第三章完全弹性体介质中弹性波传播规律doc

第三章完全弹性体介质中弹性波传播规律doc 第三章 完全弹性体介质中弹性波传播规律 流体(液体、气体)的力学特征:流体中任取一个面元，面元所受周围流体的作用力,其大小与面元有关，方向总是垂直于面元(无切向力)。 理想流体:流体中体元作机械运动时无机械能损耗。理想流体中的机械波是纵波。 弹性体(固体)的力学特征:弹性体中任取一个面元，面元所受周围弹性体的作用力，其大小和方向均与面元有关，但方向并不一定与面元垂直(存在切向力)。 完全弹性体:弹性体中体元作机械运动时无机械能损耗。 完全弹性体中的机械波有纵波和横波两类。 3,1 弹性体介质的基本特性 弹性体在外力作用下会发生形变，本课所分析的形变是在弹性范围内的小幅度形变;是弹性形变。 o 1弹性体中的应力张量(矩阵)、应力分量 流体内面积微元所受周围流体的作用力与面元的关系: (3.1.1) dfPds=- 图3-1 dsds其中，P:流体内部压强。与方向反向，因而，与之间由一个标量联dfdf 系，该标量就称为压强。流体中每一空间点的力的状态由该点的压强描述。 但是，在弹性体内部，面积微元所受周围弹性体的作用力与面元的方向并不保持 ds一致。所以，在弹性体内部，面积微元所受周围弹性体的作用力与之间不df ds能由一个标量联系。那么，会是那类物理量将与联系起来, df 图3-2 与之间由一个张量(矩阵)联系: dsdf dfTds= (3.1.2) [] 图3-3 如果记: 骣骣dfidsi??xxçç??çç??çç??dsdsj=çdfdfj= (3.1.3) ç??yyçç??çç??ç?ç???ççdskdfk桫桫zz有: 骣骣骣TiiTijTik?dfidsixxxyxzç鼢xx珑?ç鼢珑?ç鼢?珑鼢ç?珑dfjTjiTjjTjkdsj= 鼢çyyxyyyzy?珑鼢ç?珑鼢ç?珑鼢?ç鼢珑dfkTkiTkjTkkdsk?ç桫桫zzxzyzzz桫 (3.1.4) 骣()TdsTdsTdsi++?çxxxxyyxzz?ç?ç?çTdsj(=++TdsTds)?yxxyyyyzzç?ç?ç??ç?TdsTdsTdsk++ç()桫zxxzyyzzz 称: 骣TiiTijTik?xxxyxzç?ç?ç?ç? (3.1.5) TTjiTjjTjk=()çyxyyyz?ç?ç??çTkiTkjTkk?çzxzyzz桫 为弹性体的应力张量。 (应力张量的每一个分量是一个并矢);也简记作: 骣骣骣dfTTTds?xxxxyxzxç鼢珑?鼢ç珑?鼢ç珑?鼢dfTTTds=ç珑?yyxyyyzy鼢ç?珑鼢ç?珑鼢ç?鼢珑?dfTTTdsç桫桫桫zzxzyzzz (3.1.6) 骣TdsTdsTds++()?xxxxyyxzzç?ç?ç?=++TdsTdsTds()ç?yxxyyyyzzç?ç?ç??TdsTdsTds++ç()桫zxxzyyzzz 骣TTT?xxxyxzç?ç?ç?TTTT=称:为应力矩阵。 ()ç?yxyyyzç?ç?ç??TTTç桫zxzyzz 弹性体内每一空间点的力的状态，由该点的应力张量(应力矩阵)描述。应力张量(应力矩阵)由9个分量(元素)构成。应力张量各个分量(元素)的物理意义: 骣TTT?xxxyxzç?ç?ç?TTTT= (3.1.7) ()ç?yxyyyzç?ç?ç??TTTç桫zxzyzz Tba:方向面元在方向的受力。ab 利用弹性体内体元力矩平衡条件，可得:应力张量(应力矩阵)是对称张量(矩阵)，即: (3.1.8) TT=abba 所以，应力张量(应力矩阵)是由6个独立元素构成的33?阶张量(应力矩阵)。 如果记: TTTTTT===;;;(正应力)xxyyzz123 (3.1.9) TTTTTT===;;;(切应力)yzxzxy456 也即: 骣骣TTTTTT?xxxyxz165ç?ç??çç??çç??TTTTTTT== (3.1.10) ()çç?yxyyyz624?ç?ç?ç?ç?ç??ç?TTTTTTç桫桫zxzyzz543 TT~应力矩阵元素可以构成一个列向量: 16 骣T1?ç?ç?ç?Tç2?ç?ç?ç?T3?ç?ç (3.1.11) ?ç?Tç?4ç?ç?ç?T?ç5?ç?ç?çT桫6 o 2弹性体中的应变张量(矩阵)、应变分量 弹性体内的应力是弹性体形变产生的，下面分析产生应力的形变如何描述: M点的位置: Rxyz(,,) 图3-4 其形变位移 (3.1.12) rxhz(,,)(,,)(,,)(,,)xyzxyzixyzjxyzk=++ 形变后的位置 (3.1.13) Rxiyjzk+=+++rxhz(,,) 形变位移不代 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示形变，更不能产生应力。(举例说明) M的相邻点Q，坐标位置: rdrxdxydyzdz+=+++(,,) (3.1.14) 形变后，Q位移至点Q’点: 图3-5 dr绝对位移形变: dr相对位移形变: dr dr问题: =?dr 因为: 骣抖xxx ?çdxdydz++ ç?ç?抖xyz ç?骣çdx??ç?ç?ç?ç抖hhh ??çç?dddxdydzrh==++? (3.1.15) çç??çç??抖xyz çç??ç?ç?dz桫ç?ç?抖zzz ?çdxdydz++?ç?ç?ç抖xyz 桫 骣骣抖抖抖xxxxxx鼢珑鼢珑鼢珑鼢抖抖抖xyzxyz珑鼢骣骣珑ddxx鼢鼢珑鼢珑鼢珑??珑抖抖抖hhhhhh鼢??珑珑鼢?==dddyrhdr?? (3.1.16) 珑珑鼢??珑珑鼢??抖抖抖xyzxyz珑珑鼢??珑鼢珑??ddzz桫桫珑??珑??抖抖抖zzzzzz??珑??珑??珑??珑抖抖抖xyzxyz桫桫 所以: 骣抖xxx ?ç?ç?ç?抖xyz ç?ç?ç?ç?drhhh抖 ?ç=? (3.1.17) ç?ç?drxyz抖 ç?ç?ç?ç?抖zzz ?ç?ç?ç?ç抖xyz 桫 这是，‘相对位移形变张量(矩阵)’;它是产生应力的原因，但并不是‘相 对位移形变张量(矩阵)’的全部对产生应力有贡献。(举例说明) 根据矩阵分解定理，可知: 骣抖xxx ?ç?ç?ç?抖xyz ç?ç?ç?ç?drhhh抖 ?ç'==P+P (3.1.18) ?()()ç?3333创ç?drxyz抖 ç?ç?ç?ç?zzz抖 ?ç?ç?ç?çxyz抖 桫 其中，和分别为阶对称矩阵和阶对角线元素的反对称矩阵。PP'33330创()()3333创 有: 骣抖抖xxhxz11 ?ç()()++ ç?ç?抖抖xyxzx22 ç?ç?ç?ç?11抖抖xhhhz ?çP=++()() (3.1.19) ?()ç33??ç?22抖抖yxyzy ç?ç?ç?ç?11抖抖xzhzz ?ç()()++?ç?ç?