知识框架数列的概念［数列的分类I数列的通项公式■函数角度理解［数列的递推关系「「等差数列的定义an等差数列的通项公式等差数列2等数列'等差数列的求和公式等差数列的性质an—an」=d(n二2)=a1+(n—1)dn/亠、.n(n-1)=一佝+an)=na1+d22=ap+aq(m+n=p+q)anSn数列两个基本数列等比数列等比数列的定义an=q(n＞2)anA.等比数列的通项公式annA.=aiq等比数列的求和公式Sn…曾q#1)等比数列的性质詔1—q■IIna1(q=1)anam=apaq(m+n=p+q)(1)观察法。(2)由递推公式求通项。对于由递推公式所确定的数列的求解，通常可通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列问题。(1)递推式为an+1=an+d及an+1=qan(d,q为常数)例1、已知｛an｝满足an+1=an+2，而且a1=1。求an。例1、解■/an+1-an=2为常数•••｛an｝是首项为1,公差为2的等差数列/•an=1+2(n-1)即an=2n-11例2、已知｛an｝满足a^^=-an，而a,=2，求耳=?解丁也=!＜常数g2二％｝是以2为首项，公比为-的等比数列n-l公式法分组求和错位相减求和＜裂项求和倒序相加求和累加累积归纳猜想证明数列的应用!分期付款［其他数列求和掌握了数列的基本知识，特别是等差、等比数列的定义、通项公式、求和公式及性质，掌握了典型题型的解法和数学思想法的应用，就有可能在高考中顺利地解决数列问题。一、典型题的技巧解法1、求通项公式(2)递推式为an+1=an+f(n)1例3、已知｛a*｝中a1,anF=an+—■，求an.4nT解：由已知可知aH1—an==丄(一-一)(2n+1)(2n-1)22n-12n+1令n=1,2,…，(n-1)，代入得(n-1)个等式累加，即(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)2n-32n-l乩-a,=—(1)丄11、4n-3】2氐一1an=a1m(1一冇"忘★说明只要和f(1)+f(2)+…+f(n-1)是可求的，就可以由an+1=an+f(n)以n=1,2,…，(n-1)代入，可得n-1个等式累加而求an。⑶递推式为an+1=pan+q(p,q为常数)例4、｛an｝中，ai=1，对于n>1(n€N)有a^3an_L+2，求a.•思路：设an42=panH!+qan,可以变形为：an42—aan4i=P(an+1—aan),n-kl解法一:由已知递推式得an+1=3an+2,an=3an-1+2。两式相减：an+1-an=3(an-an-1)因此数列｛an+1-an｝是公比为3的等比数列，其首项为a2-a1=(3X1+2)-1=4…an+1-an=4•3-an+1=3an+2…3an+2-an=4•3即an=2•3-1解法二：上法得｛an+1-an｝是公比为3的等比数列，于是有：a2-a1=4,a3-a2=4-3,a4-a3=4•3，…,an-an-1=4・3,ICL+P=p就是也=3+3)则可从LRP解得J[Q*p=-q于是｛an+1-aan｝是公比为3的等比数列，就转化为前面的类型。把n-1…an=2•3n-1-1-鸽=4（式3+扌昇…+押）二得（\[）1一3【例6】已知数列心中小=1*2宀务】+扎求⑷递推式为an+1=Pan+qn（p,q为常数）【例5】己知｛aj中，=-,脸+1=詐+（T）求氏汕略解在和+G）呢两边乘以雪得2〃-%产=&轧）+1,令％=2壮..」—t—ea目2乩i〜V宀2=—（bn-bn」）由上题的解法，得：bn=3-2（—）n/•33则也=3女11+h于是可得bn+-bn=3（2）n—2（3）n艸对于递推2T，可两删N得罰a分析a解在仏2R\CL+P三一p=p13"J"…显321=于迪+評两边减去如，得ik+l亦-日」是公比为-£,首项为％-a】=啲等比数列。…r。+〔丐八…+十31r七[1一（-”]a]ap]迪4J3—*+-」引辅助数列｛bn｝*（*=』）J得t>rHi二一亠+-后用⑹递推式为S与an的关系式qqqqq#此类型可利用a,=【例门i殳W前n项的和S扎二4話-希⑴求如尿血关系;⑸递推式为anH2=pan++qan(n=l)心)(2)试用n
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示an。适用于数列J—>和'1L*(其中｛an｝等差)lan£n+1J[离+5/0書J)，nan41可裂项为：一1一=丄(丄-」an'an+ldaSn+-Sn=(an-an卅)+(2n_2-2n4)•-an+=an-an卅+土1an+=—an2上式两边同乘以等差数列前n项和的最值问题：2n+1得2n+1an+i=2nan+2则｛25｝是公差为2的等差数列。•••2nan=2+(n-1)•2=2n-几1、若等差数列的首项ai，公差dV0，则前n项和Sn有最大值。q2p的非零自然数时Sn最(a>0(i)若已知通项an，则Sn最大二彳;:an41兰02(ii)若已知&=pn+qn，则当n取最靠近数列求和的常用方法:大；2、若等差数列｛an｝的首项印C0，公差dA0,则前n项和Sn有最小值[a<0(i)若已知通项an,则Sn最小二｛n;ianH1—01、拆项分组法：即把每一项拆成几项，重新组合分成几组，转化为特殊数列求和。2、错项相减法：适用于差比数列(如果
