水力学试题与答案
水力学习题
(1)在水力学中，单位质量力是指( )
a、单位面积液体受到的质量力;b、单位体积液体受到的质量力;
c、单位质量液体受到的质量力;d、单位重量液体受到的质量力。
答案:c
(2)在平衡液体中，质量力与等压面(d )
a、重合; b、平行 c、相交; d、正交。
答案:d
2，则该点的相对压强为 (3)液体中某点的绝对压强为100kN/m
2222a、1 kN/m b、2 kN/m c、5 kN/m d、10 kN/m
答案:b
(4)水力学中的一维流动是指( )
a、恒定流动; b、均匀流动;
c、层流运动; d、运动要素只与一个坐标有关的流动。
答案:d
(5)有压管道的管径d与管流水力半径的比值d /R=( )
a、8; b、4; c、2; d、1。
答案:b
(6)已知液体流动的沿程水力摩擦系数,与边壁相对粗糙度和雷诺数Re都有关，即可以判断该液体流动属
于
a、层流区; b、紊流光滑区; c、紊流过渡粗糙区; d、紊流粗糙区
答案: c
(7)突然完全关闭管道末端的阀门，产生直接水击。已知水击波速c=1000m/s，水击压强水头H = 250m，则
管道中原来的流速v为 0
a、1.54m b 、2.0m c 、2.45m d、3.22m
答案:c
(8)在明渠中不可以发生的流动是( )
a、恒定均匀流; b、恒定非均匀流;
c、非恒定均匀流; d、非恒定非均匀流。
答案:c
(9)在缓坡明渠中不可以发生的流动是( )。
a、均匀缓流; b、均匀急流; c、非均匀缓流; d、非均匀急流。
答案:b-+
3(10)底宽b=1.5m的矩形明渠，通过的流量Q =1.5m/s，已知渠中某处水深h = 0.4m，则该处水流的流态为
H
设计
领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计
的水力学模型，长度比尺λL
和流量比尺为
a、 1米，λ =1000; b、10米，λ =100; QQ
c、1米，λ =100000; d、10米，λ=100000。 QQ
答案:d
2、判断题:(每小题2分)
(1)任意受压面上的平均压强等于该受压面形心处的压强。 ( )
答案:错误
(2)水流总是从压强大的地方向压强小的地方流动。 ( )
答案:错误
(3)水力粗糙管道是表示管道的边壁比较粗糙。 ( )
答案:错误
(4)粘滞性是液体产生水头损失的内因。 ( )
答案:正
(5)同样条件下直接水击比间接水击更不安全。 ( )
答案:正确
(6)在正坡非棱柱渠道内可以形成均匀流。 ( )
答案:错误
(7)矩形断面水力最佳断面的宽深比β=2。 ( )
答案:正确
(8)断面比能沿流程总是减小的。 ( )
答案:错误
(9)在流量和渠道断面形式一定的条件下，跃前水深越大，跃后 水深也越大。( )
答案:错误
(10)渗流达西定律适用的条件是恒定均匀层流渗流，并且无渗透变形。 ( )
答案:正确
3、填空题:(每小题2 , 4分)
(1) 牛顿内摩擦定律适用的条件是 和 。
答案:层流运动，牛顿液体
2(2) 液体中某点的绝对压强为100kN/m，则该点的相对压强为
2,,,,,,,,,,,,,kN/m，真空度为 。
答案:2， 不存在.
(3) 只受重力作用，静止液体中的等压面是,,,,,,,,,,,,,,,,。
答案:水平面。
(4) 实际液体在流动时产生水头损失的两个主要原因是,,,,,,,,,,,,,,,,，,,,,,,,,,,,,,,,,,,。
答案:液体存在粘滞性和边界的影响。
(5) 水流在明渠中的流态为缓流时，其水深h,,,, h，弗汝德数Fr,,,,,1。 k
(填写, 、, 、,符号)
答案:, ， , 。
(6) 在流量不变的条件下，水跃的跃前水深越小，则水跃的跃后水深越,,,,。
答案:大。
2
(7) 根据管道水头损失计算方法的不同，管道可以分为,,,,,,,和,,,,,,,,。
答案:短管，长管。
, 水击相长T的水击，称为,,,,,,,,,, 水击，把T, T的水击称为(8) 在水击计算中阀门关闭的时间Tsrs r
,,,,,,,,,,水击。
答案:直接， 间接。
(9) a型水面曲线是发生在,,,,,, 坡上的 ,,,,,,,,流(指急流或缓流)的水面线，这时弗汝德数Fr沿程 ,,,,,,2
(指增大、减小或不变)
答案:陡坡， 缓流， 减小。
(10) 溢流堰的过堰流量与堰顶水头的,,,,,,,, 次方成正比。
答案:3/2 。
(11) 泄水建筑物下游发生远驱水跃时，下游收缩断面水深h的共轭水深 c
’’h ,,,,,,,,h(h为下游河道的水深，填写, 、, 、,符号) ctt
答案:填写, 、, 、,符号
(12) 按重力相似准则设计的溢流坝水力模型，长度比尺λ=25，当模型中某点的流速为v = o.8m/s，则原型Lm
中对应点的流速为v=,,,,,,,,m/s 。 p
答案:4m/s 。
4、问答题:(每小题3 , 4分)
(1)什么是理想液体,为什么要引入理想液体的概念,
答案:理想液体是指没有粘滞性的液体。
实际液体都具有粘滞性，在液体流动时会引起能量损失，给
分析
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液体运动带来很大困难。为了简化液体运动的讨论，我们引入了理想液体的概念，忽略液体的粘滞性，分析其运动规律，然后再考虑粘滞性影响进行修正，可以得到实际水流的运动规律，用以解决实际工程问题。这是水力学重要的研究方法。
(2)“均匀流一定是恒定流”，这种说法是否正确,为什么,
答案:这种说法错误的。均匀是相对于空间分布而言，恒定是相对于时间而言。当流量不变通过一变直径管道时，虽然是恒定流，但它不是均匀流。
(3)简述尼古拉兹实验中沿程水力摩擦系数λ的变化规律。
答案:通过尼古拉兹实验可以发现:在层流中λ仅是雷诺数Re的函数并与Re成反比;在层流到紊流过渡区，
,λ仅是Re的函数;在紊流光滑区λ=f(Re); 过渡区λ=f(Re， );粗糙区λ=f( )，紊流粗糙区又称为阻123
