厦门理工高等数学无皮练习答案第三章 一元函数积分学

厦门理工高等 数学 数学高考答题卡模板高考数学答题卡模板三年级数学混合运算测试卷数学作业设计案例新人教版八年级上数学教学计划 无皮练习答案第三章 一元函数积分学 高等数学(?)练习 第三章 一元函数积分学 系 专业 班 姓名 学号 习题一 不定积分的概念与性质 一、选择题: ,[f(x)dx],sinx1、设，则 [ A ] f(x),, (,) (,)，C (,) (,)，C cosxcosxsinxsinx 22xf(x)dx,xe，c2、若，则 [D ] f(x),, 2x2x22x2x2x(1，x)e(,) (,) (,) (,) 2xe2xexe x3、下列函数是函数2的原函数的为 [ A ] ecosx xxxxe(cosx，sinx)e(cosx,sinx)(,) (,) (,) (,) esinx,esinx 24、设的一个原函数为，则等于 [ C ] f(x),ktan2xlncos2xk3 2433(A) (B) (C) (D) ,,2433 5、下列关系式正确的是 [ C ] ,d[f(x)dx],f(x)f(x)dx,f(x)(A) (B) ,, d,[f(x)dx],f(x)，C(C) (D) f(x)dx,f(x),,dx 二、填空题: x,x2x1ee,xexC,，xexC,，2e(1,)dxdx,1、 2、= ,x,1e，x 2x，x，1ln||arctanxxC，，cotcscxxC,，cscx(cotx,cscx)dx3、= 4、= dx,2,x(x，1) 11,x,x335、设，则f(x), f(x)dx,3e，C,e, 三、解下列各题: xx2,3,5,21dx1、 2、 (1,)xxdxx,2,3,5xxxxx3232,,,,,,,, xx,,,,,,,,23522525,,,,5555,,,,,,,, 原式=dxdxCC,,,，,,，,,,,,,32,,3535333ln3ln53ln2ln5，，，，,,,, lnln55 3571,,4 49 4444原式,,,，，xdxxdxxxC4,,7 2cos21，xx3、 4、 dxdx,22,4cossinxx1,x 22cossinxx, 1原式,dx原式,dx22,,2 cossinxx1,x 11,，arcsinxC,,dxdx22,, sincosxx ,,,，cottanxxC 22f(sinx),cos2x，cotxf(x)dx5、若，求 , 1,t22222sin,xt,解:令则 cos1,cot,cos2cossin12.xtxxxxt,,,,,,,t 112即从而: fxx,,2,fxdxxdxxxC,,,,，2ln.，，，，,,xx 2(e,3)4、一曲线通过点且在任一点处的切线的斜率等于该点横坐标的倒数，求该曲线方程。 11,解:设曲线方程为则依题意有:故 yfx,,fx,,fxdxxC,,，ln,，，，，，，,xx 2e,3.又因为曲线经过点 因此，所求曲线方程为 fxx,，ln1.,,C1.，，，， 23t(m/s)5、一物体由静止开始运动，经过t秒后的速度是，问: (1)在3秒后物体离开出发点的距离是多少, (2)物体走完需要多少时间, 360m 2t解:设路程与时间的函数关系为依题意有从而， sft,,ftt'3,,，，，， 23,ftftdttdttC,,,，3.sC,,,0,0. 又当时， t,0，，，，,, 3即 ftt,,，， 3 1:fm3327.,,，，，， 33 依题意有 2:360,245.,,,tts，， 50 高等数学(?)练习 第三章 一元函数积分学 系 专业 班 姓名 学号 习题二 不定积分的第一类换元法(一) 一、选择题: dx1、= [ B ] ,1,2x 11,2x，C,1,2x，C,21,2x，C(A) (B) (C) (D) ,1,2x，C2 xdx2、设，则= [ B ] b,02,a，bx 1122(,) (,) ln|a，bx|，Cln|a，bx|，C2b2 1b22(,) (,) ln|a，bx|，Cln|a，bx|，Cb2 f(x)dx,F(x)，Cf(2x，1)dx,3、若,则 [ B ] ,, 11(A) 2+C (B) (C) (D) 2+C F(2x，1)F(x)F(2x，1)，CF(x)，C22 22f(x)dx,x，Cxf(1,x)dx,4、若，则 [ D ] ,, 2222(1,x)，C(1,x)，C(,) (,), 112222(1,x)，C(1,x)，C(,) (,), 22 二、填空题: 11,11,2d(1,x)21、 2、 dx,dxdx,232xx1 xdx432,12d(3x,2),3、 4、 xdx,d1,x21,x 11arcsin3xC，dx1,,，ln|23|xC3dx5、= 6、 = 3,,22,3x1,9x113,bx1axeC，，tan()22(13)，，xC2ab2,bxx1，3xdx(secax,e)dx7、= 8、= 9,,1,x,，C,，sin()eC,x,x3sin3xcsc3xcot3xdxecosedx9、= 10、= ,, 1111cos，Cln|ln|xC，11、= 12、= dxdxsinx2,,xxlnxx 51 三、计算下列各题: 2342x(2x,3)dxtan(3x)dx1、 2、 ,,11343 2,,,()()2323xdx,tan()()33xdx,,63 11 352,,，()23xC,,(sec())()313xdx, 303 1,,，tan()3xxC 3 33sinxdxtanxsecxdx3、 4、 ,, 22 ,,sincosxdx,tansecxdx,, 22,,,(cos)cos1xdx,,(sec)secxdx1 ,, 33 secxcosx,,，secxC,,，，cosxC 33 1,x4cosxdxdx5、 6、 ,,24,9x212，cos()x1x,()dx ,,dxdx,,,2224949,,xx 114，cos()x3,，，[cos()]122xdx ,dx()2421149dx(),2 ,，,,31123183 49,x,，，，xxxCsin()sin()2421,()x8432 2 1312,，,，arcsin()xxC49 329 dxarctanxdx7、 8、 2,,x(1，2lnx)x(1，x) dxlnarctanx,,2dx2,, (ln)12，x1，x 121dx(ln)，,2arctanarctanxdx,, 2,212(ln)，x2 ,，(arctan)xC1 ,,，C212(ln)，x 52 高等数学(?)