交点，点F已匸，山EPF二0；,离心率为e,半焦距为C,则凸•耳"tang1|P7/|=-Jl?十/为锐角且射2<点或圧<砒£倉过它(当且仅当时取等51.设过椭圆的长轴上一点A为椭圆长轴的左顶点，连结AP和AQ分别交相应于过B点的直线MN：二科B(m,o)作直线与椭圆相交于P、Q两点,号).na-m于MN两点，则乙ff+櫛护⑺+窃F+£_[55.已知椭圆/护(a>b>0),直线L通过其右焦点F2,且与椭圆相交于A、B两点，将A、B与椭圆左焦点Fi连结起来，则^4=152.L是经过椭圆盘戸(a>b>0)长轴顶点A且与长轴垂直(当且仅当AB丄x轴时右边不等式取等号,的直线，E、F是椭圆两个焦点，e是离心率，点F丘几，若MPF皿，则当且仅当A、Fi、B三点共线时左边不等式取等号)IF//1=—抚是锐角且或化比沁e(当且仅当芒时取等号).56.设AB是椭圆□占(a>b>0)的长轴两端点，P是椭44 53.L是椭圆口b(a>b>0)的准线，AB是椭圆的长轴圆上的一点,r,c、e分别是椭圆的两顶点，点P已L,e是离心率，乙EPF=G：,H是L与X轴的交点C是半(1).⑵.⑶II二竺焦距，则①'是锐角且三安(当且仅当E时取等号).4+157•设A、B是椭圆口b（a>b>0）长轴上分别位于椭圆内4十治1F60.过椭圆口A（a>b>0）的左焦点尸作互相垂直的两条弦AB（异于原点）、外部的两点，且F心的横坐标F乜=/,（1）若过A点引直线与这椭圆相交于P、Q两点，则/円川=/2阳；（2）若过引直线与这椭圆相交于P、Q两点，则"血=1百bCDW3起『+拧=1—61•到椭圆cPH（a>b>0）两焦点的距离之比等于B（c4^4=158.设A、B是椭圆仃臼（a>b>0）长轴上分别位于椭圆内为半焦距）的动点M的轨迹是姊妹圆（工士止尸+7°=护（异于原点），外部的两点，（1）若过A点引直线与这椭圆相交于P、（a>b>0）的长轴两端点的距离之比等于两点，（若BP交椭圆于两点，则P、Q不关于x轴对称），且/尸占/=/2助则点A、B的横坐标满足兀【兀丘='；（2）若过B点引直线与这a-C心（c为半焦距）的动点（工士学+宀（与M的轨迹是姊妹圆Eg椭圆相交于P、Q两点，且ZF吕少虫=1呂丁，则点AB的横坐标满（a>b>0）的两准线和x轴的交点的距离59•设挖」是椭圆/护的长轴的两个端点，20是与几4'垂a-G之比为心（c为半焦距）的动点的轨迹是姊妹圆（e为离心率）.兰+疋64.已知P是椭圆血酋上一个动点，卫：虫是它・，—-2^=1直的弦，则直线与*0的交点P的轨迹是双曲线/护长轴的两个端点，且起丄肿，。丄4F则Q点的轨迹方程是(1(165.椭圆的一条直径（过中心的弦）的长，为通过一个焦点且与此直径平行的弦长和长轴之长的比例中项.（a>b>0）上一个定点,4=166.设椭圆仃2护（a>b>0）长轴的端点为A」，尸（兀71）是PB是互相垂直的弦，则）直线AB必经过一个定点椭圆上的点过P作斜率为（2）以PA、PB为直径的两圆的另的直线2,过也，"分别作垂直于长轴的直个交点Q的轨迹方程是（1）I月1=护.（2）四边形maAm'面积的最小值是2必.（曲就且M丄—2'—J"—67.已知椭圆口b（a>b>0）的右准线f与x轴相交于点应,70.如果一个椭圆短半轴长为隹占八'、八、、Fi、F2到直线£的距离分别为过椭圆右焦点的直线与椭圆相交于AB两点，点C在右准线2上，且di、d2,那么（1）日山2，且Fi、F2在£同侧O直线L和椭圆相切.5C丄;r轴，则直线AC经过线段EF的中点.（2）禹〉护，且Fi、F2在L同侧O直线E和椭圆相离，（3））曲0—0)3—68.OAOB是椭圆口或Fi、F2在L异侧O直线L和椭圆相交.的弦，0为坐标原点，则（1）直线OA、0B为直径的两圆占（a>0,b>0）的两条互相垂直AB必经过一个定点（鵲0（2）以71.AB是椭圆口b（a>b>0）的长轴，M是椭圆上的动点,过關的切线与过A、B的切线交于U、D两点，贝悔形ABDC勺对角线的交的另一个交点Q的轨迹方程是点M的轨迹方程是宀加y=1艸0）于椭圆长轴所在直线时（刚02哇~沪宀.当弦AB,非焦顶点的外角平分线与焦半径、长轴所在直线e.,非焦顶点的法线即为该顶角的内角平分线.,非焦顶点的切线即为该顶角的外角平分线.,过非焦顶点的切线与椭圆长轴两端点处的切线相交,则以两交点为直径的圆必过两焦点.