ç22抖抖zxzyz 桫 可以证明， P',反对称矩阵是‘刚性’旋转产生的相对位移形变张量;它不产生应力。()33? P对称矩阵是使弹性体内产生应力的相对位移形变张量。()33? S定义:弹性体内与应力有关的相对位移形变张量为应变张量，记作。 ()33? 骣抖抖 xxhxz?ç++ ()()ç?ç?抖抖 xyxzxç?ç?ç?ç?抖抖xhhhz ?çS=++()()? (3.1.20) ()ç?33?ç?抖抖 yxyzyç?ç?ç?ç?抖抖 xzhzz?ç++()()?ç?ç?ç抖抖 zxzyz桫 SP(注意 非对角元素与非对角元素的1/2系数，一般弹性理论这样定()()33?33? 义，本教材同此) 一般应变张量也简记作: 骣骣eeeeee?xxxyxz165ç?ç??çç??çç??S==eeeeee (3.1.21) ()çç?yxyyyz624?ç?ç?ç?ç?ç??ç?eeeeeeç桫桫zxzyzz543其中:正应变: ?x;ee==xx1?x ?hee==; (3.1.22) yy2?y ?z;ee==zz3?z切应变: 抖hzeee==+=();yzzy4抖zy 抖xz (3.1.23) eee==+=();xzzx5抖zx 抖xheee==+=();xyyx6抖yx统称为应变分量。 ee~应变矩阵的分量(元素)可以构成一个列向量:16 骣e1?ç?ç?ç?eç2?ç?ç?ç?e3?ç?ç (3.1.24) ?ç?eç?4ç?ç?ç?e?ç5?ç?ç?çe桫6o 3应力应变之间的关系(广义虎克定律) 弹性体内的应力是由应变引起的，因而应力是应变的函数: ()(())Tf=e (3.1.25) 在小形变条件下，可用线性关系表示: Tcccccc=+++++eeeeeexxxxyyzzyzzxxy111213141516 Tcccccc=+++++eeeeeeyyxxyyzzyzzxxy212223242526 Tcccccc=+++++eeeeeezzxxyyzzyzzxxy313233343536 (3.1.26) Tcccccc=+++++eeeeeeyzxxyyzzyzzxxy414243444546 eeee+++cccTccc=++ee3545556zzyzzxxyzxxxyy51525 Tcccccc=+++++eeeeeexyxxyyzzyzzxxy616263646566用矩阵表示: 骣骣骣Tcccccce11112131415161鼢?珑ç鼢?珑ç鼢?珑ç鼢?Tc鬃鬃鬃鬃鬃鬃鬃 e珑ç2212鼢?珑ç鼢?珑ç鼢?珑ç鼢?T鬃鬃鬃鬃鬃鬃鬃鬃鬃e33鼢?珑ç鼢? (3.1.27) 珑ç=鼢?珑ç鼢?T鬃鬃鬃鬃鬃鬃鬃鬃鬃e珑ç44鼢?珑ç鼢?珑ç鼢?珑ç?鼢T鬃鬃鬃鬃鬃鬃鬃鬃鬃e?鼢珑5ç5?鼢珑ç?鼢珑ç?鼢珑çTcc鬃鬃鬃鬃鬃鬃e桫桫桫661666矩阵称作弹性常数矩阵，为弹性常数。此式为广义虎克定律。 Cc()ij66? 对各向同性的弹性体，[c]矩阵中的36个弹性常数可用两个独立常数表示(例 (,)ml(,)Es(,)ml如:拉梅常数;或杨氏模量、泊松系数)。用拉梅常数，表示 应力与应变的关系: T=+++leeeme()2;xxxxyyzzxx T=+++leeeme()2;yyxxyyzzyy T=+++leeeme()2;zzxxyyzzzz (3.1.28) T=me;xyxy T=me;xzxz T=meyzyz (,)ml(,)Es作业:试用拉梅常数，表示为弹性常数c。用杨氏模量和泊松系数，ij表示应力与应变的关系: TETT=++es();xxxxyyzz TETT=++es();yyyyzzxx TETT=++es();zzzzxxyy ET=e;xyxy 2(1)+s ET=e;xzxz2(1)+s ET=eyzyz2(1)+s 可得拉梅系数与杨氏模量泊松系数的关系:(,)(,)lmsE EEslm==; (1)(12)2(1)+-+sss 3,2 弹性体中的弹性波 o1弹性介质中的波动方程 弹性介质中取体元dxdydz;分析其受力:体元6个面上的‘有效’应力分量 标记如右图: 图3-6 体元dxdydz的x方向受力: (1)(2)面方向受力:x ?Tdxdxxx (3.2.1) (()())fTxTxdydzdxdydz=+--=12xxxxx22?x (3)(4)面方向受力:x ?Tdydyxy(()())fTyTydxdzdxdydz=+--= (3.2.2) 34xxyxy22?y (5)(6)面方向受力:x ?Tdzdzxz (3.2.3) (()())fTzTzdxdydxdydz=+--=56xxzxz22?z \体元方向受力:dxdydz ?T抖TTxyxxxz()ffffdxdydz=++=++ (3.2.4) 123456xxxx抖xyz 如果，介质中体元的位移记为: sxyztxyztxyztxyzt(,,,)((,,,),(,,,),(,,,))=xhz 则，体元dxdydz的x方向的运动方程: 2?T抖TTdxxyxxxzrdxdydzfdxdydz==++()x2dtxyz抖 2?T抖TT?xxyxxxz?++r() (3.2.5) 2抖抖txyz 22dxx?(小形变，)\=22dtt? 同理，可得体元dxdydz的y和z方向的运动方程: y方向的运动方程: 2抖TTT ?hyxyyyz()r=++ (3.2.6) 2抖抖txyz z方向的运动方程: 2?T?T?z?Tzyzxzzr=++() (3.2.7) 2抖抖txyz 将体元dxdydz的x、y和z方向的运动方程中的应力分量函数用位移函数表 示，可得到弹性体中的位移函数的波动方程: 用拉梅常数表示应力与应变的关系有:(见1-1节) ìT=+++leeeme()2;ïxxxxyyzzxxïïïT=+++leeeme()2;ïyyxxyyzzyyïïïT=+++leeeme()2;ïzzxxyyzzzzï (3.2.8) íïT=me;xyxyïïïïT=me;xzxzïïïT=meïyzyzïî (,)mle其中，为弹性介质的拉梅常数;为弹性介质中应变张量的分量; ij 抖xhz eee===;;;xxyyzz抖xyz (3.2.9) 抖抖抖hzxzxheee=+=+=+();();()yzxzxy抖抖抖zyzxyx 将此关系代入体元dxdydz的x方向的运动方程中，可得弹性体中x方向位 移函数的波动方程: 2?T抖TT?xxyxxxz()r=++2抖抖txyz {()2}?++ leeememe?mexxyyzzxxxyxz =++抖xyz 抖抖抖xhzxxh抖xz{()2}()?++?lm()?抖抖抖xyzxyx抖zx=++mm抖xyz 2222抖抖抖抖xxhzxxx?++++++rlmm(){}()2222抖抖抖抖txxyzxyz 2抖x2 (3.2.8) ?