常微分方程课后答案k习题2.3

习 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 2.3 2.5.7.11.14.17.22 1、验证下列方程是恰当方程，并求出方程的解。 1. 解： ， =1 . 则 所以此方程是恰当方程。 凑微分， 得 ： 2． 解： ， . 则 . 所以此方程为恰当方程。 凑微分， 得 3． 解： 则 . 因此此方程是恰当方程。 （1） （2） 对（1）做 的积分，则 = EMBED Equation.3 （3） 对（3）做 的积分，则 = = 则 故此方程的通解为 4、 解： ， . . 则此方程为恰当方程。 凑微分， 得 ： 5.( sin - cos +1)dx+( cos - sin + )dy=0 解： M= sin - cos +1 N= cos - sin + =- sin - cos - cos + sin =- sin - cos - cos + sin 所以， = ，故原方程为恰当方程 因为 sin dx- cos dx+dx+ cos dy- sin dy+ dy=0 d(-cos )+d (sin )+dx+d(- )=0 所以，d(sin -cos +x - )=0 故所求的解为sin -cos +x - =C 求下列方程的解： 6．2x(y -1)dx+ dy=0 解： = 2x , =2x 所以， = ，故原方程为恰当方程 又2xy dx-2xdx+ dy=0 所以，d(y -x )=0 故所求的解为y -x =C 7.(e +3y )dx+2xydy=0 解：e dx+3y dx+2xydy=0 e x dx+3x y dx+2x ydy=0 所以，d e ( x -2x+2)+d( x y )=0 即d [e ( x -2x+2)+ x y ]=0 故方程的解为e ( x -2x+2)+ x y =C 8. 2xydx+( x +1)dy=0 解：2xydx+ x dy+dy=0 d( x y)+dy=0 即d(x y+y)=0 故方程的解为x y+y=C 9、 解：两边同除以 得 即， 故方程的通解为 10、 解：方程可化为： 即， 故方程的通解为： 即： 同时，y=0也是方程的解。 11、 解：方程可化为： 即： 故方程的通解为： 12、 解：方程可化为： 故方程的通解为 ： 即： 13、 解：这里 ， 方程有积分因子 两边乘以 得：方程 是恰当方程 故方程的通解为： 即： 14、 解：这里 因为 故方程的通解为： 即： 15、 解：这里 方程有积分因子： 两边乘以 得： 方程 为恰当方程 故通解为 ： 即： 16、 解：两边同乘以 得： 故方程的通解为： 17、试导出方程 具有形为 和 的积分因子的充要条件。 解：若方程具有 为积分因子， （ 是连续可导） 令 ， . ， ， ， 方程有积分因子 的充要条件是： 是 的函数， 此时，积分因子为 . 令 ， 此时的积分因子为 18. 设 及 连续,试证方程 为线性方程的充要条件是它有仅依赖于 的积分因子. 证:必要性 若该方程为线性方程,则有 , 此方程有积分因子 , 只与 有关 . 充分性 若该方程有只与 有关的积分因子 . 则 为恰当方程 , 从而 , , . 其中 .于是方程可化为 即方程为一阶线性方程. 20.设函数f(u)，g(u)连续、可微且f(u) g(u),\，试证方程yf(xy)dx+xg(xy)dy=0 有积分因子u=(xy[f(xy)-g(xy)]) 证：在方程yf(xy)dx+xg(xy)dy=0两边同乘以u得： uyf(xy)dx+uxg(xy)dy=0 则 =uf+uy +yf = + -yf = = = 而 =ug+ux +xg = + - xg = = 故 = ，所以u是方程得一个积分因子 21．假设方程（2.43）中得函数M（x,y）N(x,y)满足关系 = Nf(x)-Mg(y),其中f(x),g(y)分别为x和y得连续函数，试证方程（2.43） 有积分因子u=exp( + ) 证明：M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 即证 EMBED Equation.3 u +M =u +N EMBED Equation.3 u( - )=N - M EMBED Equation.3 u( - )=Ne f(x) -M e g(y) u( - )=e (Nf(x)-Mg(y)) 由已知条件上式恒成立，故原命题得证。 22、求出伯努利方程的积分因子. 解：已知伯努利方程为： 两边同乘以 ，令 ， 线性方程有积分因子： ，故原方程的积分因子为： ，证毕！ 23、设 是方程 的积分因子，从而求得可微函数 ， 使得 试证 EMBED Equation.3 也是方程 的积分因子的充要条件是 其中 是 的可微函数。 证明：若 ，则 又 即 为 的一个积分因子。 24、设 是方程 的两个积分因子，且 常数，求证 （任意常数）是方程 的通解。 证明：因为 是方程 的积分因子 所以 为恰当方程 即 ， 下面只需证 的全微分沿方程恒为零 事实上： 即当 时， 是方程的解。证毕！ _1159702964.unknown _1159784505.unknown _1159790301.unknown _1159790390.unknown _1159790444.unknown _1159790550.unknown _1159790720.unknown _1159790745.unknown _1159790648.unknown _1159790462.unknown _1159790421.unknown _1159790376.unknown _1159789341.unknown _1159789861.unknown _1159790135.unknown _1159790247.unknown _1159790096.unknown _1159789433.unknown _1159789613.unknown _1159789384.unknown _1159788569.unknown _1159789250.unknown _1159789305.unknown _1159788881.unknown _1159789114.unknown _1159789217.unknown _1159788956.unknown _1159788625.unknown _1159788484.unknown _1159788503.unknown _1159788537.unknown _1159785185.unknown _1159785402.unknown _1159788436.unknown _1159784527.unknown _1159719674.unknown _1159720747.unknown _1159782861.unknown _1159784132.unknown _1159784383.unknown _1159784478.unknown _1159784321.unknown _1159784337.unknown _1159784170.unknown _1159782990.unknown _1159783828.unknown _1159783082.unknown _1159783780.unknown _1159782932.unknown _1159782359.unknown _1159782455.unknown _1159782506.unknown _1159782566.unknown _1159782695.unknown _1159782491.unknown _1159782425.unknown _1159720960.unknown _1159781963.unknown _1159782208.unknown _1159721030.unknown _1159721075.unknown _1159720891.unknown _1159720947.unknown _1159720848.unknown _1159720233.unknown _1159720368.unknown _1159720450.unknown _1159720476.unknown _1159720415.unknown _1159720305.unknown _1159720339.unknown _1159720257.unknown _1159719889.unknown _1159720013.unknown _1159720207.unknown _1159719967.unknown _1159719804.unknown _1159719834.unknown _1159719721.unknown _1159718772.unknown _1159719217.unknown _1159719482.unknown _1159719576.unknown _1159719633.unknown _1159719518.unknown _1159719422.unknown _1159719450.unknown _1159719236.unknown _1159718927.unknown _1159719145.unknown _1159719168.unknown _1159719021.unknown _1159718868.unknown _1159718901.unknown _1159718832.unknown _1159704526.unknown _1159718485.unknown _1159718639.unknown _1159718718.unknown _1159718749.unknown _1159718663.unknown _1159718568.unknown _1159718598.unknown _1159718505.unknown _1159716102.unknown _1159716979.unknown _1159717284.unknown _1159717450.unknown _1159718392.unknown _1159718478.unknown _1159718359.unknown _1159718360.unknown _1159717924.unknown _1159717320.unknown _1159717413.unknown _1159717292.unknown _1159717090.unknown _1159717146.unknown _1159717048.unknown _1159716327.unknown _1159716618.unknown _1159716875.unknown _1159716400.unknown _1159716277.unknown _1159716294.unknown _1159716236.unknown _1159715552.unknown _1159716019.unknown _1159716052.unknown _1159716096.unknown _1159715658.unknown _1159715927.unknown _1159715960.unknown _1159715592.unknown _1159715410.unknown _1159715467.unknown _1159704596.unknown _1159703922.unknown _1159704121.unknown _1159704274.unknown _1159704351.unknown _1159704193.unknown _1159704006.unknown _1159704096.unknown _1159703950.unknown _1159703491.unknown _1159703786.unknown _1159703877.unknown _1159703568.unknown _1159703411.unknown _1159703443.unknown _1159703126.unknown _1159698431.unknown _1159700011.unknown _1159700835.unknown _1159702423.unknown _1159702645.unknown _1159702863.unknown _1159702526.unknown _1159701037.unknown _1159701055.unknown _1159700954.unknown _1159700454.unknown _1159700714.unknown _1159700763.unknown _1159700608.unknown _1159700214.unknown _1159700337.unknown _1159700130.unknown _1159699229.unknown _1159699527.unknown _1159699831.unknown _1159699850.unknown _1159699693.unknown _1159699402.unknown _1159699481.unknown _1159699350.unknown _1159698763.unknown _1159699080.unknown _1159699198.unknown _1159698860.unknown _1159698517.unknown _1159698627.unknown _1159698468.unknown _1159696676.unknown _1159697425.unknown _1159697921.unknown _1159698197.unknown _1159698278.unknown _1159698010.unknown _1159697649.unknown _1159697713.unknown _1159697575.unknown _1159697130.unknown _1159697285.unknown _1159697370.unknown _1159697242.unknown _1159697001.unknown _1159697103.unknown _1159696892.unknown _1159695740.unknown _1159696041.unknown _1159696302.unknown _1159696452.unknown _1159696112.unknown _1159695837.unknown _1159695944.unknown _1159695776.unknown _1159695331.unknown _1159695559.unknown _1159695643.unknown _1159695469.unknown _1159695193.unknown _1159695254.unknown _1159695069.unknown