赣州市2009年暑假初中数学奥赛教练员
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专题D教程(林)方程、不等式、圆
赣州市初中数学奥赛培训专题D教程
主讲:林望春老师
课题一:不等式与不等式组
【知识概要】:
不等式是数学的主要内容~也是学习数学不可缺少的工具之一~且应用十分广泛(本课题主要介绍解不等式的一些方法与技巧~以及不等式的一些应用( 1、解不等式主要是根据不等式的性质与整式恒等变形的有关知识、方法与技巧( 不等式性质补充:,应用时~注意条件:,
,1, abbcac,,,,,.(传递性)
11(2)当 ababab、同号(即时,,,,0),.ab
nn,3,当 abbabab,,,,,,0,时,
nn同时有 abaan,,,(1.是大于的自然数)
22,4,当axaxaaxa,,,,,,,,0时,,
当a,0,时 xa,的解集是空集(
22同样当时,或;axaxaxaxa,,,,,,,,0
当a,0,时 xa,的解集是全体实数(
2、不等式的简单应用:代数式大小的比较、含字母系数方程的解的讨论、求代
数式的最值~以及应用题的求解等等(
【典型例题】:
21x,例1、解不等式: ,1.x,1
思路点拨:解分式不等式时~一般化为整式不等式组。
214xx,,解法一:原不等式化为于是得到: ,,,10;0.即xx,,11
xx,,,,40,40,,,故原不等式的解集为: 解得或xx,,,14.xx,,,14.或或,,xx,,,,10;10;,,
x,4解法二:不等式的解,是由的符号确定的.为确定的xx,,14与xx,,14与,0x,1
符号,可令得;由的实数点,依次将数轴从xx,,,,1040,与xx,,,14与x,,14与
小到大分成了三部分,在每一部分均可确定每一个式子的符号;这种方法叫着“零点区间讨
- 1 -
论法”;
如图,在数轴上标出点A、B,将数轴分成了三部分MA,AB,AN:若从左至右,取第
x,4x,4一部分(MA)和第三部分(BN),有符号为正;若取第二部分(AB),有符号
x,1x,1
为正;故原不等式的解集取第一部分或第三部分,即为 xx,,,14.或
点评:这种“零点区间法”用于解不等式或确BAx定某种数式的符号~不仅简单实用~而且直MN -1 0 1 2 3 4 观形象,特别适用于解多因式的不等式.
2例2、解不等式 (1)(2)<0.xx,,
;先求解:原不等式变形为(2)(1)(1)<0xxx,,,
出各因式的零点,依次得如图将xxx,,,,,2,1,1;
这些零点依次标在数轴上,将数轴分成了四部分,从左到右取第一部分(MA)和第三部分(BC),其积为负;因而原不等式的解集是:(此(2)(1)(1)xxx,,,xx<21,,,或-1法也称作“数轴标根法”.
2例3、解关于未知数x的不等式 ()<2(2).axax,,
2解:原不等式变形为这是一个关于x的含字母系数的一元一次不等(2)<(4);axa,,,
式(
现对未知数x的系数(a-2)进行分类讨论:
(1)当,即时,不等式的解集为 (2)>0a,xa<(2);,a>2
(1)当,即时,不等式为其解集为空集; (2)=0a,0<0,xa=2
(1)当,即时,不等式的解集为( (2)<0a,xa>(2),a<2
例4、解绝对值不等式:(上海市竞赛题) xx,,,,5231.
思路点拨:解绝对值不等式的关键~是去掉绝对值符号,一般是根据绝对值的定义~分情况讨论。
33解:令,可以得以将实数数轴23050xx,,,,与xx,,,或,5x,,或为界,522分成三个区间,依次对原不等式讨论——去掉绝对值符号,得到下列三个不等式组:
33,,x,,,,,,x5,,,(?) (?) 22,,
,,,,,,,(5)(23)1;xx,,,,,(5)(23)1;xx,,
x,5,,(?) ,(5)(23)1;xx,,,,,
- 2 -
1;解(?)得;解(?)得 ( 解(?)得x<7,x>5,x<53
1综合得到原不等式的解集为:或( x>x<7,3
332例5、是正数,比较与的大小。 3()aab,ab、ab,
思路点拨:比较两个代数式的大小~一般运用实数的基本性质~即,1, abab,,,;,2,(求出两个代数式的差~再与零比较~就能判断出大小了. abab,,,,0
233222 解、求差: 3()()3()()()aababaababaabb,,,,,,,,,
222222=== ()[3()]abaaabb,,,,()(2)abaabb,,,()(2)abab,,
2?是正数,?只需对的符号进行分类讨论即可: (2)0;ab,,()ab,ab、
22233(1)当时,则,有; ()0,ab,,()(2)0abab,,,3()=()aabab,,ab=
22233(2)当时,则,有; ()0,ab,,()(2)0abab,,,3()>()aabab,,ab,
例6、为何值时,方程的解在2和10之间( a524xaaxx,,,,
24a,解、原方程变形为 当 (6)24.,,,axaax,,6时,6,a
24a,,2,,,24a,,6,a要使方程的解在2与10之间,应有 即解得210;,,,24a,6,a,,10;,6,a,46,,,a,16,综合得到:当时,原方程的解介于2和10之间( 4,,a16,aa,,6;或3,3,
【
试题
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冲浪】:
1、已知则代数式的值等于( B )( bac,,,0,bbacaab,,,,,,
A、 B、 C、 D、 cab,,.,,,abc.acb,,.abc,,.2、如果a,0,b,0,ab,,0,则下列各式中成立的是( D )( A、 B、 C、 D、abab,,,,,.,,,,,baab.,,,,,baba.