练习 第三章 一元函数积分学 系 专业 班 姓名 学号 习题三 不定积分的第一类换元法(二) 一、选择题: ,x,fx(ln)f(x),e1、设，则= [ C ] dx,x 11，C,，C(A) (B) (C) (D) ,lnx，Clnx，Cxx 12,2、设，则= [ B ] f(x)f(x),x 12，C2x，C(A) (B) (C) (D) x，C2x，C x 21，xdxx,tant3、经过变量代换，则= [ B ] , sect33sectdt,sectdtsectdt(A) (B) (C)dt (D) ,,,2,1，t dx4、= [ C ] ,29x，1 22(A) (B) ln|3x，9x，1|，Cln|3x,9x，1|，C1122(C) (D) ln|3x，9x，1|，Cln|3x,9x，1|，C33 ,5、设fxx(ln)1,，，则fx(), [ C ] 22xxelnxxxxC，，eC，，(A) (B) (C) (D) xeC，，(2ln)，，xC222 二、填空题: 322()xxC,，,，363xxdxxeC,,，ln||13dx1、= 2、 ,,x,1e,x,3 222124,,xxa，ln||，C,，C1dx2dx3、= 4、= 2xax,,2222x4,xxx，a 1x,122x,1dxxC,,，1arccosarcsin()，Cdx5、= 6、= ||x2,,2x3，2x,x 53 2dxx，121ln()，，xC,7、 8、= dx,,4x，xx1，x 11244三、计算题: ln()ln()ln||xxxxC，，，，,,，11122dxdx1、 2、 ,,231，2x(x，1) 2,, 2t解:令则xttdxt,,,,tan,(,),sec.解:令则2xtxdxtdt,,,,,.22 22 sect1dttdtcos原式,,原式,,()1dt3,,, sect1，t sintC,，,,，，ttCln()1 x,,，，212xxCln()C,， 21x， 2xdx1dx3、 4、 ,,2221，1,xa,x ,,,, xttdxtdtsin,(,),cos,解:令则,,,,解:令xatt,,,sin,(,),2222 costdt1dxatdtcos.则, ()1dt原式,,,,,2211coscostt，，atatdtsincos, 原式,,1dtt atcosttCtan,,,,，,t222 12cos()t,2cosadt,,2 2222 11x,aattsincos,arcsinxC,,，，tC,,， xx22 2tttsincos1,axx22tan注:,,arcsinaxC,,,， 21cossintt，22a dxdx5、 6、 ,,x221，exx,1 2t,,x2 解:令则，11，,,,,etxtdxdt,ln().解:令xtt,,,,sec,(,)(,).002t,122 211则dxttdt,,sectan, 原式,,,dtdt,,2ttt,,，111sectanttdt, 原式,,costdt2,,,,，，，ln()ln()ttC11sectantt, xx2 ,，,,，，，ln()ln()1111eeCx,1,，,，sintCC x 54 高等数学(?)练习 第三章 一元函数积分学 系 专业 班 姓名 学号 习题四 不定积分的分部积分法 一、选择题: x1、= [ C ] lndx,2 xxxx(A) (B) (C) (D) xln,2x，Cxln,4x，Cxln,x，Cxln，x，C2222 ,,xf(x)dx2、= [ C ] , ,,(A) (B) (C) (D) f(x)，Cxf(x)，Cxf(x),f(x)，Cf(x),xf(x)，C ,3、设，则 [ C ] f(lnx),1，xf(x), 21x1x2x2xx，，C(A) (B) (C) (D) x，e，Clnx，(lnx)，Ce，e，C222 2xf(x)dx4、设是的一个原函数，则, [ B ] f(x)cscx, 22(,) (,) xcscx,cotx，Cxcscx，cotx，C 22(,), (,), xcscx,cotx，Cxcscx，cotx，C ,xf(x)dx,5、设lnf(x),cosx，则 [ A ] ,f(x) (A) (B) xcosx,sinx，Cxsinx，cosx，C(C) (D) xcosx，sinx，Cxsinx,cosx，C二、填空题: sindxxxxsinxdx1、计算, 可设u = , dv = ; , dxarcsinxarcsinxdx2、计算, 可设u = , dv = , ,3xxexd,3xxedx3、计算, 可设u = , dv = , x,2xxcosexd,2x4、计算, 可设u = , dv = cosedx2,2 2,x2,xxedx5、= ,，，，()xxeC22, 22ln(1，x)dx6、= xxxxCln()arctan122，，,，, 55 三、计算下列各题: ,3x2edx(x,1)sin2xdx1、 2、 ,,2tt22 3xtxxt,,dd.