,力平方区。 R
R(4)为什么舍齐公式 只适用于阻力平方区, v,CRi
答案:舍齐公式是根据明渠均匀流的大量观察
资料
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总结的公式，自然界中明渠水流几乎都处于紊流阻力平方区，因此该公式只适用于紊流阻力平方区。
(5)流动相似的含义是什么,
答案:流动相似包括几何相似、运动相似和动力相似。其中几何相似是前提，动力相似是保证，才能实现流动相似。
(6)从力学意义上解释明渠均匀流只能在正坡渠道中产生的原因。
答案:均匀流的断面平均流速水头和压强水头沿程不变，但水流运动总要消耗能量，因此从能量方程来分析，只能消耗位能来克服水流阻力。所以均匀流只能产生在正坡渠道中。
(7)分析水面曲线时，如何寻找急流和缓流的控制断面,
答案:急流的控制断面在上游，因为外界对急流的干扰不能向上游传播;缓流的控制断面在下游，其原因与急流正好相反。
(8)在渗流计算中达西定律与杜比公式有何区别,
答案:达西定律适用于任一点的渗流流速u=kJ，其适用于恒定均匀层流渗流;而杜比公式是适用于恒定非均匀渐变层流渗流，同一过水断面上各点的渗流流速都相等且等于v= kJ。
3
5、作图题:
(1) 定性绘出图示管道(短管)的总水头线和测压管水头线。 (5分)
v=0 0
总 水 头 线 测 压 管 水 头 线
v=0 0
解:
(2)定性绘出图示棱柱形明渠内的水面曲线，并注明曲线名称及
K
i i3K
流态。(各渠段均充分长，各段糙率相同)
(5分)
解:
缓流N缓流1a1bK1N1 4 急流bN23i iK3
6、计算题:
2。(1) 图示一跨河倒虹吸管，正方形断面面积为 A=0.64 m，长 l =50 m，两个 30折角、进口和出口的局
部水头损失系数分别为ζ=0.2，ζ=0.5，ζ=1.0，沿程水力摩擦系数λ=0.024，上下游水位差 H=3m。求231
通过的流量 Q ? ( 10分)
解: 按短管计算，取下游水面为基准面，对上下游渠道内的计算断面建立能量方程
2lvHh() (5,,,，,,w4R2g
分)
计算方形管道断面的水力半径和局部水头损失系数
AR,,0.2m , ,,0.2，2，0.5，1.0,1.9 ,,
将参数代入上式计算，可以求解得到
3 (5分) ？ v,4.16m/s , Q,vA,2.662m/s
3即倒虹吸管内通过的流量为2.662m/s 。
(2) 从水箱接一橡胶管道及喷嘴(如图)。橡胶管直径D=7.5cm，喷嘴出口直径d=2.0cm。水头H =5.5 m。
2由水箱至喷嘴的水头损失h= 0.5m。用压力表测得橡胶管与喷嘴接头处的压强p = 4.9N,cm。如用手握住喷嘴，w
需要多大的水平力R，行近流速v=0，取动能校正系数和动量校正系数均为1。 (15分) 0
解:以过喷嘴中心的水平面为基准面，列水箱渐变流断面1—1和喷嘴出口断面2—2的能量方程
5
2v2 (5分) H，，,，，，000005.2g
m求得喷嘴出口流速和流量为 vg,，,2599.2s
3m (1.5分) Q,vA,0.00031422s
橡胶管道内的流速为
Qm (1分) 0.706v,,3sA3
对于喷嘴建立x方向的动量方程
pA,R,,,Q(v,v)332x3x
N (6.5分) R,pA,,Q(v,v),187.793323
水流对喷嘴冲击力为 即为手握喷嘴所需之力。 (1分) RR,,,
(3) 有一梯形渠道，底宽 b =10 m，水深 h = 3 m，边坡为 1:1，糙率 n = 0.014，底坡i=0.001。如流动
(9分) 在紊流粗糙区 ，求通过的流量Q。
解:计算渠道断面水力要素，
22 过流断面面积 Abhmh,，,39m(1.5分)
2湿周 m (1.5分) x,b，21，mh,18.49
A水力半径 m (1分) R,,211.x
111 62 舍齐系数 (2分) C,R,80.90m/sn0.5 3通过的流量 Q = AC (Ri)= 144.93 m/s (3分)
3(4)某矩形断面渠道中筑有一溢流坝。已知渠宽B,18m，流量Q,265m/s，坝下收缩断面处水深h=1.1m，当坝c下游水深h=4.7m时，问: ( 12分) t
1)坝下游是否发生水跃, (4分)
2)如发生水跃，属于何种形式的水跃, (4分)
3) 是否需要修建消能工,若需要修建消能工，估算消力池深。 (4分)
解:1)计算临界水深h，判断收缩断面和下游水流流态， k
3 q = Q/B =265/18 =14.72 m/sm
6
22q14.72,33m h,,,2.81kg9.8
因为收缩断面水深 h =1.1 m , h 为急流，下游水深h=4.7m , h 为缓流， cktk
所以溢流坝下游必定发生水跃。
"2)计算收缩断面处水深h的共軛水深h cc
2hqc" (1，8,1)h,3c2ghc
21.114.72 ，(1，8，,1),,5.81m 329.8，1.1
"因为 h , h ，该水跃为远驱水跃。 ct
3)溢流坝下游发生远驱水跃，需要修建消力池。
估算消力池深d，取水跃淹没系数 ,,1.05 j "则池深约为 d = , h- h =1.05,5.81 – 4.7 = 1.40 m jct
水力学第1章 绪 论
【学 习 指 导】
1.1水力学课程的性质和任务
水力学是水利水电工程专业重要的技术基础课，它的任务是研究以水为代表的液体的平衡和机械运动的规律，并依据这些规律来解决工程中的实际问题。
1.2液体的基本特征
自然界物质有三种基本形态，即气体、液体和固体。液体是介于固体和气体之间的物质形态，存在与两者不同的特征。液体与固体相比具有流动性，与气体相比具有可压缩性，液体的基本特征为:液体是易流动 (易变形) 的、不易被压缩的、均匀各向同性的连续介质。
1.3连续介质的概念