abba,,,,,.
3、若a,0,,,,10,b则下列各式中成立的是( C )(
2222A、 B、 C、 D、 aabab,,.abaab,,.ababa,,.ababa,,.
- 3 -
x,2xx,,21 (2) 4、解不等式(组):(1),0;2113;,,,,21x,32
22) (2) 5、解不等式(组):(1xx,,,12.(6)(42)0.xxxx,,,,,
11,,226、(1)比较两个代数式的大小:; (1)(1)(1)xxxxxx,,,,,,和,,22,,
xx12 (2)若比较分式的大小( ,,,,11,xx与1211,,xx12
7、求的值,使下列方程的解符合要求: m
41x,(1)的解为负; (2)的解x不大于 -1 ( (1)(2)1)()xxxxm,,,,,(,,m3x,1
1参考
答案
八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案
:1、B; 2、D; 3、C; 4、,1, (2) 5、(1),,,,255;x,,,2;x2
31原不等式的解集为:((2) xxx,,,,,5,32,6或-或,,,x;22
111,,22)6、(1 (1)(1)(1)0;xxxxxx,,,,,,,,-结论显然(,,222,,
xx1112(2);=1-;,1-1111,,,,xxxx1122
xxxx()()11,,,111212 -=-,111111,,,,,,,xxxxxx()()122112
()xx,12,,??且;) ,,,,11,xx()xx,,0()()10,10;,,,,xx,,0121212()()11,,,xx12
xx12?(7、,1,(2) ,,,,21;m01.,,m11,,xx12
课题二:一元二次不等式 【知识概要】:
22对于一元二次不等式, axbxcaxbxca,,,,,,,00(0)或其中假定可利用二次函数的图像与一元二次方程的根来求解,能因式分解时也可转化为
解一元一次不等式组再求解.
fxfx()()(()()其中、都是整式)fxgx对于分式不等式,可化为,,00,或gxgx()()
fxgx()(0,,)或)fxgx()(0,,求解,也可转化为不等式组来求解.
- 4 -
12
10
8【典型例题】: y62例1、解不等式: xx,,,340.
4思路点拨:左边是可因式分解的二次三项式~得到一元二次方程 的两个实数根~结合二次函数的图像直观的得出原不等式的解集,
2也可分解因式之后转化为不等式组去求解. 2-3,x-4f,,x = xx解一:原不等式转化为 ? 一元二次方程 (1)(4)0.xx,,,-1O4-15-10-551015
2的两根是;?结合一元二次函数 xx,,,1,4xx,,,340-212
2-4的图像得到原不等式的解集为( yxx,,,34,,,14x
-6它等价于下列 解二:原不等式转化为(1)(4)0.xx,,,
不等式组(1)、(2): -8xx,,,,40,40,,,;解不等式组(1)是空集,解不等式组(2)得:......(1)......(2)或,,-10xx,,,,10;10;,,
; ,,,14x
所以原不等式的解集为( ,,,14x
点评:利用一元二次函数图像解一元二次不等式,即图像法,较为直观简便,若采用转化为不等式组的方法来解~特别要注意转化的等价性(
22例2、已知有两个不相等的实数根;有两个相等xaxb+(6)60,,,,xaxb,,,,30
2的实数根;没有实数根;则的取值范围是( )((江苏xaxb+(4)50,,,,ab、
省竞赛题)
A、 B、 C、 D、24,25.,,,,ab14,25.,,,,ab14,15.,,,,ab
24,15.,,,,ab
思路点拨:由根的判别式得到一个含有等式、不等式组成的混合组,求解过程中的等量代换以及代入消元法是关键~转化成不等式求解(
22,,ab,,,4(3)0,ab,,,4120,
,,22解:由题意得到 即 把(2)代入(1)aab,,,,12124;(6)4(6)0;,,,,aa,,
,,22aab,,,,8440.(4)(5)0.,,,,ab,,
和(3)分别得到两个关于未知数a的一元一次不等式,解出得且;即组合为a,2a,4
24;,,a
2由,得到,所以 故应选择A( ,,,,41212baa,,,,,2048b25.,,b
2例3、解关于x的不等式: axax,,,,(1)10.