解:令,,,,,解:原式=xxxxxsin()dsin()d22,,,99 11222tt ,,,xxxxdcos()sin()d()222原式=tettedd,,,,,2299 112222tttt ，，,,,,，xxxxdxxcos()cos()cos()2222,,,,，(d)teetteeC,,，，22999 223xx 3x,,,，，exC()31,,，，()cos()sin()22xxC 9422 22ln(x，x，1)dxxarctanxdx3、 4、 ,,2x1，32 x21x，2解:原式=arctandx解:原式,，，,,xxxxxln()d1,, 23xx，，133 xx1x2,,arctandxx ,，，,xxxxln()d12,,331，x2x，1 3xx11211d()x， ,,，arctanddxxxx22,,,，，,xxxln()13331，x,2 2x，13x1122 22,,，，，arctanln()xxxC1,，，,，，xxxxCln()11366 3lnx2xtanxdxdx5、 6、 ,2,x211lnx332解:原式,,,,，lnd()lndxxx3解:原式,,xxxxxsecdd2,,,, xxx 111232,,xxxdtan,,,lnlnd()xx3, ,2xx 111lnx232,,,xxxxxtantand,,,，lnlndxxx36, 2,2xxx d(cos)x1111232,，,xxxtan,,,,lnlnlnd()xxx36 ,,cosx2xxx 11361232,，,，xxxxCtanln|cos| ,,,,，lnlnlndxxxx62,2xxxx 136632 ,,,,,，lnlnlnxxxCxxxx 56 高等数学(?)练习 第三章 一元函数积分学 系 专业 班 姓名 学号 习题五 有理函数的积分 一、选择题: dx1、= [ A ] 2,x,4 1x,21x，21x，21x,2ln，Cln，Cln，Cln，CA) (B) (C) (D) (4x，24x,22x,22x，2 xdx2、= [ A ] 2,4，x 122ln(4，x)，C(A) (B) ln(4，x)，C2 xx1x(C) (D) arctan，Carctan，C2222 二、填空题: 11171、dx= ln||ln|4|xxC,，，8,x，4x428 12x,1ln||，Cdx2、= 31x，,(x，1)(x,2) 13323xxxxC,，,，，927ln|3|xdx3、= 32,x，3 三、计算题: 2x，3xdx1、 2、 dx2,100,x,5x，6(x,1) 121 x，3,，，[]dx,dx9899100,, ,,,(1)(1)(1)xxx(2)(3)xx,, 11165,,,979899,,,,,,,，(1)(1)(1)xxxC,,()dx ,974999xx,,32 ,,,,，6ln|3|5ln|2|xxC 57 54x，x,383、 4、dx dx33,,x,xx，1 8342 ,，，，,,(1)ddddxxxxxx,,,,xxx,，11 12,，x1132 ,，()dx,，，，,,,，，xxxxxxC8ln||3ln|1|4ln|1|2,xxx，,，1132 21d(1)3dxxx,， ,，,，ln|1|x2,,13212xx,，2 ()x,，24 121x,2 ,，,,，，，ln|1|ln(1)3arctanxxxC23 dxdx5、 6、 ,,32，sinx1，x，1 x2323 解:令则tan.2arctan,dd.,,,txtxt解:令txxtxtt,，？,,,1,1,d3d221，t 23t2原式,dt ,211，tt，1原式,,dtdt 2,,2t3tt，，12， ,,，3(1)ddttt2,,1，t1，t 132dt()， ,,，，，tttC33ln|1|22, ,132232333()()t，， ,，,，，，，，(1)313ln(11)xxxC222 23231 ,，，arctan[()]tC332 23231x ,，，arctan[(tan)]C 3322 58 高等数学(?)练习 第三章 一元函数积分学 系 专业 班 姓名 学号 习题六 综合练习(一) 一、选择题 ,1、若，且，则= [ D ] f(x),f(x)f(x),0f(x) xA) (B) (C)1 (D) (xelnx F(x),f(2x，1)dx2、函数的导数为 [ A ] , (A) (B) (C) (D) f(2x，1)f(2x，1)，1f(x)2f(2x，1) 23f(x)dx,F(x)，Cxf(ax，b)dx3、若,则当时，= [ C ] a,0,, 333aF(ax，b)，C3F(ax，b)，C(A) (B) 1133(C) (D) F(ax，b)，CF(ax，b)，C33a ,3x,xf(x)dx4、设是的一个原函数，则= [ D ] f(x)e, ,3x,3x,3x,3x(A) (B) 3xe,e，C,3xe，e，C ,3x,3x,3x,3x(C) (D) 3xe，e，C,3xe,e，C 1ln(1，)xdx,5、 [ A ] ,x(x，1) 11112(A) (B) ,ln(1，)，C(1，)ln(1，)，Cxx2x 11(C) (D) lnln(1，)，Cxln(1，)，Cxx二、填空题 1122,，cos2xCtanln|cos|xxC，，23xsin2xdxtanxdx,1、= 2、 42,, 1xxxxCarctanarctan,，，,,，5cossin3xxC(5sinx,cos3x)dxarctanxdx3、= 4、= 3,, 12xeC，2,f(lnx),x(x,1)f(x)5、若，则= 2 59 ln|csccot|xxC,，f(x)cosxdx,ln(sinx)，Cf(x)dx6、若，则= ,,三、计算题 dxxarctanxdx1、 2、 ,2,2sinxcosx1，x 222sincosxx， 解:原式,，arctand1xx解:原式,dx,2,sincosxx1 2,，,1arctandxxx,，secdcsccotdxxxxx,2,,1，x ,，,，ln|sectan|cscxxxC22,，,，，，1arctanln(1)xxxxC 22,ax2,3xdxxedx3、 4、 ,,x 11223233,,,xxx,,解:原式,,,,，xdexexedx解:令则xattxatt,,,,sin,(,).dcosd,, 33322 12233,,xxatattcoscosd, ,,,xexde原式,,,39atsin 21222333,,,xxx1sin,t,,,，xexeedx,,,atatttd(cscsin)d,,,399 sint 1222333,,,xxx,,，，attatCln|csccot|cos,,,,,xexeedx(3) ,392722()aax,,22122,，,，aaxCln|| 2333,,,xxx,,,,，xexeeCx3927 2x2f(x,1),ln,(x)dx5、设，且f(,(x)),lnx，求 2,x,2 2xx,，，1112 解:因为fxfx(1)ln,()ln.,,,,2xx,,,111 ,()112xx，， 所以fxxx(())lnln,()1.,,,,,，,,()111xxx,,,, 2从而()(1)2ln|1|xdxxxC,，,，,，,,, x,1 60 高等数学(?)