2019-2020年四川省绵阳市高考数学三诊测试题(理科)含解析

精品模拟试题四川省绵阳市高考数学三诊试卷（理科））　一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.1．已知i为虚数单位，复数z满足z（1+i）=i，则复数z所对应的点在（　　）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．已知U={x|y=A．[1，2）B．（0，+∞）C．[2，+∞）D．（0，1]3．执行如图所示程序框图，则输出的n为（　　）SHAPE\*MERGEFORMATA．4B．6C．7D．84．“∃x＞0，使a+x＜b”是“a＜b”成立的（　　）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．已知x∈[﹣1，1]，y∈[0，2]，则点P（x，y）落在区域SHAPE\*MERGEFORMAT内的概率为（　　）A．SHAPE\*MERGEFORMATB．SHAPE\*MERGEFORMATC．SHAPE\*MERGEFORMATD．SHAPE\*MERGEFORMAT6．甲、乙、丙、丁和戊5名同学进行数学应用知识比赛，决出第1名至第5名（没有重复名次）．已知甲、乙均未得到第1名，且乙不是最后一名，则5人的名次排列情况可能有（　　）A．27种B．48种C．54种D．72种7．若函数f（x）同时满足以下三个性质；①f（x）的最小正周期为π；②对任意的x∈R，都有f（x﹣SHAPE\*MERGEFORMAT）=f（﹣x）；③f（x）在（SHAPE\*MERGEFORMAT，SHAPE\*MERGEFORMAT）上是减函数．则f（x）的解析式可能是（　　）A．f（x）=cos（x+SHAPE\*MERGEFORMAT）B．f（x）=sin2x﹣cos2xC．f（x）=sinxcosxD．f（x）=sin2x+cos2x8．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=SHAPE\*MERGEFORMATAA1，P、Q分别是棱CD、CC1上的动点，如图．当BQ+QD1的长度取得最小值时，二面角B1﹣PQ﹣D1的余弦值的取值范围为（　　）SHAPE\*MERGEFORMATA．[0，SHAPE\*MERGEFORMAT]B．[0，SHAPE\*MERGEFORMAT]C．[SHAPE\*MERGEFORMAT，SHAPE\*MERGEFORMAT]D．[SHAPE\*MERGEFORMAT，1]9．设M，N是抛物线y2=4x上分别位于x轴两侧的两个动点，且SHAPE\*MERGEFORMAT•SHAPE\*MERGEFORMAT=0，过点A（4，0）作MN的垂线与抛物线交于点P、Q两点，则四边形MPNQ面积的最小值为（　　）A．80B．100C．120D．16010．该试题已被管理员删除　二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.11．已知向量SHAPE\*MERGEFORMAT=（t，1）与SHAPE\*MERGEFORMAT=（4，t）共线且方向相同，则实数t=_______．12．若SHAPE\*MERGEFORMAT的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为_______．13．某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如下表所示． 销售单价/元 6 7 8 9 10 11 12 日均销售量/桶 480 440 400 360 320 280 240请根据以上数据分析，这个经营部定价在_______元/桶才能获得最大利润．14．在平面直角坐标系xOy中，点A（0，1），B（0，4）．若直线2x﹣y+m=0上存在点P，使得PA=SHAPE\*MERGEFORMATPB，则实数m的取值范围是_______．15．已知函数f（x）=SHAPE\*MERGEFORMAT，其中常数a＞0，给出下列结论：①f（x）是R上的奇函数；②当a≥4时，f（x﹣a2）≥f（x）对任意的x∈R恒成立；③f（x）的图象关于x=a和x=﹣a对称；④若对∀x1∈（﹣∞，﹣2），∃x2∈（﹣∞，﹣1），使得f（x1）f（x2）=1，则a∈（SHAPE\*MERGEFORMAT，1）．其中正确的结论有_______．（写出所有正确结论的序号）　三、解答题：本大题共6个小题，共75分.16．体育课上，李老师对初三（1）班50名学生进行跳绳测试．现测得他们的成绩（单位：个）全部介于20到70之间，将这些成绩数据进行分组（第一组：（20，30]，第二组：（30，40]，…，第五组：（60，70]），并绘制成如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）求成绩在第四组的人数和这50名同学跳绳成绩的中位数；（Ⅱ）从成绩在第一组和第五组的同学中随机抽出3名同学进行搭档训练，设取自第一组的人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．