连续介质是水力学研究中的基本概念。我们知道，物质是由分子构成的。在微观上，组成物体的分子都是离散的，其运动状态是随机过程。这给运用高等数学微积分来分析讨论液体的运动带来很大的困难，因为微积分运算的必要条件是满足连续性。另一方面，我们所研究的是由液体质点组成的液体的宏观运动。液体质点是由大量分子组成的在微观上充分大而宏观上是非常小的液体微团，它是组成质点的大量分子运动的平均，因而宏观运动是均匀而连续的。因此我们提出下列假设:即液体所占据的空间是由液体质点连续地无空隙地充满的，组成液体的质点运动的物理量是连续变化的连续函数。根据连续介质假设，液体运动就是连续介质的连续运动，可以运用微积分来分析液体运动和建立运动方程。
1.4液体的主要物理性质
(1)液体的惯性、质量和密度:
惯性是物体具有的保持它原有运动状态的物理特性，质量M是物体惯性大小的度量。当物体受其到力的作用而改变运动状态时，它反抗改变原来的运动状态而作用在其它物体上的反作用力称为惯性力，其表达式为:
7
,, (1—1) F,,Ma
3。液体的密度随温度和压强的改变而变化，密度ρ是单体体积液体具有的质量。国际单位制的质量单位为kg/m
3但这种变化很小。标准情况下水的密度为ρ=1000kg/m。
(2)万有引力和液体的重量 :
地球对物体的万有引力称为重力G，或称为物体的重量，重量与质量的关系 G=M g。
(3)液体的粘滞性和粘滞系数:
液体的粘滞性是本节重点，它是液体在流动中产生能量损失的主要原因，也是建立液体运动基本方程的重要内容。
在液体流动时，液体质点之间存在相对运动，这时质点之间会产生摩擦力反抗它们之间的相对运动，液体的这种性质称为粘滞性，质点之间的内摩擦力也称为粘滞力。相邻液层之间内摩擦力的大小F由牛顿内摩擦力定律给出，即
du (1—2) FA,,dy单位面积上的内摩擦力(切应力)
du (1—3) ,,,dy牛顿内摩擦定律的内容:当液体内部液层之间存在相对运动时，相邻液层间的内摩擦力F的大小与流速梯度
du和接触面面积A成正比，与液体的性质(即粘滞性)有关。
dy2 式中μ是表征液体粘滞性大小的动力粘滞系数，单位是(N?s/m)。另一形式的粘滞系数用ν表示，即: ,v, (1—,) ,
22称v为运动粘滞系数，它的单位是(m/ s或cm/ s)。
-32-62粘滞系数受温度影响较大，20?时水的μ= 1.002×10N.s/m，v =1.003×10 m/ s 。
需要强调:牛顿内摩擦定律只适用于牛顿流体和层流运动，牛顿流体是指在温度不变的情况下切应力τ与流速
du梯度 成正比，这时粘滞系数μ为常数。 dy
对于静止液体，液体质点之间没有相对运动，因而也就不存在粘滞性。
(4)液体的压缩性:
液体受到的外界压力变化而引起液体体积改变的特性称为液体的压缩性。液体压缩性的大小，可用体积压缩系数β或体积弹性系数K表示，即
dV
1V (1—5) ,,,,dpK
液体的压缩性很小，除水击等压强急剧变化的水力过程中要考虑，一般都忽略水的可压缩性，也就是把水当作不可压缩液体来处理。
(5)液体的表面张力特性:
表面张力是仅在液体自由表面上存在的局部水力现象，它使液体表面有尽量缩小的趋势。表面张力系数σ表示液体自由面上单位长度所受到拉力的大小，单位为(N/m)。一般情况下，表面张力对液体运动的影响可以忽略不计。
8
但在特殊情况下，如细玻璃管内的毛细现象使液位和压强量测造成误差，有自由表面和较大曲率的小流量运动和微小水滴的形成球状，这时必须考虑表面张力的影响。
(6)汽化压强:
汽化压强是指液体汽化和凝结达到平衡时液面的压强。汽化压强随液体的种类和温度的不同而改变。水利工程中的空化现象与液体的汽化压强有关，需要注意。
综上所述，液体的惯性、重力特性和粘滞性对液体运动有重要的影响，而液体的可压缩性、表面张力和汽化压强只有在特殊问题中才需要考虑，请注意区分。
1.5理想液体
粘滞性对液体运动的影响十分重要而且复杂，它使研究和分析液体的运动规律变得非常困难。为了简化问题，便于从理论上研究液体的运动，引入“理想液体”的假设。
即认为“理想液体”是一种完全没有粘滞性、可压缩性和表面张力的液体。其中最主要的是液体的粘滞性。这样，先按理想液体研究液体的运动，从理论上求得其运动规律，再考虑粘滞性的影响，对理想液体的运动规律进行修正，借以揭示实际液体运动的规律和趋势。需注意:理想液体实际上并不存在，引进理想液体仅是研究方法的简化。
1.6量纲和单位
单位是度量物理量的基准量，量纲是表示物理量的性质和种类。两者的关系:量纲是单位的抽象和概括，单位是量纲的具体表示。单位分为基本单位和导出单位，量纲也分为基本量纲和导出量纲。基本量都是独立的，不能相互组合导出其它基本量，而导出量都可以用基本量的组合来表示。如:力学中，质量[M]、长度[L]、时间[T]构成一组基本量纲，这三个物理量的基本单位m、s、kg组成国际单位制。
某一个物理量N的量纲可以表示成基本量纲的单项指数乘积形式，即
x y z?M [N]=[L?T] (1—6)
式中:[L]、[M]、[T]是基本量纲，x、y 、z是各基本量纲的指数，指数可正、可负或为零。
对于任一个物理量，我们要掌握搞其在不同单位制下的单位和量纲。
1(7作用在液体上的两种力
作用在液体上的力包括重力、惯性力、粘滞力、压力、表面张力等，按力的作用方式可以分为质量力(重力、惯性力)和表面力(粘滞力、压力、表面张力)两类，这种分类是为了便于进行液体运动受力分析。请理解单位质量力和单位面积表面力(压强p和切应力τ)的含义、单位及量纲。
1(8水力学的研究方法
水力学是一门实践性很强的学科，它是生产实践和实验研究的总结，并在解决实际工程问题过程中经受检验、修正和完善。我们学习本课程，既要重视对理论体系的理解，搞清基本方程和公式的来历、应用条件、使用范围，更要能正确运用所学的理论知识解实际工程问题，掌握理论分析、实验研究和数学模拟紧密结合的水力学研究方法。
【思考题】
1-1液体的基本特征是什么,它与气体、固体有什么区别,
1-2为什么要引进连续介质的假设,为什么可以把液体当作连续介质,
9
1-3牛顿内摩擦定律的适用条件是什么,(解:牛顿内摩擦定律适用于层流运动和牛顿流体。)
1-4什么是理想液体,它与实际液体有什么区别,(解:理想液体是不考虑粘滞性的理想化的液体。)