练习 第三章 一元函数积分学 系 专业 班 姓名 学号 习题七 综合练习(二) 一、选择题: 1(若是函数的原函数，那么，的另一个原函数是 [ A ] ln|x|f(x)f(x) 112(A) (B) (C) (D) ln|ax|ln|x，a|ln|ax|(lnx)a2 22(= [ D ] sinxdx,3 22322232(A) (B) (C) (D) cosx，Ccosx，C,cosx，C,cosx，C33233323 1，xdx,3( [ B ] ,1,x 2(A) (B) arcsinx,1,x，Cx,cosx，C 22(C) (D) arcsinx，1,x，Carccosx,1,x，C二、填空题: 3122dx,,，(1)xCxf(x)dx,arcsinx，C1(设，则= ,,3f(x)35224(25)2(25),,xx,，，Cx2,5xdx2(= ,75125 13tantanxxxC,，，4tanxdx3(= 3,2x，1()13xx，Cln232dx4(= ,223(lnln)xxx,,1()9,4331xarctan，C233x3aadx5(= 66,ax， 211x,arccos，，Cx，1dx6(= ||xx,22xx,1 1110ln||ln||xxC,,，2dx2207(= 10,x(2,x) 三、计算题: 61 dxarctanx1、 2、 dx22,,x(x，1)sin2x，2sinx11,,()arctandxx解:原式x22, 解:令则tan,,uxx1，2 12,,,arctand()arctand(arctan)xxx212uu,,, xsin,cos,ddxxxu,,,222111，，，uuu 11122,,,，arctanarctandxxx21111，u, 2xxx21()，原式,,，，dln||uuuC,448u 111x2,,,，,arctanarctan()dxxx11xx 22,xxx21，,，，ln|tan|tanC 4282112,,,，arctanarctanln||xxx x2 12 ,，，ln()1xC2 2dx3xxedx3、 4、 ,,x(4,x) 212x 1解:原式,xed,解:原式,dx2,2 42,,()x221122xx ,,xeedx,d()x,222, ,2221142,,()x2xx ,,，xeeC22x,2 ,，arcsinC 2 lnsindxx5、 6、 dx2,,22sinx(2x，1)x，1 ,,2 解:令,,,,,xttxtttan,(,),dsecd,,,lnsind(cot)xx解:原式,22 2cosxsect ,,，cotlnsincotdxxxx原式,dt,2,sinx(tan)sec21tt， 2,,，cotlnsincotdxxxxcosdsintt ,,,dt22,, 211，，sinsintt,,，,cotlnsin(csc)dxxxx1, ,，arctan(sin)tC ,,,,，cotlnsincotxxxxC x,，arctanC 21，x 62 高等数学(?)练习 第三章 一元函数积分学 系 专业 班 姓名 学号 习题八 定积分的概念与性质 一、选择题: 22212n,,,,,,nlimln111，，，1、= [ B ] ,,,,,,n,,nnn,,,,,, 222222(A) (B) (C) (D) ln(1，x)dxlnxdx2lnxdx2ln(1，x)dx,,,,1111、设函数在[]上连续，则曲线与直线所围成的平面图形2f(x)y,f(x)x,a,x,b,y,0a,b 的面积等于 [ C ] bbb,(A) (B) (C) (D) f(,)(b,a)(a,,,b)f(x)dxf(x)dxf(x)dx,,,aaa 41xI,dxI3、设定积分，则的值 [ A ] ,01，x 2121I,10,I,,I,(A) (B) (C) (D) ,I,121055 ,,, 4444、设，，，则 [ D ] I,xdxI,xdxI,sinxdx312,,,000 I,I,II,I,II,I,II,I,I(A) (B) (C) (D) 123312132213二、填空题: 1、利用定积分的几何意义，填写下列定积分的结果: 2,2,0(1)= (2)= 4,xdxsinxdx,,,0, ,,022(3)= (4)= cosxdx(x,1)dxcosxdx,42,,,,,20,2 2、利用定积分的性质，填写下列各题: 2,,342,xarctanxdx,(1) (2) ,(1，x)dx,16513,,913 ,,3、利用定积分的性质，比较下列各题两各积分的大小(填写 或 ) 1122232,,(1) (2) xdxxdx(lnx)dxlnxdx,,,,0011 ,,11x2323,,22(3) (4) edx(x，1)dx1，xdx1，sinxdx,,,,0000 63 三、计算题: nnnn1、用定积分 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示极限 ，，，，lim(？)2222222n,,n，n，n，n，n123 n1111,1 解:原式,,,,dxxlim[arctan],0,20,，,nkn4，x12,k1 ，1()n 2yx,，1 2、利用定积分定义计算由抛物线，两直线及x轴所围成的图xaxbab,,,,()形的面积。 