- 5 -
思路点拨:二次项系数为字母系数~要注意讨论,在二次三项式可分解是要尽力分解~减
少计算繁琐:
,原不等式变为:,则解集为 解:(1)当x,1;a=0,,,x10
1(2)当时,原不等式可化为; a,0(1)(1)0;()(1)0axxaxx,,,,,,即a
11若,就有,原不等式的解集为; a,101,,,,x1aa
11若,则有,原不等式的解集为; 01,,a01,,1,,xaa
若,原不等式解集为空集; a,1
11若,则有,原不等式的解集为( a,0,,01xx,,或1aa
1点评: 对于不等式的字母系数~假设为a~要格外关注符号的正负性~ a与a
1以及与0、1之间的大小关系( a、a
2222例4、已知实数满足且求t的取值范围((全国竞赛aabb,,,1,ab、tabab,,,(题)
思路点拨:由于两个等式可以求出的表达式~这样考虑从配方法入手~也应该思abab,,
考用根与系数关系构造方程去探索,这样就开阔了思维的空间.
2222解:将两式的左右相加,得出故21,abt,,aabb,,,1,ababt,,,
1,t ab,,2
t,3t,3222再由因而 到, t,,3,()ab,,,()()10,abaabbabab,,,,,,,,,22
tt,,312于是实数是关于x的方程为两根,所以??0;也即:ab、xx,,,022
tt,,3111,解得;即综合得到t的取值范围为. ,,,40t,,,,,,3t3223
例5、已知实数满足.(全国竞赛题) abc、、,abcabc,,,,2,4
(1) 求中最大者的最小值; abc、、
(2) 的最小值. abc++
思路点拨:已知实数这是一个极好利用的条件:不妨假定实数中a最大~abc、、,abc、、
4就能计算出,去构造以为实数根的一元二次方程~通过??0bc、bcabc,,,,2,a
- 6 -
来探求参数a的取值范围~并逐次解答(
中a最大,则 解:(1)不妨假定实数abaca,,,,,0;且abc、、
4?;?; abcabc,,,,2,4bcabc,,,,2,a
42?以为实数根的一元二次方程是, bc、xax,,,,(2)0a
42因此?=?0; (2)4,,,aa
322不等式两边同乘以a,即得到 aaaaa,,,,,,,44160,(4)(4)0;也即
解得 a,4(
当时,满足条件,故中最大者的最小值是4; abc,,,,4,1abc、、abc、、
(2)根据已知条件,只能一正两负;设则有 abc,,,0,0,0,abc、、
,由(1)知道,故 abcabca++,,,,,22226;a,,a,4
当时,满足条件,且使得中的等号abc,,,,4,1abca++,,,226abc、、
成立;
故的最小值是6. abc++
点评:本题成功的使用了构造法~解题者能成为一个好的:建筑师::一方面应当运用手头已有的:建筑材料:――即充分运用已知的条件信息,另一方面~也要向着自己要构建的:建筑物:方向努力――即不要忘记了数学命题需要符合条件的任务与要求(其实质就是构建一座从已知到达未知的:桥梁:(
例6、设m,n为正整数,且m ?2,如果对于一切实数t ,二次函数
2的图像与x轴的交点间的距离不小于,求m,n的值((20072tn,yxmtxmt,,,,(3)3
年全国联赛题)
思路点拨:从??0入手~发现?是一个完全平方式~则表明对应的一元二次方程的解可以求出并加以表达,利用函数图像与x轴交点的横坐标之差的绝对值不小于2tn,~可建立不等式~从不等式的解集对于任意的实数t均成立的特征~利用判别式法求出正整数m~n的值.