1-5什么是液体的可压缩性,什么情况下需要考虑液体的可压缩性,
(解:液体的可压缩性是指:当外界的压强发生变化时液体的体积也随之而发生改变的特性。液体的可压缩性在一般情况下可以不必考虑，但是当外界压强变化较大，如发生水击现象时必须予以考虑。)
第2章 水静力学
2.1 静水压强及其特性
2静止液体作用在单位压面积上的压力称为静水压强，单位为N/ m，也称为帕斯卡(P)。 a
静水压强两个重要特性:(1)静水压强的方向垂直并指向受压面;(2)静止液体内任一点沿各方向上静水压强的大小都相等，或者说一点的静水压强仅与该点坐标有关，与受压面的方向无关，表示为p = p (x，y，z)。这两个特性是绘制静水压强分布图和计算平面与曲面上静水总压力的理论基础。
2.2 等压面
液体中由压强相等的点所构成的面(平面或曲面)称为等压面，静止液体的自由表面就是等压面。
等压面有两个特性:(1)等压面就是等势面;(2)等压面与质量力正交。
2.3重力作用下的静水压强基本公式
重力作用下的静水压强基本公式(水静力学基本公式)为
p = p+ρg h (2—1) 0
式中:p—自由表面上的压强，h—测压点在自由面以下的水深，ρ—液体的密度。 0
该式表明:静止液体内任一点的静水压强由两部分组成，一部分是液体表面压强p ，它将等值地传递到液体0
内每一点;另一部分是高度为h的液柱产生的压强ρgh 。该式还表明，静水压强p沿水深呈线性分布。对于连通器，水深相同的点组成的面是等压面;当自由表面是水平面时，等压面也是水平面。
2.4绝对压强、相对压强和真空度
以完全没有大气存在的绝对真空为零计量的压强称为绝对压强p,;以当地大气压为零点计量的压强是相对压强p ，若当地大气绝对压强为p ，则相对压强与绝对压强的关系为: a
p= p,- p (2—2) a
当液面与大气相通，根据相对压强定义，液面压强p= 0 ，静止液体中某点相对压强为: 0
p=ρg h (2—3)
这是用相对压强表示的静水压强基本公式，该式也可表示为:
p (2—4) ,h,g
即用液柱的高度表示某点的压强，也是用测压管量测某点压强的依据。
当液体中某点的绝对压强小于当地大气压强，该点的相对压强为负值，则称该点存在真空。相对压强负压的绝对值称为真空压强h，即 υ
'pp,pp,ah,,,,, 10 ,g,g,g
(2—5)
注意:绝对压强永远是正值，相对压强可正也可负，真空压强(真空度)不能为负值。
2，用液 最小真空压强为0，这时相对压强也为0，而绝对压强p,= 1工程大气压= 98kN /m
2p'98kN/m柱高度表示绝对压强 m水柱。 h',,,103,g9.8kN/m
22压强单位有三种:(1)用应力单位表示:N /m(P)或kN /m(kP); aa
2(2)用大气压的倍数表示:即p =98kN /m，用p的倍数表示; aa
(3)用液柱高度:米水柱(mHO)或毫米水银柱(mmHg)。它们之间的关系为: 2
1p1p2aa 1p = 98kN /m， mHO， mmHg a2,736,10,g,gwHg2.5水头和单位势能
p重力作用下静水压强基本公式可表示为: z + = c (2—6) g,
式中:z是液体内某点相对于基准面的位置高程。该式表示:重力作用下静止液体内任一点的( )都相等。zppp，z和 都是长度量，z是单位重量液体所具有的位能， 是单位重量液体具有的压能。水力学中习惯用“水头”来称g,g,g,
呼这些具有能量意义的长度量，即z称为位置水头，
pp，z 称为压强水头，而( )称为测压管水头(单位重量液体具有的总势能)。 g,g,
即:静止液体中各点的测压管水头是常数。它反映了静止液体中的机械能分布。 2.6压强的测量和计算
依据静水压强基本公式，可以用测压管、比压计、U型水银测压计等方法量测液体的压强。
静水压强计算的理论依据是水静力学基本公式和连通器等压面关系，具体应用见【解题指导】 2.7静水压强分布图
静水压强分布图可以形象地反映受压平面上的压强分布，并能据此计算矩形平面上的静水总压力。用比例线段表示压强的大小，用垂直受压面的箭头表示静水压强的方向，根据静水压强沿水深呈线性分布，绘出平面上两点的压强并把其端线相连，即可确定平面上静水压强分布，这样绘制的图就是静水压强分布图。
注意:当受压面两侧均有液体作用或者一侧与大气相接触，可以用受压面两侧静水压强分布图进行合成，得到相对压强分布图。在相对压强分布图中，当表示压强方向的箭头背向受压面时，说明它代表受压面两侧合压强的方向;当外侧是大气压强时，这时说明受压面上的相对压强是负压或存在真空。
2.8作用在平面上静水总压力
1)对于矩形平面，应用静水压强分布图可以求出作用在平面上静水总压力的大小为 (
P=Ωb (2—7) 1,gL，，h，h,,式中: 是静水压强分布图的面积，b和L分别是矩形平面的水平宽度和长度，h和h分别是矩12122
形平面上边和底边处的水深。
静水总压力是平行力系的合成，因此静水总压力的方向垂直指向该平面。静水总压力作用点D(又称压力中心)位于纵向对称轴上，D到底边的距离e为
11
2h，hL (2—8) 12e,3h，h12
这样作用在平面上静水总压力的三个要素——大小、方向、作用点都可以确定了。在应用式(2—8)进行计算时需
和h的含义。 要注意h12
(2)解析法求作用在任意形状平面上的静水总压力
任意形状平面上静水总压力的大小等于该平面面积与其形心处静水压强的乘积，即
P=p A=ρgh A (2—9) cc
总压力的作用点(压力中心)D点的坐标为
Icyy,， (2—10) DcyAc
I或者 (2—11) ceyy,,,1DcyA c
式中:p是平面形心处的静水压强;h是平面形心C在液面下的深度;y是压力中心D距ox轴的距离;y为形心ccDc
34距ox轴的距离;I为面积A对过形心C的水平轴的惯性矩，矩形平面的I=bh/12 ，圆形断面的I=πd/64;e为cCC1偏心矩，即压力中心D到形心C的距离。
2.9作用在曲面上的静水总压力
求作用在曲面上的静水总压力P，可分别求其水平分力P和铅垂分力P，然后合成。 xz