SHAPE\*MERGEFORMAT17．已知在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c且满足b=acosC+csinA．（1）求A的大小；（2）若cosB=SHAPE\*MERGEFORMAT，BC=5，SHAPE\*MERGEFORMAT=SHAPE\*MERGEFORMAT，求CD的长．18．已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn满足Sn=（SHAPE\*MERGEFORMAT）2（n∈N*）．（I）求数列{an}的通项 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 ；（II）设Tn为数列{SHAPE\*MERGEFORMAT}的前n项和，若Tn≤λan+1对∀n∈N*恒成立，求实数λ的最小值．19．如图，图②为图①空间图形的主视图和侧视图，其中侧视图为正方形．在图①中，设平面BEF与平面ABCD相交于直线l．（I）求证：l⊥平面CDE；（II）在图①中，线段DE上是否存在点M，使得直线MC与平面BEF所成的角的正弦值等于SHAPE\*MERGEFORMAT？若存在，求出点M的位置；若不存在，请说明理由．SHAPE\*MERGEFORMAT20．已知椭圆E：SHAPE\*MERGEFORMAT+SHAPE\*MERGEFORMAT=1（a＞b＞0）的离心率为SHAPE\*MERGEFORMAT，过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆E截得的线段长为2．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）直线y=kx+1与椭圆E交于A，B两点，以AB为直径的圆与y轴正半轴交于点C．是否存在实数k，使得△ABC的内切圆的圆心在y轴上？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．21．设函数g（x）=lnx，f（x）=g[λx+（1﹣λ）a]﹣λg（x），其中a，λ是正常数，且0＜λ＜1．（Ⅰ）求函数f（x）的最值；（Ⅱ）对于任意的正数m，是否存在正数x0，使不等式|SHAPE\*MERGEFORMAT﹣1|＜m成立？并说明理由；（Ⅲ）设λ1＞0，λ2＞0，且λ1+λ2=1，证明：对于任意正数a1，a2都有a1λ1a2λ2≤λ1a1+λ2a2．　四川省绵阳市高考数学三诊试卷（理科））参考答案与试题解析　一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.1．已知i为虚数单位，复数z满足z（1+i）=i，则复数z所对应的点在（　　）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解：∵z（1+i）=i，∴z（1+i）（1﹣i）=i（1﹣i），∴z=SHAPE\*MERGEFORMAT，则复数z所对应的点SHAPE\*MERGEFORMAT在第一象限．故选：A．　2．已知U={x|y=SHAPE\*MERGEFORMAT}，M={y|y=2x，x≥1}，则∁UM=（　　）A．[1，2）B．（0，+∞）C．[2，+∞）D．（0，1]【考点】补集及其运算．【分析】分别求出关于U，M的范围，从而求出M的补集即可．【解答】解：U={x|y=SHAPE\*MERGEFORMAT}={x|x≥1}，M={y|y=2x，x≥1}={y|y≥2}，则∁UM=[1，2），故选：A．　3．执行如图所示程序框图，则输出的n为（　　）SHAPE\*MERGEFORMATA．4B．6C．7D．8【考点】程序框图．【分析】模拟程序框图的运行过程，依次写出每次循环得到的S，n的值，当S=3时，满足条件S≥3，退出循环，输出n的值为8．【解答】解：模拟执行程序，可得S=0，n=1执行循环体后，S=1，n=2不满足条件S≥3，执行循环体后，S=logSHAPE\*MERGEFORMAT，n=3不满足条件S≥3，执行循环体后，S=2，n=4不满足条件S≥3，执行循环体后，S=logSHAPE\*MERGEFORMAT，n=5不满足条件S≥3，执行循环体后，S=logSHAPE\*MERGEFORMAT，n=6不满足条件S≥3，执行循环体后，S=logSHAPE\*MERGEFORMAT，n=7不满足条件S≥3，执行循环体后，S=logSHAPE\*MERGEFORMAT=3，n=8此时，满足条件S≥3，退出循环，输出n的值为8．故选：D．　4．“∃x＞0，使a+x＜b”是“a＜b”成立的（　　）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由于“∃x＞0，使a+x＜b”与“a＜b”成立等价，即可判断出关系．