利用微积分算子求幂级数的和函数

利用微积分算子求幂级数的和函数利用微积分算子求幂级数的和函数第14卷第3期 2Ol1年5月高等数学研究 STUDIESlNC0LLEGEMATHEMATICS Vol_l4,No.3 May,2Ol1 利用微积分算子求幂级数的和函数彭凯军,孙胜先,苏灿荣 (合肥工业大学数学学院,安徽合肥230009) 摘要针对幂级数求和函数的问题,引入借助微分算子,积分算子和微分方程进行计算的方法,可作为逐项微分法和逐项积分法的一种补充.实例说明其应用. 关键词幂级数;微分算子;积分算子;微分方程中图分类号0173文献标识码A文...

利用微积分算子求幂级数的和函数第14卷第3期 2Ol1年5月高等数学研究 STUDIESlNC0LLEGEMATHEMATICS Vol_l4,No.3 May,2Ol1 利用微积分算子求幂级数的和函数彭凯军,孙胜先,苏灿荣 (合肥工业大学数学学院,安徽合肥230009) 摘要针对幂级数求和函数的问题,引入借助微分算子,积分算子和微分方程进行计算的方法,可作为逐项微分法和逐项积分法的一种补充.实例说明其应用. 关键词幂级数;微分算子;积分算子;微分方程中图分类号0173文献标识码A文章编号1008—1399(2011)03—0037—02 针对幂级数求和函数,常用的方法是在收敛区间内对幂级数采用的逐项微分和逐项积分,化复杂的幂级数为几种常见的幂级数?,这种方法计算量较大,并且容易产生错误.本文给出以下三种利用微分思想求和函数的方法. 1微分算子法定理i设厂()为任一整系数多项式, zD—z dx 是一阶微分算子,则有 f(xD)x一厂(n)x". 证明不妨设厂()一c(z—1)(z—2)…(z—X^), 因为 (xD一)一zDz,I—xkx"=(一xk), 所以一c(.zD--xO(xD--xD…(一五= c(一面)一恐)…一再一厂(). 例1证明:对任一正整数是,级数着为e 的整数倍. 证明题中级数的收敛半径 R一等:一+...n一一口1"一一!,l十l 故可设 )===争,?(一,+ 引入一阶微分算子收稿日期基金项目作者简介 201'0—04—29;修改日期l2O11—03—21. 合肥T:业大学校级精品课程项目(数学分析);中央高校基本科研业务费专项资金资助项目(119—4115090004). 彭凯军(1979--),男.湖南韶山人,理学硕士,讲师.从事计算数学研究.Ixy—pkji@126.com. zD—zd , 由定理l得' (zD)X=z?魃一船", …………? (zD)卜—nh-z". 因此 — 71/r-1— Xn 一!兰2:: !n=l,z! cH杀一 (zD)卜(xe)一户^()e. 其中()为X的点次多项式.令z:1,则可得 -A!一,(1)=1).e. 推论1设,(z)为任一整系数多项式,试证级数 ,(0)+++...++-.? 之和必为e的整数倍. 证明因为厂(z)为任一整系数多项式,故由定理1可得 f(xD)x"一f(n)x". 因此薹一薹f(xD)一厂D)E一 Xn 一厂(zD)eI_g(z 其中g()为非零整系数多项式.令X=1,即可知萎:g(1)e.,l!…' 2积分算子法定理2[设g()为任一整非零系数多项式, D—z未 38 为微分算子,令高等数学研究2011年5月吉=加称之为积分算子,则有一 g(去?1)=g() 证明与对定理1的证明类似,从略. 2求幂级数?n=-I?的收敛域及和函数. 解原级数的收敛域为[一l,13,由定理2,有薹丽(--ly--~妻n=l(--1)=T_~-'x2"-2= .c(去?吉).= i1'吉(),r 11rr| 一 Dl+x2=== . — l+—x2===搬' 3微分方程法在实际计算过程中,我们还旬能遇到含阶乘运算的缺项幂级数,如z等?针对这样的幂级数,如果能够通过求导降次,构造微分方程,从而补充幂级数使得变成一个标准幂级数?nX"的话,我们可再利用常见的幂级数来求解. 定理3[|设幂级数h州在收敛域内的和函数为厂(z)(其中k?2,而z为整数,n,b 为实数),则有 .()一6厂(). 证明由数学归纳法可得,从略. 例3求幂级数的和函数- 解法1原级数的收敛域为(一?,十?),设 ?—士而讲=(),nsO (2n+1)!"一, 则有 /(z), 从而有厂()+)===? 解此一阶线性微分方程可得 )=:== 专e一. 解法2由定理3可知厂(z)=,(z), 解此二阶常系数齐次微分方程可得相同结果. 综上所述,本文介绍了利用微分思想来求幂级数的和函数,主要介绍了三种在本科教学和研究生入学考试中不常用的方法.这两种方法以供教师教学中拓广学生思路,考研学生考试中丰富自己解题手段. 参考文献 [1]陈传璋.数学分析t下册[M].2版.北京:高等教育出版社,1995:656. [23吴良森.毛羽辉,宋国栋,等.数学分析习题精解[M]. 北京:科学出版社,2001:309—310. [33裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].2版.北京: 高等教育出版社,2007:508. [4]吴守玲.幂级数的求和公式[J].抚州师专.1999. 1(3):27.30. Di. fferentialandIntegralOperatorsfor theSumofPowerSeries PENGKai-jun,SUNSheng—xian,SUCan—rong (Departmentofmathematics.HefeiuniversityofTechnology.Hefei230009.PRC) Abstract:Differentialandintegraloperatorsareintroducedtoassistthecalculationofthe sumofapowerseries.Examplesareincludedtoillustrateourmethods. Keywords:powerseries,differentialoperator,integraloperator,differentialequation

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