数学物理方程作业习题2.1
2. 长为L，均匀细杆，x=0端固定，另一端沿杆的轴线方向被拉长b静止后（在弹性限度内）突然放手，细杆做自由振动。试写出方程的定解条件。
解：
边界条件：u(x,t)|
=0
自由端x=L，u
|
=0
初始条件：u(x,t)|
=
u
|
=0
习题2.2
1. 一根半径为r，密度为
，比热为c，热传导系数为
的匀质圆杆，如同截面上的温度相同，其侧面与温度为
的介质发生热交换，且热交换的系数为
。试导出杆上温度
满足的方程。
解：热传导的热量=温度升高吸收的热量+...
习题2.1
2. 长为L，均匀细杆，x=0端固定，另一端沿杆的轴线方向被拉长b静止后（在弹性限度内）突然放手，细杆做自由振动。试写出方程的定解条件。
解：
边界条件：u(x,t)|
=0
自由端x=L，u
|
=0
初始条件：u(x,t)|
=
u
|
=0
习题2.2
1. 一根半径为r，密度为
，比热为c，热传导系数为
的匀质圆杆，如同截面上的温度相同，其侧面与温度为
的介质发生热交换，且热交换的系数为
。试导出杆上温度
满足的方程。
解：热传导的热量=温度升高吸收的热量+侧面热交换的热量
即为：
所以温度u满足的方程为
习题2.3
4. 由静电场Gauss定理
,求证：
，并由此导出静电势
所满足的Poisson方程。
证明：
=
所以
又因为
习题2.4
2.
（2）
解： 特征方程：
，则有
即为
令
则由：
推得
则解得
（5）
解：由特征方程：
解得
则可令
所以
因此
即
所以
习题2.6
1.
（3）.证明
证明：当
时
所以
当
时
所以
综上：
习题3.1
3.（4）求解边值问题的固有值和固有函数
解：当
时，
代入边值条件得：
所以当
时
当
时
当
时，
代入边值条件得：
解得：
的正根
所以
当
时，无解。
5.
一根均匀弦两端分别在
处固定，设初速度为零，初始时刻弦的形状为抛物线，抛物线的顶点为
。求弦振动的位移。
解：由题意有：
（1） 分离变量
代入方程整理得：
得常微分方程：
当
时，解的方程（1）的通解为
代入边值条件
得
当
时方程无解
同理解得：
代入边值条件得：
则
即得
所以
习题3.2
3.求定解问题
解：
（1）.分离变量
将上式代入原方程得：
即得常微分方程
根据边值条件解得：
代入边值条件得：
即得：
所以
为
的正根
因此：
其中
4.求定解问题
解：（1）分离变量
代入原方程有：
得常微分方程：
（2） 解常微分方程：
当
时
代入边值条件得
，所以
无解
当
时，
代入边值条件得，
再由
得
当
时 ，
代入边值条件得：
由
得
所以得：
习题3.3
3. 一个圆环平板，内半径为
，外半径为
，侧面绝缘，如内圆温度保持为
，外圆温度保持为
。是求稳定状态下，温度
的分布规律。
解：由题意得：
分离变量：
代入原方程得
因此得常微分方程：
当
时，常微分方程无解
当
时，
因此，
由边值条件得：
有以上两式解得：
因此，
当
时，
由
得
因为
，即温度分布
与
角无关。
因此得出
综上，所以温度分布
习题3.4
4.设
为长方体的边界，求长方体内有初始扰动的波的传播，即求解如下定界问题：
解：时空分离变量：
代入原方程得：
即得微分方程：
空间分离变量：
（4）式代入（2）式得：
即得微分方程：
再令
代入（5）式得：
得
解（8）式得：
其中
，所以
同理解得：
所以，
所以，
的固有函数为：
于是，关于
的常微分方程，可的通解：
所以，所有常微分方程的解叠加起来得：
其中，
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