四、证明题: b设fx()在[a，b]上连续，fx()0,，且，则在[a，b]上fx()0, fxdx()0,,a b设fx()在[a，b]上连续，fx()0,，且，则在[a，b]上fx()0, fx()0,,a 证:(用反证法)设在[a，b]上fx()0,。 xfx()0,由于fx()0,，则至少有一点使得，因为fx()在[a，b]上连续， 00 Ux(,),(0),,,fxxUx()0((,)),,, 这时，存在，有 00 bxxb,，,,00fxfxdxfxdxfxdx()()()(),，， ,,,,aaxx,，,,00 x，,0,,fxdx()0， 矛盾。 ,x,,0 fx()0, 所以，在[a，b]上 64 高等数学(?)练习 第三章 一元函数积分学 系 专业 班 姓名 学号 习题九 微积分基本公式 一、选择题: x1、设，则= [ A ] f(x)f(x)dx,xsinx,0 (A) (B) (C) (D) sinx，xcosxsinx,xcosxxcosx,sinx,sinx,xcosx 3x2、= [ C ] limx0x,2sintdt,0 (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 13、设是的一个原函数，则= [ B ] f(x)f(x)dxxsinx,0 (A) (B) (C) (D) sin1，cos1sin11，sin11，cos1 x,4、设，则= [ D ] f[f()]f(x),sintdt,02 ,1(A) (B)1 (C) (D) ,cos11,cos1 2xd5、设在内连续，则= [ B ] f(x)(,,,，,)f(t)dt,0dx 2222,,f(x)f(x)2xf(x)2xf(x)(A) (B) (C) (D) 二、填空题: b1dat11、= 20、若，则= esinbtdt(2x，k)dx,2k,,a0dx02224x0dd22coscos()tdtxx,22,3、= 4、 = 1，tdtxcostdt2xx1，x2,,0xdxdxcoscosxxyxdy,,,ty5、设确定了y,y(x)，则= edttdt，,cos01sin,xe,,00dx x,26、设在处取得极值，则= ax,f(x),(acost，cos3t)dt,0313x,17、设f(x)为连续函数且满足，则f(7), f(t)dt,x12,0 三、计算题: 2x122tt,,f(x)1、设f(x),edt，edt，求 ,,x0 42 xx,,fxxee()2解:,, 65 3x9df(x)dt2、设f(x),，求 3、 x(1，x)dx2,,x44dx1，t 322x92 11解:原式,，[]|x24,解:fxxx(),,3232128 11，，xx271 2,32xx6 ,,12811，，xx 42053x，3x，1dx 4、 5、 2x,4dx,2,,10x，1 2501 2解:原式,,，,()d()d4224xxxx解:原式,，()d3xx,,,202,1 ，1x2225,,，,,，,[]|[]|444913xxxx ,0230,，,，[arctan]|xx1,1 4 2x2t,,edt,,,,0,,3、 7、 6sinx,sinxdxlim,x20x,0t2tedt,,0x22解:原式,|cos|sindxxxxt,02eetd ,0解:原式,lim,2,x x0,2xecossindcossindxxxxxx,,,,,0 x22t2etd33, 0,22224,lim2222,x[sin]|[sin]|xx,,,，,x0,0 xe,3333322x 2e,,lim222 xx2x,02xee， ，1,(,1)xx2,8、设(),，求 fxf(x)dx,2,02x,1,(x,1), 212122解:fxxfxxfxxxxxx()d()d()d()d()d,，,，，,121 ,,,,,10101 2x231132,，，,,[]|[]|xxx 01236 66 高等数学(?)练习 第三章 一元函数积分学 系 专业 班 姓名 学号 习题十 定积分的换元法 一、选择题: a1、设为上的连续函数，则定积分= [ D ] f(x)[,a,a]f(,x)dx,,a aaa(A)0 (B) (C) (D) 2f(x)dx,f(x)dxf(x)dx,,,0,,aa bb2、设是连续函数，则= [ A ] f(x)f(x)dx,f(a，b,x)dx,,aa b(A)0 (B)1 (C) (D) f(x)dxa，b,a x22[0,l]3、设在区间上连续，则函数在区间上是 [ B ] f(x)(,l,l)F(x),tf(t)dt,0 (A)奇函数 (B)偶函数 (C)既奇既偶函数 (D)非奇非偶函数 44x1xf(x)dx,ftdt,()4、设，则 [ D ] ,,002x (A)2 (B)4 (C)8 (D)16 二、填空题: 11,099321、= 2、== (2x，1)dxsin,cos,d,14200,,,02 ,11dx1dx、3= 4、= 1,,20,1x(1，x)5,4x 三、计算题: 2e1dxdx1、 2、 ,3,1,2(11，5x)x1，lnx ,3112ed(ln)1，x ，，=()d()511511xx,,2=5,1 xx1，ln151,212e ,,，,[()]|511x,2,，,,[ln]|21232x110512 ,,3223、 4、 cosudu(1,sin)d,,,,,06,,,21=d(cos)dcos,,,，,12 ,,=(cos)d12，uu00,,23 6cos4,,,，,,,[cos]|,,,,01113,332,，,,[sin]|[]2uu,222346 67 1axdx2225、 6、 xa,xdx,,,105,4x 2解:令,,,xatxattsin,dcosd,5,t 解:令54,,,,xtx,,,4 当时，当时，,,,,xtxat00;.,t2 当时，dd.;xtxt,,,,13,2 22222原式=sincosdatatt,,当时，xt,,11.0 44,,2aa 5,t222,,,sin()d(cos)d214tttt,,1300t1 4824原式=d()d,,,ttt5,,4431, t28atasin42,,,,[]|t0 111338416,,,[]|5tt1 836 x四、若是连续函数且为奇函数，证明是偶函数。 