+rlmmx()()炎s+ 2抖tx 抖xhz ((,,))ss=\xhz炎=++抖xyz 这是弹性介质x方向位移函数的波动方程; z方向位移函数的波动方程: 同理，可得y、 2抖h2?+rlmmh()()炎s+ 2抖ty 2抖z2?+rlmmz()()炎s+ 2抖tz 综上，弹性体中位移函数的波动方程: 2ìï抖x2ïrlmmx=+()()炎s+ ï2ï抖txïï2ï抖hï2ïrlmmh=+()()炎s+ (3.2.9) í2ï抖tyïï2ïï抖z2ïrlmmz=+()()炎s+ ï2ï抖tzïî 其中:，哈密顿算符;Ñ sxyztxyztxyztxyzt(,,,){(,,,)(,,,)(,,,)};=xhz，，是位移矢量 rlm、，分别为弹性介质的密度和拉梅常数;() 上式是位移矢量三个分量函数的波动方程，矢量形式的位移矢量波动方程为: (～～～) 2?sxyzt(,,,)2rlmm=+()((,,,))(,,,)蜒? sxyztsxyzt (3.2.10) 2?t o2弹性介质中的平面波 对于平面波，可假设:位移矢量只是x和t的函数，与y、z无关: sxyztsxt(,,,)(,)= 2?sxt(,)2 (3.2.11) \=+rlmm()((,))(,)蜒? sxtsxt2?t 抖?=在运算中，可得:0;0; 抖yz 骣抖 ?ç炎sxtijkxtixtjxtk(,)(,)(,)(,)=++髯xhz++()ç?ç?ç抖xyz 桫 (3.2.12) ?=++x(,)00xt?x 骣骣抖抖?ç?ç\蜒((,)),,(,)? sxtijkxtx?çç??çç?ç桫抖抖xyzx桫 (3.2.13) 2?=++x(,)00xtijk2?x 222骣抖 2?ç??++++sxtixtjxtkxhz(,)(,)(,)ç()222?ç?ç抖xyz 桫 (3.2.14) 222抖 =++++xhz(,)(,)(,)0xtixtjxtk222抖xxx 代入位移矢量波动方程，可得三个方向的位移分量满足方程: 22ìï抖xx(,)(,)xtxtïrlm=+(2)ï22ï抖txïï22ï抖hh(,)(,)xtxtïï?rm í22ï抖txïï22ï抖zz(,)(,)xtxtïïrm=22ï抖txïïî 22ìï抖xx(,)1(,)xtxtï-=0ï222ï抖xctïlïï22ï抖hh(,)1(,)xtxtï?=0 (3.2.15) í222ï抖xcttïïï22ï抖zz(,)1(,)xtxtï-=0ï222ï抖xctïtî lmm+222其中:cc==; ltrr 显然，三个方程均为达朗贝尔方程，解为: ìx(,)()()xtfxctfxct=-++ï12llïïï (3.2.16) ?-++h(,)()()xtgxctgxctí12ttïïz(,)()()xthxcthxct=-++ï12ttïî lmm+2 其中:cc==;ltrr 取正向波: ìx(,)()xtfxct=-ï1lïïï (3.2.17) ?-h(,)()xtgxctí1tïïz(,)()xthxct=-ï1tïî lmm+2 其中:cc==;ltrr 分析: (1) (3.2.18) x(,)()xtfxct=-1l lm+2 振动与波的传播方向一致，是纵波;波速:c=lr(2) h(,)()xtgxct=-1t (3.2.19) z(,)()xthxct=-1t m振动与波的传播方向垂直，是横波;波速:c=tr显然;cc> lt 即，弹性介质中，纵波比横波传播的快。(!!)分析:平面弹性波场中，质点运动轨迹。显然，时间函数为谐合时，方程的解为: jtkxjtkx()()ww-+'llìïx(,)xtAeAe=+ïïjtkxjtkx()()ww-+'ïtth(,)xtBeBe?+ (3.2.20) íïjtkxjtkx()()ww-+'ïttz(,)xtCeCe=+ïïî ww其中:kk==; ltcclt 取正向波: jtkx()w-lìïxw(,)cos()xtAeAtkx==-lïïjtkx()w-ït (3.2.21) ?=-hw(,)cos()xtBeBtkxítïjtkx()w-ïtzw(,)cos()xtCeCtkx==-ïtïî ww 其中:kk==;ltcclt 坐标处质点的运动轨迹在个坐标面上的投影曲线:x3 ü()坐标面上:1oxy--ïïïïìXxtAtkx(,)cos()=-wïïlïï;íïïïYxtBtkx(,)cos()=-wtïîïïï()坐标面上:2oxz-- ïïïì Þ是空间椭圆(广义)曲线XxtAtkx(,)cos()=-wïýlïï;íïïZxtCtkx(,)cos()=- wtïîïïï()坐标面上:3oyz--ïïïïìYxtBtkx(,)cos()=-wïtïïïíïïïZxtCtkx(,)cos()=-wtïîïþ ww其中:kk==; ltcclt o3弹性介质中质点位移势函数的波动方程 据‘场论’理论，一个矢量场可表示成一个标量场的梯度与一个矢量场的旋 度之和。 定义:若位移矢量则,定义上式中 srtrtrt(,)(,)(,)=袴+汛YF(,)rt为位移标量势函数;(位移标量势) 为位移矢量势函数;(位移矢量势) Y(,)rt 将上定义式代入位移矢量的波动方程, 可得的波动方程: F(,),(,)rtrty (3.2.22) srtrtrt(,)(,)(,)=袴+汛Y且有位移矢量波动方程: 2?srt(,)2rlmm=+()((,))(,)蜒? srtsrt (3.2.23) 02?t 2堆()F+汛Y2(3.2.24) ?+rlmm()(())()蜒籽F+汛Y+蜒F+汛Y02?t 22禙禮??左rr汛 (3.2.25) 0022抖tt 2右=+()(())()lmm蜒籽F+汛Y+蜒F+汛Y 22=?()[()]()()lmmm炎袴+汛Y+蜒F+蜒碮 (3.2.26) 2=?()()()[(())()]lmmm炎袴+蜒F+蜒籽碮-汛汛汛Y 2=?(2)()()lmm袴-汛汛汛Y []注上式推导中利用‘场论’定理，有下式成立: 2 ());()));1(02((炎汛AAAA=汛汛=蜒? 2()()3炎? BB 综上，得: 22禙禮左=?rr汛 (3.2.27) 0022抖tt 2 (3.2.28) 右=?(2)()()lmm袴-汛汛汛Y 2ìï禙2ï??rlm(2)()袴ï02ï?tï左右= (3.2.29) í2ï禮)ïï汛rm=-汛汛汛()Y02ï?tïî 2ìï禙2ïrlm=+(2)()袴ï02ï?tïÞ (3.2.30) í2ï禮ïïrm=-汛汛()Y02ï?tïî 所以: 21(,)禙rt2 ～～纵波势函数波动方程 袴(,)0rt-=22ct?l 21(,)禮rt ～～横波势函数波动方程 汛汛Y+=(,)0rt22ct?t lm+2位移标量势函数F是纵波势函数;纵波波速为 c=lr mY位移矢量势函数是横波势函数;横波波速为 c=tr 3,3 弹性体振动问题之一:均匀细棒的纵振动 集总参数振动系统:在同一空间位置上，振动系统只有弹性，或者只有惯性(或阻尼)。