设点H州屁）为椭圆/F（a>b>0）的内部一定点,兰4疋=1AB是椭圆/戸过定点尸（舟風）的任一弦，当弦AB平行（或重合）椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,垂足就是垂足同侧焦半径为直径的圆和椭圆长轴为直径的圆的切点.椭圆焦三角形中的夹角的余弦的比为定值椭圆焦三角形中椭圆焦三角形中椭圆焦三角形中垂直于长轴所在直线时（I创H旳爲川f丹陶）89.已知椭圆口b（包括圆在内）上有一点尸”=—Xy=过点P分别作直线口及b一一工a的平行线，与直线。戸分别交于([)+|07/|2=总2(2).椭圆焦三角形中，以焦半径为直径的圆必与以椭圆长轴为直径的圆相内切.TOC\o"1-5"\h\z.椭圆焦三角形的旁切圆必切长轴于非焦顶点同侧的长轴端点..椭圆两焦点到椭圆焦三角形旁切圆的切线长为定值a+c与a-c..椭圆焦三角形的非焦顶点到其内切圆的切线长为定值a-c..椭圆焦三角形中，内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e（离心率）.注：在椭圆焦三角形中，非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.•椭圆焦三角形中，内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e..椭圆焦三角形中，半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.•椭圆焦三角形中，椭圆中心到内点的距离、内点到同侧焦点的距离、半焦距及外点到同侧焦点的距离成比例.81•椭圆焦三角形中，半焦距、外点与椭圆中心连线段、内点与同侧焦点连线段、外点与同侧焦点连线段成比例.•椭圆焦三角形中，过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线椭圆中心与垂足连线必与另一焦半径所在直线平行..椭圆焦三角形中，过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线椭圆中心与垂足的距离为椭圆长半轴的长.艮Q,0为原点，则:过平面上的0点作直线圧及门的平行线，分别交工轴于胚N,交尸轴于.（1）若OMf°，则尸的轨迹方程是手+斧5.（2）若|。的+网7，则』的策车1（20小0）轨迹方程是口b4十£=13=002点尸为椭圆口A（包括圆在内）在第一象限的弧上任意一点，过尸引「轴、尸轴的平行线，交"^轴、^轴于，交__色直线》□"于0丘，记心。羁2与3彌的面积为£1用，则:92.点尸为第一象限内一点，过P引工轴、y轴的平行线，交Ay———X轴、兀轴于交直线a于QR,记止°MQ与bONR的面为，已知2,则尸的轨迹方程是号+£=1(2040)兰上=112.AB是双曲线口方护（a>0,b>0）的不平行于对称轴且过原点点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的内角.PT平分△PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆外切.&设A、A为双曲线的左、右顶点，则△PF1F2在边PR（或PF1）上的旁切圆，必与氏A所在的直线切于A（或A1）.的弦，M为AB的中点，则13•若E（心Jo）在双曲线口（a>0,b>0）内，则被Po所平32分的中点弦的方程是/护fH9.双曲线/护（a>0,b>0）的两个顶点为与y轴平行的直线交双曲线于Pi-P2时AiPi与AP交点的轨迹方程是14.若玮（心Jo）在双曲线疋F（a>0,b>0）内，则过Po的弦兰上=工-型中点的轨迹方程是/戸沪>0）上对中心张直角的弦,丄/=110.若对（心r"）在双曲线/b*（a>0,b>0）上，则过对的双4-4=115.若PQ是双曲线口0(b>a曲线的切线方程是盘'H则存存卜扣0小。创4斗11.若璟和九）在双曲线/护（a>0,b>0）外，则过Po作16.若双曲线疋f(b>a>0)上中心张直角的弦L所在直线双曲线的两条切线切点为P1、P2,则切点弦P1P2的直线方程是J*Zj=；（2）匕％"-肥^打17.