f(x)ftdt(),0 x证:记则 Fxftt()()d,,,0 ,xxx FxfttfuufuuFx()()d()d()()d().,,,,,,,,,,000 命题得证。 a，l五、设f(x)是以为周期的连续函数，证明的值与无关。 af(x)dxl,a allal，，0证:方法一， fxxfxxfxxfxx()d()d()d()d,，，,,,,aal0 xtl,，alaaa，0fxxftltfttfxxfxx()d()d()d()d()d,,，,,,,其中 ,,,,,la000 allal，，0于是 fxxfxxfxxfxx()d()d()d()d,，，,,,,aal0 00l = fxxfxxfxx()d()d()d，,,,,aa0 l =与a无关。命题得证。 fxx()d,,0 al，,Fa(),Fafalfa()()(),,，,,0方法二，记那么， fxx()d,,a al，因此，的值与a无关，命题得证。 Fafxx()()d,,a 68 高等数学(?)练习 第三章 一元函数积分学 系 专业 班 姓名 学号 习题十一 分部积分法 一、选择题: ,841、= [ C ] xsinxdx,,,4 ,84(A)1 (B) (C)0 (D) 22xsinxdx,0 exln2、 [ B ] dx,,1x e1(A) 1 (B) (C) 0 (D) 22 1,xxedx,3、 [ C ] ,0 2221(A) (B) (C) (D) ,1，11,2,eeee二、填空题: 6,41,12,,x2edxarcsinxdx1、= 2、 = 2e,,00 2xelnx,2fxxxfxdx()ln2(),,3、设为连续函数且满足，则 f(x)f(x),e,1 2,,,74、已知，，，则= f(0),2f(2),3f(2),4xf(x)dx,0 三、计算下列定积分: ,,x32431、 2、 (2)cos2xxxxdx，，dx,,,,2,sinx,,44,3244解:原式,，，()cosdcosdxxxxxxx2223,,,, 解:原式,,xxdcot,,,,444 ,,22,,44 ,,222xxxxxcosddsin33,,00,,，[cot]cotdxxxx,,, 44,,244 ,,xxxxxsinsind2220,,0,,33 ,,，[lnsin]x,49224 ,,,,,444,，,，,xxxxxxdcoscoscosd2220 ,,31300,,1616,,，ln 49222211,,, 4,，,,,02sinx0162162 69 123、 4、 xarctanxdxxlogxdx2,,01 21 1122解:原式,logdxx解:原式,arctandxx2,,10 22 22 2111x11x2221,,[log]dxxx[arctan]dxxx,,210,2, 10222xln221，x 21111,,,2xxd()d1x,,, ,2,1022ln821x， 1113111122,,,,,,22x|,,，,,ddxx 12,,004242lnln822421，x ,1ln(1)，x2、(sin)xxdx5 6、dx 2,,00(2),x,12解:原式,,xxx(cos)d1211,02 ,，ln()d1x解:原式,02,x1,, 22,,[dcosd]xxxxx21ln()111，x,,0012 ,,,dx0,0221,,，xxx11 ,32,,,xxxdsin210,1110 64,,，ln()d2x,0321,，xx111 32,,,,，xxxxxsin|sind222,011，x,01 644,,lnln|2032,x 113,,,xxdcos2,111, 064,,,,ln(lnln)ln222323 113,,,,[cos|cosd]xxxx22,0,, 064 11133,,sin|2x,,，,,0 ,,,648641m2(1),xdx7、 (为自然数) m,0 ,解:令则当时，当时，xtxttxtxt,,,,,,sin,dcosd,,001 2 ,, 22242mm,()()2121mm，，22原式,,,,,cosdsindtttt,, 00212153mm，, ,, 22nn结论:Ixxxx,,,sindcosdn ,,00 nn,,1331,,,,,,,,n为奇数 ,nn,2422,, nn,,1342,,,,,,n为偶数 nn,253, 70 高等数学(?)练习 第三章 一元函数积分学 系 专业 班 姓名 学号 习题十二 定积分的几何应用(一) 一、填空题: y,x1、由曲线和直线、所围成的平面图形的面积的定积分表达式A= [ C ] xy,1x,2 12211(A) (B) ，(x,)dxxdxdx,,,010xx 12111(2,)dy，(2,y)dy(C) (D)(,y)dy 11,,,1yy22 二、填空题: 2y,x1、设D是以抛物线与直线所围成的图形，则其面积微元(以为变元) y,2xx y2()dyy,()d2xxx,y (以为变元) dA,dA,2 33x,cost,y,sint2、设D由围成在第一象限部分，则取为积分变元时，其面积(定积分t ,422A,表达式)为 3sincosdttt,,8022A,y,2,xy,x3、设D是以抛物线与直线所围成的图形，则其面积值 3三、计算题: 2y,,x，4x,31、抛物线与其在点和处的切线所围成的图形的面积。 (0,,3)(3,0) ,,,解:如图，yx,,，24，yy();().0432,,, l.l(0,,3)(3,0)设点处的切线为;点处的切线为 12 3lyx:.,,，26lyx:,,43则;其交点为。