【解答】解：“∃x＞0，使a+x＜b”⇔“a＜b”，∴“∃x＞0，使a+x＜b”是“a＜b”成立的充要条件．故选：C．　5．已知x∈[﹣1，1]，y∈[0，2]，则点P（x，y）落在区域SHAPE\*MERGEFORMAT内的概率为（　　）A．SHAPE\*MERGEFORMATB．SHAPE\*MERGEFORMATC．SHAPE\*MERGEFORMATD．SHAPE\*MERGEFORMAT【考点】几何概型．【分析】本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出点P（x，y）对应图形的面积，及满足条件“SHAPE\*MERGEFORMAT内”的点对应的图形的面积，然后再结合几何概型的计算公式进行求解．【解答】解：不等式组表示的区域如图所示，阴影部分的面积为SHAPE\*MERGEFORMAT，则所求概率为SHAPE\*MERGEFORMAT．故选B．SHAPE\*MERGEFORMAT　6．甲、乙、丙、丁和戊5名同学进行数学应用知识比赛，决出第1名至第5名（没有重复名次）．已知甲、乙均未得到第1名，且乙不是最后一名，则5人的名次排列情况可能有（　　）A．27种B．48种C．54种D．72种【考点】计数原理的应用．【分析】由题意可知，第一名从丙、丁和戊中产生，最后一名从甲和（丙、丁和戊其中2名）产生，其它名次任意排，根据分步计数原理可得．【解答】解：由题意可知，第一名从丙、丁和戊中产生，最后一名从甲和（丙、丁和戊其中2名）产生，其它名次任意排，故有A31A31A33=54种，故选：C．　7．若函数f（x）同时满足以下三个性质；①f（x）的最小正周期为π；②对任意的x∈R，都有f（x﹣SHAPE\*MERGEFORMAT）=f（﹣x）；③f（x）在（SHAPE\*MERGEFORMAT，SHAPE\*MERGEFORMAT）上是减函数．则f（x）的解析式可能是（　　）A．f（x）=cos（x+SHAPE\*MERGEFORMAT）B．f（x）=sin2x﹣cos2xC．f（x）=sinxcosxD．f（x）=sin2x+cos2x【考点】正弦函数的图象．【分析】由三角函数的图象和性质，结合题意的三个性质，逐个排查即可．【解答】解：根据题意，函数应满足：①f（x）的最小正周期为π；②对任意的x∈R，都有f（x﹣SHAPE\*MERGEFORMAT）+f（﹣x）=0，用x+SHAPE\*MERGEFORMAT替换式中的x可得f（x﹣SHAPE\*MERGEFORMAT）+f（﹣x﹣SHAPE\*MERGEFORMAT）=0，即函数的图象关于点（﹣SHAPE\*MERGEFORMAT，0）对称；③f（x）在（SHAPE\*MERGEFORMAT，SHAPE\*MERGEFORMAT）上是减函数；对于A，f（x）=cos（x+SHAPE\*MERGEFORMAT）的周期为T=2π，不符合①，故不满足题意；对于B，f（x）=sin2x﹣cos2x=SHAPE\*MERGEFORMATsin（2x﹣SHAPE\*MERGEFORMAT），不符合②，故不满足题意；对于C，f（x）=sinxcosx=SHAPE\*MERGEFORMATsin2x，不符合②，故不满足题意；对于D，f（x）=sin2x+cos2x=SHAPE\*MERGEFORMATsin（2x+SHAPE\*MERGEFORMAT），符合①②③，满足题意．故选：D．　8．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=SHAPE\*MERGEFORMATAA1，P、Q分别是棱CD、CC1上的动点，如图．当BQ+QD1的长度取得最小值时，二面角B1﹣PQ﹣D1的余弦值的取值范围为（　　）SHAPE\*MERGEFORMATA．[0，SHAPE\*MERGEFORMAT]B．[0，SHAPE\*MERGEFORMAT]C．[SHAPE\*MERGEFORMAT，SHAPE\*MERGEFORMAT]D．[SHAPE\*MERGEFORMAT，1]【考点】二面角的平面角及求法．【分析】根据BQ+QD1的长度取得最小值时，利用函数数学求出Q是CC1的中点，建立坐标系求出平面的法向量，利用向量法结合函数的单调性进行求解即可．【解答】解：设AA1=1，则AB=BC=SHAPE\*MERGEFORMAT，设CQ=x，则C1Q=1﹣x，则BQ=SHAPE\*MERGEFORMAT=SHAPE\*MERGEFORMAT，QD1=SHAPE\*MERGEFORMAT=SHAPE\*MERGEFORMAT，则BQ+QD1=SHAPE\*MERGEFORMAT+SHAPE\*MERGEFORMAT=SHAPE\*MERGEFORMAT+SHAPE\*MERGEFORMAT，设M（x，0），N（0，﹣SHAPE\*MERGEFORMAT），K（1，SHAPE\*MERGEFORMAT），则BQ+QD1=SHAPE\*MERGEFORMAT+SHAPE\*MERGEFORMAT=SHAPE\*MERGEFORMAT+SHAPE\*MERGEFORMAT的几何意义是|MN|+|MK|的距离，则当三点M，N，K共线时，BQ+QD1的长度取得最小值，此时SHAPE\*MERGEFORMAT．