微积分论文积分第一中值定理的逆问题及其推广

积分第一中值定理的逆问题及其推广 蒋平 01211063 (徐州师范大学 数学 数学高考答题卡模板高考数学答题卡模板三年级数学混合运算测试卷数学作业设计案例新人教版八年级上数学教学计划 系 徐州 221116) 摘 要 本文给出了推广的积分第一中值定理的逆问题并加以 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 . 在此基础上，给出了二维积分中值定理逆问题的证明. 关键词 积分第一中值定理；逆问题；连续函数；可积 一． 问题的引出 文[1]讨论了积分第一中值定理的逆问题，受之启发，本文给出了推广的第一积分中值定理的逆问题的证明. 并在文[2]的基础上，本文也证明了该逆问题的二维推广形式. 为了叙述方便，下面把推广的积分第一中值定理及二重积分中值定理分别作为定理1与定理2引述如下. 定理 若函数 与 在闭区间 上连续且 在 上恒正（或恒负），则在 上至少存在一点 ，使得 . 注 若本定理中的条件“ 在 上连续”减弱为“ 在 可积”时，定理仍然是成立的. 定理2 若函数 在闭区域D上连续，函数 在D上可积且恒正（或恒负），则存在一点 EMBED Equation.3D，使得 . 定理1的逆问题为：若函数 与 在闭区间 上连续， 在 上恒正（或恒负）. 则对于 上任意一点 ，必存在[ ] EMBED Equation.3 ，使得 [ ]， 并且 . 一般情况下，上述命题是不一定成立的. 反例如下 设 EMBED Equation.3 ， ， EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 . 取 ，则容易推出 即 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 . 于是 ，这便和 相矛盾. 同样的，二维积分中值定理的逆问题在一般情况下也是不能保证其是成立的. 下面给出定理1和定理2的逆定理. 二．问题的结果及证明 1.对推广的积分第一中值定理的逆问题的讨论 现把推广的积分第一中值定理的逆问题作为定理3叙述如下 定理3 若函数 在闭区间 上连续且严格单调， 在 上可积且恒正（或恒负），则对任意的 EMBED Equation.3 ，必存在 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ，使得 EMBED Equation.3 ，且满足 . 证明： 函数 是严格单调的，不妨设它为严格单调递增且 EMBED Equation.3 (其他的情况证明类似). 对于 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ，取 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ，使得 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 . 根据积分保号性可知 现设 EMBED Equation.3. （1） 若 , 则取 = 即可. （2） 若 ，现设 EMBED Equation.3， 其中 EMBED Equation.3 则 = EMBED Equation.3. 据定理1知, 存在 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ，使得 于是 = EMBED Equation.3= EMBED Equation.3. 所以 . 由于函数 在 上也是连续的. 于是根据连续函数的介值性定理知，存在 EMBED Equation.3 , 使得 EMBED Equation.3 即 . 此时取 = EMBED Equation.3即可. （3） 若 ,现设 = ， 其中 EMBED Equation.3 则 = EMBED Equation.3. 据定理1知，存在 EMBED Equation.3[ , ]，使得 则 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3= EMBED Equation.3 . 于是 . 对于函数 ，据连续函数的介值性定理知，存在 EMBED Equation.3 , 使得 即 . 此时取 = EMBED Equation.3 即可. 注1 在该定理中，若令 ，便得到文[1]所研究的结论，即 推论 函数 在闭区间 上连续且严格单调，则对任意的 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ，必存在 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ，使得 EMBED Equation.3 ，并满足 . 注2 在该定理中的条件“ 严格单调”的条件是必不可少，否则便不能保证结论成立.对此前面已做出说明. 2.对二维积分中值定理逆问题的证明 现把二维积分中值定理的逆问题作为定理4叙述如下 定理4 若函数 在有界区域D上连续且关于 分别严格单调递增（或递减），函数 在D上连续且恒正（或恒负），则对于任意的 （其中 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示D的内部），存在区域 ，使得 ，且 . 证明： 在有界区域D上严格单调，不妨设为严格单调递增且 （ 在D上严格单调递减的情况类似可证）. 对任意的 ，存在 的一个邻域 ，暂将 固定 . 对于任意的 ，据定理3，存在 ，使得 EMBED Equation.3 其中 EMBED Equation.3. 这里的 在 上连续且严格单调递增，又因为 在D上连续且 >0，于是 在 上可积且恒正. 对于 与 ，再次运用定理3，对任意的 ，存在 ，使得 . 取 EMBED Equation.3，于是 = = = = = . 综上，定理获证. 参考文献 [1] 周友明. 第一积分中值定理的逆问题及其渐进性[J]. 大学数学，2004，20（2）：121-126. [2] 郝建丽，刘继全. 二重积分中值定理的逆命题[J]. 商丘师范学院学报，2001， 17（2）：109-111. [3] 华东师范大学数学系. 数学分析（上册）[M]. 北京：高等教育出版社，1991. 294-295. [4] 杨熙泉. 二重积分的第一中值定理[J]. 