于是所求面积 (,)3122 33222Axxxxxxxx,,,,，,，,，,,，,[()()]d[()()]d43432643 3,,02 339222= xxxxxd[]d，,，,693,,042 71 2、求有摆线的一拱()与轴所围成的图形的面积. x,a(t,sint),y,a(1,cost)x0,t,2, 解:如图， 22,,a22 Aydxatdx,,,(cos)1,,00 2 = 3a, 2y,x3、在上给定函数，问取何值时，图中曲边三角形OACO与ADBA的面积之和最[0,1]t 小,何时最大, y 2Attt(,),()01,,解:设，记曲边三角形OACO与ADBA的面积 B SS分别为和。 12C A D t12222则;。 Stxdx,,()Sxtdx,,()12,,t0O x t12222其面积之和为 ftSStxdxxtdx()()(),，,,，,12,,0t 4132 = tt,，33 12,令。 fttttt(),,,,,,,,42002 111221又，，，故最大值为，最小值为。 f()0,f(),f()1,343243 72 高等数学(?)练习 第三章 一元函数积分学 系 专业 班 姓名 学号 习题十三 定积分的几何应用(二) 一、选择题: 2,,acos,1、曲线所围成的图形的面积为 [ C ] ,,112222(A)(acos,)d, (B) acos,d,,,0,,22 ,,22222(C) (D) (acos,)d,(acos,)d,,,,0, 22y,xy,x2、由曲线和围成的图形绕轴旋转所得的旋转体的体积为 [ B ] ox ,3,,,2(A) (B) (C) (D) 101055 23y,x3、曲线在区域内的弧长为 [ D ] {(x,y)|0,x,1,0,y,1} 81313813(A) (B) (C) (D) 13,1(13,1)(13,1)2727278二、填空题: 218a,、曲线所围成的图形的面积为A= 1,,2a(2，cos,) 3y,xy2、曲线和直线、所围成的平面图形分别绕轴和轴旋转的旋转体的体积y,0xx,2 128,64, VV是= 和= yx75 三、计算题: 2,,2sin,,,cos2,1、求曲线和所围成图形的公共部分的面积。 y解:如图，显然两曲线所围成的图形关于轴对称，所以只需要计算第一象限部分的面积，再乘以2即可。 ,2(,)两曲线在第一象限的交点坐标为，故所求面积为 62 ,,11246,，,,,, S222[(sin)dcos()d],,,0226 ,,13,1246，,=,,,,，= 22sindcos()d,,,026226 73 22x，(y,5),162、求曲线所围成的图形绕轴旋转的旋转体的体积 x xt,4cos,解:方法一， 如图，曲线的参数方程为，那么 ,,02,,t,yt,，54sin, 4422所求旋转体的体积为 Vyxxyxx,,,,,,()d()d12,,,,44 02,22 = 445445,,(sin)dcos(sin)dcostttt，,，,,,, 2= 160, 4422方法二， Vyxxyxx,,,,,,()d()d12,,,,44 442222 = ,,()d()d516516，,,,,xxxx,,,,44 42 = 2016,,xxd,,4 42 = 4016,,xxd,0 2 = 160, 3、在摆线上求分摆线第一拱成的点的坐标。 x,a(t,sint),y,a(1,cost)1:3 ((sin),(cos))attat,,1解:如图，设所求点的坐标为，该点分摆线第一拱所得的两段弧的 00o tt022220SS长分别为和，那么 (cos)sind(cos)141Satatta,,，,,121,02 2,t22220,,，,，(cos)sind(cos)141， Satatta2,t02S233,a121,((),)a,,依题意有，,,从而，即所求点的坐标为。 t0S332232 74 高等数学(?)练习 第三章 一元函数积分学 系 专业 班 姓名 学号 习题十四 定积分的物理应用 1( 由实验知道，弹簧在拉伸过程中，需要的力F(单位:N)与伸长量s(单位:cm)成正比， 即 F=ks(k是比例系数)。如果把弹簧由原长拉伸6cm，计算所作的功。 解:取为积分变量，其变化区间为，设为上任一小区间。当弹簧从 [,]06[,]ssds，[,]06s ksdsksds伸长到时，外力所做的功近似于，即功元素为，于是，所求的功为 dW,ssds，100100 26ksdsks6Wk,,,[].018 (J)。 0,0100200 2、用铁锤将一铁钉击入木版，设木版对铁钉的阻力与铁钉击入木版的深度成正比，在第一次时，将铁钉击入木版1cm。如果铁锤每次打击铁钉所作的功相等，问锤击第二次时，铁钉又击入多少, 解:设其中为比例系数，为铁钉击入木板的深度，且锤击第二次时，铁钉又击入Fkx,,xk cm. h 1，h1则第一次锤击所做的功为;第二次锤击所做的功为，依题意有 Wkxdx,Wkxdx,,,10 11，hh,,21 解得，。 kxdxkxdx,,,,01 3、设一圆锥形贮水池，深15米，口径20米，盛满水，今以吸管将水吸尽，问要作多少功, 解:如图，取深度[,]015[,]015[,]xxdx，x为积分变量，其变化区间为，相应于上任一小区间 215(),x215(),x22的一薄层水的体积近似于,，重力近似于, KN。将这一薄层98.[]dx[]dx33 215(),x2,水吸出需做的功近似于，于是，所求的功为 dWxdx,98.[]3 15215(),x2, (KJ) Wxdx,,9857752.[],03 75 4、有一等腰梯形闸门，它的两条底边各长10米和6米，高为20米，较长的底边与水面相齐，计算闸门的一侧所受的水压力。 解:如图，取水深为积分变量，其变化区间为，设为上的任一小区[,]020[,]xxdx，[,]020h ,gx间，则 相应于的这一小块闸门上各点处的压强近似于，面积近似于[,]xxdx， 50,x，因此 dx5 50,x这一小块闸门所受压力即压力元素为，于是所求压力为 ,dPgxdx,5 2050,x(KN) ,Pgxdx,,14373,05 ,5、设有一长度为、线密度为的均匀细直棒，在与棒的一端平行距离为单位处有一质量为al M的质点，试求这细棒对质点的引力。 