得x=SHAPE\*MERGEFORMAT，即Q是CC1的中点，建立以D1为坐标原点，D1A1，D1C1，D1D分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：则Q（0，SHAPE\*MERGEFORMAT，SHAPE\*MERGEFORMAT），B1（SHAPE\*MERGEFORMAT，SHAPE\*MERGEFORMAT，0），设P（0，t，1），0≤t≤SHAPE\*MERGEFORMAT则SHAPE\*MERGEFORMAT=（﹣SHAPE\*MERGEFORMAT，0，SHAPE\*MERGEFORMAT），SHAPE\*MERGEFORMAT=（﹣SHAPE\*MERGEFORMAT，t﹣SHAPE\*MERGEFORMAT，1），则平面PQD1的法向量为SHAPE\*MERGEFORMAT=（1，0，0），设平面B1PQ的法向量为SHAPE\*MERGEFORMAT=（x，y，z），当t=SHAPE\*MERGEFORMAT时，二面角B1﹣PQ﹣D1的为直二面角，此时二面角B1﹣PQ﹣D1的余弦值为0，当0≤t＜SHAPE\*MERGEFORMAT时，由SHAPE\*MERGEFORMAT，则SHAPE\*MERGEFORMAT，即SHAPE\*MERGEFORMAT，令x=SHAPE\*MERGEFORMAT，则y=SHAPE\*MERGEFORMAT，z=4，即SHAPE\*MERGEFORMAT=（SHAPE\*MERGEFORMAT，SHAPE\*MERGEFORMAT，4），设面角B1﹣PQ﹣D1的余弦值cosθ，则cosθ=SHAPE\*MERGEFORMAT=SHAPE\*MERGEFORMAT=SHAPE\*MERGEFORMAT，∵0≤t＜SHAPE\*MERGEFORMAT，∴cosθ=SHAPE\*MERGEFORMAT为减函数，则当t=0时，函数取得最大值cosθ=SHAPE\*MERGEFORMAT=SHAPE\*MERGEFORMAT，故二面角B1﹣PQ﹣D1的余弦值的取值范围为[0，SHAPE\*MERGEFORMAT]，故选：B．SHAPE\*MERGEFORMAT　9．设M，N是抛物线y2=4x上分别位于x轴两侧的两个动点，且SHAPE\*MERGEFORMAT•SHAPE\*MERGEFORMAT=0，过点A（4，0）作MN的垂线与抛物线交于点P、Q两点，则四边形MPNQ面积的最小值为（　　）A．80B．100C．120D．160【考点】抛物线的简单性质．【分析】设直线MN的方程为x=my+t，代入抛物线方程，利用韦达定理，结合SHAPE\*MERGEFORMAT•SHAPE\*MERGEFORMAT=0，可求t的值，即可求出|MN|关于m的表达式，同理求出|PQ|关于m的表达式，于是S=SHAPE\*MERGEFORMAT|MN||PQ|，利用换元法求出S的最小值．【解答】解：设直线MN方程为x=my+t，联立方程组SHAPE\*MERGEFORMAT，消元得：y2﹣4my﹣4t=0，设M（SHAPE\*MERGEFORMAT，y1），N（SHAPE\*MERGEFORMAT，y2），则y1+y2=4m，y1y2=﹣4t．∵SHAPE\*MERGEFORMAT•SHAPE\*MERGEFORMAT=0，∴SHAPE\*MERGEFORMAT+y1y2=0，即y1y2=0（舍）或y1y2=﹣16．∴|MN|=SHAPE\*MERGEFORMATSHAPE\*MERGEFORMAT=SHAPE\*MERGEFORMATSHAPE\*MERGEFORMAT．∵PQ⊥MN，且PQ经过点A（4，0），∴直线PQ的方程为x=﹣SHAPE\*MERGEFORMAT．联立方程组SHAPE\*MERGEFORMAT，消元得：y2+SHAPE\*MERGEFORMAT﹣16=0．设P（x3，y3），Q（x4，y4），则y3+y4=﹣SHAPE\*MERGEFORMAT，y3y4=﹣16．∴|PQ|=SHAPE\*MERGEFORMATSHAPE\*MERGEFORMAT=SHAPE\*MERGEFORMATSHAPE\*MERGEFORMAT．∴四边形MPNQ面积S=SHAPE\*MERGEFORMAT|MN||PQ|=SHAPE\*MERGEFORMATSHAPE\*MERGEFORMATSHAPE\*MERGEFORMATSHAPE\*MERGEFORMATSHAPE\*MERGEFORMAT=8SHAPE\*MERGEFORMATSHAPE\*MERGEFORMATSHAPE\*MERGEFORMATSHAPE\*MERGEFORMAT=8SHAPE\*MERGEFORMAT，令m2+SHAPE\*MERGEFORMAT=t，则t≥2，∴S=8SHAPE\*MERGEFORMAT=8SHAPE\*MERGEFORMAT．