2解: 二次函数所对应的二次方程 (在m ?2,对于一切实数txmtxmt,,,,(3)30
时),
22其根的判别式?=;所以??0( (3)43(3),,,,,mtmtmt是一个完全平方式
因而与x轴交点的横坐标xxmt,,,3,;故二次函数图像与x轴的交点间距离为12
- 7 -
, mt,3
22由题设得?,也即mt,32tn,,(3)(2)mttn,,,
222, (4)(64)90mtmntn,,,,,,
2此不等式在m ?2,即时,对于一切实数t恒成立,则有:(4)0m,,
2m,2,,m,,40,m,2,,,, 即 得 且m,n为正整,,,2222mn,6;(6)0;mn,,,,,,,,,(64)4(4)(9)0;mnmn,,,,
数;
mnmn,,,,32;6,1,或(?符合条件的正整数m、n是:
点评:本题在求二次函数图像与x轴交点间距离时~也可由
2 xxxx,,,()2121
bc2~结合韦达定理,得到: ,,,,()4xxxx();xxxx,,,,,12122112aa
222bcbcbacbac444,,,22(,在bac,,40xx,,,,,,,,,()42122aaaaaaa
时~也叫着抛物线的交点弦公式,
【试题冲浪】:
1、如果那么成立的不等式是( ). ab,,0,
11aaA、 B、 C、 D、 ,1.,1.ab,1.,.bbab
2、若则方程的解集是 .(武汉市竞赛题) ab,,0,0,xaxbab,,,,,
90,xa,,,3、如果不等式组的整数解仅为1,2,3,那么适合这个不等式组的的有序数对 ab,,80xb,,,
(a、b)共有( ).(全国初中数学竞赛题)
A、 B、 C、 D、 64.个72.个17.个81.个
24、若关于的方程有两个正数根,则得取值范围xxmxm,,,,,(2)50m是 (
225、均为非零负实数,且已知,求证: xyz、、xyzxyzxyz,,,,,x,3.
226、已知求的最小值((2004年全国联赛abcbacbac,,,,,,0,0,0,42,且bac,4题)
- 8 -
222的一元二次方程无相异两实根,则满7、已知关于xxabxab,,,,,,,2(23)4990
足条件的有序正整数组(a、b)有多少组,(2006年全国联赛题)
参考答案:1、D; 2、; 3、C; 4、 5、由已知得,,,,54;mbxa,,
3, yzxyzxxx,,,,,
2232且;建立以为实数根的一元二次方程得:;其根的判yz、yzx,TxxTx,,,,()0
2222222别式为?=,为非零负实数,满足??0的条件xxxxxx(1)4(1)(3)0,,,,,,x22为 6、7、两题请查阅《教程解题手册》( x,,30;即x,3.
课题三:一元二次方程根判别式与根的分布
【知识概要】:
2一、一元二次方程根的判别式:对于一元二次方程~axbxca,,,,0(0)
2其根的判别式为~是方程的两个根~则 xx,,,,bac412
2,,,bbac4方程有两个不相等的实数根: ,,,0x,;,122a
b方程有两个相等的实数根: xx,,,;,,,0122a
方程没有实数根. ,,,0
2二、设一元二次方程~若有~则方程必有的两个axbxca,,,,0(0),,0
bc根~且满足,韦达定理, xx,xxxx,,,,,,;121212aa
b,且两根为负,0,;,c,a由此得:当时~若两根同号 ,,0,,0,ab,且两根为正(,0,,a,
b,且负根的绝对值较大,0,;,c,a若两根异号 ,0,,ab,且正根的绝对值较大(,0,,a,
三、其它
21、当时~方程必有实数根, axbxca,,,,0(0)ac,0
22、若则方程必有一根x,1;同理若axbxca,,,,0(0)abc,,,0,
- 9 -
abc,,,0,
2则方程必有一根 x,,1;axbxca,,,,0(0)
【典型例题】:
242例1、若方程的两根为也是的根,则 ( ,,、xpxq,,,0pq,,xx,,,310
思路点拨:由原方程可以判断两根的情况~利用与的数值~熟悉针对于 ,,、,,+,,,223344、、及等的恒等变形~间接地求出( ,,+,,+,,+,,,pq、
2解:由原方程知,所以是两个不相等的实数根,即,,、,,,,,,,,(3)41150
;且依据韦达定理得:;变形得:,,,,,,,+,,3,1
2224244;对于方程依根据根的定义,,,,,,+,,,,,()27,xpxq,,,0,,+,47
4242得: ,,,,,pq0(1),,,,,,pq0(2);
222222变形(1)-(2)得:~其中因而 (,,,,,,,,)()0p(,,,,)0,p,7;
4422(1)+(2)得:,求的,从而pq,,8( q,1(,,,,,,,,,)()20pq
22例2、为给定的有理数,为何值时,方程的根总mxmxmmk,,,,,,4(1)3240k
