杨辉三角形与高阶等差数列

杨辉三角形与高阶等差数列 三角形与高阶等差数列 宁夏中卫中学 麦兴旺 一、 杨辉简介 杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家，他在 “垛积术”、纵横图以及数学教育方面，均做出了重大的贡献。他是世界上第一个排出丰富的纵横图和讨论其构成规律的数学家。杨辉一生留下了大量的著述，他编著的数学 书 关于书的成语关于读书的排比句社区图书漂流公约怎么写关于读书的小报汉书pdf 共五种二十一卷。他非常重视数学教育的普及和发展，为初学者制订的"习算纲目"是中国数学教育史上的重要文献。杨辉在《详解九章算法》一书中还画了一张表示二项式展开后的系数构成的三角图形，称做“开方做法本源”，现在简称为“杨辉三角”。 杨辉三角是一个由数字排列成的三角形数表，一般形式如下: 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 ..................................... 法国数学家巴斯加在1654年的论文中详细地讨论了这个图形的性质，所以在西方又称“巴斯加三角” 二、 杨辉三角的性质 1、 杨辉三角的产生 (1)、由11的n次幂的各位数字(不含进位)与杨辉三角中的各数字完全相等即杨辉三角是11的幂按错位相加不进位的方法依次从小到大排列而成的图形。如下图: 0 1 (11) 11 1 (11) 21 2 1 (11) 31 3 3 1 (11) 41 4 6 4 1 (11) 51 5 10 10 5 1 (11) 61 6 15 20 15 6 1 (11) „„ n(2)、(a+b)的展式的系数 1 (n=0) 1 1 (n=1) 1 2 1 (n=2) 1 3 3 1 (n=3) 1 4 6 4 1 (n=4) 1 5 10 10 5 1 (n=5) 1 6 15 20 15 6 1 (n=6) „„ 2、 杨辉三角的性质 2 r (a+b)的展开式的系数排列如下 1 (r=0) 1 1 (r =1) 1 2 1 (r =2) 1 3 3 1 (r =3) 1 4 6 4 1 (r =4) 1 5 10 10 5 1 (r =5) 1 6 15 20 15 6 1 (r =6) „„„„ 12rm,11 c c „„ c „„ c 1 (r=m) mmmm „„„„ 12r,1rn,21 c c „„ c c c 1 (r=n-1) n,1n,1n,1n,1n,112rn,1 1 c c„„ c„„ c 1 (r=n) nnnn123rn1 cc c„„ c„„ c 1 (r=n+1) n，1n，1n，1n，1n，1n(a，b)1?与二项式定理的关系:杨辉三角的第n行就是二项式展开式的系数列。 r{c}。 n 2?对称性:杨辉三角中的数字左、右对称，对称轴是杨辉三角形底边上的“高”，即 rn,rC,cnn。 3?结构特征:杨辉三角除斜边上1以外的各数，都等于它“肩上”的两数之和，即 rr,1rc=c+c。 nn,1n,1 n012rn,1n 4?c+ c+ c„„+ c„„+ c+ c=2 nnnnnn 三、 杨辉三角中的高阶等差数列 ,、 差分数列:数列相邻项的差称为数列的差分，由数列的差分所组成 新数列称为差分数列如数列，如 a ,a，a„„a„„的差分 3n21 b , b，b„„b„„(b= a-a)称为一阶差分数列; n，13nnn21 由b , b，b„„b„„差分组成数列 3n21 c , c，c„„c„„称为二阶差分数列; 3n21 „„ ,、 高阶等差数列:若一数列的r阶差分数列是常数列(它的r+1阶差 分是零)则称这个数列为r阶等差数列。一阶等差数列即是我们所说的 等差数列。二阶及二阶以上的等差数列通称为高阶等差数列。 如1，3，4，5„„，n„„是一等差数列; 1，3，6，10，„„是二阶等差数列。 ,、 杨辉三角中的高阶等差数列 3 我们先讨论杨辉三角中n为前7行时的情况。分别为每一斜行标号，如图所示: (1) 1 (2) n=1 1 1 (3) n=2 1 2 1 (4) n=3 1 3 3 1 (5) n=4 1 4 6 4 1 (6) n=5 1 5 10 10 5 1 n=6 1 6 15 20 15 6 1 把斜行(1)中第7行之前的数字相加得1+1+1+1+1+1+1=6 把斜行(2)中第7行之前的数字相加得1+2+3+4+5=15 (一阶) 把斜行(3)中第7行之前的数字相加得1+3+6+10=20 (二阶) 把斜行(4)中第7行之前的数字相加得1+4+10=15 (三阶) 把斜行(5)中第7行之前的数字相加得1+5=6 (四阶) 将上面得到的数字与杨辉三角中的第7行中的数字对比，我们发现它们是完全相同的。 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 由上面可猜想得到:杨辉三角中n行中的第i个数是斜行i-1中前n-1个数之和. 即:杨辉三角中有第i斜线的前n 个数的和等于第i+1斜线的第n+1个数; 1 1+1+1+1+„„+,,c; n 12 1+2+3+„„+ c= c; nn 23 1+3+6+10+„„+ c,c; nn 34 1+4+10+20+„„+ c,c; nn „„ rr，1rrr c++c+„„+c=c(r=1,2,3,„„) (*) rr，2r，1n,1n 公式(*)为杨辉三角的首项为,的r阶等差数列求和公式。 rr，1c为通项公式c为前n项和的公式。 