山东工业大学报，1995，25（4）：398-400. Inverse Problem of the First Mean Value Theorem for Integrals And its generalization Jiang ping 01211063 (Dept. of Math. Xuzhou Normal University, Xuzhou 221116) Abstract In this paper, we discuss the inverse problem of the first mean value for integrals. On this base, we also prove the mean value theorem of the double integrals. Keywords the first mean value for integrals; inverse problem; continuous function; integrable PAGE 1 _1177774241.unknown _1177776140.unknown _1177911605.unknown _1177912302.unknown _1177998986.unknown _1178115123.unknown _1178692030.unknown _1177999084.unknown _1178115099.unknown _1177999139.unknown _1177999054.unknown _1177913319.unknown _1177913650.unknown _1177913833.unknown _1177913894.unknown _1177913716.unknown _1177913494.unknown _1177912585.unknown _1177912663.unknown _1177912757.unknown _1177912517.unknown _1177911852.unknown _1177912184.unknown _1177912240.unknown _1177912289.unknown _1177912113.unknown _1177911636.unknown _1177911659.unknown _1177911612.unknown _1177776455.unknown _1177776473.unknown _1177776504.unknown _1177776536.unknown _1177776615.unknown _1177776519.unknown _1177776494.unknown _1177776460.unknown _1177776272.unknown _1177776409.unknown _1177776201.unknown _1177776227.unknown _1177775238.unknown _1177775890.unknown _1177776059.unknown _1177776094.unknown _1177776014.unknown _1177775937.unknown _1177775990.unknown _1177775331.unknown _1177775562.unknown _1177775662.unknown _1177775768.unknown _1177775820.unknown _1177775735.unknown _1177775679.unknown _1177775618.unknown _1177775634.unknown _1177775596.unknown _1177775386.unknown _1177775448.unknown _1177775536.unknown _1177775341.unknown _1177775300.unknown _1177775319.unknown _1177775286.unknown _1177774930.unknown _1177775114.unknown _1177775188.unknown _1177775199.unknown _1177775152.unknown _1177774979.unknown _1177775024.unknown _1177774951.unknown _1177774504.unknown _1177774768.unknown _1177774797.unknown _1177774535.unknown _1177774697.unknown _1177774460.unknown _1177774475.unknown _1177774268.unknown _1177771135.unknown _1177771342.unknown _1177771395.unknown _1177771551.unknown _1177771704.unknown _1177772083.unknown _1177772134.unknown _1177771616.unknown _1177771439.unknown _1177771455.unknown _1177771380.unknown _1177771366.unknown _1177771204.unknown _1177771229.unknown _1177771172.unknown _1176362016.unknown _1177771044.unknown _1177771077.unknown _1177771118.unknown _1177771056.unknown _1177770944.unknown _1177770956.unknown _1176362360.unknown _1177770063.unknown _1177770913.unknown _1177770932.unknown _1177770596.unknown _1177770552.unknown _1177770573.unknown _1177770078.unknown _1177770532.unknown _1177600159.unknown _1177600425.unknown _1177600759.unknown _1177600830.unknown _1177600495.unknown _1177600186.unknown _1176387587.unknown _1176362248.unknown _1176362324.unknown _1176362065.unknown _1176359308.unknown _1176359339.unknown _1176359371.unknown _1176361101.unknown _1176361102.unknown _1176359381.unknown _1176359389.unknown _1176359372.unknown _1176359368.unknown _1176359369.unknown _1176359354.unknown _1176359325.unknown _1176359337.unknown _1176359338.unknown _1176359336.unknown _1176359318.unknown _1176359321.unknown _1176359309.unknown _1176359291.unknown _1176359295.unknown _1176359296.unknown _1176359294.unknown _1176359288.unknown _1176359290.unknown _1176359281.unknown _1176359286.unknown _1176359287.unknown _1176359285.unknown _1176359277.unknown