∴S（t）在[2，+∞）上是增函数，∴当t=2时，S取得最小值8SHAPE\*MERGEFORMAT=80．故选：A．SHAPE\*MERGEFORMAT　10．该试题已被管理员删除　二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.11．已知向量SHAPE\*MERGEFORMAT=（t，1）与SHAPE\*MERGEFORMAT=（4，t）共线且方向相同，则实数t=　2　．【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】利用向量共线的坐标表示列式求得t值，结合向量同向进行取舍得答案．【解答】解：SHAPE\*MERGEFORMAT=（t，1）SHAPE\*MERGEFORMAT=（4，t），∵SHAPE\*MERGEFORMAT与SHAPE\*MERGEFORMAT共线，∴t2﹣4=0，解得t=±2．又SHAPE\*MERGEFORMAT与SHAPE\*MERGEFORMAT同向，∴t=2．故答案为：2．　12．若SHAPE\*MERGEFORMAT的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为　﹣540　．【考点】二项式系数的性质．【分析】依据二项式系数和为2n，列出方程求出n，利用二项展开式的通项公式求出常数项．【解答】解：若SHAPE\*MERGEFORMAT的展开式中各项系数之和为2n=64，解得n=6，则展开式的常数项为SHAPE\*MERGEFORMAT=﹣540，故答案为：﹣540．　13．某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如下表所示． 销售单价/元 6 7 8 9 10 11 12 日均销售量/桶 480 440 400 360 320 280 240请根据以上数据分析，这个经营部定价在　11.5　元/桶才能获得最大利润．【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】通过 表格 关于规范使用各类表格的通知入职表格免费下载关于主播时间做一个表格详细英语字母大小写表格下载简历表格模板下载 可知销售单价每增加1元、日均销售量减少40桶，进而列出表达式，利用二次函数的简单性质即得结论．【解答】解：设每桶水的价格为（6+x）元，公司日利润y元，则：y=（6+x﹣5）﹣200，=﹣40x2+440x+280（0＜x＜13），∵﹣40＜0，∴当x=﹣SHAPE\*MERGEFORMAT=5.5时函数y有最大值，因此，每桶水的价格为11.5元，公司日利润最大，故答案为：11.5．　14．在平面直角坐标系xOy中，点A（0，1），B（0，4）．若直线2x﹣y+m=0上存在点P，使得PA=SHAPE\*MERGEFORMATPB，则实数m的取值范围是　﹣2SHAPE\*MERGEFORMAT≤m≤2SHAPE\*MERGEFORMAT　．【考点】两点间距离公式的应用．【分析】根据题意，设出点P（x，2x+m），代入PA=SHAPE\*MERGEFORMATPB化简得5x2+4mx+m2﹣4=0，由△=16m2﹣4×5（m2﹣4）≥0，求出实数m的取值范围．【解答】解：设P（x，2x+m），∵PA=SHAPE\*MERGEFORMATPB，∴4|PA|2=|PB|2，∴4x2+4（2x+m﹣1）2=x2+（2x+m﹣4）2，化简得5x2+4mx+m2﹣4=0，则△=16m2﹣4×5（m2﹣4）≥0，解得﹣2SHAPE\*MERGEFORMAT≤m≤2SHAPE\*MERGEFORMAT，即实数m的取值范围是﹣2SHAPE\*MERGEFORMAT≤m≤2SHAPE\*MERGEFORMAT．故答案为：SHAPE\*MERGEFORMAT．　15．已知函数f（x）=SHAPE\*MERGEFORMAT，其中常数a＞0，给出下列结论：①f（x）是R上的奇函数；②当a≥4时，f（x﹣a2）≥f（x）对任意的x∈R恒成立；③f（x）的图象关于x=a和x=﹣a对称；④若对∀x1∈（﹣∞，﹣2），∃x2∈（﹣∞，﹣1），使得f（x1）f（x2）=1，则a∈（SHAPE\*MERGEFORMAT，1）．其中正确的结论有　①　．（写出所有正确结论的序号）【考点】分段函数的应用．【分析】①利用奇函数的定义进行判断；②函数在（﹣∞，﹣a），（a，+∞）上单调递减，在（﹣a，a）上单调递增，即可判断；③f（x）是R上的奇函数，f（x）的图象关于x=0对称，故不正确；④取a=1，得出f（x1）f（x2）=1不恒成立．