是有理数根,
22解:对于原方程来说,其根的判别式: xmxmmk,,,,,,4(1)3240
22,,,,,,[4(1)]4(324)mmmk 22 2644),,,,(mmk
2要使为完全平方数,故此二次三项式的判别式?′=0,即得到: (mmk,,,644)
52, ,,,,,,,,?,,(6)4(4)20160, ;kkk4
5当时,原方程的根式有理数根( k,,4
2点评:对于二次方程~要使方程有abc、、为有理数时,axbxca,,,,0(0)
,,,有理数根~则应使是完全平方数~即所得的的二次三项式的判别式′=0
即可(
2xa,例3、已知方程(其中为实数)有两个绝对值相等但符号相反的实数根,,xab、xb,
求的取值范围( ab、
思路点拨:这是一个可化为一元二次方程的分式方程~需注意转化的的条件,依据根与系
- 10 -
数的关系来对特殊实数根作出条件限制~从而寻求答案(
2xa,2的两个实数根为,由题意有:; 解:设方程xx,xxxxx,,,,,0,,x1212120xb,
2原方程可化为: xbxaxb,,,,,,(2)0, (0)
2由韦达定理:; xxbxxax,,,,,,,,,,(2)0,12120
2? bbaxa,,,,,202; ,0;,即则0
又? xbbxa,,,,,0,2; 24;则,即有
?的取值范围是 aab,,,0,4,2.且ab、
近几年,国内外数学竞赛常常出现“含有参数的且研究根的性质的一元二次方程的问
题”,如:奇偶根、素数根、整数根、公共根等的判断以及根的大小比较等.解决这类问题需
要较强的综合分析问题的能力.
2例4、求满足下列条件的所有的值:使得关于方程的xkxkxk,,,,,(1)(1)0k
根都是整数.(江苏省竞赛题)
思路点拨:方程的二次项含有参数,要注意分类讨论; k
解:当时,所给的方程为一次方程 xx,,,10,1有整数根;k,0
当时,所给的方程为二次方程,设其两个整数根为 xx,;k,012
k,11,xx,,,,,,1,(1)12,,kk则有: 由(1)-(2)得: ()2,xxxx,,,,,,1212k,11,xx,,,1;(2)12,kk,
xxxx,,,,,,,,,,11,11,13,13,,,,,1111;?均得()xx,,,,,1)(1313,,,,12xxxx,,,,,,,,,,13;13;11;11;2222,,,,
可.
11? 代入 xxxx,,,,,62,或;,,,,,,,1612; ,或1212kk
122 又? ,,,,,,,,,(1)4(1)3610;kkkkk ,1;解得或kk,,,7
1当时,都有. kk,,,,1和,,07
1综上所说:满足要求的的值有, k,0kkk,,,,1.或7
点评:本题从韦达定理入手~寻求参数间的关系~或者确定参数范围~再根
据不定方程的整数解~求出所有的参数值(
223例5、求使得关于x方程有整数根的所有整数a. (1)(1)(26)0axaxa,,,,,,
- 11 -
,要注意分类讨论,本题依然从韦达定理入手~寻求参思路点拨:方程的二次项含有参数k
数间的关系~所采用的方法是紧扣整数根与整数参数这两个条件,包含运用数的整除的xa
知识.
解: 当时,所给的方程为一次方程 ,,,,,280,4xx此时,有整数根;a,,1
2a,12当时,设方程其两个整数根为 则 xx,;a,,1xxa,,,,,11212aa,,11
22思考也要是整数,从数的整除性出发, 得 a,,,0,1,2,3时是整数,, a,a,12
以下分别检验: 则也是整数xx,;12
2当时,原方程为 xxxx,,,,,60,2解得有整数根,=3;a,012
2当时,原方程为 2240,12xxxx,,,,,解得有整数根,=;a,112
2当时,原方程为 a,,2,,,,xx5220,方程没有实数根;
2当时,原方程为 a,,3,,,,210600,xx方程没有实数根;
综合得到: 时,方程有整数根 当,,a,,101x,,,,4,2312、,、(
2例6、方程有一根不小于 -1,另一根不大于1.(江苏省竞赛题) xmxm,,,,,(21)(6)0
(1) 求的取值范围; m
(2) 求方程两根平方和得最大值与最小值
22解: 其根的判别式:必有两个相异实数,,,,,,,,,(21)4(6)41)210,mmm(
根;
2(1)设二次函数,则有: yxmxm,,,,,(21)(6)
fm(1)0,4,,,,,,, ,,,,,42.m,,fm(1)0;2;,,,,
33222(2)设方程两个实数根为由韦达定理求得; xx,,xxm,,,,4()10121244
333222设立新函数,函数T的对称轴为 m,;xxTm,,,,,4()1012444
对于允许的取值范围而言,分跨其对称轴两侧, m,,,42m
计算T(4)101,,获得最大值,计算T(2)17,,获得最小值.