例如:第一章研究的振动问题涉及的振动系统就是‘集总参数振动系统’。 分布参数振动系统:在同一空间位置上，振动系统既具有弹性又有惯性(或阻尼)。本节研究的均匀细棒的纵振动中的均匀细棒就是‘分布参数振动系统’。 o1均匀细棒纵振动的近似理论 均匀:棒的材料参数、棒的截面均匀。(一样) 细棒:棒的截面最大线度远小于棒中弹性波的波长。 纵振动:沿棒的长度方向振动。(如图) 图3-7 均匀细棒纵振动的近似理论是指在上述情况下，可以近似认为: (1)只考虑 z 方向振动;其它方向的振动可略。 (2)只考虑 z 方向的应力分量;其它方向应力可略。 (3)在垂直于 z 轴的同一个截面上振动相同。 1)均匀细棒纵振动运动方程 图3-8 细棒中取dz段，建立运动方程: 体元受力: ?Tz()zz (3.3.1) fffSTzdzTzSdz=-=+-=(()())12zzzz?z 22ddzz抖TzTz()()zzzz (3.3.2) \=?rrSdzSdz;22dtzdtz抖 sz? 又TETTEE=-+==ee()zzzzyyxxzzEz? 22dzz??Tz()zz (3.3.3) \==rE22dtzz抖 22dzz?又小振幅条件下，= 22dtt? 22抖zz1 (3.3.4) ?=0;(!!)均匀细棒纵振动方程222抖zct0 E2其中:c= 0r 由均匀细棒纵振动的近似理论得到的均匀细棒纵振动的波动方程;它与流体 波动方程形式一样。 均匀细棒纵振动的波动方程的形式解: 22抖zz(,)1(,)ztzt (3.3.5) -=0222抖zct0 用‘分离变数法’求解，可得: (3.3.6) zww(,){cos()sin()}{cos()sin()}ztAkzBkzCtDt=++åzzkkzzkz wkz其中:、、由边条件确定;、由初条件确定。kkABCD=;zzc0 ?z(,)zt初条件:(,)();()zztfzgz==t=0?tt=02)均匀细棒纵振动的边条件类型: A)固定边条件:(端点固定不动，位移为零) (zzt,)0= (3.3.7) z=端点 图3-9 B)自由边条件:(端点自由，应力为零) ?z(,)zt (3.3.8) =0?zz=端点 图3-10 C)质量负载边条件(端点联结刚性质量块) 2抖zz(,)(,)ztzt (3.3.9) SEM=-2抖ztz=端点z=端点 图3-11 D)激励力作用边条件(端点有激励力作用) ?z(,)ztSEft=() (3.3.10) ?zz=端点 图3-12 o 2例一:两端自由均匀细棒的自由纵振动 方程和边界条件 22ìïzz(,)1(,)ztzt抖ï0-=ï222ï抖zct0ïï (3.3.11) íï抖zz(,)(,)ztztï0;0==ïï抖zzï0zzL==ïî 用‘分离变数法’求解，可得形式解: (3.3.12) zww(,){cos()sin()}{cos()sin()}ztAkzBkzCtDt=++åzzkkzzkz wkz 其中:k=;zc0 ?z(,)zt 代入边界条件,由:=0?zz=0 (3.3.13) ?++={sin()cos()}{cos()sin()}0AkkzBkkzCtDtwwåzzzzkk=0zzzkz (3.3.14) 藓B0 ?z(,)zt 由:=0?zzL= (3.3.15) ?+=AkkzCtDtsin(){cos()sin()}0wwåzzkk=zLzzkz (3.3.16) ??=sin()00,1,2,3......kLkLnnpzz np (3.3.17) 0,1,2,3......\===kknznL wnpkz 又kkcc=\===ww00zknnzcL0 综上，可得: ?nnnppp(,)cos(){cos()sin()}=+zztAzCctDctå00LLLn0= (3.3.18) ?np=+cos()cos()aztwfånnnLn1= 其中:和由初条件确定。项无意义，舍去)anf(0=nn 分析: np(,)cos()cos(定义，);为两端自由均匀细棒纵振动的第阶zwfztaztn=+nnnnL简正振动。第阶简正振动的振幅在棒中的分布示意图:n 图3-13 不同阶简正振动函数在彼此正交;并且所有阶简正振动函数构成正交zLÎ[0,] 完备函数族。(数学上第阶简正振动函数是相应边界条件下的第阶特征(固,nn 有)函数。)正因如此，给定初条件的位移分布函数和振速分布函数，利用 简正振动函数在的正交完备性，进行傅立叶级数展开可得形式解中的zLÎ[0,] a和值。自由振动中哪些简正振动函数存在，它们的幅值为何，决定于初条件。fnn wncn0,定义为两端自由均匀细棒纵振动第阶简正振动的固有频率。fn==n22pL 分布参数系统自由振动时，有多个固有频率;其中最低的频率称作基频;? 其它固有频率称作泛音频率。 c0 两端自由均匀细棒纵振动基频:f=12L nc0 :两端自由均匀细棒纵振动第阶泛音频率nfnf==n12L分布参数振动系统与集总参数振动系统的自由振动比较:两端自由均匀细棒纵振动第阶泛音频率是基频的倍谐音频率。nn [1]分布参数振动系统的自由振动是以简正振动方式进行;能够以多个固有频率?作阶简正振动。? o [2]n个自由度的集总参数振动系统的自由振动也以简正振动方式3例二:一端固定另一端谐合力激励下均匀细棒的稳态纵振动 进行但其最多有个固有频率各自由度上最多有个简正振动迭加。,,nn 方程和边界条件 22ìïzz(,)1(,)ztzt抖ï-=0ï222ïzct抖0ïï (3.3.19) íï?z(,)ztïzw(,)0;cosztSEFt==ï00z=ï?zïzL=ïî 用‘分离变数法’求解，可得形式解: ww(,){cos()sin()}{cos()sin()}ztAzBzCtDt (3.3.20) zww=++åccw00 代入边界条件 由:z(,)00ztA=藓 (3.3.21) z=0 F?z(,)zt0由:=cos()wt ?zSEzL= Fww0?=cos(){cos()sin()}cos()BzCtDttwwwåccSEw00zL= FcF000 (3.3.22) ?=;BCwwcos()cos()SELScLwr0cc00 ?BD0 Fw0 (3.3.23) \=zw(,)sin()cos()ztztwc0ScLrcos()0c0分析: Fw0 (3.3.24) zw(,)sin()cos()ztzt=wc0ScLrcos()0c0 w显然:时，系统发生位移共振。cos()0L? c0 wp12+n (3.3.25) ?