n,1n 四、一般高阶等差数列的通项公式及前n项的和 4 设{a}为一r阶等差数列，现给出它的通项公式和前n项和的公式; n ,、 求r阶等差数列的通项公式 设 a ,a，a„„a„„为一r阶等差数列，现用逐差法求通项公式; 3n21 各阶差分数列 一阶 b , b，b„„b„„ (b= a-a) 3nnn，1n21 二阶 c , c，c„„c„„ (c= b-b) 3nnn，1n21 三阶 m , m，m„„m„„ (m= c-c) 3nnn，1n21 „„ 设d为各阶差分数列的首项，则有 i d= b= a- a 2111 d= c= b- b则d= c= b- b=(a-a)-(a- a) 322222211111 =a-2 a+ a 321 d= m= c- c则d= m= c- c 33221111 =(b-b)-(b- b) 3221 =( a- a)-( a-a)-( a-a)+( a- a) 33342221 = a-3 a+3 a- a 3421 = a-4 a+6 a-4 a+ a 由此可推定 d534421 „„ r12 d=a-ca+ca-„„+(-1)+ a=常数 r，1rrr,11rr d=0 r，1 而a=a+ b= a+ d 21111 a= a+ b=( a+ d)+( b+ c)= a+ d+ d+ d (c= d) 3222211111111 = a+ 2d + d 211 a= a+ b= (a+ 2d + d)+( b+ c)=(a+ 2d + d)+( b+ 334222211111 c)+( c+ m) 111 = a+ 2d + d+ d+ d+ d+ d 3222111 = a+3 d+3 d+ d 3211 由此可推定 a= a+4 d+6 d+4 d+ d 532411 „„ 12r,2a= a+ c d+c d+„„+cd+ d 2r,2r11r,1r,1r,1r,1 所以通项公式 12r,1r a= a+c d+c d+„„+c d+c d (d=0) n2r，111r,1rn,1n,1n,1n,1 2、高阶等差数列的前n 项和公式 设 a ,a，a„„a„„为一r阶等差数列。 3n21 5 现构造一r+1阶等差数列 0，a，a+ a，a+ a+ a，„„，a+ a+ a+„„+ a，„„ 33n2221111各阶差分数列 一阶 a ，a，a„„a„„ 3n21 二阶 b , b，b„„b„„ (b= a-a) 3nnn，1n21 三阶 c , c，c„„c„„ (c= b-b) 3nnn，1n21 四阶 m , m，m„„m„„ (m= c-c) n，13nnn21 „„ 设,为各阶差分数列的首项，则有 i ,,a，D= d，D= d„„，D= d，D= d=0 322r，2r，111r，1r1 由前面通项公式知 a+ a+ a+„„+ a是该数列的前n+1项，所以， 3n21 12rr，1a+ a+ a+„„+ a,0+ c,+ c D+„„+ cD+c D 3n221n1nnrr，1n 123rr，1 = ca+ cd+cd+„„+ cd+ cd 2n1nnnr,1r1n 设S= a+ a+ a+„„+ a则a ，a，a„„a„„前n项和公式为 n3n3n2211 123rr，1 S,ca+ cd+ cd+„„+ cd+ cd (r+1n) ,n2n1nnnr,1r1n 25，61，121，211，„„的通项公式和前n 项例1、求高阶差数列 1，7， 和公式 解:一阶 6，18，36，60，90，„„ 二阶 12，18，24，30，„„ 三阶 6，6，6，„„ 所以该数列是三阶等差数列 a,1，d,6，d,12，d,6，d,0 32411 3 a,6+6(n-1)+6(n-1)(n-2)+ (n-1)(n-2)(n-3)=n-n+1 n S=n+3n(n-1))+2n(n-1)(n-2)+ n(n-1)(n-2)(n-3)/4 n 检验 a,125,5+1,121 5 s=5+60+120+30=215 5 例2、在下列数列的( )填上适当的数(这是某省招考公务员的 试题 中考模拟试题doc幼小衔接 数学试题 下载云南高中历年会考数学试题下载N4真题下载党史题库下载 ) 11，23，41，65，( )，131，„„ 提示 该数列是一二阶等差数列 例3、将L 定义为求在一平面内用n条直线确定的最大区域数目例如n=1 n L=2,进一步考虑:用n条直线放在平面上能确定的最大区域 L是n1 多少,(这是第五届全国青少年信息学的竞赛试题) 提示 L=2，L=4，L=7，L=11，L=16，„„的二阶等差数列 35241 3、高阶等差数列的通项公式和前n项和公式还有一种求法 6 12r,2r,1r由通项公式 a= a+ c d+c d+„„+cd+ c d +cd n2r,211r,1rn,1n,1n,1n,1n,1 (rn-1)可得a是一个n的r 次多项式; ,n 123rr，1S,ca+ cd+ cd+„„+ cd+ cd (r+1n)是一个n的r+1次,n2n1nnnr,1r1n多项式。 这样可用待定系数法求得。 例4 求数列 5，17，35，59，89，„„的通项公式 解:一阶 12，18，24，30 „„ 二阶 6，6，6，„„ 所以 该数列是二阶等差数列。 2设 a=an+bn+c n n=1 a+b+c=5 n=2 4a+2b+c=17 n=3 9a+3b+c=35 解之得 a=3 b=3 c=-1 2所以 a=3n+3n-1 n 四、 在VB中输出杨辉三角形 下面是打印杨辉三角形的20行VB程序: Private Sub Form_Click() N = InputBox("", "", 5) ReDim a(N + 1, N + 1), b(N + 1, N + 1) Cls k = 8 For I = 1 To N Print String((N - I) * k / 2 + 1, " "); For J = 1 To I a(I, 1) = 1 a(I, I) = 1 a(I + 1, J + 1) = a(I, J) + a(I, J + 1) b(I, J) = Trim(Str(a(I, J))) Print b(I, J); String(k - Len(b(I, J)), " "); Next J Print Next I End Sub 7