点评:方程与函数有着紧密的联系~函数与坐标轴的交点个数、位置常
与方程的解得个数、根的分布有着直观的呈现~从而建立不等式或新的参数
关系等式(应该在体验与思考中灵活运用(
- 12 -
【试题冲浪】:
21、?ABC的一边长为5,另外两边长恰是则的取值范围2120xxm,,,的两根;m
( 是
2222、已知均为整数,且满足,.则以为根的一abc,,abcb,,,abc,,,3abbc,,32
元二
次方程是( )(
222(A) (B) (C) xx,,,320xx,,,280xx,,,450
2 (D)xx,,,230
332223、方程的两根为,且,则有序实数组xx,xxxxxx,,,,,,xaxb,,,012121212
共 (,)ab
有 个.
24、已知实数、、z满足及,求的值( x,y,4x,2y,3zxyxy,z,4
25、试求出所有这样的正整数使得关于的二次方程至少axaxa,,,,,2(21)4(3)0ax
有一个整数根.
22的图像与x轴的两个交点是否都在直线x=1的右侧, 6、函数y=x+(2k-1)x+k
若是,请说明理由;若不一定是,请求出两个交点都在直线x=1的右侧时k的取值范围,
11 参考答案:,、;2、 ,,m182
5、 ,、解:以为根的二次方程x,y
22,5、 t,4t,z,4,0
22其中 ,,16,4(z,4),,4z,0
所以 ,代入求得 x,y,2z,0
则 x,2y,3z,6
6、解:不一定;例如:
当k=0时,函数的图像与x轴的交点为
(0,0) 和(1,0),不都在直线x=1的
右侧;
设函数与x轴的两个交点的横坐标为x,x,12
2 则x+x= -(2k-1),x?x=k1212
当且仅当满足如下条件:
?,0,
,()(),x-1,x-20 时, ,12
,()),x-1(x-2012,
- 13 -
抛物线与x轴的两交点都在直线x=1的右侧,
1,k,,224,(2k-1),4k,0,1,,-2k-1,0解之k,- 由,,2,,2k,2k,0,,或,k-2k0,
,,
?当k,-2时,抛物线与x轴的两个交点在直线x=1的右侧(
特殊方程的求解
【知识概要】:
一、解方程的基本思想:1、化无理方程为有理方程,2、化分式方程为整式方程,3、化高次方程为一次或二次方程,4、化多元方程为一元方程,总之~最后转化为一元一次或一元二次方程求解.
二、解方程的基本方法:
整式方程:一般采用消元,加减消元、代入消元、因式分解消元、换元消元等,、降次,换元降次、因式分解降次、辅助式降次等,等方法,
分式方程:一般采用去分母、换元法、重组法、两边夹等方法,
无理方程:一般采用两边乘方、根式定义或性质、换元、构造、三角函数等方法, 解各种类型方程在一般情况下~没有固定的模式~需要根据各题的自身的特点~灵活运用不同的方法完成解题任务,还需特别注意检验~以防增根和失根,在方程变形过程中~可能扩大或缩小了未知数原有的取值范围,(
【典型例题】
2例,、解关于x的方程: (2)(2)(2)0cabxabcxbca,,,,,,,,,
思路点拨:含字母系数的方程要逐项对字母系数进行讨论,
解:(1)当时, (2)(2)0cababc,,,,,,(即:)abc,,
2原方程变化为;所以此时方程的根x为任意实数; 0000xx,,,
(2)当时,原方程可化为(2)0(2)0cababc,,,,,,,且
(2)(2)0abcxbca,,,,,,,
bca,,2所以此时方程的根为; x,abc,,2
(3)当时,原方程是一元二次方程,但各项系数之和等于零,则必有一个(2)0cab,,,
bca,,2根为从而可求得另一根为((此时它的求解方法用韦达定理更简便) x,1;x,1cab,,2
2例2、解方程: (67)(34)(1)6.xxx,,,,
思路点拨:解高次整式方程~主要方法是通过因式分解或换元法来达到“降次”的目的.