(1)静水总压力的水平分力P等于作用在该曲面铅垂投影面A上的静水总压力，即 P= pAxxx cx
= ρgh A (2—12) cx
式中h是投影面A形心点的水深。P的方向垂直于投影面A，作用点位于A压力中心。 cxxxx
(2)静水总压力的铅垂分力P等于曲面所托压力体的水重。压力体由3部分表面围成的体积V:即受压的曲z
面、通过曲面的边缘向自由液面或自由液面的延长面作的铅垂平面和自由液面，这时静水总压力的铅垂分力P为 z
P=ρgV (2—13) z
铅垂分力P的方向按如下原则确定:当压力体与受压面在曲面的同侧，P向下;当压力体与受压面在曲面的zz
两侧，则P向上，并且P的作用线通过压力体的形心。 zz
(3)作用在曲面上的静水总压力P为
22 (2—14) P,P，Pxz
总压力与水平方向的夹角α为 Pz,arctg, (2—15) Px
注意，许多工程问题，如重力坝的稳定分析，需要直接用水平和铅垂分力来分析的。对于三维曲面，除了有x方向水平分力P，还有y 方向水平分力P ，P的计算方法同P 。 xyyx
根据作用在曲面上静水总压力的计算可以证明:浸没在水中的物体受到静水总压力等于物体在水中所排开水体的重量，即F=ρg V，而且合力的方向向上。F即物体受到的浮力，浮力的作用线通过物体形心，这就是著名的阿基米德定律。根据物体受到重力G和浮力F的大小，可以确定物体是处在沉浮或随遇平衡状态。
12
【思 考 题】
2-1静止液体中同一点各方向的静水压强数值是否相等? (是)
22和94kN/m，则该点相对压强为多少? 2-2液体中A和B点的绝对压强分别为108kN/m
2-3平面上静水总压力的作用点D与受压面的形心点 C是否重合,在什么条件下重合,
2-4图示为复式比压计，请判断图中A—A、B—B、C—C、D—D、C—E中哪些是
等压面,为什么,
2-5图示，平板闸门AB倾斜放在水中，试分析当上下游水位都上升1米(图中虚线)
时，(a)、(b)两图中闸门AB所受静水总压力的大小及作用点的位置是否改变,
思2—4图 思2—6图
2-6什么是绝对压强、相对压强和真空度,
2-7如图所示为混凝土重力坝断面的两种
设计方案
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，已知混凝土的比重为2.5，试
根据受力分析从抗滑移稳定和抗倾翻稳定两方面判断哪种设计
方案
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更为合理。
思2—7图 思2—8图
2-8如图所示，在盛满水的容器侧壁上放一半径a的均质圆柱，圆柱的左半部完全浸没在水中。根据阿基米德原理，左半个圆柱体始终受到一个向上的浮力，浮力的大小等于它所排开水体的重量，浮力作用线通过左半个圆柱体的形心。这个浮力对圆柱体产生旋转力矩，使它绕O轴不停地旋转。这种说法是否正确,为什么,
【解 题 指 导】
22思2-2 解:10kN/m和-4kN/m，即相对压强可正可负或等于零。
思2-3 解:平面的压力中心D一般位于形心C点以下，当平面水平放置时D与C重合。
思2-4 解:必须是相连通的静止液体，水平面B,,，,—,是等压面。
13
思2-5 解:分别画出(a)，(b)图中闸门AB两侧的静水压强图，合成后可知(b)图合静水压强图图形不变，即静水总压力大小和作用点不变;而(a)图发生了改变。
思2-6解:绝对压强是以完全没有流体分子存在的压强作为压强零点计算的压强表示方法，绝对压强只能是正值;相对压强是以当地大气压强作为压强零点计算的压强表示方法，相对压强可正可负;当相对压强为负值时，其绝对值为真空度，真空度只能大于等于0。
思2-7 解:(b)图设计方案抗滑移稳定和抗倾翻稳定两方面更为合理。因为(b)增加向下的水压力，既增加了抗滑移摩擦力，也增加了抗倾翻力矩。
思2-8 解:这种说法不正确，因为半圆上各点的压力都垂直于曲面，即通过圆心，合力也必然通过圆心，对圆柱不产生旋转力矩。
例题2-1、如图所示挡水矩形平板AB，已知水深h=3 m，板的宽b,2.5m，求作用在矩形平板AB上的静水总压力的大小及作用点处的水深。 (8分)
= h/2 = 1.5m (2分) 解:?平板AB 的形心点c的水深 hc
? 作用在平板上的静水总压力为
P=pA=ρghbh=9.8×1.5×2.5×3=110.25kN (4分) cc
2静水总压力作用点D处的水深 h = h = 2 m (2分) D3
例题2-2 如图所示矩形平板闸门AB宽b=3m，
门重G=9800N，α=60?，h=1m，h=1.73m。 1 2
h试求:下游无水时启门力T。 1
解:闸门上的静水总压力P=pA， c
2 p,ρgh=1000×9.8×(1，1.73×0.5)=18.27kN/m(2分)ccTh2P=pA=18.27×3×1.73?sin60?,109.6 kN (2分) c
h3静水总压力作用点到转轴距离为
23，1，1.73，，m (1分) L,2,，,1.15432，1，1.73
各力对转轴取力距Th/tg60?,G×0.5h/tg60?,PL=0 (3分) 22
?T=131.6kN (2分)
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第3章 水动力学基础
【内容提要和学习指导】
3.1描述液体运动的拉格朗日方法和欧拉方法
(1)拉格朗日方法(质点系法):它是跟踪并研究每一个液体质点的运动情况，把它们综合起来就能掌握整个液体运动的规律。这种方法形象直观，物理概念清晰，但是对于易流动(变形)的液体，需要无穷多个方程才能描述由无穷多个质点组成的液体的运动状态，既难以做到，又无必要。拉格朗日法适用于研究固体运动。