+=Lnppc220 12+n (3.3.26) ?wpc;n02L 位移共振频率: 12+n (3.3.27) fcn==0,1,2....n04L o 4均匀细棒纵振动的阻抗转移公式(电传输线类比) Tz()zz 定义，为细棒纵振动的比阻抗。Zz(,)w=uz()z 均匀细棒纵振动的阻抗转移公式:由于棒有限长，则由于端面的反射，在棒 中存在相向传播的平面波: 位移函数为: jtkzjtkz()()ww-+w(ztAeBek,);=+=zc0 (3.3.28) jtkzjtkz()()ww-+=+AeARe; 设，是位移波在棒端的反射系数。Rz(0)= 振速函数为: ?zjtkzjtkz()()ww-+ (3.3.29) uztjAe(,)(Re);==+wt? 应力分量函数为: ?zjtkzjtkz()()ww-+ (3.3.30) TztEjkEAe(,)(Re);==--zzz? Tzz 如果，已知终端比阻抗:则有:=;Z2u=0z jtkzjtkz()()ww-+----jkEAejkER(Re)(1) (3.3.31) =?ZZ22jtkzjtkz()()ww-+wwjAejR(Re)(1)++z=0 rcZ+202wE?==Rkc(;) (3.3.32) 0crrcZ-002 jtkzjtkz()()ww-+TztjkEAe(,)(Re)--zzwZz(,)==jtkzjtkz()()ww-+wuztjAe(,)(Re)+ (3.3.33) jkzjkz-)(Re)-er=c;0jkzjkz-)(Re)+e rcZ+02将代入上式，得:R= rcZ-02 rcZ+jkzjkz-)02()ee-rcZ-02(,)......Zzcwr==0rcZ+jkzjkz-)02()ee+rcZ-02 (3.3.34) rc0()1jtgkz+Z2=Z阻抗转移公式2Z2()1jtgkz+rc0 3,4 分布参数机械振动系统的等效参数及其等效集总参数系统的机 电类比 o1分布参数系统与集总参数系统振动特性比较 ?共性: ?以系统本身所决定的固有频率作自由振动; ?受迫振动时，响应都有频率特性; ?有共振现象:激励频率等于某响应共振频率时该响 应幅值很大; ?特性: ?分布参数系统的振动是以驻波的形式表现，有波动的性质，是两个相向传播的波;集总参数系统的振动表现为质量的往复运动。 ?分布参数系统的振动特性与材料性质和边界条件有关;集总参数系统的振动只决定系统的质量和弹性及阻抗。 ?分布参数系统的动能和势能分布在整个弹性体中。集总参数系统的动能集中在质量上;势能集中在弹簧上。 o 2等效系统与等效参数 定义: 等效系统，当分布参数系统在某种振动状态下的动能和势能与一个集总参数系统的动能和势能相等时，则称这个集总参数系统是该分布参数系统在该振动状态下的等效系统。 等效参数，等效集总系统的质量和弹性系数为该分布系统的在该振动状态下的等效参数。 如何由已知某种振动状态下的分布参数系统;求出所对应的等效集总参数系统和等效参数, 分析: 由分布参数系统的振动可求出其动能，记作E;t 12其等效集总参数系统的动能为:是等效质量)mvm(0ee2 12 作为等效参数系统应有:Emv=0te2 仅由此式得不到;(,)mv=0e v一般取分布参数系统中，某点的振速幅值;该点称作等效系统的参考点。0 由分布参数系统的振动可求出其势能，记作E;p 12其等效集总参数系统的势能为:是等效弹性系数)DDz(ee02 12作为等效参数系统应有:ED=z pe02 同样，仅由此式得不到;(,)Dz=e0 z一般取分布参数系统中，某点的位移幅值;该点称作等效系统的参考点。0 v和是分布系统同一参考点处的振速幅值和位移幅值。z00 o 2求等效系统与等效参数的例子 如图，长为的弹性细棒，一端固定，一端有质量M;如果谐合力激励且激励力角频率远小于棒的基频。求系统等效集总参数的类比电路。 图3-14 c 已知:ww<=;14L z0 \= zww(,)sin()sinsinztBkztztL 又力作用于棒端取处为参考点，可求出此振动的动能;();:zLzLE=\=t 11(,)?zzt22 dzdESdzuSdz段的动能:()==rr22?t z0LL?ztsinw1(,)1?zzt22L 整条棒的动能:()()ESdzSdz==rrt蝌22抖tt00 L22zw11222220 ==rwrzwwStzdzSLtcos()cos0ò2L2230 12 其等效集总参数系统的动能为:是等效质量)MuM(ee02 u是参考点的振速:0 z0?ztsinwL ut==(cos)zww00?t zL= 1112222 ?MtSLtzwwrzww(cos)()cose00223 11 \==MSLMre33 棒中势能为棒端外力作功的负值;也即棒端形变力作功: z0?ztsinwz?zSE0L FSTSESESEtzLt======()sin(,)wzzz抖zzLL zz(,)(,)zLtzLt==SE\======(,)(,)(,)(,)zzzEFzLtdzLtzLtdzLtp蝌L00 SE2==z(,)zLt2L 如果，取棒端为参考点，为等效集总参数的弹簧系数，则:De 12:(,)其等效集总参数的势能为;DzLtz=e2 有: 1SESE22 DzLtEzLtDzz(,)(,)====?;epe22LL 得到，下右图的集总参数系统是左图的分布参数系统在低频振动状态下 cww<=()的等效系统。 14L 二者互为等效系统 图3-15 等效集总参数系统的机电类比图: 图3-16 3,5 弹性体振动问题之二:均匀弹性细棒的弯曲振动 弯曲振动:棒中质点位移垂直与棒的长度方向。 o1棒弯曲振动的波动方程: Fxt(,)棒中取微元，建立y方向运动方程。为此，要求出y方向受力与y方 h(,)xt向位移的关系。 图3-17 思路:棒弯曲时棒中微元dx在y方向位移形变产生的力矩与微元两端所受y方向力产生的力矩之和为零---因为微元dx没有旋转，所以力矩平衡。据此,可以得到微元dx在y方向受力与y方向位移的关系。 棒弯曲时棒中微元dx: 图3-18 图3-19 棒弯曲时，由于形变在截面上产生的以轴的力矩:oo- ?xdfz (3.5.1) 截面上受力:()dsdfzdsEdsEdsE===exxx?xxd 其中，距中性面的距离)(:z df2\-==以轴的力矩:()ooMzdfzEzdsx蝌蝌dxSS (3.5.2) df=EI;dx()力矩方向:穿出纸面为正(左示意图) 2 其中:称作截面以为轴的转动惯性矩IzdsSoo=-蝌 S df (3.5.3) =?dx 见下示意图: 图3-20 ?h()xtanqqf=? (3.5.4) 111?xxx= ?h()x藁f(小形变条件下，下同) (3.5.5) 1?xxx= 抖hh()()xxtan;qqpff=?