PAGE第3课时 正切函数的性质与图象[核心必知]1．预习教材，问
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
导入根据以下提纲，预习教材P42～P45的内容，回答下列问题．(1)正切函数y＝tanx的定义域是什么？提示：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)).(2)诱导
公式
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tan(π＋x)＝tanx说明了正切函数的什么性质？tan(kπ＋x)(k∈Z)与tanx的关系怎样？提示：周期性．tan(kπ＋x)＝tanx(k∈Z)．(3)诱导公式tan(－x)＝－tanx说明了正切函数的什么性质？提示：奇偶性．(4)从正切线上观察，正切函数值是有界的吗？提示：不是，正切函数没有最大值和最小值．(5)从正切线上观察正切函数值，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上是增大的吗？提示：是的．2．归纳总结，核心必记(1)正切函数的性质函数y＝tanx定义域eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z))值域(－∞，＋∞)周期最小正周期为π奇偶性奇函数单调性在每个开区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2)，kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)上都是增函数(2)正切函数的图象①正切函数的图象：②正切函数的图象叫做正切曲线．③正切函数的图象特征：正切曲线是由被相互平行的直线x＝eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z所隔开的无穷多支曲线组成的．[问题思考](1)正切函数在整个定义域上都是增函数吗？提示：不是．正切函数在每一个开区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2)，kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)上是增函数．但在整个定义域上不是增函数．(2)可以怎样快速作出正切函数的图象？提示：正切函数的图象的简图可以用“三点两线法”作出，三点指的是(kπ，0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,4)，1))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,4)，－1))，k∈Z，两线为直线x＝kπ＋eq\f(π,2)和直线x＝kπ－eq\f(π,2)，其中k∈Z.[课前反思](1)正切函数的图象：；(2)正切函数的性质：.
知识点
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1正切函数的定义域、值域问题 讲一讲1．求下列函数的定义域和值域：(1)y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))；(2)y＝eq\r(\r(3)－tanx).[尝试解答] (1)由x＋eq\f(π,4)≠kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)得，x≠kπ＋eq\f(π,4)，k∈Z，所以函数y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))的定义域为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x≠kπ＋\f(π,4)，k∈Z))，其值域为(－∞，＋∞)．(2)由eq\r(3)－tanx≥0得，tanx≤eq\r(3).结合y＝tanx的图象可知，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上，满足tanx≤eq\r(3)的角x应满足－eq\f(π,2)＜x≤eq\f(π,3)，所以函数y＝eq\r(\r(3)－tanx)的定义域为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x|kπ))eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＜x≤kπ＋\f(π,3)，k∈Z))，其值域为[0，＋∞)．类题·通法求正切函数定义域的方法及求值域的注意点求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y＝tanx有意义，即x≠eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z.而对于构建的三角不等式，常利用三角函数的图象求解．解形如tanx＞a的不等式的步骤：练一练1．(1)函数y＝eq\r(tanx＋1)＋lg(1－tanx)的定义域为( )A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,4)，kπ＋\f(π,4)))(k∈Z)B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,4)，kπ＋\f(π,4)))(k∈Z)C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,4)，kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2)，kπ＋\f(π,4)))(k∈Z)(2)函数y＝eq\f(1,tan2x－2tanx＋2)的值域是________．解析：(1)由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(tanx＋1≥0，,1－tanx>0，))即－1≤tanxeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))内，满足上述不等式的x的取值范围是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,4))).又y＝tanx的最小正周期为π，所以所求函数的定义域是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,4)，kπ＋\f(π,4)))(k∈Z)．(2)∵tan2x－2tanx＋2＝(tanx－1)2＋1≥1，∴0