m Myy解:如图，去轴经过细直棒，棒的一端为原点，质点位于轴上，取为积分变量，其x 变化 M区间为，把细直棒上相应于的一段近似地看成一个质点，其质量为，与[,]0l[,]yydy，,dy 22mdy,May，,F,F相距，该一小段细直棒队的引力的大小为。从而，在,,FG22，ay M水平方向和铅直方向的近似值，即细直棒对质点的引力在水平和铅直方向的分力的元素分别为 amdy,ymdy, ; 。 ,,,dFGdFGxy33222222()()，，ayay lamdyGml,,于是，引力在水平方向的分力 ; ,,,,FGdyx3,22022，aal2()，ay lGymdyl,1在铅直方向的分力 。 ,,,FdyGm(),y3,220a22，al2，()ay 76 高等数学(?)练习 第三章 一元函数积分学 系 专业 班 姓名 学号 习题十五 反常积分 一、选择题: 1、下列反常积分发散的有 [ C ] 1，,，,，,dxdxlnxx,(A) (B) (C) (D) dxedx,2,,,020e01，xx1,x 2、下列反常积分收敛的有 [ D ] 1111dxdxdxlnx(A) (B) (C) (D) dx,,,,20000xxxx二、填空题、 ，,dx1、若反常积分收敛，则 k,1k,2x(lnx) axa1,,t2lim1，,tedt2、设，则 a,,,,,,,,xx,, 三、判定下列各反常积分的收敛性，如果收敛，计算反常积分的值: ，,dx1、 ,41x t111,4解:原式,,,,,xt limdlim().1,31,，,,，,tt33t ，,ax,2、 () edxa,0,0 t11,,axat解:原式,,,,,exe limdlim().1,0,，,,，,ttaa 77 2xdx3、 ,1x,1 2222 xx,，111解:原式=limdlimdlim[dd]xxxxx,,,，1,,,,，，，ttttttt,,, 111xxx,,,111 328222,,，,,lim[()]lim[].xx121 tt，，tt,,1133 ，,211x,四、证明题不等式 ,,,，edx11,0ee2 ，,，,1222,,,xxxddd,证:因为所以exexex,， ,,,001 11，,，, 22,,,xxx0dddd.exexexxex,,，,,,,0001 11 ,xd;1而ex,,,0 e 1，, 210,xdd.1exxex，,，,,01 2e ，,211,x11d故，命题得证。,,,，ex,0 2ee 78 高等数学(?)练习 第三章 一元函数积分学 系 专业 班 姓名 学号 习题十六 综合练习 一、选择题: ,,,nsix4342342221、设，，，,McosxdxN,(sinx，cosx)dxP,(xsinx,cosx)dx,,,,2,,,,,，1x222 则有 [ D ] (A) (B) (C) (D) N,P,MM,P,NN,M,PP,M,N 15xsinxtsint2、设，，则当时，是的 [ C ] ,(x),,(x),(x)dt,(x),(1，t)dtx,0,,00t (A)高阶无穷小 (B)低阶无穷小 (C)同阶但不等价的无穷小 (D)等价无穷小 xd3、若=，则 [ A ] f(x)f(x),cos(x,t)dt,0dx (A) (B) (C) (D) cosx,cosx2cosx，11，cosx xx4、设,，其中为连续函数，则limF(x)= [ B ] f(x)F(x)f(t)dt,x,aa,xa A) (B) (C) (D)0 (af(a)f(a)a x,t5、在内 [ B ] [0,2,]F(x),esintdt,0 (A)有极大值F(,)，最大值F(2,) (B)有极大值F(,)，最小值F(0) (C)有极小值F(,)，无极大值 (D)有极小值F(,)，最大值F(0) xd226、设f(x)连续，则 [ A ] tf(x,t)dt,,0dx 2222xf(x),2xf(x),xf(x)2xf(x)(A) (B) (C) (D) 二、填空题: 12,2x，|x|ln21、dx= 2、= 0tcostdt,2,,101，x , 4,tanxf(x)3、设有一个原函数，则= xf(x)dx,,2,,,4 12x(1，x)2f(x)[0,，,)f(2),4、设为上的连续函数，且f(t)dt,x，则 2,0 2()13，,13x[,]5、函数y,在区间上的平均值为 122221,x 79 x2,(arctanx)dx,06、= lim42,，,xx，1 三、计算题: 31dx22、 2、 1(x，1,x)dx,,122,1x1，x1,,2222,，,，,()dxxxxx211解:令则,,,,xttxtttan,(,).dsecd, ,1,22 112,,,，,,ddxxxx212,, 当时，xtxt,,,,13,当时，11,,43 ,2secdtt3 原式,2,,sectantt, 4 ,, cosdtt1234,,,,[]232 ,,,sint3sint43 ,m3、 (为自然数) mJ,xsinxdxm,0 ,,msin解: Jxdx,m,02 ,,m,令即而 JI,Ixdx,sinmmm,02 ,,mmm,,,111, Ixdxxxxdx,,,,,，sincos[cossin]cossinm0,,00 ,,222mmm,, = ()cossin()(sinsin)mxxdxmxxdx,,,,,11,,00 m,1()()mImI,,,11 =， 即 II,mm,2mm,2.m 21231mm,,因此 II,,20m.2222mm, 2222mm, II,,211m，.21213mm，, II,,,;.2又故 01. 80 2mm,,131,所以，当m为偶数时， J,,,;mmm,222 mm,22当m > 1的奇数时, ,J,,.mmm，,113 J,, 当m = 1时, m 1dx2,,四(证明不等式 ,,,0442x1, 11dxdx,证明:因为，故 ,,42200111,，,,xxx(()() 111dxdxdx,, ,,,2420002111(),,,xxx 1dx2,,,而 ,20421(),x 1dx,, ,2021,x 1dx2,,所以 ,,,0442x1, 命题得证。 81