2）。au⑸已知亠1=f（n）求an，用累乘法：an=anananan」anJ.■)11~a1(n吕2)。a1⑹已知递推关系求4,用构造法（构造等差、等比数列）特别地，（1）形如an=kan_i+b、an=kan4+bn（k,b为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列后，再求an；形如an=kan4+kn的递推数列都可以除以kn得到一个等差数列后，再求an。（2）形如an=anJ的递推数列都可以用倒数法求通项。kan4+b（3）形如an+=ank的递推数列都可以用对数法求通项。(7)（理科）数学归纳法。(8)当遇到an+-an_^=d或色总=q时，分奇数项偶数项讨论，结果可an4能是分段形式。数列求和的常用方法：（1）公式法：①等差数列求和公式；②等比数列求和公式。（2）分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和。（3）倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前n和公式的推导方法）.（4）错位相减法通项相乘构成，法）.（5）裂项相消法:如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的那么常选用错位相减法（这也是等比数列前n和公式的推导方:如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式,.常用裂项形式有：后相关联，那么常选用裂项相消法求和①1一11n（n+1）;②\n(n+k)kn111,1—<—2=—(k2k-12k-1111—<—2吒=—k+1(k+1)kk2(k-1)kk-1HYPERLINK\l"bookmark44"\o"CurrentDocument"11「11=-[nn+1n+kk且相邻项分裂⑥2bZ^M-7nH-2^=<^<-2-；⑤=(n+1)!n!(n+1)!=2(需-7^)二、解题方法:求数列通项公式的常用方法:1、公式法2、由Sn求an(n=1时，a13、求差（商）法=$1,n>2时，an=Sn-Sn~)111a^2a^+nan=2n+52222n1解：n=1时，一a1=2X1+5,二a^14如：｛a」满足111n>2时，5aj+尹a?++an1=2n-1+5<2>1-c2>得：2nan<1>=2•-an•-an［练习］「14(n=1)2n*(n>2)数列｛an｝满足Sn+Sn+22n>2时，a2-aj=f(2)a3-a2-f(3)两边相加，得:an-anJ=f(n)"an-ai［练习］=f(2)+f(3)+……+f(n)ao+f(2)+f(3)+……+f(n)31=4,求an数列(aj,a^1,an=32+an_,(n>2)，求a.(注意到a卄=Sn出-Sn代入得:=4Sn1(a匸(3n-1))6、等比型递推公式又S^4，二fen｝是等比数列,Snan=can」+d(c、d为常数,n32时，an=Sn-Sn」=3•4n」可转化为等比数列，设an+X=CanJ+x)4、叠乘法=an=can_,+(cT)x例如：数列｛an｝中，a1an-1J,求ann+1pl令(c-1)x=d,・.x=c-1a3ana1a2n—1ana1an+—L,是首项为ajt-1Jd,c为公比的等比数列C-1又aj=3,•-an5、等差型递推公式亠£+•c-1c-1Vc-1/由an-and=f(n),a1=ao，求an,用迭加法•-ancT［练习］数列｛an｝满足％=9,3an++an=4，求an(an=8I3丿+1)7、倒数法例如：a12anan+2求an【例8】求数列1,(3+5),(7+9+10),(13+15+17+19),…前n项的和。解本题实际是求各奇数的和，在数列的前n项中，共有1+2+…+n=Jn(n+1)2个奇数,由已知得:an+2an卅2anan12•••最后一个奇数为：1+[—n(n+1)-1]X2=n+n-12因此所求数列的前n项的和为1an+an=12=-nCn+1)*[1+〔口'+n-1)21—＞为等差数列,an11丄=1,公差为a1=1+(nT)••-an2n+12.数列求和问题的方法(1)、应用公式法等差、等比数列可直接利用等差、等比数列的前下公式对求和来说是有益的。n项和公式求和，另外记住以=〔n+1)(2)、分解转化法对通项进行分解、组合【例9】求和S=1•(n2-1)解S=n2(1+2+3+…+n)-(13+23+33+…+n3),转化为等差数列或等比数列求和。+2•(n2-22)+3•(n2-32)+…+n(n2-n2)3、=1?