(2)欧拉法(流场法):液体流动所占据的空间称为流场。在水力学中，我们只关心不同的液体质点在通过流场中固定位置时的运动状态。例如河道某断面处，不同时间的水位、流量和流速;管道中某处的流速和压强等。我们不关心液体质点是怎么来的和到哪里去。把某瞬时通过流场各点的液体质点运动状态综合起来，就反映液体某个时刻在流场内的运动状况。这种方法称为欧拉法，这是水力学常用的方法。这种方法物理意义不如拉格朗日法直观，因为欧拉法研究的对象是随时间而变的，但是便于我们研究流场的运动状况。
3.2液体运动分类和基本概念
(1)恒定流和非恒定流
流场中液体质点通过空间点的运动要素不随时间而变化的流动称为恒定流;反之，只要有一个运动要素随时间而变化，就是非恒定流。非恒定流的流速、压强等是时间t的函数，由于自变量增加，使水流运动分析更加复杂。自然界的水流绝大部分是非恒定流，但在一定条件下，可将非恒定流简化为恒定流讨论。本课程主要讨论恒定流。
(2)迹线和流线
迹线是液体质点运动的轨迹，它是某质点不同时刻在空间位置的连线，迹线与时间有关，是拉格朗日法描述液体运动的图线。流线是某一瞬间在流场画出的一条曲线，该时刻位于曲线上各质点的流速方向与该曲线相切，是从欧拉法引出的，是我们讨论的重点。
对于恒定流，流线的形状不随时间而变化，这时流线与迹线互相重合;对于非恒定流，流线形状随时间而改变，这时流线与迹线一般不重合。
流线的重要性质:即流线不能相交，也不能转折，否则交点(或转折)处的质点就有两个流速方向，这与流线的定义相矛盾。即某瞬时通过流场中的任一点只能画一条流线。
流线的形状和疏密反映了某瞬时流场内液体的流速大小，流线密(疏)表示流速大(小)。
(3)元流、总流和过水断面
元流是横断面积无限小的流束，它的表面是流线组成的流管。无数元流组成的宏观水流称为总流。与元流或总流的所有流线正交的横断面称为过水断面。过水断面的形状可以是平面(流线是平行的直线时)或曲面(流线为其它形状)。
3/s。 单位时间内通过某一过水断面的液体体积称为流量，用Q表示，单位为m
引入元流的目的有两个:1)、元流的横断面积dA无限小，因此dA上各点的运动要素(流速u和压强p)都可当作常数;2)、元流作为无限小基本单位，通过积分可求总流的运动要素。元流的流量为dQ=udA，则通过总流过水断面的流量Q为
Q=?dQ=?udA (3—1) A
15
(4)断面平均流速
一般情况下总流各个元流过水断面上的点流速是不相等的，而且流速分布很复杂。为了简化问题的讨论，我们引入断面平均流速v的概念。这是恒定总流分析方法的基础，也称为一元流动分析法，即认为液体的运动要素是一个空间坐标(流程坐标)的函数。断面平均流速等于v,Q/A。
(5)均匀流与非均匀流
均匀流是流线相互平行的直线的流动。即流线既要相互平行，又必须是直线，其中有一个条件不满足，这个流动就是非均匀流。均匀流也表述为液体的流速大小和方向沿流程不变。
流动的恒定、非恒定是相对时间而言，均匀、非均匀是相对空间而言;恒定流可是均匀流，也可以是非均匀流，非恒定流也是如此。注意:明渠非恒定均匀流是不可能存在的。
均匀流的特征:1)过水断面为平面，且形状和大小沿程不变;2)同一条流线上各点的流速相同，因此各过水断面上平均流速v相等;3)同一过水断面上各点的测压管水头为常数(即动水压强分布与静水压强分布规律相同，具有z + p/ρg = c的关系)。
(6)一维流动、二维流动与三维流动
根据运动要素与空间坐标的关系，我们把水流运动分为一维流动、二维流动与三维流动。严格地说自然界的水流都是三维流，但是为了简化分析，引入断面平均流速，把许多问题转化为一维流动来讨论，这是处理问题的方法。
(7)渐变流与急变流
根据流线的不平行和弯曲程度，非均匀流又分为两类:流线不平行但流线间夹角较小，或者流线弯曲但弯曲程度较小(即曲率半径较大)，这种流动称为渐变流;反之则称为急变流。可以证明渐变流同一过水断面上的测压管水头(z + p/ρg)近似当作常数，在讨论恒定总流能量方程时要用到。对于急变流，同一过水断面上各点的z + p/ρg ?c。
实际水流绝大多数是非均匀流，把它分为渐变流和急变流是简化对非均匀流的讨论。
3.3恒定总流的连续性方程
根据质量守恒定律可以导出没有分叉的不可压缩液体一维恒定总流的连续性方程为
vA21,=Q 或 v A= v A ( Q3—2) 12 1122vA12
上式说明:任意两个过水断面的平均流速与过水断面的面积成反比。
对于有分叉的恒定总流，连续性方程可以表示为:
?Q=?Q (3—3) 流入流出
连续性方程是运动学方程，它没有涉及作用力的关系，通常应用连续方程来计算某一过水断面的面积和断面平均流速或者已知流速求流量，它是水力学中三大基本方程之一。
3.4恒定总流的能量方程
(1)恒定元流的能量方程:
根据物理学动能定理或牛顿第二定律，可导出恒定元流两个过水断面之间的能量关系为 22pupu1122z，，,z，，，h' (3—4) w12,,g2gg2g
16
式中:是相对某个基准面单位重量液体具有的位能，称为位置水头;p/ρg是单位重量液体具有的压能，称为压强水头;(z +p/ρg)是单位重量液体具有的位能和压能之和，称为测压管水头; 表示单位重量液体具有的动能，称为
2u,表示单位重量液体从1断面流到2断面克服由液体粘滞性引起的阻力而损失的能量，称为水头损失。 流速水头;hw2g
式(3—4)表示水流在流动过程中，单位重量液体具有的位能、压能和动能的相互转换和守恒关系。理想液体不存在粘滞性，所以理想液体流动的水头损失h,=0，表示液体机械能守恒。但实际水流有粘滞性，因此h,?0，ww说明水流沿流动方向机械能总是减少的。
用毕托管测某点的流速，其依据就是恒定元流能量方程。
(2)恒定总流的能量方程
将恒定元流能量方程沿总流的2个过水断面进行积分，并且引入过水断面处水流是均匀流或者渐变流的条件，就可得到恒定总流的能量方程(称为伯努利方程)
22pvpv,,111222z，，,z，，，h (3—5) w12g2gg2g,,
请注意:积分过程中用到同一过流断面上各点的测压管水头(z +p/ρg)= c，要求满足渐变流条件;用断面平均流速v替代过水断面上的实际流速，必须引进动能修正系数α。
恒定总流能量方程是水力学最重要的基本方程，它与连续方程联解可以求断面上的平均流速或压强，它们与恒定总流动量方程联解，可以计算水流对边界作用力，确定建筑物荷载。