【解答】解：①设x＜0，则﹣x＞0，f（x）=|x+a|﹣a，f（﹣x）=a﹣|﹣a﹣x|=a﹣|x+a|=﹣f（x），同理，设x＞0，则﹣x＜0，f（x）=a﹣|x+a|，f（﹣x）=|﹣x+a|﹣a=|x﹣a|﹣a=﹣f（x），∴f（﹣x）=﹣f（x），∴f（x）是R上的奇函数，正确；②函数在（﹣∞，﹣a），（a，+∞）上单调递减，在（﹣a，a）上单调递增，∴当a≥4时，f（x﹣a2）≥f（x）对任意的x∈R恒成立，不正确；③f（x）是R上的奇函数，f（x）的图象关于x=0对称，故不正确；④取a=1，∀x1∈（﹣∞，﹣2），f（x1）∈（0，+∞），x2∈（﹣∞，﹣1），f（x2）∈（﹣1，+∞），f（x1）f（x2）=1不恒成立，故不正确．故答案为：①．　三、解答题：本大题共6个小题，共75分.16．体育课上，李老师对初三（1）班50名学生进行跳绳测试．现测得他们的成绩（单位：个）全部介于20到70之间，将这些成绩数据进行分组（第一组：（20，30]，第二组：（30，40]，…，第五组：（60，70]），并绘制成如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）求成绩在第四组的人数和这50名同学跳绳成绩的中位数；（Ⅱ）从成绩在第一组和第五组的同学中随机抽出3名同学进行搭档训练，设取自第一组的人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．SHAPE\*MERGEFORMAT【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．【分析】（I）由频率分布直方图先求出第四组的频率，由此能求出第四组的人数；利用频率分布直方图的性质能求出中位数．（II）先求出第一组有2人，第五组有4人，成绩在第一组和第五组的同学中随机抽出3名同学进行搭档训练，设取自第一组的人数为ξ，则ξ=0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列及E（ξ）．【解答】解：（I）由频率分布直方图得第四组的频率为：1﹣（0.004+0.016+0.04+0.008）×10=0.32，∴第四组的人数为0.32×50=16人，∵前2组的频率为（0.004+0.016）×10=0.2，第三组的频率为0.04×10=0.4，设中位数为x，则x=40+SHAPE\*MERGEFORMAT=47.5，∴中位数为47.5．（II）据题意，第一组有0.004×10×50=2人，第五组有0.008×10×50=4人，成绩在第一组和第五组的同学中随机抽出3名同学进行搭档训练，设取自第一组的人数为ξ，则ξ=0，1，2，P（ξ=0）=SHAPE\*MERGEFORMAT=SHAPE\*MERGEFORMAT，P（ξ=1）=SHAPE\*MERGEFORMAT=SHAPE\*MERGEFORMAT，P（ξ=2）=SHAPE\*MERGEFORMAT=SHAPE\*MERGEFORMAT，∴ξ的分布列为： ξ 0 1 2 P SHAPE\*MERGEFORMAT SHAPE\*MERGEFORMAT SHAPE\*MERGEFORMAT∴E（ξ）=SHAPE\*MERGEFORMAT=1．　17．已知在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c且满足b=acosC+csinA．（1）求A的大小；（2）若cosB=SHAPE\*MERGEFORMAT，BC=5，SHAPE\*MERGEFORMAT=SHAPE\*MERGEFORMAT，求CD的长．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（1）利用正弦定理将边化角，结合两角和的正弦公式得出tanA；（2）在△ABC中，使用正弦定理求出AB，得出DB，再在△BCD中使用余弦定理求出CD．【解答】解：（1）在△ABC中，∵b=acosC+csinA中，∴sinB=sinAcosC+sinCsinA，又∵sinB=sin（A+C）=sinAcosC+sinCcosA，∴sinAcosC+cosAsinC=sinAcosC+sinCsinA，∴cosAsinC=sinCsinA，∵sinC≠0，∴cosA=sinA，∴tanA=1．∴SHAPE\*MERGEFORMAT．（2）∵cosB=SHAPE\*MERGEFORMAT，∴sinB=SHAPE\*MERGEFORMAT=SHAPE\*MERGEFORMAT，∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=SHAPE\*MERGEFORMAT．在△ABC中，由正弦定理得SHAPE\*MERGEFORMAT，即SHAPE\*MERGEFORMAT，解得AB=7．∵SHAPE\*MERGEFORMAT=SHAPE\*MERGEFORMAT，∴BD=SHAPE\*MERGEFORMAT．在△BCD中，由余弦定理得CD2=BD2+BC2﹣2BC•BDcosB=1+25﹣2×SHAPE\*MERGEFORMAT=20．∴CD=2SHAPE\*MERGEFORMAT．　18．