-藁- (3.5.6) 2222抖xxxxdxxxdx=+=+ 抖hh()()xx\=+=-dfff (3.5.7) 12抖xxxxxxdx==+ 2dfhhh1()()()抖xxx (3.5.8) \=-=-{}2ddxxxxx抖 xxxxdx==+ 综上，时，得到由于方向位移形变，在棒的处截面上以为轴的力矩:dxyxxoo?0()h 2dfh?()xMxEIEI()==- (3.5.9) 2dxx? 棒中微元段左右两个截面均有力矩;见图dx() 又，由于时，轴与轴趋于相同dxoooo?-0'' \由于方向位移形变，微元段的净力矩为:yxdxh() 3抖Mxx()()h (3.5.10)dMMxMxdxdxEIdx=-+=-=()()3抖xx 又，由于微元段左右两个截面受相邻棒体的方向力作用，产生以dxyFxoo()””-为轴 的力矩(如图) 图3-21 合力矩为: dxdxdxdxddMFxdxFxFxFxFx’=++=++()()(()()()) (3.5.11) 2222 ?Fxdx()(,)略去二阶小量 由于微元段并没有旋转;所以，微元形变产生的力矩与相邻棒体的方向dxdxMyd作用力产生的力矩FxM()0d’之和为; 在时，轴dxoooooo?--0’’轴及””轴合为同轴，有: ddMM+=’0 (3.5.12) 33抖hh()()xx?=?-EIdxFxdxFxEI()0() (3.5.13) 33抖xx 这样，得到了棒中处方向位移与方向力的关系。xyxyFxh()() 下面推导细棒弯曲振动位移函数的波动方程:h()x 微元的方向受力:dxy 4抖Fxxt()(,)hfFxdxFxdxEIdx=+-==-()() (3.5.14) y4抖xx 其中:棒的杨氏模量;E, I,:棒截面与中性面相交的直线为轴的转动惯性矩 2 (3.5.15) Izds=蝌 s \据牛顿第二定律，微元的方向运动方程为:dxy 24dxtxthh(,)(,)? (3.5.16) SdxEIdxr=-24dtx? 图3-22 图3-23 小形变条件下，略去高阶小量有: 22dxtxthh(,)(,)?= (3.5.17) 22dtt? 24抖hh(,)(,)xtxt?-SEIr (3.5.18) 24抖tx 24抖hh(,)(,)xtxt2?-a (3.5.19) 24抖tx EI2其中:a=。 Sr ～～此式为棒横振动(弯曲振动)波动方程。 (波的物理量是，是方向位移;向方向传播。是横波。)hyx\ 注意:它与以前所学波动方程的差别～阶空间导数。--4o 2棒弯曲振动的波动特性: 棒的弯曲振动位移波动方程: 24抖hh(,)(,)xtxt2=-a (3.5.20) 24抖tx EI2记作方程其中:(*);a= Sr 令，;得:hwf(,)cos()xtAtkx=-- 2?h(,)xt2=---wwfAtkxcos() (3.5.21) 2?t 4?h(,)xt4=--kAtkxcos()wf (3.5.22) 4?x 224 代入方程中，得关系式:(*)ww-=kak dxw (3.5.23) ?==棒弯曲波的位移相速度:cawpdtk()wftkx--=常数结论:棒是弯曲波的频散介质。 o3棒弯曲振动的形式解: ‘分离变数法’求解: 令，;代入棒的弯曲振动波动方程:h(,)()()xtYxTt= 24抖hh(,)(,)xtxt2=-a (3.5.24) 24抖tx EI2其中:a= Sr 2dTt()2得:是分离变数得到的常数，与无关+=wwTtxt()0(,) (3.5.25) dt ?+=-TtBtBtat()cossincos()wwwfw12 4 (3.5.26) dYx()w2-=()()0;Yx4dxa www42本征方程:;本征值:;lll-=?? ()0()()j ，，1234aaa wwww()()()()xxjxjx--aaaa\=+++YxCeCeCeCe()1234 (3.5.27) wwww=+++AchxBshxCxDx(())(())cos(())sin(())aaaa \=-TtYxatYx()()cos()()wfw www (3.5.28) =-++atAchxBshxCxcos(){(())(())cos(())wfaaa w+Dxsin(())}a \=h(,)()()xtYxTtåww www (3.5.29) =++{(())(())cos(())AchxBshxCxåwwwaaaw w+-Dxtsin(())}cos()wfwwa其中，由边条件和初条件确定。ABCD,,,,fwwwww dxth(,)初条件==:(,)();()hxtfxgxt=0dtt=0o4棒弯曲振动的边界条件类型: (1);端点嵌定(夹死不动) 位移为位移曲线的斜率为0;0: dYx()==Yx()0;0 (3.5.30) x=端点dxx=端点 图3-24 (2);端点自由 力为力矩为0;0: 32dYxdYx()() (3.5.31) ==0;032dxdxxx==端点端点 图3-25 (3);端点简支(未夹死) 位移为力矩为0;0: 2dYx()== (3.5.32) Yx()0;02x=端点dxx=端点 图3-26 o5棒弯曲振动求解举例 一端自由，另一端嵌定的细棒自由弯曲振动: 图3-27 棒的弯曲振动波动方程: 24抖hh(,)(,)xtxt2=-a (3.5.33) 24抖tx EI2其中:a= Sr 边条件: dYx()===端嵌定 (3.5.34) xYx0:()0;0x=0dxx=0 32dYxdYx()() (3.5.35) ===端自由xL:0;032dxdxxLxL== 方程形式解: h(,)()()xtYxTt= www (3.5.36) =++{(())(())cos(())AchxBshxCxåwwwaaaw w+-Dxtsin(())}cos()wfwwa 代入边条件得:+=+=ACBD0;0wwww wwww (3.5.37) +++=AchLLBshLL{()cos()}{()sin()}0wwaaaa wwww-++=AshLLBchLL{()sin()}{()cos()}0wwaaaa AB,0不同时为的充要条件:ww wwww{()cos()}{()sin()}chLLshLL++aaaa=0 wwww{()sin()}{()cos()}shLLchLL-+aaaa (3.5.38) wwww222?=-{()cos()}{()sin()}chLLshLLaaaa 2222(sincos1;1)xxchxshx+=-= ww?