(3)恒定总流能量方程的图示，水头线和水力坡度
恒定总流能量方程各项的量纲都是长度量，可以用比例线段表示位置水头、压强水头、流速水头的大小。各断面的位置水头、测压管水头和总水头端点的连线分别称为位置水头线、测压管水头线和总水头线。
位置水头线与测压管水头线、测压管水头线与总水头线之间的距离分别表示该过水断面上各点的平均压强水头和平均流速水头。所以画水流的水头线可以清楚地反映沿流程各个断面上位能、压能和动能的变化关系，它在分析有压管道各个断面的压强变化十分重要。
假如水流从1断面流到2断面的平均水头损失为h，流程长度为l，则单位长度上的水头损失定义为水力坡度w
J，它也表示总水头线的斜率:
hw1,2J, (3—6) l
J是无量纲数。根据水头线所表示的能量转换关系，恒定总流能量方程的几何意义可以这样描述:理想液体(h=0)的总水头线是一条水平线;实际液体(h,0)的总水头线总是一条下降的曲线或直线，它下降的数值等ww
于两个过水断面之间水流的水头损失。
注意:测压管水头线不一定是下降的曲线，它由位能与压能的相互转换情况来确定。对于均匀流，流速水头沿程不变，总水头线与测压管水头是相互平行的直线。
(4)应用恒定总流能量方程的条件和注意事项
推导恒定总流能量方程的过程中曾引入一些条件，这些条件限制了能量方程的使用范围，同时在应用能量方程解决工程实际问题时需处理好一些具体事项，现归纳说明如下。
1)恒定总流能量方程的应用条件
17
a)液体流动必须是恒定流，而且是不可压缩液体(ρ=常数);作用在液体上只有重力;
b)建立能量方程的两个过水断面必须位于均匀流或渐变流段，但该两断面之间的流动可以是急变流。
c)在推导能量方程的过程中，两个计算断面之间没有流量的汇入或分出。如果有流量的汇入或分出，也可以建立相应的能量方程式，参见说明。这时必须强调能量方程的两侧都是单位重量液体具有的能量。
2)应用恒定总流能量方程需要注意的具体问题
a)计算能量方程中的位置水头，必须确定基准面。基准面可以任意选择，但应使所选的基准面能简化能量方程，便于求解。如所选基准面使z = 0，这样能量方程中项数减少。必须强调，同一个能量方程只能选择同一个基准，否则能量方程就不能成立。z +p/ρg
b)计算压强水头p/ρg ，工程计算中一般采用相对压强更为方便。
c)因为渐变流过水断面上各点的(z+p/ρg)值相等，在过水断面上要选于计算测压管水头的点。对于管流，计算点通常取在管轴线上;对明渠水流，计算点取在自由表面上，这里的相对压强为零，所以(z+p/ρg)= z。
d)选取过水断面除了满足渐变流条件外，还应使所选断面上未知量仅可能少，这样可以简化能量方程的求解过程。
e)求解能量方程必须确定动能修正系数α。α值与断面流速分布有关，流速分布越均匀，α值趋向于1，实
=α=1计算。对于流速分布很不均匀的水流(例如层流)，际工程的动能修正系数大多在1.05~1.10之间，一般取α12
动能修正系数远大于1。
f)水头损失h是能量方程中重要而复杂的项，关于h的讨论和计算在第4章讨论。 ww
g)当一个问题中有2~3个未知数的时候，能量方程需要和连续方程、动量方程联解。 3.5恒定总流动量方程
恒定总流动量方程是动量定理在液体流动中的表达式，它反映水流动量变化与作用力之间的关系。恒定总流动量方程用于求解水流与固体边界之间的相互作用力，如水流对弯管的作用力，水流作用在闸门和建筑物上的动水压力以及射流的冲击力等。
(1)恒定总流动量方程
根据动量定理可导出恒定总流的动量方程式为
,,,，，,,,,,F,Q,, (3—7) 221
恒定总流动量方程的物理意义:单位时间内流出与流入控制体的水体动量之差等于作用在控制体水体上的合外力。动量方程是个矢量方程，沿坐标轴投影，得投影形式的动量方程:
?F=ρQ(β v-β v) 2x 1xx21
?F=ρQ(β v -β v) (3—8) 2y 1yy21
?F=ρQ(β v -β v) 2z 1zz21
式中:?F、?F、?F是作用在控制体上所有外力沿xyz轴方向分量的合力;v、v、v、v、v、v分、、xyz1x2x1y2y1z2z别是控制体进出口断面平均流速在x、y、z轴上的分量;β、β为进出口断面处的动量修正系数，β值一般约为12
1.02 ~ 1.05，通常取β=β= 1.0计算。 1 2
(2)恒定总流动量方程的应用条件和注意事项
18
a)水流是恒定流，并且控制体的进出口断面都是渐变流，但两个断面之间可以是急变流。这与恒定总流能量方程的条件相同，这样在联解能量方程和动量方程时不会出现适用范围的不一致。
b)动量方程是矢量方程，方程中的流速和力都是矢量。因此，用动量方程解题必须建立坐标系。坐标系可以任意选择，但所选坐标系应使流速和力的投影分量越少越好，这样可减少方程中的未知数。还必须注意，当流速或力的投影分量与坐标方向一致，则为正值，否则为负值。这一点在解题中易发生错误，应特别注意。
c)动量方程式应该是流出液体的动量减去流入液体的动量。
, d)? 包括作用在控制体上的全部外力，这也是解题中常会发生错误的地方。 F
外力通常包括重力(质量力)、压力和周围固体边界对水体的反作用力。求水流与固体边界之间的作用力是应用动量方程解题的任务，当所求力的方向不能确定时，可先假设其方向进行求解。若求出该力为正，表示假设方向正确;若为负，则该力的实际方向与假设相反。
e)动量方程只能解一个未知数，如果未知数多于1个，必须与连续方程、能量方程联合求解。
f)对于有分岔的管道，动量方程的矢量形式为
, (3—9) ，，，，F,,Q,v,,Q,v,,,流出流入
【思 考 题】
3-1描述液体运动有哪两种方法,两种方法有什么区别,
3-2什么是流线和迹线,流线具有什么性质,
3-3“均匀流一定是恒定流，急变流一定是非恒定流”，这种说法是否正确,为什么,
3-4为什么恒定总流能量方程的过流断面必须位于渐变流段,
3-5应用能量方程判断下列说法是否正确:(1)水一定从高处向低处流动;(2)水一定从压强大的地方向压强小的地方流动;(3)水总是从流速大的地方向流速小的地方流动,