给定双曲线G：彳八打（a>b>0）,G：FF_/护一疋4,L\3/-b，,则（i）对G上任意给定的点E（心Jo）,它的工上=120.双曲线,F（a>0,b>0）的左右焦点分别为Fi,F2,点P为双曲线上任意一点上聒兔=$，则双曲线的焦点角形的面积窝TPnrr—罗COt为止啊2P+护/+胪任一直角弦必须经过G上一定点M/-护恥疋-护儿（ii）对G上任一点E（盹•兀）在^上存在唯一的点巫',使得的任一直角弦都经过E点.21.若P为双曲线(a>0,b>0)右（或左）支上除顶点外的任一点,Fi,F2是焦点，i8.设R（和丸）为双曲线//（a>0,b>0）上一点，PiP2为曲线C的动弦，且弦PoPi,P0P2斜率存在，记为ki,k2,则直线PP2通过定点c-aaG—tail—CDt—Q十a23a—tan—cot—(或亡十狂22).c-a七A=—烧兀口厂唧』（厠融1）的充要条件是12[_短22.双曲(a>0,b>o)的焦半径公式：i9.过双曲线JH（a>0,b>0）上任一点虫（心丹）任意作两条（耳（-2%=-倾斜角互补的直线交双曲线于B,C两点，则直线BC有定向且当Mg片）在右支上时，在左支上时,（常数）.23.若双曲线（a>0,b>0）的左、右焦点分别为Fi、F2,左准线为L,则当10,b>0)上任一点,Fi,F2为二焦点，AM丄130.在双曲线/F中，定长为2m(m0)的弦中点轨迹方程为为双曲线内一定点，则I月耳卜2"FAI+1FF]I,当且仅当丿‘笔rF三点共线且尸和'「码在y轴同侧时，等号成立.tan◎=-,其中曲,当卩=0时，疣二90"25.双曲线/肿(a>0,b>0)上存在两点关于直线2:31•设S为双曲线&(a>0,b>o)的通径，定长线段L的尸恥■珀)对称的充要条件是码>a-沁两端点A,B在双曲线上移动,记|AB|=<浮(心必)是AB中点，则当冷购26•过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交,则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.27.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，与焦点的连线必与焦半径互相垂直.则该点(心)込=-+?时，有亡2总_G@"三#+X,a)；当f吒①&时，有28.P是双曲线X=ey=3taii卩(a>0,b>0)上一点，则点P对双曲线(a>0,b>0)与直线加十砂+e=Q有公共两焦点张直角的充要条件是1-tan@4-4=^29•设A,B为双曲线屮护(a>0,b>0,上上两点,0-订_0-附_[33.双曲线//(a>0,b>0)与直线兰上=1其直线AB与双曲线屮护相交于只fi,则肿二占Q>lx+Ev+(7=0有公的充要条件是34•设双曲线/九1(a>0,b>0)的两个焦点为F1、F2,P(异于4-4=138.MN是经过双曲线卫b(a>b>0)焦点的任一弦(交于同支)，长轴端点)曲线上任意一点，在^PFiF2若过双曲线中心0的半弦0尸丄廣则口I加"11°尸『『£sincrJ/39.设双曲线/(a>0,b>0),M(m,o)为实轴所在直线上除中心，顶点外的任一点，过M引一条直线与双曲线相交于P、Q两点，则直335.经过双曲线口(a>0,b>0)的实轴的两端点Ai和切线，与双曲线上任一点的切线相交于P1和P2,则|開|.|肌A占］X—线A1P、AQ(A,Ac为两顶点)的交点N在直线F:擁上.36.已知双曲线口d护(b>a>0),0为坐标原点，P、双曲线上两动点，且°尸丄°21—(1)|0肝|O£T/沪;(2)40.设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于MN两点，贝UMFINF.41.过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q,Ai、A为双曲线实轴上的顶点，AiP和A2Q交于点MA2P和AiQ交于点N,则MF1NF.4-4=142.设双曲线方程口心,则斜率为k(k工0)的平行弦的中点必在|0P|2+|OQ|2的最小值为f直线d:片=后的共轭直线上,而且口37.MN是经过双曲线/卩(a>0,b>0)过焦点的任一弦(交于2两支)，若AB是经过双曲线中心0且平行于MN的弦，则I卫纠妙I.4-4=143.