-chLL()cos()1(这是超越方程，无解析解)aa 图3-28 若为方程的第个根，则，可得:bchxxncos1=-n bbbb====1.875;4.694;7.855;10.995;1234 (3.5.39) 1bp? nn(),(4)n2 b2 (3.5.40) w=a()L bbEI22nn (3.5.41) ()()\==wanLSLr w11.875EI21 (3.5.42) 基频:f==()122pprLS bbwEI22nnn (3.5.43) ()();w===afnn2LSLrp bf2nn() (3.5.44) \= f1b1 ìbbïff223232ï====()6.267;()17.548ïffï11bb11ïïï (3.5.45) í1ï()n-pïbbff222ïn42n4ï()34.387;()()====ïff111.875bbï11ïî 结论:细棒自由弯曲振动，泛音频率不是基频的谐音频率;基频与相邻泛音频率 间隔较大。 3-6 谐合平面波在流-弹界面上的反射和折射 [注1](1)波场位移势函数的方程和边条件: 图3-29 222抖jjj1 111 z?0(流体中位移势函数) +=2222抖xzct 1 222抖jjj 1222z?0(纵波，弹性体中位移标量势函数) +=2222抖xzct l 222抖yyy 1yyyz?0(横波，弹性体中位移矢量势函数的y方向分量) +=2222抖xzct t 界面处法向位移连续:||zz=zz==00弹流 界面处应力分量连续:|||;TTp==zzz===0010弹流zzzz TTTT|0|0====zz==00弹流弹流xzxzyzyz 入射角:入射波传播方向与界面法向的夹角;记: θi θ 反射角:反射波传播方向与界面法向的夹角;记: r折射角:折射波传播方向与界面法向的夹角;纵波折射角记: ql 横波折射角记: gt 图3-30 [1]:注若弹性体中的平面波场只与和坐标有关xz 其位移标量势函数:j(,,);xzt 代入纵波波动方程: c1arcsin()当，时，折射纵波和横波均是非均匀平面波，此时q?,发生全内反射;ict 即，反射波能量等于入射波能量～ (1)、 21(,,)?jxzt2 (3.6.1) ?=j(,,)0xzt22ct?l 222抖jjj(,,)(,,)1(,,)xztxztxzt (3.6.2) ?-=02222抖xzct l其位移矢量势函数:(,,)(,,)(,,)(,,);yyyyxztxztixztjxztk=++ (3.6.3) xyz 代入横波波动方程: (2) 21(,,)?yxzt (3.6.4) 汛汛y(,,)0xzt+=22ct?t ijk 抖 (,,)汛yxzt=抖xyz (3.6.5) (,,)(,,)(,,)yyyxztxztxztxyz 抖抖(,,){(,,)(,,)}(,,)=-+--yyyyxztixztxztjxztkyxzy抖抖zzxx \汛汛y(,,)xzt ijk (3.6.6) 抖 =抖xyz 抖抖---yyyy(,,){(,,)(,,)}(,,)xztxztxztxztyxzy抖抖zzxx \汛汛y(,,)xzt ijk 抖 =抖xyz 抖抖--yyyy(,,){(,,)(,,)}(,,)xztxztxztxztyxzy抖抖zzxx 22抖抖 =---++{(,,)(,,)}{}(,,)yyyxztxztixztjxzy22抖抖zzxxz (3.6.7) 抖 +-{(,,)(,,)}yyxztxztkxz抖xzx 代入横波波动方程: 2?1 (3.6.8) 汛汛yyxztxzt+=(,,)(,,)022ct?l 得: 2抖抖1 (3.6.9) --+=yyyxztxztxzt{(,,)(,,)}(,,)0xzx22抖抖zzxctl 2抖抖1 (3.6.10) yyyxztxztxzt-+={(,,)(,,)}(,,)0xzz22抖抖xzxctl 222抖 1 (3.6.11) -++=yyxztxzt{}(,,)(,,)0yy2222抖xzct l 在本问题中只考虑了;而忽略了和,yyy(,,)(,,)(,,)xztxztxztyxz 分析: 位移sxztxzt=?jy(,,)(,,)汛 ijk (,,)(,,)抖抖jjxztxzt =++ik抖抖xzxyz (,,)(,,)(,,)yyyxztxztxztxyz ì抖ïï{(,,)(,,)}jyxztxzti-yïï抖xzïïï抖ï (3.6.12) =-{(,,)(,,)};yyxztxztjíxzï抖zxïïï抖ï{(,,)(,,)}jyxztxztk+ïyï抖zxïî ì抖ïïxjy=-(,,)(,,)xztxztyïï抖xzïïï抖ï (3.6.13) \=-hyy(,,)(,,)xztxztíxzï抖zxïïï抖ïzjy=+(,,)(,,)xztxztïyï抖zxïî 对于本问题，质点只在平面运动，无方向位移只须分析和oxzyxztxzt--hx(,,);(,,) zy(,,)xzt，亦即只须分析y (2)方程的形式解: (3.6.14) 流体中波场:jjj(,,)(,,)(,,)xztxztxzt=+111ir jtkxkz(sincos)wqq-+11ii (3.6.15) 入射波:此为已知波场j(,,)()xztAe=1i jtkxkz(sincos)wqq--11rr (3.6.16) 反射波:j(,,)xztRAe=1r w 式中:，平面波位移势函数在界面的反射系数。Rk=1c1 jtkxkz(sincos)wqq-+llll (3.6.17) 弹性体中折射纵波:j(,,)xztWAe=2 jtkxkz(sincos)wgg-+tttt弹性体中折射横波:y(,,)xztPAe= (3.6.18) y w式中:，平面波位移势函数在界面的纵波折射系数。Wk=lcl wPk，平面波位移势函数在界面的横波折射系数。=tct确定式中的，、、、、、与入射波及介质参数的关系。qqgRWPrlt 根据什么,——边界条件～～ ()界面法向位移连续条件:1 流体中界面法向位移: ?j(,,)xzt1z(,,)xzt=流 (3.6.19) ?z jtkxkzwqq-+jtkxkzwqq--(sincos)(sincos)11ii11rr=-jkAeA{cosRecos}qqir1 弹性体中界面法向位移: ??j(,,)xzt2zy(,,)(,,)xztxzt=+y弹 (3.6.20) 抖zx wqqwgg-+-+jtkxkzjtkxkz(sincos)(sincos)lllltttt=-WAjkePAjkecossinqglltt zz(,,)(,,);xztxzt=得方程: 弹流zz==00 ---jkxjkxjkxsinsinsinqgq-jkxsinqlltti11rWkePkekecossin{cosRecos}qgqq-=- (3.6.21) llttir1 应力分量与位移势函数关系分析: TxztTxzt(,,)()2;(,,)=+++=leeememe (3.6.22) zzxxyyzzzzxzxz 2222?y(,,)xzt抖jjj(,,)(,,)(,,)xztxztxzt y\=+++-Txzt(,,)(2){}2{}lmm zz222抖抖xzxzx 222?y(,,)xzt抖jj(,,)(,,)xztxzty2=+-rr2{}c (3.6.23) t22抖抖txzx 222抖yy(,,)(,,)xztxzt?j(,,)xztyyTxzt(,,){2}=-+m (3.6.24) xz22抖抖xzxz 2?jm(,,)xzt22((2)利用了纵波波动方程关系;和关系。