2解:原方程等价于也可写成: (67)(68)(66)612.xxx,,,,,
22 (368449)(368448)72.xxxx,,,,,
2解法一:令,则tt(1)720,,,可解; txx,,3684
- 14 -
12解法二:设,则可得 yyy(1)(1)72,,,,yxxxx,,,,,,,,[(67)(68)(66)](67)3
2522还原得 解之得yy,,,98或;xx,,,,,.1233
432例3、解方程: 2316320.xxxx,,,,,
1122解:?可用去除方程的各项,得:整理为: x,0,2;xxx,,,,,,,3163202xx
11112222令得 2(23200;tt,,,xx,,,,,)3()160;txxt,,,,,,()2;则22xxxx
5解之得:代入还原得原方程的四个解:tt,,,4,;122
1 xxxx,,,,,,,,23,23;2,.12312
点评:此方程与首末两项等距离的项的系数相等~则称为“倒数方程”~此类方程有
1以下性质:1、倒数方程没有的根,2、若是方程的根~则也是方程的根, xm,x,0x,m
4322例4、解方程: xxaxabxaaa,,,,,,,,,,102(11)2(5)20.(9)其中为常数a,思路点拨:这是一个关于的四次方程且系数中含有字母~显然直接求解很困难,“反客为主”
将方程看成是以的为未知数,暂时作为参数,的二次方程~这样就会容易多了: ax
2222解:原方程等价于 axxaxxxx,,,,,,,,2(51)(6)(42)0.
22解之得:再以为未知数解得:axxaxx,,,,,6,42.xxaxa,,,,,,39,26. 1,23,4
例5、解绝对值方程:的实数解( xx,,,,1224
思路点拨:解绝对值方程~一般情况下是脱去绝对值~一般方法是:1、找零点,2、划区
ABx间,
M -1 0 1 2 3 N3、脱去绝对值,转化成为一般方程来求解.
解:令 xxxx,,,,,,,102012及得零点及,;
分三个区间: xxx,,,,,1, 22-1,;
求解:(1)当时, x,,1
(2)当时, ,,,12x
(3) 当时, x,2
综合得:原方程的实数解为:
2x例6、关于的方程仅有两个不同的实数根,则实数的取值范围是( )( xa,ax,1
(A) (B) (C) (D)(2006年全国初中数学竞赛a,0a,424,,a04,,a
题)
解:当时,方程没有实数解;当时,仅有一个实数解; a,0a,0x,0
2x,,a当时,原方程变为,整理为:a,0x,1
- 15 -
22 xaxaxaxa,,,,,,0(1),0(2).或
2?方程(2)的(已知的),?原方程一定有两个不同的实数根; ,,,aa+40a,02
2推断方程(1)必须没有实数根,要求,解得;故选择(D). ,,,aa-4004,,a1
【试题冲浪】
2,、求解方程所有根的和( xx,,,,2140
22n,2、满足的整数n的值是 ( ()nn,,,11
223、求的值,使得两个一元二次方程与有相同的根,并xxk,,,,(2)0xkx,,,10k
求解这两个方程的所有根(
2224、解方程 xxxxx,,,,,,,()()323322.
225(关于x,y的方程的整数解(x,y)的组数为( )( xxyy,,,229
(A)2组 (B)3组 (C)4组 (D)无穷多组 6、若关于x的方程xa,,,21有三个整数解,则a的值是多少,并求出这三个整数解.
参考答案:
1、分别求出适合原方程的的两个根得: 2、 n,,,2,1,0,2.xx,,,,16,3.12
,,,15153、当时,两方程相同,有两个相同的根当时,前k,1k,0xx,,,,;1222
,,一方程的根后一方程的两根为;公共根为 xx,,1,1;xx,,,2,1x,1.1212
224、令,则原方程变形为:,再利用因式分解,解yxx,,,()32xyy,,,()32xx,,,,,,13,22.得 1,23,4
225、解:可将原方程视为关于的二次方程,将其变形为( xyxy,,,,(229)0x
由于该方程有整数根,则判别式,?,且是完全平方数( 0
1162222由?,解得 ?(于是 y,,,,,,,yyy4(229)71160,16.577
20 1 4 9 16 y
116 109 88 53 4 ,
2,,4显然,只有时,是完全平方数,符合要求( y,16
- 16 -
2当时,原方程为,此时; y,4xx,,,,1,3xx,,,43012
2当y,,4时,原方程为,此时( xx,,1,3xx,,,43034
所以,原方程的整数解为
x,1,x,,1,x,,3,x,3,,,,,3124 【答】C( ,,,,y,4;y,4;y,,4.y,,4;,1,,234,
6、若原方程无解;所以;由定义可知,再分类讨论: a,0,xa,,,,21a,1
(1)若(2)若;综合对比知道: 此时原方程有a,1,时a,1,x,,4,0,201,,,a时
三个整数解(
和圆有关的问题
【知识概要】:
圆是平面几何的一个重要内容~圆和直线型图形可以组成一些多变的几何问题:如直线与圆的位置关系、多边形与圆的组合关系、圆与圆的组合关系等~其证明与计算的方法也是很灵活的~在许多的竞赛题中常见~通过例题来介绍一些技巧和方法(还有一些在圆中的专门定理~还需老师们今后去研究理解(
【典型例题】
例1、如图,?,的直径AB与弦PQ的延长线交于圆外一点M,且?AMP=20?,?PAQ=40?,
求?AQP的度数.P思路点拨:由于点P在圆上,联想直径考虑构造半圆上的
Q圆周角.