设ABC、D为双曲线口方护(a>0,b>o)上四点,AB、CD所在直线的倾斜角分别为也，Q,直线AB与CD相交于P,且P不在双曲I血IJF月I—屮或1?Q线上贝\-\PD\歹盘-$11?a44.已知双曲线口d护(a>0,b>0)，点P为其上一点Fi,F244-亠48.已知双曲线□去(a>0,b>0)和口为双曲线的焦点，"陀的外(内)角平分线为2,作Fi、F2分别垂直F于(OcHcl)，—条直线顺次与它们相交于AB、CD四点，则|ABRS,当P跑遍整个双曲线时,RS形成的轨迹方程是=|CDI.3欣卞一町［O’+心-肌叶=(血vy)2)45.设△ABC三顶点分别在双曲线「上，且AB为厂的直径，'为AB的49.已知双曲线总‘(a>0,b>0),A、B是双曲线上的两点,尢A屏+沪线段AB的垂直平分线与x轴相交于点Fgm,则X"—共轭直径所在的直线，r分别交直线ACBC于E和F,又D为】上一点，则CD与双曲线r相切的充要条件是D为EF的中点.吗<[X兰-疋=46.过双曲线/护(a>0,b>0)的右焦点F作直线交该双曲兰-疋=50.设P点是双曲线J护(a>0,b>0)上异于实轴端点的任线的右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P,I啓I3则阿I2点，FiF2为51.设过双曲线的实轴上一点两点，A为双曲线实轴的左顶点，B(m,o)作直线与双曲线相交于P、Q连结AP和AQ分别交相应于过B点的直线4-4=147.设A(xi,y1)是双曲线护(a>0,b>0)上任一点，过A作一条斜率为白M的直线L,又设d是原点到直线L的距离，佔分位一蛾»-J3MNXK于M,N两点,则乙皿阳=9『注+燃右仞十小别是A到双曲线两焦点的距离，则且仅当鬥€戸时取等号).且仅当鬥€戸时取等号).M工=152.L是经过双曲线吃£b?(a>0,b>0)焦点F且与实轴垂直的M上=155.已知双曲线/F(a>0,b>0),直线L通过其右焦点F2,直线，AB是双曲线实轴的两个焦点，e是离心率，点P已」若三聘刃=二，且与双曲线右支交于A、B两点，将AB与双曲线左焦点Fi连结起来，则sina<—CL0,b>0)的长轴两端点，P是(a>0,b>0)的实轴顶点A且与x轴双曲线上的一点，厶哪=◎"血=B半PA=F,C、e分别是双垂直的直线，E、F是双曲线的准线与是离心率,sin兌<—ZEPF=cc,H是L与X轴的交点C是半焦距，则凸是锐角且宏或(1).⑵0(当且仅当E时取等号).?__54.L是双曲线/H(a>0,b>0)焦点F1且与x轴垂直的直线,57.设AB是双曲线H(a>0,b>0)实轴上分别位于双曲E、F是双曲线准线与x轴交点，H是L与x轴的交点，点F已匕三e,线一支内(含焦点的区域)、外部的两点，且K卫、"启(当sinOf0,b>0）实轴上分别位于双曲62.到双曲线/护（a>0,b>0）的实轴两端点的距离之比等线一支内（含焦点的区域），这一支相交于P、Q两点,外部的两点，（1）若过A点引直线与双曲线（若BP交双曲线这一支于两点，则P、Q不关c-ab（c为半焦距）的动点于x轴对称），且^PBA=J^QBA，则点AB的横坐标疋迴、Hr满足（2）若过B点引直线与双曲线这一支相交于P、Q两点，且63•到双曲线（a>0,b>0）的两准线和x轴的交点的距"恥+ZQBA=180-,则点AB的横坐标满足心化“c-a离之比为B（C为半焦距）的动点的轨迹是姊妹圆（e为离心率）.J/-II一■二II59•设&/是双曲线口启护的实轴的两个端点,QQ是与44’垂直的弦，则直线与的交点P的轨迹是双曲线/J^-4=160.过双曲线口占（a>0,b>0）的右焦点F作互相垂直的两条弦--一」,64.已知P是双曲线心‘护（a>0,b>0）上一个动点，儿虫是它实轴的两个端点，且丿2丄肿，/。丄/F,则Q点的轨迹方程是65.双曲线的一条直径（过中心的弦）的长，为通过一个焦点且与此直径平行的弦长和实轴之长的比例中项.61•至®曲线/（a>0,b>0）两焦点的距离之比等于c-a~T~66.设双曲线JX（a>0,b>0）实轴的端点为A月，尸（兀片）（C为半焦距）的动点M的轨迹是姊妹圆（疋±°町十丿=（血）是双曲线上的点过P作斜率为I&乃的直线2，过分别作垂直于实轴的直线交2于MM（1）I月a护.