函数的单调性德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯，对人类的记忆牢固程度进行了有关研究。他经过测试，得到了以下一些数据：时间间隔t刚记忆完毕20分钟后60分钟后8-9小时后1天后2天后6天后一个月后记忆量y(百分比)10058.244.235.833.727.825.421.1新课讲解以上数据
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明，记忆量y是时间间隔t的函数。艾宾浩斯根据这些数据描绘出了著名的“艾宾浩斯遗忘曲线”,如图。123tyo20406080100思考1:当时间间隔t逐渐增大你能看出对应的函数值y有什么变化趋势？通过这个试验，你打算以后如何对待刚学过的知识?思考2:“艾宾浩斯遗忘曲线”从左至右是逐渐下降的，对此，我们如何用数学观点进行解释？新课讲解观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：yxOyxyxOO函数单调性新课讲解函数单调性画出下列函数的图象，观察其变化规律：（1）f(x)=x（2）f(x)=x2(x≥0)xyoxyo思考1:这两个函数的图象分别是什么？二者有何共同特征？新课讲解函数单调性思考2:如果一个函数的图象从左至右逐渐上升，那么当自变量x从小到大依次取值时，函数值y的变化情况如何？思考3:如图为函数f(x)在定义域I内某个区间D上的图象，对于该区间上任意两个自变量x1和x2，当x1＜x2时，f(x1)与f(x2)的大小关系如何？xyox1x2新课讲解函数单调性思考4:我们把具有上述特点的函数称为增函数，那么怎样定义“函数f(x)在区间D上是增函数”？对于函数定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1和x2的值，若当x1＜x2时，都有f(x1)<f(x2),则称函数f(x)在区间D上是增函数。对于函数定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1和x2的值，若当x1＜x2时，都有f(x1)>f(x2),则称函数f(x)在区间D上是减函数。新课讲解注意:1.函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；2.必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1<x2时，总有f(x1)<f(x2)。函数单调性新课讲解函数的单调性定义：如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间。函数单调性新课讲解有限集、无限集函数单调性例1.如图是定义在闭区间[-5，6]上的函数y=f(x)的图象，根据图象说出y=f(x)的单调区间，以及在每一单调区间上，函数y=f(x)是增函数还是减函数。-5-3136oxy例题讲解例2.物理学中的玻义耳定律告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压强p将增大。试用函数的单调性定义证明。例题讲解例3.试确定函数，在区间上的单调性。例题讲解利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：1.任取x1，x2∈D，且x1<x2；2.作差f(x1)－f(x2)；3.变形（通常是因式分解和配方）；4.定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；5.下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）。判断函数单调性的方法步骤例题讲解课堂练习1.证明函数在（1，+∞）上为增函数。2.借助计算机作出函数y=－x2+2|x|+3的图象并指出它的的单调区间。课堂小结函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明。画函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域。单调性的证明一般分五步：取值→作差→变形→定号→下结论再见函数的最大（小）值1.确定函数的单调性有哪些手段和方法？2.函数图象上升与下降反映了函数的单调性，如果函数的图象存在最高点或最低点，它又反映了函数的什么性质？新课讲解观察下列两个函数的图象：图1ox0xMy思考1:这两个函数图象有何共同特征？函数图象上最高点的纵坐标叫什么名称？yxox0图2M新课讲解思考2:设函数y=f(x)图象上最高点的纵坐标为M,则对函数定义域内任意自变量x，f(x)与M的大小关系如何？思考3:设函数f(x)=1-x2，则f(x)≤2成立吗？f(x)的最大值是2吗？为什么？思考4:怎样定义函数f(x)的最大值？用什么符号表示？新课讲解一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的x∈I,都有f(x)≤M；（2）存在x0∈I，使得f(x0)=M。那么称M是函数y=f(x)的最大值。一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的x∈I,都有f(x)≥M；（2）存在x0∈I，使得f(x0)=M。那么称M是函数y=f(x)的最小值。函数的最值新课讲解函数的最值注意：1.函数最大（小）首先应该是某一个函数值,即存在x0∈I，使得f(x0)=M；2.函数最大（小）应该是所有函数值中最大(小)的，即对于任意的x∈I，都有f(x)≤M（f(x)≥M）。新课讲解例1.已知函数，求函数f(x)的最大值和最小值。例题讲解例2.一个星级旅馆有150个标准房，经过一段时间的经营，经理得到一些定价和住房率的数据如下：欲使每天的的营业额最高，应如何定价？房价（元）住房率（%）16055140651207510085说明：对于具有实际背景的问题，首先要审清题意，适当设出变量，建立适当的函数模型，再利用函数的性质或利用图象确定函数的最大（小）值。例题讲解利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法。1.利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；2.利用图象求函数的最大（小）值；3.利用函数单调性的判断函数的最大（小）值。若函数y=f(x)在区间[a，b]上单调减，在区间[b，c]上单调增，则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)。若函数y=f(x)在区间[a，b]上单调增，在区间[b，c]上单调减，则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；求函数最值的方法例题讲解课堂练习如图，把截面半径为25cm的圆形木头锯成矩形木料，如果矩形一边长为x，面积为y，试将y表示成x的函数，并画出函数的大致图象，并判断怎样锯才能使得截面面积最大？25课堂小结本节课学习了：(1)函数的最值；(2)求函数最值的方法：①图象法；②单调法；(3)求函数最值时，要注意函数的定义域。谢谢大家敬请各位老师提出宝贵意见！再见
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