已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn满足Sn=（SHAPE\*MERGEFORMAT）2（n∈N*）．（I）求数列{an}的通项公式；（II）设Tn为数列{SHAPE\*MERGEFORMAT}的前n项和，若Tn≤λan+1对∀n∈N*恒成立，求实数λ的最小值．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（Ⅰ）当n=1时，求得a1，Sn=（SHAPE\*MERGEFORMAT）2（n∈N*）．化简求得an﹣an﹣1=2，数列{an}是以1为首项，2为公差的等差数列，求得通项公式；（Ⅱ）SHAPE\*MERGEFORMAT，求出前n项和，比较λan+1，判断其单调性，求出λ的最小值．【解答】（I）当n=1时，SHAPE\*MERGEFORMAT，解得a1=1，当n≥2时，SHAPE\*MERGEFORMAT，整理得（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣2）=0∵an＞0，∴an+an﹣1＞0∴an﹣an﹣1=2，数列{an}是以1为首项，2为公差的等差数列，∴an=2n﹣1（II）SHAPE\*MERGEFORMAT，∴SHAPE\*MERGEFORMAT；由题意得SHAPE\*MERGEFORMAT对∀n∈N*恒成立，令SHAPE\*MERGEFORMAT，则SHAPE\*MERGEFORMAT，即bn+1＜bn对∀n∈N*恒成立，即数列{bn}为单调递减数列，最大值为SHAPE\*MERGEFORMAT，∴SHAPE\*MERGEFORMAT，即λ的最小值为SHAPE\*MERGEFORMAT．　19．如图，图②为图①空间图形的主视图和侧视图，其中侧视图为正方形．在图①中，设平面BEF与平面ABCD相交于直线l．（I）求证：l⊥平面CDE；（II）在图①中，线段DE上是否存在点M，使得直线MC与平面BEF所成的角的正弦值等于SHAPE\*MERGEFORMAT？若存在，求出点M的位置；若不存在，请说明理由．SHAPE\*MERGEFORMAT【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．【分析】（I）根据主视图和侧视图可得AD⊥DE，AD⊥DC，故而AD⊥平面CDE，根据AD∥平面BCEF可得AD∥l，故l⊥平面CDE．（II）以以D为原点，以DA，DC，DE为坐标轴建立如图所示空间直角坐标系，设M（0，0，m），求出平面BEF的法向量SHAPE\*MERGEFORMAT和SHAPE\*MERGEFORMAT的坐标．令|cos＜SHAPE\*MERGEFORMAT，SHAPE\*MERGEFORMAT＞|=SHAPE\*MERGEFORMAT解出m，即可判断M的位置．【解答】证明：（I）由侧视图可知四边形ADEF是正方形，∴AD∥EF，又∵EF⊂面BEF，AD⊄面BEF，∴AD∥面BEF又∵AD⊂平面ABCD，面ABCD∩面BEF=l，∴AD∥l，由主视图可知，AD⊥CD，由侧视图可知DE⊥AD，∵AD⊂平面CDE，CD⊂平面CDE，AD∩CD=D，∴AD⊥面CDE，∴l⊥面CDE．（II）以D为原点，以DA，DC，DE为坐标轴建立如图所示空间直角坐标系，则A（1，0，0）、B（1，1，0）、C（0，2，0）、E（0，0，1）、F（1，0，1）．设M（0，0，m）（0≤m≤1），则SHAPE\*MERGEFORMAT，SHAPE\*MERGEFORMAT设平面BEF的一个法向量为SHAPE\*MERGEFORMAT=（x，y，z），则SHAPE\*MERGEFORMAT，SHAPE\*MERGEFORMAT=0，∴SHAPE\*MERGEFORMAT，令z=1，得SHAPE\*MERGEFORMAT．∴SHAPE\*MERGEFORMAT=2﹣m，|SHAPE\*MERGEFORMAT|=SHAPE\*MERGEFORMAT，|SHAPE\*MERGEFORMAT|=SHAPE\*MERGEFORMAT．∴cos＜SHAPE\*MERGEFORMAT＞=SHAPE\*MERGEFORMAT=SHAPE\*MERGEFORMAT=SHAPE\*MERGEFORMAT，解得SHAPE\*MERGEFORMAT或m=6（舍）∴当M为DE的靠近E的三等分点时直线MC与平面BEF所成的角的正弦值等于SHAPE\*MERGEFORMAT．SHAPE\*MERGEFORMAT　20．已知椭圆E：SHAPE\*MERGEFORMAT+SHAPE\*MERGEFORMAT=1（a＞b＞0）的离心率为SHAPE\*MERGEFORMAT，过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆E截得的线段长为2．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）直线y=kx+1与椭圆E交于A，B两点，以AB为直径的圆与y轴正半轴交于点C．是否存在实数k，使得△ABC的内切圆的圆心在y轴上？