（2）四边形MAA'M'面积的最小值是2必.70.如果一个双曲线虚半轴长为b,焦点F1、F2到直线£的距离分别为兰上=167.已知双曲线/护（a>O,b>0）的右准线』与x轴相交于点迟，过双曲线右焦点F的直线与双曲线相交于A、B两点，点D在右准线/上，且丄X轴，则直线AC经过线段EF的中点.di、d2,那么（1）^=耳，且F1、F2在迟同侧Q直线L和双曲线相切，或£是双曲线的渐近线.（2））』八戸，且F1、F2在L同侧O■直线£和双曲线相离，（3）&2<3,，或F1、F2在L异侧O直线L和双曲线相交.71.AB是双曲线疋护（a>0,b>0）的实轴，M是双曲线上的68.OAOB是双曲线/氏（a>0,b>0,且盘工&）的两条互相垂直的弦，0为坐标原点，则（1）直线AB必经过一个定点动点，过M的切线与过AB的切线交于C、刀两点，则梯形ABDC勺对角线的交点M的轨迹方程是戏-加异=心土0）b-0.（2）以OAOB为直径的两圆的另一个交点Q的轨迹方程72.设点P（州小）为双曲线/护（a>O,b>0）的内部（（含焦Dir69.P（g）是双曲线戊°/（a>0,b>0）上一个定点，P点的区域））一定点，AB是双曲线过定点Pgx）的任一弦.（1）如说Kb，则当弦AB垂直于双曲线实轴所在直线时A、PB是互相垂直的弦，则（1）直线AB必经过一个定点2詛+删（屏-刊呎/+刊（2°71S~J个交点Q的轨迹方程是⑵如Xb,则当弦aB平行（或重合）于双曲线实轴所在直线b-LXb-a.（2）以PA、PB为直径的两圆的另(KF且时，冋W“牛宀73.双曲线焦三角形中，以焦半径为直径的圆必与以双曲线实轴为直径的圆相外切..双曲线焦三角形的内切圆必切长轴于非焦顶点同侧的实轴端点.双曲线两焦点到双曲线焦三角形内切圆的切线长为定值a+c与a-c..双曲线焦三角形的非焦顶点到其内切圆的切线长为定值a-c..双曲线焦三角形中，外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e（离心率）.注：在双曲线焦三角形中，非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点..双曲线焦三角形中成定比e..双曲线焦三角形中•双曲线焦三角形中$冷=3毗沁）89.已知双曲线口心‘上有一点尸,过P分别引其渐近线的平行线，分别交X轴于,交卩轴于,°为原点,则:,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项,双曲线中心到内点的距离、内点到同侧焦点的距离、半焦距及外点到同侧焦点的距离成比例.81•双曲线焦三角形中，半焦距、外点与双曲线中心连线段、内点与同侧焦点连线段、外点与同侧焦点连线段成比例.•双曲线焦三角形中，过任一焦点向非焦顶点的内角平分线引垂线,则双曲线中心与垂足连线必与另一焦半径所在直线平行..双曲线焦三角形中，过任一焦点向非焦顶点内角平分线引垂线，则双曲线中心与垂足的距离为双曲线实半轴的长.•双曲线焦三角形中，过任一焦点向非焦顶点的内角平分线引垂线，垂足就是垂足同侧焦半径为直径的圆和双曲线实轴为直径的圆的切点.•双曲线焦三角形中线的夹角的余弦的比为定值•双曲线焦三角形中.双曲线焦三角形中.双曲线焦三角形中,非焦顶点的内角平分线与焦半径、实轴所在直e.,非焦顶点的法线即为该顶角的外角平分线,非焦顶点的切线即为该顶角的内角平分线,过非焦顶点的切线与双曲线实轴两端点处的切90.过平面上的P点作直线圧及口的平行线，分别交盂轴于眩m，交轴于&Q.（1）若，则P的轨.（2）詔。。卜，则戸的轨迹占-拿10>0』沁）91.点尸为双曲线总扩在第一象限的弧上任意右y———K一点，过尸引疋轴、轴的平行线，交卩轴、工轴于，交直线盘IJVI-竺于2R，记与MZR的面积为S庄，则:'自2线相交，则以两交点为直径的圆必过两焦点92.点P为第一象限内一点，过P引兀轴、尸轴的平行线，交卩轴、兀轴__i于"交直线尸一了于2尺,记3Q与心0能的面积为n3甲守吗—耳I二——7一=1（口>0』>0）込宀,已知2，则戸的轨迹方程是口b
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