相似三角形经典例题12
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如何应用相似三角形证明比例式和乘积式
例1、?ABC中，在AC上截取AD，在CB延长线上截取BE，使AD=BE，求
A证:DFAC=BCFE ,,
D F
EKCB
分析:证明乘积式通常是将乘积式变形为比例式及DF:FE=BC:AC，再利用相似三角形或平行线的性质进行证明:
证明:过D点作DK?AB，交BC于K，
?DK?AB，?DF:FE=BK:BE
又?AD=BE，?DF:FE=BK:AD，而BK:AD=BC:AC
即DF:FE= BC:AC，?DFAC=BCFE ,,
0例2:已知:如图，在?ABC中，?BAC=90，M是BC的中点，DM?BC于点E，交BA的延长线于点D。
2AEME2,求证:(1)MA=MDME;(2) ,2MDAD
0证明:(1)??BAC=90，M是BC的中点，
?MA=MC，?1=?C，
?DM?BC，
0??C=?D=90-?B，
??1=?D，
??2=?2，
??MAE??MDA，
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MAME?， ,MDMA
2?MA=MDME， ,
(2)??MAE??MDA，
AEMAAEME?， ,,ADMDADMA
2AEMAMEME,,,? 2MDMAMDAD
评注:(1)通过一对相似三角形来证明比例线段，是证比例线段的一种基本方法。本例第(1)
2小题证明MA=MDME，经常可以把其中的MA看作一对相似三角形的公共边，再去寻觅与确定需证相,
似的三角形。
(2)本例的关键是证明?MAE??MDA，这种具有特殊关系(有一个公共角和一条公共边)的三角形的相似，在解题中应用很多，应从下面两个方面深刻理解:
2命题1 如图，如果?1=?2，那么?ABD??ACB，AB=ADAC。 ,
2命题2 如图，如果AB=ADAC，那么?ABD??ACB，?1=?2。 ,
例3:如图?ABC中，AD为中线，CF为任一直线，CF交AD于E，交AB于F，求证:AE:ED=2AF:
FB。
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分析:图中没有现成的相似形，也不能直接得到任何比例式，于是可以考虑作平行线构造相似形。怎样作,观察要证明的结论，紧紧扣住结论中“AE:ED”的特征，作DG?BA交CF于G，得?AEF?
AEAFAE2AFAF1?DEG，。与结论相比较，显然问题转化为证。 ,,,DG,FB1DEDGEDFB2BF2
证明:过D点作DG?AB交FC于G
则?AEF??DEG。(平行于三角形一边的直线截其它两边或两边的延长线所得三角形与原三
角形相似)
AEAF, (1) DEDG
?D为BC的中点，且DG?BF
?G为FC的中点
1则DG为?CBF的中位线， (2) DG,BF2
将(2)代入(1)得:
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AEAF2AF ,,1DEFBBF2
评注:(1)为了得到比例式，通常用过一点作某一直线的平行线的方法，在作平行线时必须注意紧
扣与结论有关的线段。
(2)在探索证题思路的过程中，我们可以采取“做做比比，比比做做”的方法，即构造相似形，写出比例式时要始终注意待证结论中的有关线段，并及时与待证结论中的有关线段进行比较，以便确定下一步需要解决什么问题。
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