解:设?AQP=α,再不妨设?QPB=?QAB=x,利用代数方法MA较容易列出一系列等式,求解?AQP=35?. OB
RS例2、如图,ABCD是?,的内接正方形,PQRS是半圆的 DC内接正方形,那么SS:, ( 正方形正方形PQRSABCD
解:设正方形PQRS 的边长为a, ?,半径r,则
POQa422222222; OPPSOSarar,,,,,,,()25
42222B; SarSrr,,,,,A,(2)2正方形正方形PQRSABCD5
则( SS:2:5,正方形正方形PQRSABCD
- 17 -
例3、如图,在?ABC中,AD是?BAC的角平分线, 分别以BD、CD为半径作?B、?C,
A2两园与直线AD交于E、F,求证: ADAEAF,,
12AEAD2思路点拨:; ADAEAF,,,,FADAF
如何证明:?ADB??AFC, B
如何证明:?ABE??ACD, DC证明:
E
例4(如图所示,一个半径为的圆过一个半径为2的圆的圆心, 2? ? 则图中阴影部分的面积为 (
(第4题) 4、解:如图,两圆的公共弦恰为小圆的直径,故阴影部分面积为
半个小圆的面积减去大圆的一个弓形(所含圆心角为90º)的面积,
? ? 111222( ,,,,,,,(2)(22)2242
(第4题) 例5、?ABC中,AB,7,BC,8,CA,9,过?ABC的内切圆圆心I 作DE?BC,分别与AB、AC相交于点D,E,则DE的长为 。 A
解:如图,设?ABC的三边长为, abc,,
内切圆I的半径为r,BC边上的高为,则 ha
11h a, I ahSabcr,,,,()aABC,D E 22
r ra所以 , ,B C habc,,a(第9题答案图)
hr,DEa因为?ADE??ABC,所以它们对应线段成比例,因此 ,,hBCa
hr,raabc(),a所以DE, ,,,,,,aaa(1)(1)hhabcabc,,,,aa
8(79)16,,16A 故DE,( ,答, ,E 38796,,
O 【试题冲浪】
B 1. 如图,点A,B,C,D,E均在?O上,?A=30?,?O=48?, D C 则?E= ?.
1题
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1. 连结BO,则?BOC = 2?A =60?,
111??E=?BOD=(?BOC+?COD)= ×(60?+48?)=54?.
222
2( 如图,?O的直径AB与弦EF相交于点P,交角为45?,
22若=8,则AB=________( PE,PF
2(作E关于AB的对称点G,则PG=PE,PG?PE,
22222.但FG所对 PE,PF,PG,PF,FG,8,FG,22
的圆周角为45?,所以FG所对的圆心角为90?,圆的半径为2(
AD3(如图,在矩形ABCD中,AB,3,BC,2,以BC为直径在矩形内 作半圆,自点A作半圆的切线AE,则CBE,( D )( sin,
62110A.. B. . C. . D. . E33103
4、如图,AB是半圆O的直径,四边形CDMN和 BCDEFG都是正方形,其中C、D、E在AB上,F、N在
半圆上(若AB=10,则正方形CDMN的面积与正方形
DEFG的面积之和是( )
AB2550
DC30,,50,2,
4、解答:A
5、已知AB是半径为1的圆O的一条弦,且AB, a
,1,以AB为一边在圆O内作正?ABC,点D为圆O
AB,上不同于点A的一点,且DB,,DC的延长线 a
交圆O于点E,则AE的长为( )。 O
E C 53A、 B、1 C、 D、 aaD 22
5、解:如图,连接OE,OA,OB,设?D,,则 aA B
(第5题答案图) ?ECA,120?,,?EAC a
11又因为?ABO, ,,:,:,,:,ABDaa(601802)12022
所以 ?ACE??ABO,于是AE,OA,1(,答,B
BF6、如图,BC是半圆O的直径,EF?BC于点F,=5,又AB=8,AE=2,则AD的长为( B ). FCA
1,33DEA.1+ B. C. D. 1+ 3222
7(如图,O为圆心,若已知圆心角?AOC = x?,
BFC则?CBD为 ( C )(
- 19 -
11 (A)180?– x? (B)90?– x? (C) x? (D)90?– x? 22
解:同样构造一个动态的圆内接四边形MABC,显然
1x:( ?CBD=?M=,,AOC22
- 20 -