*尹G+1)--n=Cn+1)Cn+1)(fl-1)W-1),、_n仗+1)1+2+3+•…-+n=-^^21+3+5+……+(2n-1)=n2(3)、倒序相加法适用于给定式子中与首末两项之和具有典型的规律的数列，采取把正着写与倒着写的两个和式相加，然后求和。例10、求和：sn=3cn+6C；+111+3nC：1例10、解Si=0*C：+3cn+6C：+|||+3nCnn又S扛=十？(fl-1)C:-】+…十0蹲相加，且运用C：=C^可得汎=3n(C：+C：+…+C：)=血•2亶111例12、求禾n—+++HI1*53*75*9(2n-1)(2n+3)例3求耳□冇++r+…+(2a_[)(2血+Rn-1前n项的和.n-1.①，可把和•••Sn=3n•2n-1(4)、错位相减法如果一个数列是由一个等差数列与一个等比数列对应项相乘构成的式的两端同乘以上面的等比数列的公比，然后错位相减求和.例11、求数列1，3x，5x2,…,(2n-1)x2解设S=1+3+5x+…+(2n-1)x⑴当X=1时，$厂气卫-解B==—f如C2n-1)(211+3)4^2n-l2口+3二S=-fl--++—+■■■++"和537592ft-32n+12n-12n+3—[1牡32n+l2n+3n(4n+R3(2n+lX2n+3)⑵x=0时，Sn=1.(3)当xM0且xM1时，在式①两边同乘以②①-②，得(1-x)Sn=1+2x+2x2+2x3+…+2xn-1-(2n-1)x丄』'十41&(1弋21)由公式知$血=[1+〔2x1-l)x]1-X1-Z[+x-(2n+l)x^+(2ii-l)x^+ix得xSn=x+3x2+5x3+…+(2n-1)xn,(1T注：在消项时一定注意消去了哪些项，还剩下哪些项，一般地剩下的正项与负项一样多。在掌握常见题型的解法的同时，也要注重数学思想在解决数列问题时的应用。二、常用数学思想方法1.函数思想运用数列中的通项公式的特点把数列问题转化为函数问题解决。【例13】等差数列｛an｝的首项ai>0，前n项的和为S,若S=S(I丰k)问n为何值时Sn最大？⑸裂项法：把通项公式整理成两项(式多项)差的形式，然后前后相消。常见裂项方法：解依题意，i殳F〔11)=s^=11珀十口D乃n(n+l)(n+2)2卜n+1n+2n(n+k)knn+k此函数以n为自变量的二次函数。•••a1>0Si=Sk(IMk)，.・.d<0故此二次函数的图像开口向下二当时f(x)最大，f(n)中，•••f(1)=f(k)i+k二当1+k为偶数时，：1=〒时$漳丸1+疋±1*皇召2符。2•方程思想【例14】设等比数列｛an｝前n项和为S,若S+S6=2S9,求数列的公比q。分析本题考查等比数列的基础知识及推理能力。解•••依题意可知qM1o■.■如果q=1，贝yS3=3a1,S6=6a1,S9=9a1。由此应推出a1=0与等比数列不…112.11——'X£y*log^klog,k10£t,k故聲+譬=即Ig曰+Igc=21gbIgkIgkIgk•-b2=ac••a,b,c成等比数列(a,b,c均不为0)、选择题数学5(必修)第二章：数列•/qM1■沁(DJ(l-q$)_2^](l-q)9)'■勺—Hq—+—E整理得q3(2q6-q3-1)=0■/qM01.数列^aj的通项公式A.98B.99an=—==,则该数列的前()项之和等于9OJn+Jn+1C.96D.971-q2.在等差数列若S4—1,S8—4，则印7+a18+a19+a20的值为()A2q^--1=0q：=l舍，口冷-㊁A.9B12C.16D.173.在等比数列若a2=6，且a^—2a^—a3中12=0,则an为()A.6B.6・(-1严C.6*22D.6或6*(—1)2或6”2n/此题还可以作如下思考：S6=S3+q3S3=(1+q3)SoS9=S3+q3S6=S3(1+q3+q6),•••由S3+S=2S可得2+q3=2(1+q3+q6),2q6+q3=0二、填空题1.已知数d=-1,a^1^n=an41-an,则数列通项an=3.换元思想【例15】已知a,b,c是不为1的正数，x,y,z€R+,且112有r二1/之芽口―+-二—。XZy求证：a,b,c顺次成等比数列。证明依题意令a=b=c=k•-x=1ogak,y=logbk,z=logck2.已知数列的Sn=n2+n+1，贝yas+ag+a10+a11+a123.三个不同的实数a,b,c成等差数列，且a,c,b成等比数列，则a:b:c=三、解答题1.已知数列Qn｝的前n项和Sn=3+2n，求an2.数lg100Qlg(1000cos600),lg(10008S26Oo),...lg(1OOOcos^GO0),…的前多少项和为最大?3.已知数列｛an｝的前n项和为Sn，满足Sn=2an-2n(n€NQ(1)求数列｛an｝的通项公式an(2)若数列｛bn｝满足bn=log2(an+2),Tn为数列｛｝的前n项和，求an+2
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