又若上式lmjr+?=ct2?tr用在流体中，应有:m=0) ()界面法向应力分量连续条件2: 流体中界面法向应力: 2?j(,,)xzt Txzt(,,)=rzz12流z=0?tz=0 jtkx(sin)wq-jtkx(sin)wq-21i1r (3.6.25) =-+rw{Re}AeA1 弹性体中界面法向应力: 222?y(,,)xzt抖jj(,,)(,,)xztxzty222 Txztc(,,)2{}=+-rrzzt2222弹=z0抖抖txzx=z0 jtkxjtkxjtkx(sin)(sin)(sin)wqwgwq---22222llttll=-++WAecPAkeWAkerwrggq2{cossinsin22ttttll (3.6.26) TxztTxzt(,,)(,,);= (3.6.27) zzzz弹流==00zz 得方程: ---jkxjkxjkxsin)sin)sinqgq22222llttll-++WecPkeWkerwrggq2{cossinsin}22ttttll (3.6.28) -jkxsin)q-jkxsin)q211ir=-+rw{Re}e1 ()界面切向应力分量连续条件3: Txzt(,,)0= (3.6.29) xz流z=0 \弹性体中界面处切向应力为0: 222抖yy(,,)(,,)xztxzt?j(,,)xztyy2Txzt(,,){2}0=-+=m (3.6.30) zz22弹z=0抖抖xzxz=z0得方程(3.6.30): ---jkxjkxjkxsinsinsinggq2222ttttll--+=PkeeWke()sincos2sincos0ggqq (3.6.31) tttlll 若方程(3.6.21)，(3.6.28)，(3.6.31)对任何x成立;必有: (3.6.32) kkkksinsinsinsinqqqg===11irlltt (3.6.33) ～～得()反射定律:1qq=ri ～～得()折射定律:2 (3.6.34) kkksinsinsinqgq==lltti1 qgqsinsinsinlti?= (3.6.35) ccclt1利用反射定律和折射定律，得: 方程化简为:(3.6.21) (3.6.36) WkPkkRcossincos{1}qgq-=-lltti1 方程化简为:(3.6.28) 222222 (3.6.37) -++=-+WcPkWkRrwrggqrw2{cossinsin}{1}ttttll221 方程(3.6.31)化简为: 2222 (3.6.38) --+=PkWk()sincos2sincos0ggqqtttlll 此三个方程联立，可解出，和:PWR ìWkPkkRcossincos{1}qgq-=-ïlltti1ïï222222ï-++=-+WcPkWkRrwrggqrw2{cossinsin}{1} (3.6.39) í221ttttllïï2222ï--+=PkWk()sincos2sincos0ggqqtttlllïî 2sin2Zgrtt1P=-; (3.6.40) 22rggZZZcos2sin2++21ttt 2cos2Zgr1t1W=; (3.6.41) 22rggZZZcos2sin2++211tt 22ZZZcos2sin2gg+-ttt1 (3.6.42) R=;22ZZZcos2sin2gg++ttt1 rrccrc22lt11;;式中:ZZZ=== 1tcoscoscosqgqlti 分析:()利用反射定律和折射定律，得:1 垂直入射时();有:，，，得:qqqg====0000irlt 2sin2Zgrtt1 (3.6.43) P=-=0;22rggZZZcos2sin2++21ttt 2cos22Zcgrrrr2Z12tl1111 (3.6.44) W===;22rggrrrrZZZZZcccos2sin2++++211212211ttl 22ZZZcccos2sin2ggrr+--ZZ-tttl12111 (3.6.45) R===;22ZZZZZcccos2sin2ggrr++++tttl11211 rrccrc22lt11;; (3.6.46) ZZZ===1tcoscoscosqgqlti 结论:平面波在液弹性界面垂直入射时，弹性体中无横波;界面的入射波、/ 反射波和折射纵波关系与流体界面类似。 ()利用反射系数和折射系数公式，得:2 p 横波折射角，时，得:g=t4 2sin22ZZgrrttt11 P=-=-22rggrZZZZZcos2sin2+++212tttt c4cos(arcsin()rc)2t2crt1 (3.6.47) ;=-cr22cos(arcsin())2rrcc+211t2ct 2cos2Zgr1t1W==0; (3.6.48) 22rggZZZcos2sin2++211tt 22ZZZZZcos2sin2gg+--tttt1 R==22ZZZZZcos2sin2gg+++tttt1 c2cos(arcsin())2rrcc-211t2ct (3.6.49) ;=c2cos(arcsin())2rrcc+211t2ct rrccrc22lt11;;ZZZ=== (3.6.50) 1tcoscoscosqgqlti 结论: c /arcsin()平面波入射在液弹性界面时，入射角时，弹性体中无纵波;q=i2ct只有横波。 ()利用反射定律和折射定律，讨论折射波出现非均匀平面波条件3 以及发生全内反射条件: accc)时;有:;>>>>qqg1ltilt \折射纵波和折射横波都不会出现非均匀平面波。 bccc)时;有:;>>>>qqgltlit1 c1,arcsin() \ 折射横波不会出现非均匀平面波;但当时，折射纵波是非qicl均匀平面波。 cccc)时;有:;>>>>qgqltlti1 cc11arcsin()arcsin()\<> qq时，折射纵波和横波均是正常平面波;但，当iicclt c1arcsin(); 时，折射纵波是非均匀平面波而折射横波是正常平面波。cl c1arcsin()当，时，折射纵波和横波均是非均匀平面波，此时q?,发生全内反射;ict 即，反射波能量等于入射波能量～ 结论: c平面波入射在液弹性界面，当入射角时，发生全内反射;此时弹q? /arcsin()ict性体中纵波和横波均为非均匀波。