3-6什么是水头线和水力坡度,总水头线、测压管水头线和位置水头线三者有什么关系,沿程变化特征是什么,
3-7建立能量方程有哪些条件,应用时要注意哪些问题,
3-8建立动量方程有哪些条件,应用时要注意哪些问题,
【解 题 指 导】
思3-3解:这种说法是错误的，均匀流不一定是恒定流。因为均匀流相对空间而言，即运动要素沿流程不变;而恒定流是相对于时间而言，运动要素不随时间而变。两者判别标准不同。
思3-4解:因为渐变流段的过流断面上测压管水头是常数，这是恒定总流能量方程积分的条件。
思3-5解:三种说法均是不正确的。由于水流在流动过程中总有能量损失，因此水流只能从能量大的地方流向能量小的地方，而位置的高低、压强的大小、流速的大小不是确定液体流动方向的依据。
=6cm，d=2cm，1断面与喉管断面的测压管水头差为Δh 例题3-1已知如图所示的文丘里管流量计，管的直径d1 2
=8cm ，如果文丘里管流量计流量修正系数μ=0.98，求管路中通过流量Q为多少,(不计水头损失)
(10分)
19
解:对1、2断面建立能量方程:
22,,PP1122 (3分) ，,，2g,g2g,g
22,,,P,P2112得 (1分) ,,g,h2,
Δh 根据连续性方程: (1分) A,,A,1122
2g,h,联立方程解得: (2分) ,2A221,()d 1Ad 12
2Ad122 ? (1分) ,,29Ad11
2，0.022，9.8，0.08,,43 ? (2分) Q,A,0.98，，,3.88，10ms,,221421,()9
-43答:管路中通过流量Q为3.88×10m/s。
3例题3-2 如图所示水泵管路系统,已知:流量Q=101m/h,管径d=150mm，管路的总水头损失h=25.4m,水泵w1-2
效率η=75.5%，试求:
(1) 水泵的扬程H p
(2) 水泵的功率N p
解:
(1) 计算水泵的扬程Hp
以吸水池水面为基准写1-1,2-2断面的能量方程
22pvpv1122z，，，H,z，，，h1p2w1,2,g2g,g2g即 0+0+0+H=102+0+0+h pw1-2
? H=102+ h=102+25.4=127.4m pw1-2
(2)计算水泵的功率N p
,gQH9800，101/3600，127.4N,,,46.4kWp,0.755
此题主要说明在水流中有能量输入或输出时能量方程的应用。由于水泵是输给水流能量，因此H前取正号，p
这样才能与2-2断面的能量相等。同时要搞清楚水泵扬程H概念，H=z+h。 ppw1-2
20
2。例题3-3 图示一跨河倒虹吸管，正方形断面面积 A=0.64 m，长 l=50 m，两个 30折角、进口和出口的局部水头 损失系数分别为ζ=0.2，ζ=0.5，ζ=1.0，沿程水力摩擦系数λ=0.024，上下游水位差 H=3m。求通过的123
流量Q(10分)
2lv (5分) 解: Hh,,，(),,,w42Rg
A R,,,0219..m , ,,x
3 (5分) ？ v,4.16m/s , Q,vA,2.662m/s
例题3—4 有一个水平放置的弯管，直径从d=30cm渐变到d=20cm，转角θ=60?，如图所示。已知弯管11 2
22—1断面的平均动水压强p=35000N/m，断面2—2的平均动水压强为p=25840N/m，通过弯管的流量Q =150L/s。1 2
求水流对弯管的作用力。
解:根据题意要求水流对弯管的作用力，应该用动量方程进行求解。
2P2
v2 1yyR2Rxαv1P1 x
Rx′θ 1
R′Ry′
(1)取弯管的1—1与2—2断面之间的水体作为脱离体(如图)。断面1—1和2—2两过水断面的动水压力可以按静水总压力的公式计算。
(2)分析作用在脱离体上的外力:
断面1-1和2-2上的动水总压力分别为P与P， 12
P=pA， P=pA。 111222
的反作用力，二者大小大小相等，方向相反。这一作用管壁对水流作用力R，它实际上是水流对管壁作用力R′
力R′包括水流对管壁的动水总压力与水流对管壁表面作用的摩擦阻力，如果求出作用力R，也就求得了水流对管壁的总作用力R′。为了计算方便，将作用力R分解为x和y方向上的两个分量Rx和Ry，Rx和Ry 的方向可以任意假设，如果计算结果为正值，说明假设方向是正确的，若为负值，说明假设方向与实际作用力方向相反。
重力(脱离体内水体自重)垂直于水平面，对弯管水流运动没有影响。
21
,,(3) 建立x轴与y轴方向的动量方程，所取坐标系如图所示。取动量修正系数,,,=1.0。 12沿x轴方向写动量方程，得
,Q,(vcos60:,v),P,Pcos60:,R2112x
3Q4，150，10v,,,212.3cm/s,2.12m/s 21A,，301
3Q4，150，10v,,,477.7cm/s,4.78m/s 22A,，202
223.140.3,d，1 P,p,35000，,2472.8N1144
23.140.22,d，2 P,p,25840，,811.4N2244
R,P,Pcos60:,Q(vcos60:,v)1221,,x11,2472.8,811.4，,1.0，1000，0.15(4.78，,2.12) 22
,2472.8,405.7,40.5,2026.5N(假设方向正确)沿y轴方向写动量方程得
Psin60:,R,,,Q(,vsin60:,0)2y2
R,Psin60:，Qvsin60:22,,y
33,2472.8，，1，1000，0.15，4.78， 22
,2141.5，620.9,2762.4N(假设方向正确)合力的大小为
2222N R,R，R,2026.6，2762.4,3426xy
合作用力的方向为
R,1,1,1x2762.4, ,tantantan1.36315344,,,,:R2026.6y
所以水流对弯管的作用力为R′=R，方向与R相反，与x轴的夹角为α=53º44′
22
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