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由椭圆E：SHAPE\*MERGEFORMAT+SHAPE\*MERGEFORMAT=1（a＞b＞0）的离心率为SHAPE\*MERGEFORMAT，过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆E截得的线段长为2，求出a，b，由此能求出椭圆方程．（Ⅱ）依题意知BC⊥AC，设A（x1，y1），B（x2，y2），C（0，y0），则kBC=SHAPE\*MERGEFORMAT=1，SHAPE\*MERGEFORMAT=﹣1，设A（x1，y1），B（x2，y2），C（0，y0），则kBC=SHAPE\*MERGEFORMAT=1，SHAPE\*MERGEFORMAT=﹣1，由此能求出存在满足条件的k值．【解答】解：（Ⅰ）设焦点F（c，0），∵椭圆E：SHAPE\*MERGEFORMAT+SHAPE\*MERGEFORMAT=1（a＞b＞0）的离心率为SHAPE\*MERGEFORMAT，∴SHAPE\*MERGEFORMAT，∴a2=2c2，∵过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆E截得的线段长为2，∴SHAPE\*MERGEFORMAT=1，∵a2=b2+c2，∴a2=4，b2=2，∴椭圆E的方程为SHAPE\*MERGEFORMAT=1．（Ⅱ）依题意知BC⊥AC，且∠BCO=∠ACO=45°，于是直线BC的斜率kBC=1，直线AC的斜率kAC=﹣1．设A（x1，y1），B（x2，y2），C（0，y0），则kBC=SHAPE\*MERGEFORMAT=1，SHAPE\*MERGEFORMAT=﹣1，设A（x1，y1），B（x2，y2），C（0，y0），则kBC=SHAPE\*MERGEFORMAT=1，SHAPE\*MERGEFORMAT=﹣1，联立，得x1+x2=k（x2﹣x1），①联立SHAPE\*MERGEFORMAT，得（1+2k2）x2+4kx﹣2=0，∴SHAPE\*MERGEFORMAT，SHAPE\*MERGEFORMAT，②将①式平方，并②式代入，得4k2+1=2，或k2=0，∴存在满足条件的k值，分别为k=SHAPE\*MERGEFORMAT或k=0．　21．设函数g（x）=lnx，f（x）=g[λx+（1﹣λ）a]﹣λg（x），其中a，λ是正常数，且0＜λ＜1．（Ⅰ）求函数f（x）的最值；（Ⅱ）对于任意的正数m，是否存在正数x0，使不等式|SHAPE\*MERGEFORMAT﹣1|＜m成立？并说明理由；（Ⅲ）设λ1＞0，λ2＞0，且λ1+λ2=1，证明：对于任意正数a1，a2都有a1λ1a2λ2≤λ1a1+λ2a2．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最值即可；（Ⅱ）SHAPE\*MERGEFORMAT，设φ（x）=ln（x+1）+（m﹣1）x，m＞0，x＞0，根据函数的单调性判断即可；（Ⅲ）先得到lnxλ+lna1﹣λ≤ln[λx+（1﹣λ）a]令λ1=λ，λ2=1﹣λ，a1=x，a2=a，代入整理即可证出结论．【解答】解：（I）SHAPE\*MERGEFORMAT，∵a＞0，1﹣λ＞0，λ＞0，x＞0，∴当x＞a时，f′（x）＞0；0＜x＜a时，f′（x）＜0，∴f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增，∴f（x）有最小值f（a）=（1﹣λ）lna，没有最大值；（II）对∀m＞0，∃x0＞0使得SHAPE\*MERGEFORMAT成立，其理由如下：令h（x）=ln（x+1）﹣x，则h′（x）≤0，所以h（x）在[0，+∞）单调递减，于是可得当x＞0时，ln（x+1）﹣x＜0，SHAPE\*MERGEFORMAT，故SHAPE\*MERGEFORMAT，设φ（x）=ln（x+1）+（m﹣1）x，m＞0，x＞0，则SHAPE\*MERGEFORMAT，当m≥1时，φ′（x）＞0，φ（x）在（0，+∞）上单调递增，∴对于∀x0＞0均有φ（x0）＞φ（0）=0恒成立，当0＜m＜1时，由φ′（x）＞0可得SHAPE\*MERGEFORMAT，由φ′（x）＜0可得SHAPE\*MERGEFORMAT，于是φ（x）在SHAPE\*MERGEFORMAT是增函数，在SHAPE\*MERGEFORMAT是减函数，∴对于SHAPE\*MERGEFORMAT均有φ（x0）＞φ（0）=0恒成立，综上，对于任意的正数m，都存在正数x0满足条件；证明：（III）由（I）知，对∀x＞0，a＞0，0＜λ＜1时，都有ln[λx+（1﹣λ）a]﹣λlnx≥（1﹣λ）lna即lnxλ+lna1﹣λ≤ln[λx+（1﹣λ）a]令λ1=λ，λ2=1﹣λ，a1=x，a2=a，则SHAPE\*MERGEFORMAT，∵y=lnx在（0，+∞）上是增函数，∴SHAPE\*MERGEFORMAT．