0，f(x)＝tanx，所以在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上其图象与y＝tanx的图象相同，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－π，－\f(π,2)))和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))上，cosx<0，f(x)＝－tanx，所以在这两段上其图象是y＝tanx的图象关于x轴的对称图形．2．与函数y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))的图象不相交的一条直线是( )A．x＝eq\f(π,2)B．x＝－eq\f(π,2)C．x＝eq\f(π,4)D．x＝eq\f(π,8)解析：选D 当x＝eq\f(π,8)时，2x＋eq\f(π,4)＝eq\f(π,2)，而eq\f(π,2)的正切值不存在，所以直线x＝eq\f(π,8)与函数的图象不相交．3．函数f(x)＝2taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x＋\f(π,6)))＋1的图象的一个对称中心可以是( )A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，0))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,18)，0))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，1))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,18)，1))解析：选D 令3x＋eq\f(π,6)＝eq\f(kπ,2)(k∈Z)，解得x＝eq\f(kπ,6)－eq\f(π,18)(k∈Z)，当k＝0时，x＝－eq\f(π,18)，又∵f(x)＝2taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x＋\f(π,6)))＋1的图象是由f(x)＝2taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x＋\f(π,6)))的图象向上平移1个单位得到的，∴对称中心可以为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,18)，1)).故选D.4．已知函数f(x)＝2taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,4)))(ω>0)的图象与直线y＝2的两个相邻交点的距离等于2π，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)))的值是( )A．2B．0C．－1D．－eq\r(3)解析：选B 由题意知函数f(x)的周期为2π，则eq\f(π,ω)＝2π，所以ω＝eq\f(1,2)，于是f(x)＝2taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x＋\f(π,4)))，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)))＝2taneq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)))＋\f(π,4)))＝2tan0＝0，故选B.5．taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(13π,7)))与taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(15π,8)))的大小关系是____________．解析：taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(13π,7)))＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π－\f(13π,7)))＝taneq\f(π,7)，taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(15π,8)))＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π－\f(15π,8)))＝taneq\f(π,8).∵0<eq\f(π,8)<eq\f(π,7)<eq\f(π,2)，∴taneq\f(π,8)taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(15π,8))).答案：taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(13π,7)))>taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(15π,8)))6．若直线x＝eq\f(kπ,2)(|k|≤1)与函数y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))的图象不相交，则k＝________.解析：直线x＝eq\f(π,2)＋nπ，n∈Z与函数y＝tanx的图象不相交，由题意可知，2×eq\f(kπ,2)＋eq\f(π,4)＝eq\f(π,2)＋nπ，n∈Z，得到k＝n＋eq\f(1,4)，n∈Z，而|k|≤1，故n＝0或－1，所以k＝eq\f(1,4)或k＝－eq\f(3,4).答案：eq\f(1,4)或－eq\f(3,4)7．作出函数y＝tanx＋|tanx|的图象，并求其定义域、值域、单调区间及最小正周期．解：y＝tanx＋|tanx|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2tanx，tanx≥0，,0，tanx＜0.))其图象如图所示，由图象可知，其定义域是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2)，kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)；值域是[0，＋∞)；单调递增区间是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ，kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)；最小正周期T＝π.8．已知函数f(x)＝x2＋2xtanθ－1，x∈[－1，eq\r(3)]，其中θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2))).(1)当θ＝－eq\f(π,6)时，求函数f(x)的最大值与最小值；(2)求θ的取值范围，使y＝f(x)在区间[－1，eq\r(3)]上是单调函数．解：(1)当θ＝－eq\f(π,6)时，f(x)＝x2－eq\f(2\r(3),3)x－1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(\r(3),3)))2－eq\f(4,3)，x∈[－1，eq\r(3)]．∴当x＝eq\f(\r(3),3)时，f(x)取得最小值，为－eq\f(4,3)；当x＝－1时，f(x)取得最大值，为eq\f(2\r(3),3).(2)函数f(x)＝(x＋tanθ)2－1－tan2θ的图象的对称轴为x＝－tanθ.∵y＝f(x)在区间[－1，eq\r(3)]上单调，∴－tanθ≤－1或－tanθ≥eq\r(3)，即tanθ≥1或tanθ≤－eq\r(3).又θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，∴θ的取值范围是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，－\f(π,3)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2))).
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